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专题十七 简谐运动和机械波
重点难点
1．简谐运动特点?
①研究简谐运动，通常以平衡位置为坐标原点．?
②对称性：在振动轨迹上关于平衡位置对称的两点，位移、回复力、加速度等大反向；速度等大，方向可能相同，也可能相反；动能、速率等大；振动质点从平衡位置开始第一次通过这两点所用的时间相等．?
③周期性：简谐运动是周期性运动，其位移、速度、加速度、回复力、动能和势能都随时间作周期性变化．?
2．振动图象?
振动图象反映的是一个质点的位移随时间的变化规律，由图象可直接读出振幅、周期和任意时刻的运动方向．?
由于振动的周期性和非线性，在从任意时刻开始计时的一个周期内或半周期内，质点运动的路程都相等(分别为4A和2A)，但从不同时刻开始计时的四分之一周期内，质点运动的路程是不一定相等的．?
3．单摆?
①单摆周期与高度关系?
设地球质量为M时，半径为R，地球表面的重力加速度为g0．离地面高h处重力加速度为g，单摆的质量为m，忽略地球自转的影响，则有
因此可得单摆在高为h处的周期T与地面处周期T0的关系为?
　　或　
②单摆周期与不同行星的关系?
把单摆分别置于质量为M1、M2，半径为R1、R2的两行星表面上，其周期分别为T1和T2，重力加速度分别为g1、g2，忽略行星自转影响，则有?
，　　
4．波动过程具有时间和空间的周期性?
介质在传播振动的过程中，介质中每一个质点相对于平衡位置的位移随时间作周期性变化，这体现了时间的周期性；另一方面，每一时刻，介质中沿波传播方向上各个质点的空间分布具有空间周期性．如相距波长整数倍的两个质点振动状态相同，即它们在任一时刻的位移、速度及相关量均相同；相距半波长奇数倍的两个质点振动状态相反，即它们在任一时刻的位移、速度及相关量均相反．?
5．有关波的图象的计算?
①计算的主要依据有：υ==＝λ·f及Δx=υ·Δt，式中Δx为Δt时间内波沿传播方向传播的距离．
②计算的关键是确定波传播的距离Δx与λ的关系，Δt与T的关系．求Δx方法之一是在图象中用平移波形来表示．若知道t1、t2两时刻的波形，将t1时刻的波形沿传播方向平移．直到与t2时刻的波形重合，设平移的距离最少为ΔL，则Δx=nλ+ΔL
(注意：当不知传播方向时，t1时的波形可能向两个方向移动，Δx有二解).?
③双向性与重复性是波的两个基本特征，这两个特征决定了波问题通常具有多解性．为了准确地表达波的多解性，通常先写出含有“n”或“k”的通式，再结合所需要的特解，这样可有效地防止漏解．?
6．由波的图象判定质点振动方向或波的传播方向?
①“带动”法?
如果已知某质点的振动方向，在波的图象中找一个与它紧邻的另一质点，分析这两个质点哪一个先振，先振的质点靠近振源，从而判断出波的传播方向．?
反之，如果知道了波的传播方向，也就知道了振源在哪一侧，再找一个与所研究的质点紧邻且靠近振源的质点，这个质点先振，由此判断所研究质点的振动方向．?
②微平移法?
规律方法
【例1】一列简谐机械横波某时刻的波形图如图所示，波源的平衡位置坐标为x=0，当波源质点处于其平衡位置上方且向下运动时，介质中平衡位置坐标x=2m的质点所处位置及运动情况是 　　 　( A )
A．在其平衡位置下方且向上运动?
B．在其平衡位置下方且向下运动?
C．在其平衡位置上方且向上运动?
D．在其平衡位置上方且向下运动
训练题一列简谐横波沿x轴传播.t=0时的波形如图所示，质点A与质点B相距1m,A点速度沿y轴正方向;t=0.02s时，质点A第一次达正向最大位移处，由此可知 ( AB )
A．此波的传播速度为25m/s?
B．此波沿x轴负方向传播?
C．从t=0时起，经过0?04s，质点A沿传播方向迁移了1m?
D．t=0.04s时，质点B处在平衡位置，速度沿y轴负方向?
【例2】一列沿x轴正方向传播的简谐横波，t=0时刻的波形如图中实线所示，t=0.2s时刻的波形如图中的虚线所示，则 ( C )?
A．物质P的运动方向向右?
B．波的周期可能为0.27s?
C．波的频率可能为1.25Hz?
D．波的传播速度可能为20m/s?
训练题1　图中实线和虚线分别是x轴上向右传播的一列简谐横波在t=0和?t=0.03s时刻的波形图，x=1.2m处的质点在t=0.03s时刻向y轴正方向运动，则 ( A )?
A．该波的频率可能是125Hz?
B．该波的波速可能是10m/s?　　　　　　　　　　　　　　
C．t=0时x=1.4m处质点的加速度方向沿y轴正方向?
D．各质点在0.03s内随波迁移0.9m?　　
训练题2　有一列沿水平方向传播的简谐横波，频率为10Hz，振动方向沿竖直方向，当绳上的质点P到达其平衡位置且向下运动时，其右方向相距0.6m处的质点Q刚好到达最高点，由此可知波速和传播方向可能是 ( BC )?
A．8m/s向右传播? B．8m/s向左传播?
C．24m/s向右传播 ?D．24m/s向左传播?
【例3】如图所示，实线表示两个相干波源S1、S2发出的波的波峰位置，则图中的 b 点为振动加强的位置，图中的 a 点为振动减弱的位置.?
训练题如图所示为两列频率相同的水波在t＝0时刻的叠加情况，图中实线表示波峰，虚线表示波谷，已知两列波的振幅均为2 cm（且在图示范围内振幅不变），波速为2 m/s，波长为0.4 m，E点是BD连线和AC连线的交点，下列说法正确的是 （AB）
A．A、C两点是振动减弱点，
B．E点是振动加强点，
C．B、D两点在该时刻的竖直高度差为4 cm，
D．t＝0.05 s时，E点离平衡位置的位移大小为2 cm。
【例4】A、B两列波在某时刻的波形如图所示，经过t=TA时间(TA为波A的周期)，两波再次出现如图波形，则两波的速度之比υA∶υB可能是 ( ABC )?
A．1∶3 B．1∶2
C．2∶1 D．3∶1
训练题一条弹性绳子呈水平状态，M为绳子中点，两端P、Q同时开始上下振动，一小段时间后产生的波形如图，对于其后绳上各点的振动情况，以下判断正确的是 （ AD ）
A．两列波将同时到达中点M
B．两列波的波速之比为l∶2
C．中点M的振动是加强的
D．M点的位移大小在某时刻可能为零
　　　　　　　　　　　　　　　
能力训练
1．下列说法中正确的是 （AC）
A．做简谐运动的物体，经过同一位置的动能总相同
B．做简谐运动的物体，经过同一位置的动量总相同
C．做简谐运动的物体，在半个周期内回复力做功一定为零
D．做简谐运动的物体，在半个任一周期内回复力的冲量一定为零
2．如图一轻弹簧与一物体组成弹簧振子，物体在同一条竖直线上的A、B间作简谐振动，O点为平衡位置，C为AO的中点，已知OC=h，振子周期为T，某时刻物体恰好经过C点并向上运动，则从此时刻开始计时 （ BD ）
A．t=T/4时刻，物体回到C点
B．△t=T/2时间内，物体运动的路程为4h
C．t=3T/8时刻，物体的振动位移为0
D．t=3T/8时刻，物体的振动速度方向向下
3．如图单摆摆球为带正电的玻璃球，摆长为且不导电，悬挂于O点。当摆球摆过竖直线OC时便进入或离开一匀强磁场，此磁场的方向与单摆摆动平面垂直．在摆角α<10°的情况下，摆球沿着AB弧来回摆动，下列说法正确的是 （ABC）
A．图中A点和B点处于同一水平面上
B．单摆摆动的周期
C．在A点和B点，摆线的张力一样大
D．单摆向左或向右摆过C点时摆线的张力一样大
4．声波属于机械波．下列有关声波的描述中正确的是 ( C )
A.同一列声波在各种介质中的波长是相同的
B.声波的频率越高，它在空气中传播的速度越快
C.声波可以绕过障碍物传播，即它可以发生衍射
D.人能辨别不同乐器同时发出的声音，证明声波不会发生干涉
5．一列简谐横波沿x轴负方向传播，如图 (甲)所示，是t=1s时的波形图，图 (乙)是波中某振动质元位移随时间变化的振动图线(两图用同一时间起点)，则（乙）可能是图 (甲)中哪个质元的振动图线 ( A )
A．x=0处的质元 　 　B．x=1m处的质元　
C．x=2m处的质元　 D．x=3m处的质元
　　　　　
　　　　　　
6．.如图所示，波源S从平衡位置y=0开始振动，运动方向竖直向上(y轴的正方向)，振动周期T=0.01s，产生的简谐波向左、右两个方向传播，波速均为υ=80m/s．经过一段时间后，P、Q两点开始振动，已知距离SP=1.2m、SQ=2.6m．若以Q点开始振动的时刻作为计时的零点，则在图的振动图象中，能正确描述P、Q两点振动情况的是 ( AD )
A. 甲为Q点振动图象 B. 乙为Q点振动图象
C．丙为P点振动图象 D. 丁为P点振动图象
7．如图所示，一列简谐横波在x轴上传播，轴上a、b两点相距12m.t=0时a点为波峰，b点为波谷；t=0.5时，a点为波谷，b点为波峰．则下列判断中正确的是 ( BD )
A. 波一定沿x轴正方向传播 B. 波长可能是8m
C. 周期可能是0.5s D. 波速一定是24m/s 　
8．如图所示，一列横波t时间的图象用实线表示，又经Δt=0.2s时的图象用虚线表示．已知波长为2m，则以下说法不正确的是 ( B )
A. 若波向右传播，则最大周期是2s
B. 若波向左传播，则最大周期是2s
C. 若波向左传播，则最小波速是9m/s
D.若波速是19m/s，则传播方向向左
9．.弹性绳上有间距均为1m的6个质点a、b、c、d、e、f，一列横波从左向右传播，在t=0时到达质点a，2s后的波形如图所示．则在5s＜t＜6s这段时间内 （BC）
A．质点c的加速度逐渐增大 B．质点a的速度逐渐增大
C．质点d向下运动 D．质点f加速度向上
10．如图所示为两列简谐横波在同一条绳上传播时某时刻的波形图，M为绳上x=0．2m处的质点，则下列说法正确的是 （ AC ）
A. 这两列波将发生干涉现象，质点M的振动始终加强
B. 由图示时刻开始，再经甲波周期的1/4，M将位于波峰
C. 甲波的速度v1与乙波的速度v2一样大
D. 因波的周期未知，故两列波波速的大小无法比较
11．.学过单摆的周期公式以后，物理兴趣小组的同学们对钟摆产生了兴趣，老师建议他们先研究用厚度和质量分布均匀的方木块（如一把米尺）做成的摆（这种摆被称为复摆），如图所示。让其在竖直平面内做小角度摆动，C点为重心，板长为L，周期用T表示。
甲同学猜想：复摆的周期应该与板的质量有关。
乙同学猜想：复摆的摆长应该是悬点到重心的距离L/2。
丙同学猜想：复摆的摆长应该大于L/2。
理由是：若OC段看成细线，线栓在C处，C点以下部分的重心离O点的距离显然大于L/2。
为了研究以上猜想是否正确，同学们进行了下面的实验探索：
(1)把两个相同的木板完全重叠在一起，用透明胶（质量不计）粘好，测量其摆动周期，发现与单个木板摆动时的周期相同，重做多次仍有这样的特点。则证明了甲同学的猜想是_____ 的（选填“正确”或“错误”）。
(2)用T0表示板长为L的复摆看成摆长为L/2单摆的周期计算值（T0=2π），用T表示板长为L复摆的实际周期测量值。计算与测量的数据如下表：
板长L/cm 25 50 80 100 120 150
周期计算值T0/s 0.70 1.00 1.27 1.41 1.55 1.73
周期测量值T/s 0.81 1.16 1.47 1.64 1.80 2.01
由上表可知，复摆的等效摆长 L/2（选填“大于”、“小于”或“等于”）。
答案：（1）错误；（2）大于
12．.弦乐器小提琴是由两端固定的琴弦产生振动而发音的，如图甲所示，为了研究同一根琴弦振动频率与哪些因素有关，可利用图乙所示的实验装置，一块厚木板上有AB两个楔支撑着琴弦，其中A楔固定，B楔可沿木板移动来改变琴弦振动部分的长度，将琴弦的末端固定在木板O点，另一端通过滑轮接上砝码以提供一定拉力，轻轻拨动琴弦，在AB间产生振动。
（1）先保持拉力为150N不变，改变AB的距离L（即改变琴弦长度），测出不同长度时琴弦振动的频率，记录结果如表1所示．
表1
长度大小L /m 1.00 0.85 0.70 0.55 0.40
振动频率f /Hz 150 176 214 273 375
从表1数据可判断在拉力不变时，琴弦振动的频率f与弦长L的关系为_________。
（2）保持琴弦长度为0.80m不变，改变拉力，测出不同拉力时琴弦振动的频率，记录结果如表2所示。
表2
拉力大小F /N 360 300 240 180 120
振动频率f /Hz 290 265 237 205 168
从表2数据可判断在琴弦长度不变时，琴弦振动的频率f与拉力F的关系为__________。
（3）综合上述两项测试可知当这根琴弦的长为0.75m，拉力为225N时，它的频率是_______Hz（精确到个位数）。
（4）如果在相同的环境中研究不同种类的小提琴琴弦，除了长度L和拉力F以外，你认为还有哪些因素会影响琴弦振动的频率
试列举可能的两个因素：________________________________________。
答案：（1）频率f与弦长L成反比
（2）频率f与拉力F的平方根成正比
（3）245Hz
（4）在上述相同的环境中，影响弦振动频率还可能与弦本身的结构有关，如弦的半径（即直径、粗细等）或弦的材料（即密度、单位长度的质量等）。
图乙
图甲专题八 带电粒子在复合场中的运动?
重点难点
1．带电粒子在复合场中的常见运动形式：?
①当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，所处状态是静止或匀速直线运动状态；?
②当带电粒子所受合外力只充当向心力时，粒子做匀速圆周运动；?
③当带电粒子所受合外力变化且速度方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动．?
2．注意电场力和洛伦兹力的特性：?
①在电场中的电荷，不论其运动与否，都始终受电场力的作用；而磁场只对运动电荷且速度方向与磁场方向不平行的电荷有洛伦兹力作用；?
②电场力的大小，与电荷运动速度无关，其方向可与电场方向相同或相反；而洛伦兹力的大小与电荷运动的速度有关，其方向始终既与磁场方向垂直，又与速度方向垂直，即垂直于磁场和速度共同决定的平面；?
