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第1讲乘法公式初步
平方差公式
知识导航
【语言叙述】两数和与这两数差的积，等于它们的平方差·
【字母表达式】(a+b)(a-b)=a2-2
【代数证明】(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-=a2-
【几何证明】
【注】公式中的字母“a"“b可以表示数，也可以表示式子.
经典例题
例题1
从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其截成四个相同的等腰梯
形，然后拼成一个平行四边形，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为
().
A.(a-6)2=a2-2
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a+b)(a-b)=a2-2
D.(a-b)2=a2-2ab+b2
答案
C
解析
阴影部分的面积相等，即甲的面积=a2-b2,乙的面积=(a+)(a-).
即：a2-2=(a+b)(a-b),
所以验证成立的公式为：aw2-=(a+)(a-)·
2
下列各式中，不能用平方差公式计算的是()·
A.(4e-3y(-3y-4x)
B.(2x2-2)(2x2+）
C.(a+6-c)(-c-6+a)
D.（-x+(e-)
答案
D
解析
D选项可改写为-(x一(e一)=-（一）2，不满足平方差公式的条件，
故选D,
兮平方差公式的计算
例题2
计算：
(1）(-3a+4b)(-3a-4b).
(2)(n+)(合n-）
(3）(2m2-3n)（-3n-2m2)
(4)(e+)(e+)(-)
答案
(1)9a2-1662.
(2)-m2
(3）9n2-4m4.
(4)-
16
解析
(1)略.
(2)略.
(3)略
(4)略.
平方差公式的应用
例题3
(2a+2b+1)(2a+26-1)=63,那么a+b=一·
答案
士4
解析
.(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,
(2a+2b)2-1=63,
4(a+b)2-1=63,
∵.(a+b)2=16,
,a十b=±4.
故答案为：士4.
2
计算：(1+2)(1+22)(1+2)(1+2)
答案
216-1.
解析
原式=(2-1)(2+1)(2+1)(24+1)(28+1)÷(2-1)
=(22-12)(22+1)(24+1)(28+1)
=(24-14)(24+1)(28+1)
=(28-18)(28+1)
=216-1.
3
计算：(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1).
答案
332-1
解析
略
二、
完全平方公式
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1基本概念
【语言叙述】两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍
【字母表达式】(a±b)2=a2±2ab+b2
【代数证明】(a+b)2-(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
(a-b)2=(a -b)(a -b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
【几何证明】
2.关于完全平方公式的重要变形：
a2+b=(a+b)2-2ab
a2+2=(a-b)2+2ab
(a+b)2=(a-b)2+4ab
ab-il(Ga+-(a-]
【注】公式中的字母“a”、“b”可以表示数，也可以表示式子.第1讲乘法公式初步
平方差公式
公知识导航
【语言叙述】两数和与这两数差的积，等于它们的平方差·
【字母表达式】(a+b)(a-b)=a2-2
【代数证明】(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b=a2-
【几何证明】
【注】公式中的字母“a"“b可以表示数，也可以表示式子
经典例题
例题1
1
从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其截成四个相同的等腰梯
形，然后拼成一个平行四边形，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为
().
A.(a-6)2=a2-
B.(a +8)2=a2+2ab+82
C.(a+b)(a-b)=a2-
D.(a-b)2=a2-2ab+b2
2
下列各式中，不能用平方差公式计算的是()·
A.(4e-3y)(-3y-4x)
B.(2ax2-2y2)(2x2+2)
C.(a+6-c)(-c-6+a)
D.（-花+)(e-
《平方差公式的计算
例题2
计算：
（1）（-3a+46)(-3a-46)
(2)(Gm+)(Gn-n）
(3）(2m2-3m)(-3n-2m2).
(4)（e+)(e+)(e-)
公平方差公式的应用
例题3
(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么a+b=
2
计算：(1+2)(1+2)(1+2)(1+28)
3
计算：(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
二、
完全平方公式
知识导航
1基本概念
【语言叙述】两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍.
【字母表达式】(a±b)2=a2±2ab+b2
【代数证明】(a+b)2(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
(a -b)2=(a-b)(a -b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
【几何证明】
2.关于完全平方公式的重要变形：
a2+b=(a+b)2-2ab
a2+=(a-b)2+2ab
(a+)2=(a-b)2+4ab
a-il(a+o)-(a-b)]
【注】公式中的字母“a”、“b可以表示数，也可以表示式子.
a+b、a~b、ab、a2+2四个式子中已知其中两个式子的值，可求另外两个式子的值，简称“知二
求二”
3.倒数型问题一形如a士二的计算
需熟记两个公式：
=a2+
1
a十-
+2
1
a-a)
=a2+
-2
【注】在含有a士上的计算中，除了已知条件外，还隐藏有一已知条件，即a·1=1,所以倒数型
a
问题实质上也是知二求二的题型
经典例题

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