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第16讲 整式的乘法和除法
一、整式的乘法
知识导航
1. 单项式与多项式相乘
法则 运算步骤 举例
单项式乘单项式 单项式与单项式相乘， （1）系数相乘，结果
把它们的系数、 作为积的系数；
同底数幂分别相乘，对 （2）同底数幂相乘，
于只在一个单 所 得 结 果 作 为 积 的 因
项式里含有的字母，则 式；
连同它的指数 （3）只有一个单项式
作为积的一个因式 里含有的字母，连同字
母的指数作为积
的一个因式
温馨提示 （1）单项式乘单项式的结果仍是单项式．
（2）法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则．
（3）同底数幂相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”
来计算，不要与合并同类项混淆．
（4）单项式乘单项式的法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适
用．
（5）注意运算顺序：先算乘方，再算乘法．
2. 单项式与多项式相乘
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即
.
温馨提示
①单项式与多项式相乘，实质是利用分配律将其转化为前面学过的单项式乘单项式。
②单项式乘多项式的每一项时，不要漏乘。
③计算时易出现符号错误，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。
④单项式乘多项式，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。
3. 多项式与多项式相乘
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所
得的积相加。
温馨提示
①要用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，不能有遗漏。
②多项式乘多项式，实际上是转化为单项式乘单项式的运算来完成的，
③多项式的每一项都包括其前面的符号，并作为项的一部分参与运算。
④多项式与多项式相乘的结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的
积。
⑤结果中若有同类项，则要合并，所得的结果必须化为最简的形式。
经典例题
例题1
1 计算： ．
2 计算： ．
3 计算： ．
4 ．
5 ．
6 ．
例题2
1 先化简，再求值： ，其中 ．
2 已知 ，先化简，再求值： ．
例题3
1 若 ，求 的值．
2 为使 与 的乘积中不含 和 项，求 、 的值．
3 如图，正方形卡片 类， 类和长方形卡片 类若干张，如果要拼成一个长为 ，宽为
的大长方形，则需要 类卡片多少张？
类
类 类
例题4
小明同学用四张长为 ，宽为 的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张
相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．
（1） 通过计算小正方形面积，可推出 ， ， 三者的等量关系式为： ．
（2） 利用（ ）中的结论，试求：当 ， 时， ．
（3） 利用（ ）中的结论，试求：当 时，求 的值．
二、整式的除法
知识导航
1. 单项式除以单项式
法则 实质 步骤 举例
单 项 单项式与单项式相除， 把单项式除法 (1)系数相除的结果作为商
式 除 把系数与同底数幂分别 转化成有理数 的系数；(2)同底数幂
以 单 相除作为商的因式，对 除法和同底数 分别相除，所得的结果作为
项式 于只在被除式里含有的 幂的除法 商的因式；
字母，则连同它的指数 (3)只在被除式里出现的字
作为商的一个因式 母，连同它的指数作为商的
因式
注 意 (1）法则包含三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，
事 项 连同它的指数作为商的注意事项一个因式．
(2）①运算中的单项式的系数包括它前面的符号；②不要遗漏只在被除式中含有的字母
2. 多项式除以单项式
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。如：
（ ） .
温馨提示
①这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，单项式除以多项式则不适用。如：
（ ） .
②法则的实质就是把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算。
③在计算时，多项式各项要包括前面的符号，商的各项的符号由多项式中各项的符号与单项式的
符号所决定。
④在进行多项式除以单项式的计算时不要漏项，所得结果的项数应与被除式的项数相同。
⑤当被除式中有一项与除式相同时，相除后所得的商是 而不是 .
经典例题
例题5
1 计算： ．
2 计算： = .
3 计算： ．
4 计算： ．
例题6
1 已知 ，求 ．
2 已知多项式 的除式为 ，商式为 ，余式为 ，求 、 的值．
三、学霸笔记
四、数学万花筒
吴承恩竟用一个数学问题 揭穿了一个倾世谎言
西游记中，取经路上，妖怪们一提到孙悟空，很多时候都说过这样一句话：五百年前，大闹天宫
的齐天大圣。
五百年前，是如何计算的，我们不得而知。但是在唐僧将孙悟空从五指山救出后，路过一家农舍
时，主人说过一段话：先年间曾闻得老人家说：“王莽篡汉之时，天降此山，下压着一个神猴，不
怕寒暑，不吃饮食，自有土神监押，教他饥餐铁丸，渴饮铜汁。”
王莽篡汉，是公元8年--23年，而唐僧从大唐出发的时间，是公元639年(贞观十三年)，按照五指
山降落时间是在23年计算，这是616年，五百年从何而来，难道堂堂的吴承恩不会算数，或者是
历史不好吗
现在问题就出现在悟空身上!悟空在五行山下，度日如年，时间对他来说已没有什么意义!像他这
种情况是记不住时间的，更不用说是6百多年这么长的时间了!