③从力的作用效果看，电场力既可以改变电荷运动速度的方向，也可以改变速度的大小；而洛伦兹力仅改变电荷运动速度的方向，不能改变速度的大小；?
④从做功和能量转化角度看，电场力对电荷做功，但与运动路径无关，能够改变电荷的动能；而洛伦兹力对电荷永不做功，不能改变电荷的动能．?
3．复合场中运动问题的基本思路：
首先正确的受力分析，其次是场力（是否考虑重力，要视具体情况而定）弹力摩擦力；正确分析物体的运动状态，找出物体的速度、位置及其变化特点，如出现临界状态，要分析临界条件．要恰当地灵活地运用动力学的三大方法解决问题．
规律方法
【例1】如图所示，M、N两平行金属板间存在着正交的匀强电场和匀强磁场，一带电粒子（重力不计）从O点以速度υ沿着与两板平行的方向射入场区后，做匀速直线运动，经过时间t1飞出场区；如果两板间只有电场，粒子仍以原来的速度从O点进入电场，经过时间的t2飞出电场；如果两板间只有磁场，粒子仍以原来的速度从O点进入磁场后，经过时间t3飞出磁场，则t1、t2、t3的大小关系为（　A　）
A．t1 = t2t1>t3　　C．t1 = t2 = t3　　D．t1>t2 = t3?
训练题如图所示，B为垂直于纸面向里的匀强磁场，小球带有不多的正电荷．让小球从水平、光滑、绝缘的桌面上的A点开始以初速度υ0向右运动，并落在水平地面上，历时t1，落地点距A点的水平距离为s1．然后撤去磁场，让小球仍从A点出发向右做初速为υ0的运动，落在水平地面上，历时t2，落地点距A点的水平距离为s2，则下列结论错误的是　（ C ）
A．s1>s2 B．t1>t2?
C．两次落地速度相同 D．两次落地动能相同?
【例2】一带电量为+q、质量为m的小球，从一倾角为θ的光滑斜面上由静止开始滑下．斜面处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于纸面向外，如图所示．求小球在斜面上滑行的速度范围和最大距离．
【解析】以小球为研究对象，分析其受力情况：小球受重力、斜面支持力及洛伦兹力作用．沿斜面方向上，有mgsinθ＝ma
在垂直于斜面方向上，有FN+Ff洛＝mgcosθ
由Ff洛＝qυB，知Ff洛随着小球运动速度的增大而增大．当Ff洛增大到使FN＝0时，小球将脱离斜面
此时Ff洛＝qυmB＝mgcosθ．
所以：υm＝，此即为小球在斜面上运动速度的最大值．
所以：小球在斜面上滑行的速度范围是0≤υ≤
小球在斜面上匀加速运动的最大距离为s＝＝＝．?
训练题如图质量为m的小球A穿在绝缘细杆上，杆的倾角为α，小球A带正电，电量为q，在杆上B点处固定一个电量为Q的正电荷．将A由距B竖直高度为H处无初速释放，小球A下滑过程中电量不变，不计A与细杆间的摩擦，整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g．
（1）A球刚释放时的加速度是多大？?
（2）当A球的动能最大时，A球与B点的距离多大？?
答案：（1）a=gsinα-kQqsin2α/mH2
（2）s=（kQq/mgsinα）1/2
【例3】在如图所示的空间区域里，y轴左方有一匀强电场，场强方向跟y轴负方向成30°角，大小为E = 4．0×105N/C，y轴右方有一垂直纸面的匀强磁场，有一质子以速度υ0 = 2.0×106m/s由x轴上A点（OA = 10cm）第一次沿轴正方向射入磁场，第二次沿x轴负方向射入磁场，回旋后都垂直射入电场，最后又进入磁场，已知质子质量m为1．6×10-27kg，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度；
（2）质子两次在磁场中运动的时间之比；
（3）质子两次在电场中运动的时间各为多少．
【解析】（1）如图所示，设质子第一、第二次由B、C两点分别进入电场，轨迹圆心分别为O1和O2．?
所以：sin30° = ， R = 2×OA?，由B = = 0.1T，得．?
（2）从图中可知，第一、第二次质子在磁场中转过的角度分别为210°和30°，则 = = ?
（3）两次质子以相同的速度和夹角进入电场，所以在电场中运动的时间相同．
由x = υ0t和y = ××t2以及tan30° = ?
由以上解得t = = ×10-7s．
能力训练1．空间存在相互垂直的匀强电场E和匀强磁场B，其方向如图所示．一带电粒子+q以初速度υ0垂直于电场和磁场射入，则粒子在场中的运动情况可能是 （ AD ）
A．沿初速度方向做匀速运动 　　　　
B．在纸平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动
C．在纸平面内做轨迹向下弯曲的匀变速曲线运动
D．初始一段在纸平面内做轨迹向下（向上）弯曲的非匀变速曲线运动
2．如图所示，质量为m、带电量为+q的带电粒子，以初速度υ0垂直进入相互正交的匀强电场E和匀强磁场B中，从P点离开该区域，此时侧向位移为s，粒子重力不计则 （AC ）
A．粒子在P点所受的磁场力可能比电场力大　　
B．粒子的加速度为（qE-qυ0B）/m
C． 粒子在P点的速率为　　　　　　
D． 粒子在P点的动能为mυ02/2-qsE
3．如图所示，质量为m，电量为q的正电物体，在磁感强度为B、方 向垂直纸面向里的匀强磁场中，沿动摩擦因数为μ的水平面向左运动，物体运动初速度为υ，则（ CD ）
A．物体的运动由υ减小到零所用的时间等于mυ/μ（mg+qυB）
B．物体的运动由υ减小到零所用的时间小于mυ/μ（mg+qυB）
C．若另加一个电场强度为μ（mg+qυB）/q、方向水平向左的匀强电场，物体做匀速运动
D．若另加一个电场强度为（mg+qυB）/q、方向竖直向上的匀强电场，物体做匀速运动
4．如图已知一质量为m的带电液滴，经电压U加速后水平进入互相垂直的匀强电场E和匀强磁场B中（E、B已知），液滴在此空间的竖直平面内做匀速圆周运动，则 （ C ）
A．液滴在空间可能受4个力作用 　　　　　　　
B．液滴一定带正电
C．液滴做圆周运动的半径 　　　　
D．液滴在场中运动时总动量不变
5．如图所示，有一个足够大的倾角为θ的光滑绝缘斜面体。在空间加上一个垂直于斜面的匀强磁场，磁感应强度为B，一个质量为m、带电量为＋q的小球，以初速度v0沿斜面向上运动，经过一段时间后，发现小球的速度大小仍然为v0，但方向相反；现将匀强磁场撤去，换成一个平行于be向里的水平匀强电场，场强大小为E，若小球仍以初速度v0沿斜面向上运动，求经过同样的时间后小球的速度大小。（小球的重力与所受电场力、洛伦兹力相比较，忽略不计）
答案：当加一个垂直于斜面的匀强磁场时，带电小球将在斜面内做匀速圆周运动，设半径为r，周期为T。　由牛顿第二定律：qv0B＝mv02/r
而T＝2лr/v0 所以：T＝2лm/qB
由题意，当小球反向时经历的时间为：t＝nT/2＝nлm/qB　（其中n＝1、3、5……）
当撤去磁场换成电场时，小球在电场力和斜面的弹力作用下，沿斜面向上做匀加速直线运动，则：qEcosθ＝ma得：
经历时间t的速度大小：v＝at＝　(其中n＝1、3、5……)　
6．如图所示，在地面附近有一范围足够大的互相正交的匀强电场和匀强磁场．磁感应强度为B，方向水平并垂直纸面向外．一质量为m、带电量为－q的带电微粒在此区域恰好作速度大小为υ的匀速圆周运动．（重力加速度为g）
（1）求此区域内电场强度的大小和方向；
（2）若某时刻微粒运动到场中距地面高度为H的P点，速度与水平方向成45°，如图所示．则该微粒至少须经多长时间运动到距地面最高点？最高点距地面多高？
（3）在（2）问中微粒又运动P点时，突然撤去磁场，同时电场强度大小不变，方向变为水平向右，则该微粒运动中距地面的最大高度是多少 ？
　　答案：（1）带电微粒在做匀速圆周运动，电场力与重力应平衡，因此 mg=Eq
解得： 方向竖直向下
（2）粒子作匀速圆周运动，轨道半径为R，如图所示。
最高点与地面的距离为：
解得：
该微粒运动周期为：
运动到最高点所用时间为：
（3）设粒子升高度为h，由动能定理得：
解得：
微粒离地面最大高度为：
7．如图所示，坐标系xoy在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在x>0的空间里有沿x轴正方向的匀强电场，场强的大小为E，一个带正电的小球经过图中x轴上的A点，沿着与水平方向成θ=300角的斜向下直线做匀速运动，经过y轴上的B点进入x<0的区域，要使小球进入x<0区域后能在竖直面内做匀速圆周运动，需在x<0区域内另加一匀强电场。若带电小球做圆周运动通过x轴上的C点，且OA=OC，设重力加速度为g，求：
（1）小球运动速率的大小。
（2）在x<0的区域所加电场大小和方向。
（3）小球从B点运动C点所用时间及OA的长度。
答案：（1）油滴从A运动到B的过程中，油滴受重力、电场力和洛仑兹力作用而处于平衡状态，由题设条件知： 所以油滴的运动速率为：
（2）油滴在x<0的区域作匀速圆周运动，则油滴的重力与所受的电场力平衡，洛仑兹力提供油滴作圆周运动的向心力。所以： 又
所以 方向竖直向上
（3）如右图所示，连接BC，过B作AB的垂线交x轴于O/。因为∠θ=300，所以在△ABO/中,∠AO/B=600, 又OA=OC 故∠OCB=θ=300, 所以∠CBO/=300，O/C=O/B,
则O/为油滴作圆周运动的圆心。
设油滴作圆周运动的半径为R，周期为T，则O/C=O/B=R 且： 由于∠CO/B=1200 ，油滴从B运动到C的时间为
又∠O/BO=300 所以O/O=O/B=R
所以OC=R+R=R 即OA=
又，所以
8．如图，倾角θ为30°的绝缘正方形斜面abcd，边长为2m，有一质量为m＝0.01kg，带电量q＝C的小滑块，与斜面间的动摩擦因数μ＝，整个装置处在垂直于斜面向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为0.4T，滑块在a点具有沿ac方向、大小v＝30m/s的初速度，g取10m/s2。要使滑块由a点沿直线运动到达c点，应在绝缘斜面内加一个怎样的匀强电场？
答案：⑴要使滑块沿直线到达c点，滑块必须作匀速直线运动，滑块在斜面所在平面内受力如图
滑块重力沿斜面向下的分力为 Gx=mgsinθ=0.05N
Gx在速度方向的分力为 Gx1=mgsinθcos450=N
滑块受到的滑动摩擦力为 f=μmgcosθ=N= Gx1
由于滑块受力平衡，设所加电场的场强为E，则；电场力 F电=F洛+ Gxsin 450
即 qE=qvB+ Gxsin 450 解得： E=262 N/C 方向：与ab方向成450沿斜面斜向上方
θ
a
b
c
C
d
C
v0
C
e
C
P
45°
y
x
0
A
B
C
θ
B
y
x
O
A
C
θ
O/
θ
a
b
d
c
v
B专题一 共点力作用下物体的平衡?
重点难点
1．动态平衡：
若物体在共点力作用下状态缓慢变化，其过程可近似认为是平衡过程，其中每一个状态均为平衡状态，这时都可用平衡来处理．
2．弹力和摩擦力：
平面接触面间产生的弹力，其方向垂直于接触面;曲面接触面间产生的弹力，其方向垂直于过接触点的曲面的切面；绳子产生的弹力的方向沿绳指向绳收缩的方向，且绳中弹力处处相等（轻绳）；杆中产生的弹力不一定沿杆方向，因为杆不仅可以产生沿杆方向的拉、压形变，也可以产生微小的弯曲形变．
分析摩擦力时，先应根据物体的状态分清其性质是静摩擦力还是滑动摩擦力，它们的方向都是与接触面相切，与物体相对运动或相对运动趋势方向相反．滑动摩擦力由Ff = μFN公式计算，FN为物体间相互挤压的弹力；静摩擦力等于使物体产生运动趋势的外力，由平衡方程或动力学方程进行计算．
3．图解法：
图解法可以定性地分析物体受力的变化，适用于三力作用时物体的平衡．此时有一个力（如重力）大小和方向都恒定，另一个力方向不变，第三个力大小和方向都改变，用图解法即可判断两力大小变化的情况．
4．分析平衡问题的基本方法：
①合成法或分解法：当物体只受三力作用处于平衡时，此三力必共面共点，将其中的任意两个力合成，合力必定与第三个力大小相等方向相反；或将其中某一个力（一般为已知力）沿另外两个力的反方向进行分解，两分力的大小与另两个力大小相等．
②正交分解法：当物体受三个或多个力作用平衡时，一般用正交分解法进行计算．
规律方法
【例1】如图所示，轻绳的两端分别系在圆环A和小球B上，圆环A套在粗糙的水平直杆MN上?现用水平力F拉着绳子上的一点O，使小球B从图示实线位置缓慢上升到虚线位置，但圆环A始终保持在原位置不动则在这一过程中，环对杆的摩擦力Ff和环对杆的压力FN的变化情况 （　B　）
A．Ff不变，FN不变　　　　　　B．Ff增大，FN不变　　　　　　　　　　　　
C．Ff增大，FN减小　　　　　　D．Ff不变，FN减小
训练题　如图所示，轻杆BC一端用铰链固定于墙上，另一端有一小滑轮C，重物系一绳经C固定在墙上的A点，滑轮与绳的质量及摩擦均不计?若将绳一端从A点沿墙稍向上移，系统再次平衡后，则 （　C　）
A．轻杆与竖直墙壁的夹角减小?
B．绳的拉力增大，轻杆受到的压力减小?
C．绳的拉力不变，轻杆受的压力减小?
D．绳的拉力不变，轻杆受的压力不变
【例2】如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B，它们的质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k，C为一固定挡板．系统处于静止状态．现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时物块A的位移d．（重力加速度为g）?
【解】系统静止时，弹簧处于压缩状态，分析A物体受力可知：
F1 = mAgsinθ，F1为此时弹簧弹力，设此时弹簧压缩量为x1，则
F1 = kx1，得x1 = ?
在恒力作用下，A向上加速运动，弹簧由压缩状态逐渐变为伸长状态．当B刚要离开C时，弹簧的伸长量设为x2，分析B的受力有：?
kx2 = mBgsinθ，得x2 = ?
设此时A的加速度为a，由牛顿第二定律有：?
F-mAgsinθ-kx2 = mAa，得a = ?
