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第7讲全等三角形综合
利用全等三角形证明边角相等
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要证明边角相等，我们可以先证明边角所在的两个三角形全等，从而通过全等三角形的对应边相
等、对应角相等来证明结论·
经典例题
例题1
如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2.
求证：BC=DE
例题2
如图，已知∠A=∠D=90°，AC=BD,求证：∠ACB=∠DBC.
D
例题3
如图，已知AB=CD,AELBD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BF=DE,求证：AB/CD.
二、二次全等
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有时候我们要证两个三角形全等，直接证明不出来，那么可能会先利用已知条件证明第一次全
等，从而得到一些我们想要的结论，再证明第二次全等，
经典例题
例题4
如图所示，已知AB=AD,BC=DC,E是AC上一点.求证：BE=DE.
A
E
例题5
已知：如图，AC与BD交于O点，AB/DC,AB=DC.若过O点作直线！，分别交AB、DC于E
、F两点，求证：OE=OF,
三、简单辅助线的构造
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有时候我们需要添加简单的辅助线来构造全等三角形去证明结论
《经典例题
例题6
如图，AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD的中点.求证：AF⊥CD
F
例题7
如图，已知AD=BC,AB=DC,求证：∠A=∠C,
例题8
如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F,连接CD,EB
.求证：CF=EF.
B
四、数学万花筒
两个面积一样的三角形，为什么会少了一块
这2个三角形看似是1个完整的三角形其实并不是2个三角形中蓝色的三角形的角度数并不等于红
色的蓝色的横隔占5个竖隔占2个，较小角的正切值是2/5.而红色的横隔占8个，竖隔占3个，
较小角的正切值是3/8.所以他两的角度数根本不一样，所以拼起来的就不是三角形了，应该是
四边形
三角形斜边的斜率不一样：
一个是5：2，另一个是8：3
看起来是三角形，实际上斜边有拐弯的
应该是个四边形
设每一个小单元格的边长为1
第一个图中黄色加绿色部分的总面积是3×5=15
第二个图中黄色加绿色加上部分的总面积是2×8=16
所以正好多出一个小单元格的面积
看起来是一样的
但整个三角形的斜边是不平直的
因为两个三角形的模块倾斜度都不同，即斜率不同
通过集合拼凑后就成了上面的视觉错位了
五、巩固加油站
巩固1
如图所示，已知线段AC与BD交于点O,AB=DC,AC=DB,求证∠1=∠2·第7讲全等三角形综合
利用全等三角形证明边角相等
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要证明边角相等，我们可以先证明边角所在的两个三角形全等，从而通过全等三角形的对应边相
等、对应角相等来证明结论·
经典例题
例题1
如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2.
求证：BC=DE
答案
证明见解析·
解析
.∠1=∠2，
.∠DAC+∠1=∠2+∠DAC
,∴.∠BAC=∠DAE,
在△ABC和△ADE中，
I∠B=∠D
AB-AD
∠BAC=∠DAE
,'.△ADE≌△ABC(ASA),
.∴BC=DE
例题2
如图，已知∠A=∠D=90°，AC=BD,求证：∠ACB=∠DBC,
答案
证明见解析.
解析
.∠A=∠D=90°，
,∴.△ABC和△DCB均为直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
BC=BC
AC=BD'
'Rt△ABC≌Rt△DCB(Π)，
'.LACB=∠DBC
故答案为：∠ACB=∠DBC.
例题3
如图，已知AB=CD,AELBD,CFLBD,垂足分别为E,F,BF=DE,求证：AB/CD
D
答案
证明见解析
解析
AE⊥BD,CF⊥BD,
∴.∠AEB=∠CFD=90°，
.BF=DE,
'BF十EF=DE+EF,
即BE=DF,
在Rt△AEB和Rt△CFD中，
{8B=6
.'Rt△AEB≌Rt△CFD(Ⅲ)，
∴∠B=∠D,
∴AB/CD
二、二次全等
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有时候我们要证两个三角形全等，直接证明不出来，那么可能会先利用已知条件证明第一次全
等，从而得到一些我们想要的结论，再证明第二次全等.
经典例题
例题4
如图所示，已知AB=AD,BC=DC,E是AC上一点.求证：BE=DE.
D
A
B
答案
证明见解析
解析
方法一：根据$SS易得△ABC≌△ADC,进而得LBAE=∠DAE
根据$AS易得△ABE≌△ADE,进而得BE=DE.
AB=AD
方法二：在△ACD和△ACB中
BC=DC
AC=AC
∴.△ACD≌△ACB(SSS),
(AB-AD
'.∠DAE=∠BAE,在△AED和△AEB中
∠DAE=∠BAE
AE-AE
'.△AED≌△AEB(SAS),∴BE=DE.
例题5
已知：如图，AC与BD交于O点，AB/DC,AB=DC.若过O点作直线！，分别交AB、DC于E
、F两点，求证：OE=OF,
答案
证明见解析
解析
.AB/DC,∴∠A=∠C,
在△AOB和△COD中，
I∠AOB=LCOD
∠A=∠C
AB-CD
,'.△AOB≌△COD(AAS),
.∴A0=C0
在△AOE和△COF中，
T∠AOE=∠C0F
AO=CO
∠A=LC
,∴.△AOE≌△COF(ASA),
∵0E=0F.
三、
简单辅助线的构造
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有时候我们需要添加简单的辅助线来构造全等三角形去证明结论
经典例题

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