因此悟空说;如来把我压在此山，五百余年了!这个时间是有人告诉他的!能告诉他的，只有是给悟
空饥餐铁丸，渴饮铜汁的土地山神!
至于土地，山神的动机是什么 看过“天上一天，地上一年是谬论”的朋友应该知道(百度一下都知
道)，他们的动机就是圆谎!
其实悟空去地府时是三百四十二岁，出地府后每日聚乐加去天庭当官大概一百多天，再压山下是
六百多年，悟空出五行山真实的岁数大概是1千岁不到!
如果加上天上一天，地上一年的说法，悟空的岁数大概就是1100多岁了，那么悟空就会和时间脱
轨!也就是悟空无辜多了100多岁!那么悟空知道事实后就会揭穿天上一天，地上一年的谎言!
现在土地，山神把630年说成500来年，就是弥补悟空在天上当齐天大圣时的这段时间!
西游记里明确告诉我们;神也好，佛也好!是要靠天下四大部洲瞻仰的，也就是靠人信仰的，如果
我们知道我们所信仰的神在骗我们，我们还会相信神吗 因此如来明知道天上一天，地上一年是
谎言!他不但不揭穿，而且还说山中方七日，世上已千年!用来得到更多人的瞻仰!
五、巩固加油站
巩固1
下列计算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
巩固2
若 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
巩固3
若 的积不含 的一次项和二次项，求 ．
巩固4
若多项式 与 的积的结果中 项的系数为 ，求 的值．
巩固5
先化简，再求值： ，其中 ， ．
巩固6
计算： ．
巩固7
计算： ．
巩固8
已知关于 的多项式 除以 的商是 ，余式是 ，求 、 的值．
巩固9
如图：有足够的长方形和正方形卡片，如果拼成的长方形（不重叠无缝隙）的长和宽分别是
和 ，若应选取 号卡片 张、 号卡片 张、 号卡片 张，则 ．
巩固10
乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图 的三种纸片， 种纸片边长为 的正方形， 种纸片是边
长为 的正方形， 种纸片是长为 、宽为 的长方形．并用 种纸片一张， 种纸片一张， 种纸片
两张拼成如图 的大正方形．
图
图
（1） 请用两种不同的方法求图 大正方形的面积．
方法 ： ；方法 ： ．
（2） 观察图 ，请你写出下列三个代数式： ， ， 之间的等量关系： ．
（3） 类似的，请你用图 中的三种纸片拼一个图形验证： ．
（4） 根据（ ）题中的等量关系，解决如下问题：
1 已知： ， ，求 的值．
2 已知 ，求 的值．第16讲 整式的乘法和除法
一、整式的乘法
知识导航
1. 单项式与多项式相乘
法则 运算步骤 举例
单项式乘单项式 单项式与单项式相乘， （1）系数相乘，结果
把它们的系数、 作为积的系数；
同底数幂分别相乘，对 （2）同底数幂相乘，
于只在一个单 所 得 结 果 作 为 积 的 因
项式里含有的字母，则 式；
连同它的指数 （3）只有一个单项式
作为积的一个因式 里含有的字母，连同字
母的指数作为积
的一个因式
温馨提示 （1）单项式乘单项式的结果仍是单项式．
（2）法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则．
（3）同底数幂相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”
来计算，不要与合并同类项混淆．
（4）单项式乘单项式的法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适
用．
（5）注意运算顺序：先算乘方，再算乘法．
2. 单项式与多项式相乘
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即
.