A与弹簧是连在一起的，弹簧长度的改变量即A上移的位移，故有d = x1+x2，即：
d = ?
训练题 如图所示，劲度系数为k2的轻质弹簧竖直放在桌面上，其上端压一质量为m的物块，另一劲度系数为k1的轻质弹簧竖直地放在物块上面，其下端与物块上表面连接在一起要想使物块在静止时，下面簧产生的弹力为物体重力的，应将上面弹簧的上端A竖直向上提高多少距离？
答案：d = 5(k1+k2) mg/3k1k2
【例3】如图所示，一个重为G的小球套在竖直放置的半径为R的光滑圆环上，一个劲度系数为k，自然长度为L（L＜2R）的轻质弹簧，一端与小球相连，另一端固定在大环的最高点，求小球处于静止状态时，弹簧与竖直方向的夹角φ．
【解析】小球受力如图所示，有竖直向下的重力G，弹簧的弹力F，　　　　　
圆环的弹力N，N沿半径方向背离圆心O．
利用合成法，将重力G和弹力N合成，合力F合应与弹簧弹力F平衡观察发
现，图中力的三角形△BCD与△AOB相似，设AB长度为l由三角形相似有：
= = ，即得F =
另外由胡克定律有F = k（l-L），而l = 2Rcosφ?
联立上述各式可得：cosφ = ，φ = arcos?
训练题如图所示，A、B两球用劲度系数为k的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬于0点，A球固定在0点正下方，且O、A间的距离恰为L，此时绳子所受的拉力为F1，现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F2，则F1与F2大小之间的关系为 ( C )
A．F1F2 C．F1=F2 D．无法确定
【例4】如图有一半径为r = 0.2m的圆柱体绕竖直轴OO′以ω = 9rad/s的角
速度匀速转动．今用力F将质量为1kg的物体A压在圆柱侧面，使其以v0 = 2.4m/s的速度匀速下降．若物体A与圆柱面的摩擦因数μ = 0.25，求力F的大小．（已知物体A在水平方向受光滑挡板的作用，不能随轴一起转动．）?
【解析】在水平方向圆柱体有垂直纸面向里的速度，A相对圆柱体有纸垂直纸面向外的速度为υ′，υ′ = ωr = 1.8m/s；在竖直方向有向下的速度υ0 = 2.4m/s
A相对于圆柱体的合速度为υ= = 3m/s?
合速度与竖直方向的夹角为θ，则cosθ = =
A做匀速运动，竖直方向平衡，有Ff cosθ = mg，得Ff = = 12.5N?
另Ff =μFN，FN =F，故F = = 50N
训练题 质量为m的物体，静止地放在倾角为θ的粗糙斜面上，现给物体一个大小为F的横向恒力，如图所示，物体仍处于静止状态，这时物体受的摩擦力大小是多少？
答案： f=｛F2+(mgsinθ)2｝1/2
能力训练
1．如图所示，在用横截面为椭圆形的墨水瓶演示坚硬物体微小弹性形变的演示实验中，能观察到的现象是（ B ） 　　　　　　　　 　　　
A．沿椭圆长轴方向压瓶壁，管中水面上升；
沿椭圆短轴方向压瓶壁，管中水面下降
B．沿椭圆长轴方向压瓶壁，管中水面下降；
沿椭圆短轴方向压瓶壁，管中水面上升
C．沿椭圆长轴或短轴方向压瓶壁，管中水面均上升
D．沿椭圆长轴或短轴方向压瓶壁，管中水面均下降
2．欲使在粗糙斜面上匀速下滑的物体静止，可采用的方法是（ B ）
A．在物体上叠放一重物 　　　　　　　　　　B．对物体施一垂直于斜面的力
C．对物体施一竖直向下的力 　　　　　　　　D．增大斜面倾角
3．弹性轻绳的一端固定在O点，另一端拴一个物体，物体静止在水平地面上的B点，并对水平地面有压力，O点的正下方A处有一垂直于纸面的光滑杆，如图所示，OA为弹性轻绳的自然长度?现在用水平力使物体沿水平面运动，在这一过程中，物体所受水平面的摩擦力的大小的变化情况是（ C ） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
A．先变大后变小 　　　　　　
B．先变小后变大
C．保持不变 　　　　　　　　
D．条件不够充分，无法确定
4．在水平天花板下用绳AC和BC悬挂着物体m，绳与竖直方向的夹角分别为α = 37°和β = 53°，且∠ACB为90°，如图1-1-13所示．绳AC能承受的最大拉力为100N，绳BC能承受的最大拉力为180N．重物质量过大时会使绳子拉断．现悬挂物的质量m为14kg．（g = 10m/s2，sin37° = 0.6，sin53° = 0.8）则有）（ C ）
A．AC绳断，BC不断　　　
B．AC不断，BC绳断
C．AC和BC绳都会断　　　
D．AC和BC绳都不会断
5．如图所示在倾角为37°的斜面上，用沿斜面向上的5N的力拉着重3N的木块向上做匀速运动，则斜面对木块的总作用力的方向是（ A ） 　　
A．水平向左 　　　　　　　
B．垂直斜面向上
C．沿斜面向下　　　　　　
D．竖直向上
6．当物体从高空下落时，所受阻力会随物体的速度增大而增大，因此经过下落一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的收尾速度。研究发现，在相同环境条件下，球形物体的收尾速度仅与球的半径和质量有关．下表是某次研究的实验数据
小球编号 A B C D E
小球的半径（×10－3m） 0.5 0.5 1.5 2 2.5
小球的质量（×10－6kg） 2 5 45 40 100
小球的收尾速度（m/s） 16 40 40 20 32
（1）根据表中的数据，求出B球与C球在达到终极速度时所受阻力之比．
（2）根据表中的数据，归纳出球型物体所受阻力f与球的速度大小及球的半径的关系（写出有关表达式、并求出比例系数）．
（3）现将C号和D号小球用轻质细线连接，若它们在下落时所受阻力与单独下落时的规律相同．让它们同时从足够高的同一高度下落，试求出它们的收尾速度；并判断它们落地的顺序（不需要写出判断理由）．
答案：（1）　球在达到终极速度时为平衡状态，有f ＝mg
则　　fB：fC ＝mB ：mC 带入数据得　　fB：fC＝1：9
（2）由表中A、B球的有关数据可得，阻力与速度成正比；即　　
由表中B、C球有关数据可得，阻力与球的半径的平方成正比，即
得　 k＝4.9Ns/m3 （或k＝5Ns/m3）
（3）将C号和D号小球用细线连接后，其收尾速度应满足 mCg＋mDg＝fC ＋fD
即　mCg＋mDg＝kv(rC2＋rD2) 代入数据得　　v＝27.2m/s　
比较C号和D号小球的质量和半径，可判断C球先落地．
7．在广场游玩时，一个小孩将一个充有氢气的气球用细绳系于一个小石块上，并将小石块放置于水平地面上．已知小石块的质量为m1，气球（含球内氢气）的质量为m2，气球体积为V，空气密度为ρ（V和ρ均视作不变量），风沿水平方向吹，风速为υ．已知空气对气球的作用力Ff = kυ（式中k为一已知系数，υ为气球相对空气的速度）．开始时，小石块静止在地面上，如图所示．
（1）若风速υ在逐渐增大，小孩担心气球会连同小石块一起被吹离地面，试判断是否会出现这一情况，并说明理由．
（2）若细绳突然断开，已知气球飞上天空后，在气球所经过的空间中的风速υ为不变量，求气球能达到的最大速度的大小．
答案：（1）小石块不会被风吹离地面．以气球和小石块组成的系统为研究对象：地面对小石块支持力的大小为恒定，跟风速v无关．
（2）气球的最大水平速度等于风速，即vxm＝v．
当竖直方向的合力为零时，竖直分速度最大，即
则
气球能达到的最大速度的大小为
8．在如图所示的装置中，两个光滑的定滑轮的半径很小，表面粗糙的斜面固定在地面上，斜面的倾角为θ＝30°。用一根跨过定滑轮的细绳连接甲、乙两物体，把甲物体放在斜面上且连线与斜面平行，把乙物体悬在空中，并使悬线拉直且偏离竖直方向α＝60°。现同时释放甲乙两物体，乙物体将在竖直平面内振动，当乙物体运动经过最高点和最低点时，甲物体在斜面上均恰好未滑动。已知乙物体的质量为m＝1㎏，若取重力加速度g＝10m/s2。求：甲物体的质量及斜面对甲物体的最大静摩擦力。
答案：设甲物体的质量为M，所受的最大静摩擦力为f，则当乙物体运动到最高点时，绳子上的弹力最小，设为T1， 对乙物体
此时甲物体恰好不下滑，有： 得：
当乙物体运动到最低点时，设绳子上的弹力最大，设为T2
对乙物体由动能定理：
又由牛顿第二定律：
此时甲物体恰好不上滑，则有： 得：
可解得：　 　　　　专题四 万有引力定律和天体运动
重点难点
1．研究天体运动的基本方法：?
研究人造卫星、行星等天体的运动时，我们进行了以下近似：中心天体是不动的，环绕天体以中心天体的球心为圆心做匀速圆周运动；环绕天体只受到中心天体的万有引力作用，这个引力提供环绕天体圆周运动的向心力．?
即 G = m2 = m2ω2r = m2（）2r?
2．卫星的速度、角速度、加速度、周期和轨道半径的关系?
①υ= ，即线速度 υ∝；?
②ω = ，即角速度ω∝;?
③T = ，即周期T∝，或 = ，即开普勒第三定律;?
④a = ，即向心加速度a∝?
3．“双星”和“黑洞”?
“双星”是两颗相距较近，它们之间的万有引力对两者运动都有显著影响，而其他天体的作用力影响可以忽略的特殊天体系统．它们之所以没有被强大的引力吸引到一起而保持距离L不变，是因为它们绕着共同“中心”以相同的角速度做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供它们做圆周运动的向心力．?
“黑洞”是近代引力理论预言的一种特殊天体，它的质量十分巨大，以致于其脱离速度有可能超过其空中的光速，因此任何物体都不能脱离它的束缚，即光子也不能射出．已知物体从地球上的脱离速度（即第二宇宙速度）是υ= ，故一个质量为M的天体，若它是一个黑体，则其半径R应有：R≤．?
规律方法
【例1】由于万有引力定律和库仑定律都满足于平方反比律，因此引力场和电场之间有许多相似的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比．例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场强度，其定义式为E = ，在引力场中可以有一 个类似的物理量来反映各点引力场的强弱．设地球质量为M，半径为R，地球表面处重力加速度为g，引力常量为G．如果一个质量为m的物体位于距地心2R处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是 （AD）?
A．G 　　 B．G? C．G D．?
训练题在某星球表面以初速度υ0竖直上抛一个物体，若物体受到该星球引力作用，忽略其他力的影响，物体上升的最大高度为h，已知该星球的直径为d，如果要在这个星球上发射一颗绕它运行的卫星，其做匀速圆周运动的最小周期为 （ A ）
A． 　　 B．? 　　C． D．?
【例2】已知万有引力常量是G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运动周期为T1，地球的自转周期为T2，地球表面的重力加速度g，某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：?
同步卫星绕地心作圆周运动，由G = m（）2h，得M = ?
（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由，如不正确，请给出正确的解法和结果．?
（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．?
【解析】（1）地球半径约为6400km，同步卫星的高度约为36000km．计算同步卫星轨道半径时，就不能忽略地球的半径．故题中的结果是错误的．?
正确的解法和结果是：由G = m（）2（R+h），得： M = ?
（2）方法一：由月球绕地球做圆周运动，有：?G = m（）2r?，得：M =
方法二：在地面附近重力近似等于万有引力，由 = mg?得：M = ．?
训练题已知物体在质量为M、半径为R的星球表面脱离的速度为υ= ，其中G = 6.67×10-11N·m2/kg2．黑洞是一种质量十分巨大的特殊天体，因此任何物体（包括光子）都不能脱离它的束缚．
（1）天文学家根据天文观测认为：在银河系中心可能存在一个大黑洞，它的引力使距该黑洞60亿千米的星体以2000km/s速度绕其旋转，若视星体做匀速圆周运动，试求该黑洞的质量．?
（2）若黑洞的质量等于太阳的质量M = 2×103kg，求它的可能最大半径．
（3）在目前的天文观测范围内，宇宙的平均密度为10-27kg/m3，若视宇宙是一个均匀的大球体，光子也不能逃离宇宙，则宇宙的半径至少应为多少
答案：（1）M=3．6×1035kg
（2）Rm=3×103m
（3）R＞4×1025m
【例3】一地球探测飞船在地球赤道上空绕地球做圆周运动，用摄像机拍摄地球表面图片．已知地球的密度为ρ，飞船的飞行周期为T（小于24h）．试求摄像机所能拍摄的总面积与地球表面积之比．（万有引力常量为G；球体体积公式为V = πr3，r为球半径；球冠面积公式为S = 2πrh，r为球半径，h为球冠高）
【解析】如图所示，设地球半径为r，卫星的轨道半径为R．图中两个阴影部分的球冠表面积是不能拍摄到的区域．
卫星绕地球运动，有： = mR?
其中地球的质量为M，则M = πr3ρ?
图中球冠的高为h，则h = r（1-cosα）?
其中cosα = ?
而球冠的总面积为 S′ = 2πrh×2，地球的表面积为
S = 4πr2
解得摄像机所能拍摄到的总面积与地球表面积之比为 = ．
训练题宇宙飞船上的科研人员在探索某星球时，完成如下实验：①当飞船停留在距该星球一定的距离时，正对着该星球发出一个激光脉冲，经过时间t后收到反射回来的信号，并测得此时刻星球对观察者的眼睛所张视角为；②当飞船在该星球着陆后，科研人员在距星球表面h处以初速度水平抛出一个小球，并测出落点到抛出点的水平距离为S。已知万有引力恒量G，光速c，星球的自转影响以及大气对物体的阻力均不计。试根据以上信息，求：
（1）星球的半径R。
（2）星球的质量M。
答案：，
【例4】阅读下列材料，并结合该材料解题．?
开普勒从1609年～1619年发表了著名的开普勒行星三定律：?
第一定律：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个公共焦点上．
?第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积．?
第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等．?
实践证明，开普勒三定律也适用于人造地球卫星的运动．如果人造地球卫星沿半径为r的圆形轨道绕地球运动，当开动制动发动机后，卫星速度降低并转移到与地球相切的椭圆轨道上，如图所示．问在这之后卫星经过多长时间着陆。空气阻力不计，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，圆形轨道应为椭圆轨道的一种特殊形式．?
【解析】卫星在半径为r的圆轨道运动有：?
r?
得此时卫星的周期为T1 = 2π?
卫星沿椭圆轨道运动时，其半长轴为a = ?
由开普勒第三定律有： = ，得?
T2 = π（R+r）?
另外，在地球表面时，近似有： = mg，得 GM = R2g．?
从开始制动到飞船着陆，经过时间为t，则t = ，得t = ．?
训练题卢瑟福的α粒子散射实验，建立了原子的核式模型，原子的核式模型又叫做原子的行星模型，这是因为两者之间有极大的相似之处，带电粒子间遵循库仑定律，而星体之间遵循万有引力定律，两定律有相同的表达形式．以无穷远处电势为零点，点电荷的电势为u = k，可推出氢原子基态能级为-13．6eV．?
（1）令距地球无穷远处为重力势能的零点，计算：质量为1t的卫星，绕地表飞行，其总机械能为多大
（2）再补充多少能量可使它脱离地球的引力 ?
答案：（1）E=－3．1×1010J
（2）E/=3．1×1010J
能力训练
1． 2005年10月12日，我国利用“神舟六号”飞船将宇航员费俊龙、聂海胜送入太空，中国成为继俄、美之后第三个掌握载人航天技术的国家．设费俊龙测出自己绕地球球心做匀速圆周运动的周期为T．离地面的高度为H，地球半径为R．则根据T、H、R和万有引力恒量G，费俊龙不能计算出下面的哪一项（ C ）
A．地球的质量 B．地球的平均密度 C．飞船所需的向心力 D．飞船线速度的大小
2．如图在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则 （ CD ）
A．该卫星的发射速度必定大于11.2km/s
B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9km/s
C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点速度大于在Q点的速度
D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
3． “神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第五圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道．已知飞船的质量为m，地球半径为R，地面处的重力加速度为g，则飞船在上述圆轨道上运行的动能 （ B ）
A．等于mg（R+h） 　　B．小于mg（R+h） 　
C．大于mg（R+h）　　　D．等于mgh
4．氢原子中的电子绕原子核旋转和人造地球卫星绕地球旋转相比较（不计算空气阻力），下列说法正确的是 （ AB ）
A．轨道半径越大，线速度都越小
B．轨道半径越大，周期都越大
C．电子从内层轨道向外层轨道跃迁时，总能量（动能和电势能）不变，人造卫星从远地点向近地点运动时，总能量（动能和重力势能）也不变
D．电子可以在大于基态轨道半径的任意轨道上运动，卫星可以在大于地球半径的任意轨道上运动
5．我国的航天技术正在飞速发展，在我国航天史上第一颗人造卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，它在近地点时离地面高度为h，速度为υ，又知地球半径为R，地面附近重力加速度为g，则它在近地点时的加速度大小（ A ）
A． 　　　B．　　　C．g　　　 D．
6．某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆，由于阻力作用，人造卫星到地心的距离从r1慢慢变到r2，用Ek1、Ek2分别表示卫星在这两个轨道上的动能，则（ B ）
A．r1＜r2，Ek1＜Ek2 B．r1＞r2，Ek1＜Ek2
C．r1＜r2，Ek2＞Ek2 D．r1＞r2，Ek1＞Ek2
7?一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径为r=2R (R为地球半径)，卫星的运动方向与地球自转方向相同。已知地球自转的角速度为ω，地球表面处的重力加速度为g。
（1）求人造卫星绕地球转动的角速度。
（2）若某时刻卫星通过赤道上某建筑物的正上方，求它下次通过该建筑物上方需要的时间。
答案：（1）地球对卫星的万有引力提供作圆周运动的向心力
　　　　　　　　　　　 　
地面表面附近的重力加速度g =　
　　　　　　　　
把r＝2R代入，解方程可得
　　　 　　　　　　　　　
（2）卫星下次通过该建筑物上方时，卫星比地球多转2 弧度，所需时间
　　 　 　 　
8?侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，已知地球半径为R，地面表面处的重力加速度为g，地球的自转周期为T。
⑴ 试求该卫星的运行速度；　
⑵ 要使卫星在一天内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部拍下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机应拍摄地面上赤道圆周的弧长S是多少
答案：⑴　设地球质量为M，卫星质量为m，卫星在运行时，由万有引力提供向心力：
设地球表面有个质量为m0的物体，则：m0g=
由①②式联立，卫星的运行速度为：
⑵设卫星的运动周期为T′，则：
得：
一天内侦察卫星经过有日照的赤道上空次数为：
摄像机每次应拍摄地面上赤道圆周的弧长为：S＝
得：S＝专题十一 动量守恒定律
重点难点
1．动量守恒的条件：可以归纳为以下几种情况：①物体系统不受外力或所受合外力为零；②物体系统受到的外力远小于内力；③系统在某方向上不受外力、合外力为零或外力远小于外力，此时在该方向上动量守恒．
在碰撞和爆炸现象中，由于物体间相互作用持续时间很短，一般都满足内力远大于外力，故可以用动量守恒定律处理．
2．运用动量守恒定律应注意：?
①矢量性：动量守恒定律的方程是一个矢量关系式?对于作用前后物体的运动方向都在同一直线上的问题，应选取统一的正方向，按正方向确定各矢量的正负??
②瞬时性：动量是一个状态量，对应着一个瞬时?动量守恒是指该相互作用过程中的任一瞬时的动量恒定不同时刻的动量不能相加??
③相对性：动量的具体数值与参考系的选取有关，动量计算时的速度必须是相对同一惯性系的速度，一般以地面为参考系??
3．反冲运动中移动距离问题的分析：
一个原来静止的系统，由于某一部分的运动而对另一部分有冲量，使另一部分也跟着运动，若现象中满足动量守恒，则有m1υ1-m2υ2 = 0，υ1 = υ2．物体在这一方向上的速度经过时间的累积使物体在这一方向上运动一段距离，则距离同样满足s1 = s2，它们的相对距离s相 = s1+s2．
规律方法
【例1】如图所示，大小相同质量不一定相等的A、B、C三个小球沿一直线排列在光滑水平面上，未碰前A、B、C三个球的动量分别为8kg·m/s、-13kg·m/s、-5kg·m/s，在三个球沿一直线相互碰撞的过程中，A、B两球受到的冲量分别为-9N·s、1N·s，则C球受到的冲量及C球碰后的动量分别为 （ B ）
A．1N·s，3kg·m/s　　　　　 B．8N·s，3kg·m/s?
C．-8N·s，5kg·m/s　　　　 　D．10N·s，5kg·m/s?
训练题A、B两船的质量均为M，它们都静止在平静的湖面上，当A船上质量为的人以水平速度υ从A船跳到B船，再从B船跳回A船．经多次跳跃后，人最终跳到B船上，设水对船的阻力不计，则（ ABC ）
A．A、B两船最终的速度大小之比为3∶2
B．A、B（包括人）最终的动量大小之比为1∶1
C．A、B（包括人）最终的动量之和为零
D．因跳跃次数未知，故以上答案均无法确定
【例2】假定航天飞机的喷气发动机每次喷出质量为m = 200g的气体，气体离开发动机喷气孔时，相对于喷气孔的速度υ = 1000m/s，假定发动机在1min内喷气20次，那么在第1min末，航天飞机的速度的表达式是怎样的？如果这20次喷出的气体改为一次喷出，第1min末航天飞机的速度为多大？航天飞机最初质量为M = 3000kg，初速度为零，运动中所受阻力不计．
【解析】设第一次喷气后航天飞机速度为υ1，第二次喷气后航天飞机速度为υ2，……依次类推，取航天飞机速度方向为正方向，根据动量守恒定律有：?
第一次喷气后：（M-m）υ1-m（υ-υ1） = 0；得υ1 = ?
第二次喷气后：（M-m）υ1 = （M-2m）υ2-m（υ-υ2），得υ2-υ1 = ?
第三次喷气后：（M-2m）υ2 = （M-3m）υ3-m（υ-υ3），得υ3-υ2 = ?
……?
第20次喷气后：（M-19m）υ19 = （M-20m）υ20-m（υ-υ20），得υ20-υ19 = ?
综合以上可得1min末飞船的速度为 υ20 = +++……+?
若20次喷出的气体一次喷出，则：0 = （M-20m）υ′-20m（υ-υ′）?
得υ′ = = = m/s?
比较可知υ20＞υ′，即当喷气质量一定时，分次喷出比一次喷出，航天飞机获得的速度大?且分的次数越多，获得的速度越大，这也是火箭连续喷气的原因??
训练题甲、乙两人做抛球游戏，甲站在一辆平板车上，车与水平面摩擦不计，甲与车的总质量为M = 100kg，另有一质量为m = 2kg的球?乙固定站在车对面的地面上，身旁有若干质量不等的球?开始车静止，甲将球以速率υ水平抛给乙，乙接球后马上将另一质量m1 = 2m的球以相同的速度υ水平抛给甲；甲接住后再以相同速率将此球抛回给乙，乙接住后马上将另一质量m2 = 2m1 = 4m的球以速率υ水平抛给甲……这样往复抛球．乙每次抛给甲的球质量都是接到甲抛给他的球的质量的2倍，而抛球速率始终为υ（相对于地面水平方向）不变．求：
（1）甲第二次抛出（质量为2m）球后，后退速率多大？
（2）从第1次算起，甲抛多少次后，将再不能接到乙抛来的球？?
答案：（1）v2=v/10
（2）甲抛5次后，将再不能接到乙抛来的球
【例3】如图所示，三个质量为m的弹性小球用两根长为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上，现给中间的小球B一个水平初速度υ0，方向与绳垂直?小球相互碰撞时无机械能损失，轻绳不可伸长，求：
（1）当小球A、C第一次相碰时，小球B的速度．
（2）当三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度．
（3）运动过程中小球A的最大动能EKA和此时两根绳的夹角θ．
（4）当三个小球处在同一直线上时，绳中的拉力F的大小．
【解析】由于绳子不可伸长，且A、C两球在运动过程中具有对称性，当A、C两球第一次相碰时，三球具有相同的速度；小球发生相互作用时满足动量守恒定律和机械能守恒定律．
（1）设小球A、C第一次相碰时，小球B的速度为υB，此时A、C小球沿B球初速度方向的速度也为υB．由动量守恒定律，得：mυ0 = 3mυB，由此得υB = υ0??
（2）当三个小球再次在同一直线上时，此时B球的速度为υB1，A、C球的速度为υA，υA的方向为B球的初速度方向，由动量守恒定律、机械能守恒定律得：?
mυ0 = mυB1+2mυA?
mυ = mυB+2×mυ?
解得：υB1 = -υ0，υA = υ0 （或υB1 = υ0，υA = 0，此为初状态，舍去）??
所以，当三球再次处在同一直线上时，小球B的速度为υB1 = -υ0，负号表示与初速度反向．??
（3）从（2）的解可知，B球速度由最初的υ0变化（减小）为零，然后反向运动，可见当B球速度为零时，动能EKBI也为零，而机械能守恒，故此时A球动能最大??
设此时A球（C球）的速度为υ，两根绳的关角为θ，如图，则仍由动量守恒定律和机械能守恒定律，得：?
mυ0 = 2mυsin??
mυ = 2×mυ2?
可得此时A球的最大动能为EKA = mυ2 = mυ，两根绳间夹角为θ = 90°．
（4）当三球处于同一直线上时，B球受力平衡，B球加速度为零，选B球为参考系时，A、C两球做圆周运动，绳子拉力为其提供向心力．
A球相对B球的速度为υAB = υA-υB1 = υ0?
由牛顿第二定律，此时绳中拉力为F，则F = m = m．
训练题长为2b的轻绳，两端各系一质量为m的小球，中央系一质量为M的小球，三球均静止于光滑的水平面上，绳处于拉直状态?今给小球M以一种冲击，使它获得一水平初速度υ0，υ0的方向与绳垂直，如图所示，求在两端的小球发生相互碰撞前的瞬间，球m在垂直于绳方向的分速度多大？（绳不可伸长）
答案：v2=｛Mv/（M+2m）｝1/2
【例4】如图所示，甲、乙两人分别站在A、B两辆冰车上，一木箱静止于水平光滑的冰面上，甲与A车的总质量为M1，乙和B车的总质量为M2，甲将质量为m的木箱以速率υ（对地）推向乙，
乙接住后又以相等大小的速度将木箱推向甲，甲接住木箱后又以速率υ将木箱推向乙，然后乙接住后再次将木箱以速度υ推向甲，木箱就这样被推来推去，求最终甲、乙两人（连同冰车）的速度各为多少？（已知M1 = 2M2，M1 = 30m）?
【解析】设甲第1次推出木箱后获得的速度为υ1，第2次推出木箱后甲的速度为υ2，……第n次推出木箱后速度为υn，对木箱与甲（包括车）构成的系统应用动量守恒，第1次推出过程：0 = M1υ1-mυ，得υ1 = υ．从接住到第2次推出：M1υ1+mυ = M1υ2-mυ，得υ2 = υ1+ =
从接住到第3次推出：M1υ2+mυ = M1υ3-mυ，得υ3 = υ2+ = ?
……从接住到第n次推出：M1υn-1+mυ = M1υn-mυ，得υn = υn-1+ = ?
当甲不再接住木箱时，有：υn≥υ，即≥υ 解得n≥15.5?
设乙第1次、第2次、第3次、……，第k次推出木箱的速度依次为υ′1、υ′2、υ′3……υ′k，根据动量守恒定律得：第1次推出：mυ = M2υ′1-mυ，得υ′1 = ?
第2次推出：mυ+M2υ′1 = M2υ′2-mυ，得υ′2 = υ′1+ = ?
第3次推出：mυ+M2υ′2 = M2υ′3-mυ，得υ′3 = υ′2+ =
……第k次推出：mυ+M2υ′k-1 = Mυ′k - mυ，得υ′k = υ′k-1+ = ?
欲使乙不再接住木箱，必满足υ′k≥υ，即≥υ，解得k≥7.5??
比较n≥15．5和k≥7．5可知，当乙第8次推出木箱后，就不再接住木箱，因此甲第9次推出木箱后，速度也不再发生变化，故甲和乙的最终速度分别为：?
υ甲 = mυ = υ，c乙 = mυ = υ??