温馨提示
①单项式与多项式相乘，实质是利用分配律将其转化为前面学过的单项式乘单项式。
②单项式乘多项式的每一项时，不要漏乘。
③计算时易出现符号错误，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。
④单项式乘多项式，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。
3. 多项式与多项式相乘
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所
得的积相加。
温馨提示
①要用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，不能有遗漏。
②多项式乘多项式，实际上是转化为单项式乘单项式的运算来完成的，
③多项式的每一项都包括其前面的符号，并作为项的一部分参与运算。
④多项式与多项式相乘的结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的
积。
⑤结果中若有同类项，则要合并，所得的结果必须化为最简的形式。
经典例题
例题1
1 计算： ．
答案
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 整式的乘除运算 > 题型：整式乘除的综合
2 计算： ．
答案
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 整式的乘除运算 > 题型：整式乘除的综合
3 计算： ．
答案 ．
解析 原式 ．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 整式的乘除运算 > 题型：单乘多
4 ．
答案 ．
解析 略．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 整式的乘除运算 > 题型：单乘多
5 ．
答案 ．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 整式的乘除运算 > 题型：整式乘除的综合
6 ．
答案 ．
解析 略
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 乘法公式 > 题型：和与差的立方公式
例题2
1 先化简，再求值： ，其中 ．
答案 ．
解析 原式
．
当 时，原式 ．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 整式乘除化简求值 > 题型：整式乘除条件化简求值
2 已知 ，先化简，再求值： ．
答案 ， ．
解析 原式
．
∵ ，
∴原式 ．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 整式乘除化简求值 > 题型：整体代入化简求值
例题3
1 若 ，求 的值．
答案 ．
标注 【题型】 式 > 整式加减 > 整式的加减运算 > 题型：无关项求值
2 为使 与 的乘积中不含 和 项，求 、 的值．
答案 ， ．
解析 ∵
．
∵乘积中不含 与 项，
∴ ， ，
∴ ， ．
标注 【题型】 式 > 整式加减 > 整式的加减运算 > 题型：无关项求值
3 如图，正方形卡片 类， 类和长方形卡片 类若干张，如果要拼成一个长为 ，宽为
的大长方形，则需要 类卡片多少张？
类
类 类
答案
解析 大长方形面积为：
，
∵ 类卡片面积为 ，
∴需要 张 类卡片．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 整式的乘除运算 > 题型：多乘多
例题4
小明同学用四张长为 ，宽为 的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张
相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．
（1） 通过计算小正方形面积，可推出 ， ， 三者的等量关系式为： ．
（2） 利用（ ）中的结论，试求：当 ， 时， ．
（3） 利用（ ）中的结论，试求：当 时，求 的值．
答案 （1）
（2）
（3） ．
解析 （1） 根据图形面积可得： ．
故答案为： ．
（2） ，
故答案为： ．
（3） 设 ， ，则 ， ．
所以
．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 乘法公式 > 题型：完全平方公式的几何背景
二、整式的除法
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1. 单项式除以单项式
法则 实质 步骤 举例
单 项 单项式与单项式相除， 把单项式除法 (1)系数相除的结果作为商
式 除 把系数与同底数幂分别 转化成有理数 的系数；(2)同底数幂
以 单 相除作为商的因式，对 除法和同底数 分别相除，所得的结果作为
项式 于只在被除式里含有的 幂的除法 商的因式；
字母，则连同它的指数 (3)只在被除式里出现的字
作为商的一个因式 母，连同它的指数作为商的
因式
注 意 (1）法则包含三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，
事 项 连同它的指数作为商的注意事项一个因式．
(2）①运算中的单项式的系数包括它前面的符号；②不要遗漏只在被除式中含有的字母
2. 多项式除以单项式
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。如：
（ ） .
温馨提示
①这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，单项式除以多项式则不适用。如：
（ ） .
②法则的实质就是把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算。
③在计算时，多项式各项要包括前面的符号，商的各项的符号由多项式中各项的符号与单项式的
符号所决定。
④在进行多项式除以单项式的计算时不要漏项，所得结果的项数应与被除式的项数相同。
⑤当被除式中有一项与除式相同时，相除后所得的商是 而不是 .
经典例题
例题5
1 计算： ．
答案
解析 ．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 整式的乘除运算 > 题型：单除单
2 计算： = .
答案
解析 原式 ．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 乘法公式 > 题型：整式乘除的综合
3 计算： ．
答案
解析 此题为多项式除以单项式 ．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 整式的乘除运算 > 题型：多除单
4 计算： ．
答案
解析 将 看作一个整体，
．
故答案为： ．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 整式的乘除运算 > 题型：多除多
例题6
1 已知 ，求 ．
答案 ．
解析 略．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 整式的乘除运算 > 题型：大除法
2 已知多项式 的除式为 ，商式为 ，余式为 ，求 、 的值．
答案 ．
解析 由已知可列： ，
解得 ．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 整式的乘除运算 > 题型：整式乘除的综合
三、学霸笔记
四、数学万花筒
吴承恩竟用一个数学问题 揭穿了一个倾世谎言
西游记中，取经路上，妖怪们一提到孙悟空，很多时候都说过这样一句话：五百年前，大闹天宫
的齐天大圣。
五百年前，是如何计算的，我们不得而知。但是在唐僧将孙悟空从五指山救出后，路过一家农舍
时，主人说过一段话：先年间曾闻得老人家说：“王莽篡汉之时，天降此山，下压着一个神猴，不
怕寒暑，不吃饮食，自有土神监押，教他饥餐铁丸，渴饮铜汁。”
王莽篡汉，是公元8年--23年，而唐僧从大唐出发的时间，是公元639年(贞观十三年)，按照五指
山降落时间是在23年计算，这是616年，五百年从何而来，难道堂堂的吴承恩不会算数，或者是
历史不好吗
现在问题就出现在悟空身上!悟空在五行山下，度日如年，时间对他来说已没有什么意义!像他这
种情况是记不住时间的，更不用说是6百多年这么长的时间了!