训练题如图一块足够长的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右放有序号是1、2、3、……、n的木板，所有木块的质量均为m，与木板间的动摩擦因数都相同?开始时，木板静止不动，第1、2、3、……、n号木块的初速度分别是υ0、2υ0、3υ0、……nυ0，方向都向右，木板的质量与所有木块的总质量相等，最终所有木块与木板以共同速度匀速运动．设木块之间均无相互碰撞，求：
（1）所有木块与木板一起匀速运动的速度υn．
（2）第1号木块与木板刚好相对静止时的速度υ1．
答案：（1）vn=（n+1）v0/4
（2）v1=v0/2
能力训练
1．如图所示，光滑的水平地面上放着一个光滑的凹槽，槽两端固定有两轻质弹簧，一弹性小球在两弹簧间往复运动，把槽、小球和弹簧视为一个系统，则在运动过程中 （ B ）
A．系统的动量守恒，机械能不守恒
B．系统的动量守恒，机械能守恒
C．系统的动量不守恒，机械能守恒
D．系统的动量守恒，机械能不守恒
2．在一定条件下，让质子获得足够大的速度，当两个质子P以相等的速率对心正碰，特发生下列反应：P+P→P+P++，其中是反质子（反质子与质子质量相等，均为mP，且带一个单位正电荷），则以下关于该反应的说法正确的是（ ABC ）
A．反应前后系统总动量皆为零
B．反应过程系统能量守恒
C．根据爱因斯坦质能方程可知，反应前两个质子的能量最小为2mpc2
D．根据爱因斯坦质能方程可知，反应后单个质子的能量可能小于mpc2
3．一个静止的放射性原子核处于垂直纸面向里的匀强磁场中，由于发生衰变而形成了如图3-11-8所示的两个圆形轨迹，两圆半径之比为1∶16，下列说法正确的是 （ A ）
A．该原子核发生了α衰变
B．反冲核沿大圆做逆时针方向的圆周运动
C．原来静止的原子核的序数为15
D．沿大圆和沿小圆运动的柆子周期相同
4．如图所示，自行火炮连同炮弹的总质量为M，当炮管水平，火炮车在水平路面上以υ1的速度向右匀速行驶中，发射一枚质量为m的炮弹后，自行火炮的速度变为υ2，仍向右行驶，则炮弹相对炮筒的发射速度υ0为　　　　　　　　　（ B ）
A． B．
C． D．
5．如图甲所示，质量为M的木板静止在光滑水平面上，一个质量为m的小滑块以初速度υ0从木板的左端向右滑上木板．滑块和木板速度随时间变化的图象如图乙所示，某同学根据图象作出如下一些判断，正确的是（ ACD ）
A．滑块与木板间始终存在相对运动
B．滑块始终未离开木板
C．滑块的质量大于木板的质量
D．在t1时刻滑块从木板上滑出
6．质量为m的木板和质量为M的金属块用细绳系在一起，处于深水中静止，剪断细绳，木块上浮h时（还没有出水面），则铁沉下沉的深度为多大？（水的阻力不计）
答案：x=mh/M
7．人和冰车的总质量为M，另有一木球质量为m，且M∶m = 10∶1，人坐在静止于水平冰面的冰车上，以速度υ（相对地面）将原来静止的木球沿冰面推向前方的固定挡板，球与冰面、车与冰面的摩擦可不计，空气阻力也忽略不计，设球与挡板碰撞后，球被原速率反向弹回，人接住球后再以同样的速率υ将球沿冰面向正前方推向挡板．问人推球多少次后不能再接到球？
答案：人推球六次后不能再接到球
8．如图所示，n个相同的木块（可视为质点），每块的质量都是m，从右向左沿同一直线排列在水平桌面上，相邻木块间的距离均为l，第n个木块到桌边的距离也是l，木块与桌面间的动摩擦因数为 ．开始时，第1个木块以初速度v0向左滑行，其余所有木块都静止，在每次碰撞后，发生碰撞的木块都粘在一起运动．最后第n个木块刚好滑到桌边而没有掉下．
（1）求在整个过程中因碰撞而损失的总动能．
（2）求第i次（i≤n－1）碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比．
（3）若n＝４，l＝0.10m，v0 ＝3.0m/s，重力加速度g＝10m/s2，求 的数值．
答案：（1）整个过程中系统克服摩擦力做的总功为
Wf＝ mgl（1＋2＋3＋…＋n）＝
整个过程中因碰撞而损失的总动能为
（2）设第i次（i≤n－1）碰撞前瞬间，前i个木块粘合在一起的速度为vi，
动能为
与第i＋１个（i≤n－1）木块碰撞粘合在一起后瞬间的速度为vi＇，
由动量守恒定律
则
第i次（i≤n－1）碰撞中损失的动能为
则第i次（i≤n－1）碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比为
（i≤n－1）
（3）n＝４时，共发生了i＝3次碰撞．
第1次碰前瞬间的速度为，碰撞中动量守恒：
第1次碰后瞬间的速度为
第2次碰前瞬间的速度为
碰撞中动量守恒：
第2次碰后瞬间的速度为
第3次碰前瞬间的速度为
碰撞中动量守恒：
第3次碰后瞬间的速度为
最后滑行到桌边，速度恰好为零，则
即
整理后得，代入数据解得


专题二 牛顿运动定律的应用?
重点难点
1．牛顿第二定律的理解：?
①瞬时性：牛顿第二定律反映了力的瞬时作用效果的规律，力是产生加速度的原因，故加速度与力同时存在、同时变化、同时消失．
②矢量性：牛顿第二定律是一个矢量方程，加速度与合外力方向相同，故合外力方向就是加速度方向；反过来也有，加速度方向就是合外力方向．
③独立性：也叫做力的独立作用原理，当物体受几个力的作用时，每一个力分别产生的加速度只与此力有关，与其它力无关，这些加速度的矢量和即物体运动的加速度．
2．求瞬时加速度：?
应注意两种不同的物理模型．
①刚性绳（不可伸长）或接触面：这是一种不发生明显形变就能产生弹力的物体，若剪断或脱离后，其中弹力立即消失或仍接触但可以突变，不需要恢复、改变形变的时间．
②弹簧或橡皮绳：这些物体的形变量大，形变改变、恢复需要较长时间，故在瞬时问题中，其弹力的大小往往可以看成是不变的．
3．动力学中两类基本问题：?
①已知受力情况求运动情况?
②已知物体的运动情况求受力情况?
4．分析复杂问题的基本思路：?
①仔细审题，分析物体的受力及受力的变化情况，确定并划分出物体经历的每个不同的过程；
②逐一分析各个过程中的受力情况和运动情况，以及总结前一过程和后一过程的状态有何特点；
③前一个过程的结束就是后一个过程的开始，两个过程的交接点受力的变化、状态的特点，往往是解题的关键．
规律方法
【例1】如图质量为m的小球用水平弹簧系住，并用倾角为30°的光滑木板AB托住，小球恰好处于静止状态．当木板AB突然向下撤离的瞬间，小球的加速度为　　　　　　（　C　）
A．0?　　　　　　　　　　　　　　　
B．大小为g，方向竖直向下
C．大小为g，方向垂直于木板向下?　
D．大小为g，方向水平向右
【解析】未撤离木板前，小球受到重力G，弹簧拉力F，木板支持力FN，
如图所示，三力平衡?于是有：FNcosθ = mg，FN = ??
当撤离木板的瞬间，G和F保持不变（弹簧的弹力不能突变），木板支持力FN
立即消失?小球受G和F的合力大小等于撤之前的FN（三力平衡），方向与FN的方
向相反，故加速度方向为垂直木板向下，大小为：
a = = = g?
训练题 物块A1、A2、B1和B2的质量均为m，A1、A2用刚性轻杆连接，B1、B2用轻质弹簧连结，两个装置都放在水平的支托物上，处于平衡状态，如图今突然撤去支托物，让物块下落，在除去支托物的瞬间，A1、A2受到的合力分别为和，B1、B2受到的合力分别为F1和F2，则 （ B ）
A．= 0，= 2mg，F1 = 0，F2 = 2mg?　　　
B．= mg，= mg，F1 = 0，F2 = 2mg
C．= mg，= 2mg，F1 = mg，F2 = mg?　　
D．= mg，= mg，F1 = mg，F2 = mg
【例2】如图所示，质量相同的木块A、B，用轻质弹簧连接处于静止状态，现用水平恒力推木块A，则弹簧在第一次压缩到最短的过程中 　　　　　　　 （ D ）
A．A、B速度相同时，加速度aA = aB　
B．A、B速度相同时，加速度aA>aB?
C．A、B加速度相同时，速度υA<υB　　
D．A、B加速度相同时，速度υA>υB
训练题 雨滴在下落过程中，由于水汽的凝聚，雨滴质量将逐渐增大，同时由于下落速度逐渐增大，所受阻力也将越来越大，最后雨滴将以某一速度匀速下降，在雨滴下降的过程中，下列说法中正确的是 （ C ）
A．雨滴受到的重力逐渐增大，重力产生的加速度也逐渐增大?
B．雨滴质量逐渐增大，重力产生的加速度逐渐减小?
C．由于雨滴受空气阻力逐渐增大，雨滴下落的加速度将逐渐减小?
D．雨滴所受重力逐渐增大，雨滴下落的加速度不变?
【例3】如图所示，质量分别为mA、mB的两个物体A、B，用细绳相连跨过光滑的滑轮，将A置于倾角为θ的斜面上，B悬空．设A与斜面、斜面与水平地面间均是光滑的，A在斜面上沿斜面加速下滑，求斜面受到高出地面的竖直挡壁的水平方向作用力的大小．
【解析】设绳中张力为FT，A、B运动的加速度的大小为a，对A在沿斜面方向由牛顿第二定律有：mAgsinθ-FT = mAa?
对B在竖直方向由牛顿第二定律有：FT-mBg = mBa?
联立上两式得：a = ，FT = ?
此时A对斜面的压力为FN1 = mAgcosθ，斜面体的受力如图所示??
在水平方向有：F+FTcosθ = FN1sinθ?
得：F = ?
训练题 如图所示，质量M = 10kg的木楔静置于粗糙的水平地面上，木楔与地面间的动摩擦因数μ = 0.02．在木楔的倾角为θ = 30°的斜面上，有一质量m = 1.0kg的物块由静止开始沿斜面下滑，当滑行路程s = 1.4m时，其速度υ = 1.4m/s在这个过程中木楔没有移动，求地面对木楔的摩擦力的大小和方向（取g = 10m/s2）．
答案：f=0．61N，方向水平向左
【例4】如图所示，质量M = 8kg的小车放在水平光滑的平面上，在小车左端加一水平恒力F，F = 8N，当小车向右运动的速度达到1.5m/s时，在小车前端轻轻地放上一个大小不计，质量为m = 2kg的小物块，物块与小车间
的动摩擦因数μ = 0.2，小车足够长．求从小物块放上小车开始，经过t = 1.5s小物块通过的位移大小为多少？（取g = 10m/s2）．
【解析】开始一段时间，物块相对小车滑动，两者间相互作用的滑动摩擦力的大小为Ff = μmg = 4N??物块在Ff的作用下加速，加速度为am = = 2m/s2，从静止开始运动．
小车在推力F和f的作用下加速，加速度为aM = = 0.5m/s2，初速度为υ0 = 1.5m/s
设经过时间t1，两者达到共同速度υ，则有：υ = amt1 = υ0+aMt1?
代入数据可得：t1 = 1s，υ= 2m/s?
在这t1时间内物块向前运动的位移为s1 = amt = 1m??
以后两者相对静止，相互作用的摩擦力变为静摩擦力将两者作为一个整体，在F的作用下运动的加速度为a，则F =（M+m）a 得a = 0.8m/s2?
在剩下的时间t2 = t-t1 = 0．5s时间内，物块运动的位移为s2 =υt2+at2，得s2 = 1.1m．
可见小物块在总共1.5s时间内通过的位移大小为s = s1+s2 = 2.1m．
训练题如图所示，将一物体A轻放在匀速传送的传送带的a点，已知传送带速度大小υ= 2m/s，ab = 2m，bc = 4m，A与传送带之间的动摩擦因素μ = 0.25．假设物体在b点不平抛而沿皮带运动，且没有速度损失．求物体A从a点运动到c点共需多长时间 （取g = 10m/s2，sin37° = 0.6，cos37° = 0.8）
答案：t=2．4s
能力训练
1．弹簧秤挂在升降机的顶板上，下端挂一质量为2kg的物体?当升降机在竖直方向上运动时，弹簧秤的示数始终是16N．如果从升降机的速度为3m/s时开始计时，则经过1s，升降机的位移可能是（g取10m/s2） （ AC ）
A．2m B．3m C．4m 　　 D．8m
2．物体从粗糙斜面的底端，以平行于斜面的初速度υ0沿斜面向上 （ B ）
A．斜面倾角越小，上升的高度越大 B．斜面倾角越大，上升的高度越大
C．物体质量越小，上升的高度越大 D．物体质量越大，上升的高度越大
3．在粗糙水平面上放着一个箱子，前面的人用水平方向成仰角θ1的力F1拉箱子，同时后面的人用与水平方向成俯角θ2的推力F2推箱子，如图所示，此时箱子的加速度为a，如果此时撤去推力F2，则箱子的加速度　（ C ）
A．一定增大　　　　　 B．一定减小
C．可能不变 　　　 　D．不是增大就是减小，不可能不变
4．如图一物体恰能在一个斜面体上沿斜面匀速下滑，可以证明出此时斜面不受地面的摩擦力作用，若沿斜面方向用力向下推此物体，使物体加速下滑，则斜面受地面的摩擦力是 （ D ）
A．大小为零 B．方向水平向右
C．方向水平向左　 D．无法判断大小和方向
5．放在水平地面上的一物块，受到方向不变的水平推力F作用，力F的大小与时间t的关系、物块速度υ与时间t的关系如图所示．取g = 10m/s2．试利用两图线求出物块的质量及物块与地面间的动摩擦因数?
答案：μ=0．4
6．一辆客车在某高速公路上行驶，在经过某直线路段时，司机驾车作匀速直线运动。司机发现其正要通过正前方高山悬崖下的隧道，遂鸣笛，5s后听到回声；听到回声后又行驶10s司机第二次鸣笛，3s后听到回声。请根据以上数据帮助司机计算一下客车的速度，看客车是否超速行驶，以便提醒司机安全行驶。已知此高速公路的最高限速为120km/h，声音在空气中的传播速度为340m/s。
答案：设客车行驶速度为v1，声速为v2，客车第一次鸣笛时客车离悬崖的距离为L。
由题意：在第一次鸣笛到听到回声的过程中，应有：
当客车第二次鸣笛时，客车距离悬崖的距离为
同理： 即：
得： (m/s) v1=24.3m/s=87.5km/h，小于120km/h，故客车未超速。
7．如图所示，物体B放在物体A的水平表面上，已知A的质量为M，B的质量为m，物体B通过劲度系数为k的弹簧跟A的右侧相连?当A在外力作用下以加速度a0向右做匀加速运动时，弹簧C恰能保持原长l0不变，增大加速度时，弹簧将出现形变．求：
（1）当A的加速度由a0增大到a时，物体B随A一起前进，此时弹簧的伸长量x多大
（2）若地面光滑，使A、B一起做匀加速运动的外力F多大？
答案：（1）x=m（a-a0）/k
（2）F=（M+m）a0　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．一圆环A套在一均匀圆木棒B上，A的高度相对B的长度来说可以忽略不计。A和B的质量都等于m，A和B之间的滑动摩擦力为f（f < mg）。开始时B竖直放置，下端离地面高度为h，A在B的顶端，如图所示。让它们由静止开始自由下落，当木棒与地面相碰后，木棒以竖直向上的速度反向运动，并且碰撞前后的速度大小相等。设碰撞时间很短，不考虑空气阻力，问：在B再次着地前，要使A不脱离B，B至少应该多长？
答案：释放后A和B相对静止一起做自由落体运动，
B着地前瞬间的速度为
B与地面碰撞后，A继续向下做匀加速运动，B竖直向上做匀减速运动。
它们加速度的大小分别为： 和
B与地面碰撞后向上运动到再次落回地面所需时间为
在此时间内A的位移
要在B再次着地前A不脱离B，木棒长度L必须满足条件 L ≥ x
联立以上各式，解得 L≥
　　　　　　
图1-2-2
h
A
B专题十九 热学、光的本性和原子物理?
?
重点难点
1．阿伏加德罗常数?
若用ρ表示密度，则微观量与宏观量之间的关系为：?
分子质量m0=?, 分子体积V0=(紧密排列)?
在体积V中的分子数n=?
质量为m千克物质中包含的分子数n=.?
2.热、功、内能的关系?
对热、功、内能的关系，可使用热力学第一定律分析判断，也可直接使用能量守恒定律．但不论用哪一个，都必须先搞清楚能量转化的关系和转化的方向，即物体是吸热还是放热，是物体对外做功还是外界对物体做功，物体的内能是增加还是减少．?
3.光电效应、光的波粒二象性、玻尔模型、氢原子的能级、氢原子中的电子云?
光电效应、光的波粒二象性、玻尔模型和氢原子的能级结构、氢原子中的电子云等知识，揭示了微观粒子的特殊运动规律，主要包括轨道量子化、能量量子化、光与实物粒子的波粒二象性，以及用概念描述粒子运动等观念．?
4.人类认识微观世界的思路和方法?
(1)先根据事实提出要探索和研究的问题．?
(2)用一定能量的粒子(常用n)去轰击原子或原子核，根据实验事实，提出新理论．?
(3)经实践检验，修正理论．?
5．核反应遵循能量、动量、质量数、电荷数守恒?
这四大守恒定律是解决相关问题的主要依据．?
规律方法
【例1】封闭在气缸内一定质量的气体，如果保持气体体积不变，当温度升高时，以下说法正确的是 ( BD )?
A．气体的密度增大? B．气体的压强增大?
C．气体分子的平均动能减小? D．每秒撞击单位面积器壁的气体分子数增多? 训练题下列说法中正确的是 ( A )?
A．一定质量的气体被压缩，气体压强不一定增大?
B．一定质量的气体温度不变压强增大时，其体积也增大?
C．气体压强是由气体分子间的斥力产生的?
D．在失重的情况下，密闭容器内的气体对器壁没有压强?
【例2】下列核反应或核衰变方程中，符号“X”表示中子的是 ( AC )?
A．Be+He→+X? 　　 B．N
【命题立意】本题考查考生利用两个守恒解决核反应问题的能力.?
【解析】由质量数守恒和电荷数守恒可知，A、C项为中子，B为质子，D为电子.?
(2005年高考·广东)下列说法不正确的是( )?
A???)eq\o(2,1)+He→O+X
C． Hg + n→Pt +X D． U→Np +X
【例3】2005年被联合国定为“世界物理年”，以表彰爱因斯坦对科学的贡献。爱因斯坦对物理学的贡献有 ( AC )?
A．创立“相对论” B．发现“X”射线?
C．提出“光子说” D．建立“原子核式模式”
训练题　为了强调物理学对当今社会的重要作用并纪念爱因斯坦，2004年联合国第58次大会把2005年定为国际物理年。爱因斯坦在100年前发表了5篇重要论文。内容涉及狭义相对论、量子论和统计物理学，对现代物理学的发展作出了巨大贡献，其中正确的是 ( BD )?
A.所谓布朗运动就是液体分子的无规则运动?
B.光既具有波动性，又具有粒子性?
C.在光电效应的实验中，入射光强度增大，光电子的最大初动能随之增大?
D.质能方程表明：物体具有的能量与它的质量有简单的正比关系?
【例4】在中子衍射技术中，常利用热中子研究晶体结构，因为热中子的德布罗意波长与晶体中原子间距相近，已知中子质量m=1.67×10-27kg,普朗克常量h=6.63×10-34J·s,可以估算德布罗意波长λ=1.82×10-10m的热中子动能的数量级为 ( C )?
A.10-17J B.10-18J? C.10-21J D.10-24J?
训练题　现用电子显微镜观测线度为d的某生物大分子的结构.为满足测量要求，将显微镜工作时电子的德布罗意波长设定为，其中n＞1.已知普朗克常量h，电子质量m和电子电荷量e,电子的初速度不计，则显微镜工作时电子的加速电压应为 ( D )?
A． B．
\f(md2h2,n2e3))? C． D．
【例5】在下列各组的两个现象中都表现出光具有波动性的是 ( C ) ? A.光的折射现象、色散现象? B.光的反射现象、干涉现象?
C.光的衍射现象、偏振现象? D.光的直线传播现象、光电效应现象?
【例6】1801年，托马斯·杨用双缝干涉实验研究了光波的性质，1834年，洛埃利用单面镜同样得到了杨的干涉的结果(称洛埃镜实验).?
(1)洛埃镜实验的基本装置如图所示，S为单色光源，M为平面镜，试用平面镜成像作图法在答题卡上画出S经平面镜反射后的光与直接发出的光在光屏上相交的区域.?
(2)设光源S到平面镜的垂直距离和到光屏的垂直距离分别为a和L,光的波长为λ,在光屏上形成干涉条纹，写出相邻两条亮纹(或暗纹)间距离离Δx的表达式.
【解析】(1)先作出S经平面镜像点S′,然后作出S经平面镜成像的边界光线，其重叠区域如图所示.?
(2)由条纹间距公式Δx=λ，由上图可知d=2a,所以Δx=λ?
能力训练
1. .下列关于分子力和分子势能的说法中，正确的是 ( C )
A.当分子力表现为引力时，分子力和分子势能总是随分子间距离的增大而增大
B.当分子力表现为引力时，分子力和分子势能总是随分子间距离的增大而减小
C.当分子力表现为斥力时，分子力和分子势能总是随分子间距离的减小而增大
D.当分子力表现为斥力时，分子力和分子势能总是随分子间距离的减小而减小
2.对于分子动理论和物体内能理解，下列说法正确的是 ( A )
A.温度高的物体内能不一定大，但分子平均动能一定大
B.理想气体在等温变化时，内能不改变，因而与外界不发生热交换
C.布朗运动是液体分子的运动，它说明分子永不停息地做无规则运动
D.扩散现象说明分子间存在斥力
3.为纪念爱因斯坦对物理学的巨大贡献，联合国将2005年定为“国际物理年”.对于爱因斯坦提出的质能方程E=mc2,下列说法中不正确的是 ( D )
A.E=mc2表明物体具有的能量与其质量成正比
B.根据ΔE=Δmc2可以计算核反应中释放的核能
C.一个中子和一个质子结合成氘核时,释放出核能,表明此过程中出现了质量亏损
D.E=mc2中的E是发生核反应中释放的核能
4.根据α粒子散射实验，卢瑟福提出了原子的核式结构模型，图中虚线表示原子核所形成的电场的等势线，实线表示一个α粒子的运动轨迹，在α粒子从a运动到b，再运动到c的过程中，下列说法中正确的是 ( C )
A.动能先增大，后减小
B.电势能先减小，后增大
C.电场力先做负功，后做正功，总功等于零
D.加速度先变小，后变大
5.某光电管的阴极是用金属钾制成的，它的逸出功为2.21eV,用波长为2.5×10-7m的紫外线照射阴极，已知真空中光速为3.0×108m/s,元电荷为1.6×10-19C,普朗克常量为6.63×10-34J·s,求得钾的极限频率和该光电管发射的光电子的最大动能应分别是 ( B )
A.5.3×1014Hz，2.2J B.5.3×1014Hz，4.4×10-19J
C.3.3×1033Hz，2.2J D.3.3×1033Hz，4.4×10-19J
6.卢瑟福通过实验首次实现了原子核的人工转变，核反应方程为，下列说法中正确的是 ( AC )
A.通过此实验发现了质子
B.实验中利用了放射源放出的γ射线
C.实验中利用了放射源放出的α射线
D.原子核在人工转变过程中，电荷数可能不守恒
7.硅光电池是利用光电效应将辐射的能量转化为电能.若有N个频率为υ的光子打在光电池极板上，这些光子的总能量为(h为普朗克常数) ( C )
A.hυ B. N hυ C.N hυ D.2N hυ
8.某气体的摩尔质量为M,摩尔体积为V，密度为ρ，每个分子的质量和体积分别为m和V0，则阿伏加德罗常数NA可表示为 ( BC )
A.NA= B.NA= C.NA= D.NA=
9.下列关于热现象的说法，正确的是 ( D )
A.外界对物体做功，物体的内能一定增加
B.气体的温度升高，气体的压强一定增大
C.任何条件下．热量都不会由低温物体传递到高温物体
D.任何热机都不可能使燃料释放的热量完全转化为机械能
10．关于热现象和热学规律，下列说法中正确的是 ( D )
A．随着低温技术的发展．我们可以使温度逐渐降低，并最终达到绝对零度
B．热量是不可能从低温物体传递给高温物体的
C．第二类水动机不能制成是因为它违反了能量守恒定律
D．用活塞压缩气缸里的空气，对空气做功 2.0×105J，同时空气向外界放出热量1.5×105 J，则空气的内能增加了0.5×105 J
11．用一个中微子轰击Cl产生一个氩核，其核反应方程式为υe+Cl→e已知Cl质量为36.95658u，Ar 的核的质量为36.956 91u，e的质量为0.00055 u,1u质量对应的能量为931.5MeV.根据以上数据，可以判断参与上述反应的电子中微子的最小能量 ( A )
A.0.82MeV B.0.31MeV C.1.33MeV D.0.51MeV
12．钍核（）具有放射性，它能放出一个电子衰变成镤核（），伴随该过程会放出γ光子，下列说法中正确的是（BD）
A．因为衰变过程中原子核的质量数守恒，所以不会出现质量亏损
B．γ光子是衰变过程中镤核（）辐射的
C．给钍加热，钍的半衰期将变短
D．原子核的天然放射现象说明原子核是可分的
13．中子n、质子p、氘核D的质量分别为现用光子能量为E的γ射线照射静止氘核使之分解，反应的方程为
若分解后中子、质子的动能可视为相等，则中子的动能是：（C）
A. B.
C. D.
14．1951年，物理学家发现了“电子偶数”,所谓“电子偶数”就是由一个负电子和一个正电子绕它们连线的中点旋转形成的相对稳定的系统。已知正，负电子的质量均为m,普朗克常数为h,静电常量为k。
(1) 若正负电子是由一个光子和核场作用产生的，且相互作用过程中核场不提供能量，则此光子的频率必须大于某个临界值，此临界值为多大？
(2) 假设“电子偶数”中，正负电子绕它们连线的中点做匀速圆周运动的轨道半径r,运动速度v及电子质量满足波尔的轨道量子化理论：2mvnrn=nh/2π,n =1,2,…。“电子偶数”的能量为正负电子运动的动能和系统的电势能之和，已知两正负电子相距L时系统的电势能为Ep=-ke2/L。试求n=1时“电子偶数”的能量．
(3) “电子偶数”由第一激发态跃迁到基态发出的光子的波长为多大
答案：(1)由题意 2mec2=h 所以
(2) “电子偶数”绕质量中心(即几何中心)转动,则 ①
故 “电子偶数”的总动能Ek=2 又已知其电势能
, ∴ “电子偶数”的总能量E总=Ek+E= ②
根据波尔的轨道量子化理论 可得 ③
由①③得 代入②即有E总=
在n=1时有E总= ④
(3) “电子偶数”从第一激发态(n=2)跃迁至基态时,放出能量,由④可得
△E=E总２-E总１＝　故由△E=得 。专题九 导体切割磁感线的运动
重点难点?
1．楞次定律：
推广可以具体简化为以下三种情况：①阻碍原磁通的变化；②阻碍导体间的相对运动；③阻碍原电流的变化．?
2．应用法拉第电磁感应定律时应注意：?
①一般用E = n（或E = ）求平均电动势，用E = Blυ求瞬时电动势，但当Δs随Δt均匀变化时，由于电动势恒定，平均电动势和瞬时电动势相等，可用E = n求某一时刻的电动势；
②匀强磁场中，B、l、υ相互垂直，导体平动切割磁感线时E = Blυ，绕固定转轴转动时E = Bl2ω．
规律方法
【例1】如图所示，在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，有一个质量为m、半径为r、电阻为R的均匀圆形导线圈，线圈平面跟磁场垂直（位于纸面内），线圈与磁场边缘（图中虚线）相切，切点为A，现在A点对线圈施加一个方向与磁场垂直，位于线圈平面内的，并跟磁场边界垂直的拉力F，将线圈以速度υ匀速拉出磁场．以切点为坐标原点，以F的方向为正方向建立x轴，设拉出过程中某时刻线圈上的A点的坐标为x．?
（1）写出此时F的大小与x的关系式；?
（2）在F-x图中定性画出F-x关系图线，写出最大值F0的表达式．
【解析】由于线圈沿F方向作切割磁感线运动，线圈上要产生顺时针方向的感应电流，从而要受到与F方向反向的安培力Ff作用，由图可知，此时线圈切割磁感线的有效长度l = 2?
线圈上感应电动势，感应电流i = ?
线圈所受安培力大小为Ff = Bil，方向沿x负方向?
因线圈被匀速拉出，所以F = Ff?
解上各式得F = x-x2?
（2）当x = r时，拉力F最大，最大值为F0 = ?
图线如图所示．
训练题如图（甲）所示，一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道间距l＝0.20m，电阻R＝1.0Ω；有一导体杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直，杆及轨道的电阻皆可忽略不计，整个装置处于磁感强度B＝0.50T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下，现用一外力F沿轨道方向拉杆，使之做匀加速运动，测得力F与时间t的关系如图（乙）所示，求杆的质量m和加速度a．
答案：a=10m/s2，m=0．1kg
　　　　　　　　　
?