因此悟空说;如来把我压在此山，五百余年了!这个时间是有人告诉他的!能告诉他的，只有是给悟
空饥餐铁丸，渴饮铜汁的土地山神!
至于土地，山神的动机是什么 看过“天上一天，地上一年是谬论”的朋友应该知道(百度一下都知
道)，他们的动机就是圆谎!
其实悟空去地府时是三百四十二岁，出地府后每日聚乐加去天庭当官大概一百多天，再压山下是
六百多年，悟空出五行山真实的岁数大概是1千岁不到!
如果加上天上一天，地上一年的说法，悟空的岁数大概就是1100多岁了，那么悟空就会和时间脱
轨!也就是悟空无辜多了100多岁!那么悟空知道事实后就会揭穿天上一天，地上一年的谎言!
现在土地，山神把630年说成500来年，就是弥补悟空在天上当齐天大圣时的这段时间!
西游记里明确告诉我们;神也好，佛也好!是要靠天下四大部洲瞻仰的，也就是靠人信仰的，如果
我们知道我们所信仰的神在骗我们，我们还会相信神吗 因此如来明知道天上一天，地上一年是
谎言!他不但不揭穿，而且还说山中方七日，世上已千年!用来得到更多人的瞻仰!
五、巩固加油站
巩固1
下列计算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
答案 D
解析 略．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 整式的乘除运算 > 题型：整式乘除的综合
巩固2
若 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 整式的乘除运算 > 题型：多乘多
巩固3
若 的积不含 的一次项和二次项，求 ．
答案 ．
解析 由题可得：
原式
．
∵ 的积不含 的一次项和二次项，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
标注 【题型】 式 > 整式加减 > 整式的加减运算 > 题型：无关项求值
巩固4
若多项式 与 的积的结果中 项的系数为 ，求 的值．
答案
解析
∵ 的系数为 ，
∴
∴ .
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 整式的乘除运算 > 题型：整式乘除的综合
巩固5
先化简，再求值： ，其中 ， ．
答案
解析 原式
，
将 ， 代入得：
原式 ．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 整式乘除化简求值 > 题型：直接代入化简求值
巩固6
计算： ．
答案
解析
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 整式的乘除运算 > 题型：多除单
巩固7
计算： ．
答案
解析 略．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 整式的乘除运算 > 题型：整式乘除的综合
巩固8
已知关于 的多项式 除以 的商是 ，余式是 ，求 、 的值．
答案 ，
解析 ，
∴ ，
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 整式的乘除运算 > 题型：整式乘除的综合
巩固9
如图：有足够的长方形和正方形卡片，如果拼成的长方形（不重叠无缝隙）的长和宽分别是
和 ，若应选取 号卡片 张、 号卡片 张、 号卡片 张，则 ．
答案
解析 ∵ ，
∴需要用 号卡 张， 号卡 张， 号卡 张，
∴ ；
故答案为： ．
标注 【题型】 式 > 整式加减 > 整式的加减运算 > 题型：整式加减
巩固10
乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图 的三种纸片， 种纸片边长为 的正方形， 种纸片是边
长为 的正方形， 种纸片是长为 、宽为 的长方形．并用 种纸片一张， 种纸片一张， 种纸片
两张拼成如图 的大正方形．
图
图
（1） 请用两种不同的方法求图 大正方形的面积．
方法 ： ；方法 ： ．
（2） 观察图 ，请你写出下列三个代数式： ， ， 之间的等量关系： ．
（3） 类似的，请你用图 中的三种纸片拼一个图形验证： ．
（4） 根据（ ）题中的等量关系，解决如下问题：
1 已知： ， ，求 的值．
2 已知 ，求 的值．
答案 （1） 1:
2:
（2）
（3） 画图见解析．
（4） 1 ．
2 ．
解析 （1） 图 大正方形的面积 ，
图 大正方形的面积 ．
故答案为： ， ．
（2） 由题可得 ， ， 之间的等量关系为： ．
故答案为： ．
（3） 如图所示，
（4） 1 ∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
2 设 ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ．
标注 【题型】 式 > 整式的乘除 > 乘法公式 > 题型：完全平方公式的几何背景

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