【例2】如图所示，两根相距l平行放置的光滑导电轨道，与水平面倾角均为α轨道间有电阻R，处于磁感应强度为B方向竖直向上的匀强磁场中，一根质量为m、电阻为R/4的金属杆ab，由静止开始沿导电轨道下滑．设下滑中ab杆始终与轨道保持垂直，且接触良好，导电轨道有足够的长度，且电阻不计，求ab杆沿轨道下滑可达到的最终速度．?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【解析】当ab杆沿轨道加速下滑至速度υ时，ab杆上的电动势为E = BLυcosα
ab杆与导电轨道组成的回路中的电流为I =
ab杆受到的安培力为F = BIl = 方向水平向右．
当ab杆的速度增大至某一值υm时，ab杆受到的合外力F合恰减为零，此时ab杆的加速度a也减为零，之后ab杆保持速度υm沿轨道匀速下滑．速度υm即是ab杆沿轨道下滑可达到的最终速度．
据共点合力平衡条件，有mgsinα = Fcosα
即mgsinα = ·cosα，解得：υm = ．
训练题如图所示，具有水平的上界面的匀强磁场，磁感强度为B，方向水平指向纸内，一个质量为m，总电阻为R的闭合矩形线框abcd在竖直平面内，其ab边长为L，bc边长为h，磁场宽度大于h，线框从ab边距磁场上界面H高处自由落下，线框下落时，保持ab边水平且线框平面竖直．已知ab边进入磁场以后，cd边到达上边界之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值，此时cd边距上边界为h1，求：
（1）线框ab边进入磁场时的速度大小；
（2）从线框ab边进入磁场到线框速度达到最大的过程中，线框中产生的热量；?
答案：（1）v=（2gh）1/2
（2）Q=mg（H+h+h1）—m3R2g2/2B4L4
能力训练
1．一直升飞机停在南半球某处上空．设该处地磁场的方向竖直向上，磁感应强度为B．直升飞机螺旋桨叶片的长度为l，螺旋桨转动的频率为f，顺着地磁场的方向看螺旋桨，螺旋桨按顺时针方向转动．螺旋桨叶片的近轴端为a，远轴端为b，如图所示．如果忽略到转轴中心线的距离，用E表示每个叶片中的感应电动势，则 （ A ）
A．E = πfl2B，且a点电势低于b点电势 　　
B．E = 2πfl2B，且a点电势低于b点电势
C．E = πfl2B，且a点电势高于b点电势 　　
D．E = 2πfl2B，且a点电势高于b点电势2．如图是电磁驱动的原理图，把一个闭合线圈放在蹄形磁铁的两磁极间，蹄形磁铁和闭合线圈都可以绕OO′轴转动．当转动蹄形磁铁时，线圈将（ B ）
A．不动 　　　　　　　　　　　B．跟随磁铁一起转动
C．向与磁铁相反的方向转动　　　D．磁铁的磁极未知，无法判断
3．如图所示，C是一只电容器，先用外力使金属杆ab贴着水平平行金属导轨在匀强磁场中沿垂直磁场方向运动，到有一定速度时突然撤销外力．不计摩擦，则ab以后的运动情况可能是 （ C ）
A．减速运动到停止　　　
B．来回往复运动 　　
C．匀速运动 　
D．加速运动
4．在匀强磁场中放一电阻不计的平行金属导轨，导轨跟大线圈M相接，如图所示，导轨上放一根导线ab，磁感线垂直导轨所在的平面，欲使M所包围的小闭合线圈N产生顺时针方向的感应电流，则导线的运动可能是 （ CD ）
A．匀速向右运动　　　 B．加速向右运动　　　
C．减速向右运动　　　 D．加速向左运动
5．如右图所示，光滑的水平平行放置的导轨左端连有电阻R，导轨上架有一根裸金属棒ab，整个装置处于垂直轨道平面的匀强磁场中，今从静止起用力拉金属棒(保持棒与导轨垂直)，若拉力恒定，经时间t1后ab的速度为v，加速度为a1，最终速度可达2v；若拉力的功率恒定，经时间t2后ab的速度也为v，加速度为a2，最终速度也可达2v。求a1和a2满足的关系。（不计其他电阻）
答案：a2=3a1
6．水平固定的光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一阻值为R的电阻（金属框架、金属棒及导线的电阻均可忽略不计），整个装置处在向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现给棒一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。
（1）金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中求通过电阻R的电量和电阻R中产生的热量
（2）金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中求金属棒通过的位移
（3）如果将U型金属框架左端的电阻R换为一电容为C的电容器，其他条件不变，如图所示。求金属棒从开始运动到达稳定状态时电容器的带电量和电容器所储存的能量（不计电路向外界辐射的能量）
答案：（1）由动量定理得 即 所以
由能量守恒定律得
（2） 所以
（3）当金属棒ab做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，
当ab棒以稳定速度v匀速运动时，BLv=UC=
而对导体棒ab利用动量定理可得 —BL=mv-mv0
由上述二式可求得：
7．两根水平平行固定的光滑金属导轨宽为L，足够长，在其上放置两根长也为L且与导轨垂直的金属棒ab和cd，它们的质量分别为2m、m，电阻阻值均为R（金属导轨及导线的电阻均可忽略不计），整个装置处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中。
（1）现把金属棒ab锁定在导轨的左端，如图甲，对cd施加与导轨平行的水平向右的恒力F，使金属棒cd向右沿导轨运动，当金属棒cd的运动状态稳定时，金属棒cd的运动速度是多大？
（2）若对金属棒ab解除锁定，如图乙，使金属棒cd获得瞬时水平向右的初速度v0，当它们的运动状态达到稳定的过程中，流过金属棒ab的电量是多少？整个过程中ab和cd相对运动的位移是多大？
答案：⑴当cd棒稳定时，恒力F和安培力大小相等，方向相反，以速度v匀速度运动，有：
F=BIL 又 联立得：
⑵ab棒在安培力作用下加速运动，而cd在安培力作用下减速运动，当它们的速度相同，达到稳定状态时，回路中的电流消失，ab，cd棒开始匀速运动。
设这一过程经历的时间为t，最终ab、cd的速度为v′，通过ab棒的电量为Q。
则对于ab棒由动量守恒：BILt＝2mv′ 即：BLQ＝2 mv′
同理，对于cd棒：－BILt＝mv′－mv0 即：　BLQ＝m（v0-v′）得：
设整个过程中ab和cd的相对位移为S，由法拉第电磁感应定律得：　　
流过ab的电量： 得：
8．如图，光滑平行的水平金属导轨MN、PQ相距l，在M点和P点间接一个阻值为R的电阻，在两导轨间OO1O1′O′矩形区域内有垂直导轨平面竖直向下、宽为d的匀强磁场，磁感强度为B。一质量为m，电阻为r的导体棒ab，垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距d0。现用一大小为F、水平向右的恒力拉ab棒，使它由静止开始运动，棒ab在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒ab与导轨始终保持良好的接触，导轨电阻不计）。求：
（1）棒ab在离开磁场右边界时的速度；
（2）棒ab通过磁场区的过程中整个回路所消
耗的电能；
（3）试分析讨论ab棒在磁场中可能的运动情况。
答案：（1）ab棒离开磁场右边界前做匀速运动，
速度为，则有　 　
对ab棒　 F－BIl＝0
解得　
（2）由能量守恒可得：　　
解得：
（3）设棒刚进入磁场时速度为v
　由 可得
棒在进入磁场前做匀加速直线运动，在磁场中运动可分三种情况讨论：
①若（或），则棒做匀速直线运动；
②若（或F＞），则棒先加速后匀速；
③若（或F＜＝，则棒先减速后匀速。
a
B
b
c
d
H
R
B
a
b
F
a
b
C
v0
a
b
R
v0
a
b
c
d
F
B
甲
v0
B
O
c
a
b
d
乙
O
F
b
O′
O1’
O1
a
R
M
P
B
N
Q
l0
l专题七 带电粒子在磁场中的运动?
重点难点
1．洛伦兹力：?
（1）产生洛伦兹力的条件：①电荷对磁场有相对运动．磁场对与其相对静止的电荷不会产生洛伦兹力作用．②电荷的运动速度方向与磁场方向不平行．?
（2）洛伦兹力大小：当电荷运动方向与磁场方向平行时，洛伦兹力为零；当电荷运动方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力最大，等于qυB；
（3）洛伦兹力的方向：洛伦兹力方向用左手定则判断?
（4）洛伦兹力不做功．
2．带电粒子在洛伦兹力作用下的运动?
（1）若带电粒子沿磁场方向射入磁场，即粒子速度方向与磁场方向平行，θ＝0°或180°时，带电粒子不受洛伦兹力作用，即F＝0，则粒子在磁场中以速度υ做匀速直线运动．
（2）若带电粒子的速度方向与匀强磁场方向垂直，即θ＝90°时，带电粒子所受洛伦兹力F＝Bqυ，方向总与速度υ垂直．由洛伦兹力提供向心力，使带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．求解此类问题的关键是分析并画出空间几何图形——轨迹图．
规律方法
【例1】一个长螺线管中通有电流，把一个带电粒子沿中轴线射入（若不计重力影响），粒子将在管中 （　D　）
A．做圆周运动　　　　　　　　　　B．沿轴线来回运动?
C．做匀加速直线运动　　　　　　　D．做匀速直线运动?
训练题如图所示，一个带负电的滑环套在水平且足够长的粗糙的绝缘杆上，整个装置处于方向如图所示的匀强磁场B中．现给滑环施以一个水平向右的瞬时冲量，使其由静止开始运动，则滑环在杆上的运动情况可能是 （ ABC ）
A．始终作匀速运动　　　　　　　　?
B．开始作减速运动，最后静止于杆上?
C．先作加速运动，最后作匀速运动
D．先作减速运动，最后作匀速运动?
【例2】如图所示，一束电子（电量为e）以速度υ垂直射入磁感应强度为B，宽度为d的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是，穿透磁场的时间是 ．?
【解析】电子在磁场中运动，只受洛仑兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为B⊥υ，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向交点上，由几何知识知，AB间圆心角θ＝30°，OB为半径．?
∴r = = 2d，又由r = 得m =
又∵AB圆心角是30°?∴穿透时间t = ，故t = ．
训练题如图（甲）所示，在x≥0区域内有如图（乙）所示的大小不变、方向随时间周期性变化的磁场，设磁场方向垂直于纸面向外时为正方向．现有一质量为m、带电量为＋q的离子，在t＝0时刻从坐标原点O以速度υ沿与x轴正方向成75°角射入，离子运动一段时间而到达P点，P点坐标为（a，a），此时离子的速度方向与?OP?延长线的夹角为30°，离子在此过程中只受磁场力作用．?
（1）若B0 = B1为已知量，试求离子在磁场中运动时的轨道半径R及周期的表达式．?
（2）若B0为未知量，那么所加最大磁场的变化周期T、磁感应强度B0的大小各应满足什么条件，才能使离子完成上述运动？（写出T、B0各应满足条件的表达式）?
答案：（1）T=2πm/qB1，R=mv/qB1
（2）B0=mv/（2）1/2aq，T≥1（2）1/2πa/3v
【例3】如图所示，在y＞0的区域内存在匀强磁场，磁场垂直于图中的Oxy平面，方向指向纸外，原点O处有一离子源，沿各个方向射出速率相等的同价负离子，对于进入磁场区域的离子，它们在磁场中做圆弧运动的圆心所在的轨迹，可用图2-7-8给出的四个半圆中的一个来表示，其中正确的是 　　　　　　（　C　）?　　
　
训练题一质点在一平面内运动，其轨迹如图所示，它从A点出发，以恒定速率v0经时间t到B点，图中x轴上方的轨迹都是半径为R的半圆，下方的都是半径为r的半圆
(1)求此质点由A到B沿x轴运动的平均速度；
(2)如果此质点带正电，且以上运动是在一恒定（不随时间而变）的磁场中发生的，试尽
可能详细地论述此磁场的分布情况，不考虑重力的影响。
答案：(1)v== (2)论述略，
能力训练1． K-介子衰变方程为：K-→?π-?+π0，其中K-介子和π-介子带负的基元电荷，π0介子不带电．如图所示，一个K-介子沿垂直于磁场的方向射入匀强磁场中，其轨迹为圆弧AP，衰变后产生的π-介子的轨迹为圆弧PB，两轨迹在P点相切，它们的半径R1与R2之比为2∶1，π0介子的轨迹未画出．由此可知π-的动量大小与π0的动量大小之比为 （ A ）
A．1∶1　　　　B．1∶2　　　　　C．1∶3　　　　　　D．1∶6
2．如图所示，在一个水平胶木圆盘上有一个带负电荷的金属块P随圆盘一起绕过Ο点的竖直轴匀速转动，圆盘转动的最大角速度为ω．若在竖直方向加一向下的匀强磁场，仍然保持P随圆盘一起转动，圆盘依图示方向匀速转动的最大角速度为ω′．则下面判断正确的是（ BD ）
A．金属块受到的磁场力方向指向圆心O 　　
B．金属块受到的磁场力方向背离圆心O
C．ω<ω′ 　　　　　　　　　　　　　　　　
D．ω>ω′ 3．如图所示，宽d = 2cm的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂直纸面向内．现有一群带正电的粒子从O点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径均为r = 5cm，则 （ AD ） （ ）
A．右边界：-4cm＜y≤4cm的范围内有粒子射出
B．右边界：y＞4cm和y＜-4cm的范围内有粒子射出
C．左边界：y＞8cm的范围内有粒子射出
D．左边界：0＜y≤8cm的范围内有粒子射出 4．如图所示，在一个半径为R的圆形区域内存在着匀强磁场，磁场方向垂直于圆面向里．一个带电粒子从磁场边界的A点以指向圆心O的方向进入磁场区域内，粒子将做圆周运动到达磁场边界的C点，但在粒子经过D点时，恰好与一个原来静止在该点的不带电的粒子碰撞后结合在一起形成新粒子，关于这个新粒子的运动情况，以下判断正确的是（ CD ）
A．新粒子的运动半径将减小，可能到达F点 　
B．新粒子的运动半径将增大，可能到达E点
C．新粒子的运动半径将不变，仍然到达C点 　
D．新粒子在磁场中的运动时间将变长
5．三个速度大小不同的同种带电粒子，沿同一方向从图所示的长方形区域匀强磁场的上边缘射入，当它们从下边缘飞出时，对入射方向的偏角分别为90°、60°、30°，则它们在磁场中运动时间之比为 　　　　（ C ）
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3
C．3∶2∶1 D．∶∶1
6．核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×C/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。求：
（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。
（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。
答案：（1）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如图所示。
由图中知，解得
由得
所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为。
（2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图所示。
由图中知
由得
所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度
7．在某一真空空间内建立xoy坐标系，从原点O处向第一象限发射一比荷的带正电的粒子（重力不计），速度大小v0 ＝103m/s、方向与x轴正方向成30°角．
（1）若在坐标系y轴右侧加有匀强磁场区域，在第Ⅰ象限，磁场方向垂直xoy平面向外；在第Ⅳ象限，磁场方向垂直xoy平面向里；磁感应强度均为B＝1T，如图（a）所示．求粒子从O点射出后，第2次经过x轴时的坐标x1．
（2）若将上述磁场改为如图（b）所示的匀强磁场．在t＝0到时，磁场方向垂直于xoy平面向外；在到时，磁场方向垂直于xoy平面向里，此后该空间不存在磁场．在t＝0时刻，粒子仍从O点以与原来相同的速度v0射入，求粒子从O点射出后第2次经过x轴时的坐标x2．
答案：（1）轨迹如图（a）所示．轨迹半径，OA弧所对圆心角为60°，则OA＝R＝0.1ｍ，x1＝2OA＝0.2m
（2）轨迹半径，周期，磁场变化的半周期为，轨迹如图（b）所示，由几何关系知∠OO1C＝∠CO2D＝120°，且O1O2平行于x轴，DE垂直于x轴．OE＝2（R＋Rsin30°）＝3R＝0.3ｍ．
RtΔEDP中，∠EDP＝60°，DE＝2Rsin60°，EP＝DEtan60°＝3R＝0.3ｍ．
则x2＝OE＋EP＝0.6m
8．如图所示，在直角坐标系的第Ⅱ象限和第Ⅳ象限中的直角三角形区域内，分布着磁感应强度均为B＝5.0×10－2T的匀强磁场，方向分别垂直纸面向外和向里。质量为m＝6.64×10－27㎏、电荷量为q＝＋3.2×10－19C的α粒子（不计α粒子重力），由静止开始经加速电压为U＝1205V的电场（图中未画出）加速后，从坐标点M（－4，）处平行于x轴向右运动，并先后通过匀强磁场区域。
⑴请你求出α粒子在磁场中的运动半径；
⑵请你在图中画出α粒子从直线x＝－4到直线x＝4之间的运动轨迹，并在图中标明轨迹与直线x＝4交点的坐标；
⑶求出α粒子在两个磁场区域偏转所用的总时间。
答案：⑴α粒子在电场中被加速，由动能定理得 　
α粒子在磁场中偏转，则牛顿第二定律得
联立解得（m）
⑵能正确作出图象得
⑶带电粒子在磁场中的运动周期
　
α粒子在两个磁场中分别偏转的弧度为，在磁场中的运动总时间
（s）
B

A

r1
O
O2
O
x
y
R
A
x1
60°
v0
图（a）
y
x
O
v0
O1
O2
C
D
E
R
R
M
N
P
图（b）
R
R
x2
O
M
2
－2
2
－4
4
x/10－1m
y/10－1m
－2
v
B
B
O
M
2
－2
2
－4
4
x/10－1m
y/10－1m
－2
v
B
B
（4，）专题十一 动量守恒定律
重点难点
1．动量守恒的条件：可以归纳为以下几种情况：①物体系统不受外力或所受合外力为零；②物体系统受到的外力远小于内力；③系统在某方向上不受外力、合外力为零或外力远小于外力，此时在该方向上动量守恒．
在碰撞和爆炸现象中，由于物体间相互作用持续时间很短，一般都满足内力远大于外力，故可以用动量守恒定律处理．
2．运用动量守恒定律应注意：?
①矢量性：动量守恒定律的方程是一个矢量关系式?对于作用前后物体的运动方向都在同一直线上的问题，应选取统一的正方向，按正方向确定各矢量的正负??
②瞬时性：动量是一个状态量，对应着一个瞬时?动量守恒是指该相互作用过程中的任一瞬时的动量恒定不同时刻的动量不能相加??
③相对性：动量的具体数值与参考系的选取有关，动量计算时的速度必须是相对同一惯性系的速度，一般以地面为参考系??
3．反冲运动中移动距离问题的分析：
一个原来静止的系统，由于某一部分的运动而对另一部分有冲量，使另一部分也跟着运动，若现象中满足动量守恒，则有m1υ1-m2υ2 = 0，υ1 = υ2．物体在这一方向上的速度经过时间的累积使物体在这一方向上运动一段距离，则距离同样满足s1 = s2，它们的相对距离s相 = s1+s2．
规律方法
【例1】如图所示，大小相同质量不一定相等的A、B、C三个小球沿一直线排列在光滑水平面上，未碰前A、B、C三个球的动量分别为8kg·m/s、-13kg·m/s、-5kg·m/s，在三个球沿一直线相互碰撞的过程中，A、B两球受到的冲量分别为-9N·s、1N·s，则C球受到的冲量及C球碰后的动量分别为 （ B ）
A．1N·s，3kg·m/s　　　　　 B．8N·s，3kg·m/s?
C．-8N·s，5kg·m/s　　　　 　D．10N·s，5kg·m/s?
训练题A、B两船的质量均为M，它们都静止在平静的湖面上，当A船上质量为的人以水平速度υ从A船跳到B船，再从B船跳回A船．经多次跳跃后，人最终跳到B船上，设水对船的阻力不计，则（ ABC ）
A．A、B两船最终的速度大小之比为3∶2
B．A、B（包括人）最终的动量大小之比为1∶1
C．A、B（包括人）最终的动量之和为零
D．因跳跃次数未知，故以上答案均无法确定
【例2】假定航天飞机的喷气发动机每次喷出质量为m = 200g的气体，气体离开发动机喷气孔时，相对于喷气孔的速度υ = 1000m/s，假定发动机在1min内喷气20次，那么在第1min末，航天飞机的速度的表达式是怎样的？如果这20次喷出的气体改为一次喷出，第1min末航天飞机的速度为多大？航天飞机最初质量为M = 3000kg，初速度为零，运动中所受阻力不计．
【解析】设第一次喷气后航天飞机速度为υ1，第二次喷气后航天飞机速度为υ2，……依次类推，取航天飞机速度方向为正方向，根据动量守恒定律有：?
第一次喷气后：（M-m）υ1-m（υ-υ1） = 0；得υ1 = ?
第二次喷气后：（M-m）υ1 = （M-2m）υ2-m（υ-υ2），得υ2-υ1 = ?
第三次喷气后：（M-2m）υ2 = （M-3m）υ3-m（υ-υ3），得υ3-υ2 = ?
……?
第20次喷气后：（M-19m）υ19 = （M-20m）υ20-m（υ-υ20），得υ20-υ19 = ?
综合以上可得1min末飞船的速度为 υ20 = +++……+?
若20次喷出的气体一次喷出，则：0 = （M-20m）υ′-20m（υ-υ′）?
得υ′ = = = m/s?
比较可知υ20＞υ′，即当喷气质量一定时，分次喷出比一次喷出，航天飞机获得的速度大?且分的次数越多，获得的速度越大，这也是火箭连续喷气的原因??
训练题甲、乙两人做抛球游戏，甲站在一辆平板车上，车与水平面摩擦不计，甲与车的总质量为M = 100kg，另有一质量为m = 2kg的球?乙固定站在车对面的地面上，身旁有若干质量不等的球?开始车静止，甲将球以速率υ水平抛给乙，乙接球后马上将另一质量m1 = 2m的球以相同的速度υ水平抛给甲；甲接住后再以相同速率将此球抛回给乙，乙接住后马上将另一质量m2 = 2m1 = 4m的球以速率υ水平抛给甲……这样往复抛球．乙每次抛给甲的球质量都是接到甲抛给他的球的质量的2倍，而抛球速率始终为υ（相对于地面水平方向）不变．求：
（1）甲第二次抛出（质量为2m）球后，后退速率多大？
（2）从第1次算起，甲抛多少次后，将再不能接到乙抛来的球？?
答案：（1）v2=v/10
（2）甲抛5次后，将再不能接到乙抛来的球
【例3】如图所示，三个质量为m的弹性小球用两根长为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上，现给中间的小球B一个水平初速度υ0，方向与绳垂直?小球相互碰撞时无机械能损失，轻绳不可伸长，求：
（1）当小球A、C第一次相碰时，小球B的速度．
（2）当三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度．
（3）运动过程中小球A的最大动能EKA和此时两根绳的夹角θ．
（4）当三个小球处在同一直线上时，绳中的拉力F的大小．
【解析】由于绳子不可伸长，且A、C两球在运动过程中具有对称性，当A、C两球第一次相碰时，三球具有相同的速度；小球发生相互作用时满足动量守恒定律和机械能守恒定律．
（1）设小球A、C第一次相碰时，小球B的速度为υB，此时A、C小球沿B球初速度方向的速度也为υB．由动量守恒定律，得：mυ0 = 3mυB，由此得υB = υ0??
（2）当三个小球再次在同一直线上时，此时B球的速度为υB1，A、C球的速度为υA，υA的方向为B球的初速度方向，由动量守恒定律、机械能守恒定律得：?
mυ0 = mυB1+2mυA?
mυ = mυB+2×mυ?
解得：υB1 = -υ0，υA = υ0 （或υB1 = υ0，υA = 0，此为初状态，舍去）??
所以，当三球再次处在同一直线上时，小球B的速度为υB1 = -υ0，负号表示与初速度反向．??
（3）从（2）的解可知，B球速度由最初的υ0变化（减小）为零，然后反向运动，可见当B球速度为零时，动能EKBI也为零，而机械能守恒，故此时A球动能最大??
设此时A球（C球）的速度为υ，两根绳的关角为θ，如图，则仍由动量守恒定律和机械能守恒定律，得：?
mυ0 = 2mυsin??
mυ = 2×mυ2?
可得此时A球的最大动能为EKA = mυ2 = mυ，两根绳间夹角为θ = 90°．
（4）当三球处于同一直线上时，B球受力平衡，B球加速度为零，选B球为参考系时，A、C两球做圆周运动，绳子拉力为其提供向心力．
A球相对B球的速度为υAB = υA-υB1 = υ0?
由牛顿第二定律，此时绳中拉力为F，则F = m = m．
训练题长为2b的轻绳，两端各系一质量为m的小球，中央系一质量为M的小球，三球均静止于光滑的水平面上，绳处于拉直状态?今给小球M以一种冲击，使它获得一水平初速度υ0，υ0的方向与绳垂直，如图所示，求在两端的小球发生相互碰撞前的瞬间，球m在垂直于绳方向的分速度多大？（绳不可伸长）
答案：v2=｛Mv/（M+2m）｝1/2
【例4】如图所示，甲、乙两人分别站在A、B两辆冰车上，一木箱静止于水平光滑的冰面上，甲与A车的总质量为M1，乙和B车的总质量为M2，甲将质量为m的木箱以速率υ（对地）推向乙，
乙接住后又以相等大小的速度将木箱推向甲，甲接住木箱后又以速率υ将木箱推向乙，然后乙接住后再次将木箱以速度υ推向甲，木箱就这样被推来推去，求最终甲、乙两人（连同冰车）的速度各为多少？（已知M1 = 2M2，M1 = 30m）?
【解析】设甲第1次推出木箱后获得的速度为υ1，第2次推出木箱后甲的速度为υ2，……第n次推出木箱后速度为υn，对木箱与甲（包括车）构成的系统应用动量守恒，第1次推出过程：0 = M1υ1-mυ，得υ1 = υ．从接住到第2次推出：M1υ1+mυ = M1υ2-mυ，得υ2 = υ1+ =
从接住到第3次推出：M1υ2+mυ = M1υ3-mυ，得υ3 = υ2+ = ?
……从接住到第n次推出：M1υn-1+mυ = M1υn-mυ，得υn = υn-1+ = ?
当甲不再接住木箱时，有：υn≥υ，即≥υ 解得n≥15.5?
设乙第1次、第2次、第3次、……，第k次推出木箱的速度依次为υ′1、υ′2、υ′3……υ′k，根据动量守恒定律得：第1次推出：mυ = M2υ′1-mυ，得υ′1 = ?
第2次推出：mυ+M2υ′1 = M2υ′2-mυ，得υ′2 = υ′1+ = ?
第3次推出：mυ+M2υ′2 = M2υ′3-mυ，得υ′3 = υ′2+ =
……第k次推出：mυ+M2υ′k-1 = Mυ′k - mυ，得υ′k = υ′k-1+ = ?
欲使乙不再接住木箱，必满足υ′k≥υ，即≥υ，解得k≥7.5??
比较n≥15．5和k≥7．5可知，当乙第8次推出木箱后，就不再接住木箱，因此甲第9次推出木箱后，速度也不再发生变化，故甲和乙的最终速度分别为：?
υ甲 = mυ = υ，c乙 = mυ = υ??
训练题如图一块足够长的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右放有序号是1、2、3、……、n的木板，所有木块的质量均为m，与木板间的动摩擦因数都相同?开始时，木板静止不动，第1、2、3、……、n号木块的初速度分别是υ0、2υ0、3υ0、……nυ0，方向都向右，木板的质量与所有木块的总质量相等，最终所有木块与木板以共同速度匀速运动．设木块之间均无相互碰撞，求：
（1）所有木块与木板一起匀速运动的速度υn．
（2）第1号木块与木板刚好相对静止时的速度υ1．
答案：（1）vn=（n+1）v0/4
（2）v1=v0/2
能力训练
1．如图所示，光滑的水平地面上放着一个光滑的凹槽，槽两端固定有两轻质弹簧，一弹性小球在两弹簧间往复运动，把槽、小球和弹簧视为一个系统，则在运动过程中 （ B ）
A．系统的动量守恒，机械能不守恒
B．系统的动量守恒，机械能守恒
C．系统的动量不守恒，机械能守恒
D．系统的动量守恒，机械能不守恒
2．在一定条件下，让质子获得足够大的速度，当两个质子P以相等的速率对心正碰，特发生下列反应：P+P→P+P++，其中是反质子（反质子与质子质量相等，均为mP，且带一个单位正电荷），则以下关于该反应的说法正确的是（ ABC ）
A．反应前后系统总动量皆为零
B．反应过程系统能量守恒
C．根据爱因斯坦质能方程可知，反应前两个质子的能量最小为2mpc2
D．根据爱因斯坦质能方程可知，反应后单个质子的能量可能小于mpc2
3．一个静止的放射性原子核处于垂直纸面向里的匀强磁场中，由于发生衰变而形成了如图3-11-8所示的两个圆形轨迹，两圆半径之比为1∶16，下列说法正确的是 （ A ）
A．该原子核发生了α衰变
B．反冲核沿大圆做逆时针方向的圆周运动
C．原来静止的原子核的序数为15
D．沿大圆和沿小圆运动的柆子周期相同
4．如图所示，自行火炮连同炮弹的总质量为M，当炮管水平，火炮车在水平路面上以υ1的速度向右匀速行驶中，发射一枚质量为m的炮弹后，自行火炮的速度变为υ2，仍向右行驶，则炮弹相对炮筒的发射速度υ0为　　　　　　　　　（ B ）
A． B．
C． D．
5．如图甲所示，质量为M的木板静止在光滑水平面上，一个质量为m的小滑块以初速度υ0从木板的左端向右滑上木板．滑块和木板速度随时间变化的图象如图乙所示，某同学根据图象作出如下一些判断，正确的是（ ACD ）
A．滑块与木板间始终存在相对运动
B．滑块始终未离开木板
C．滑块的质量大于木板的质量
D．在t1时刻滑块从木板上滑出
6．质量为m的木板和质量为M的金属块用细绳系在一起，处于深水中静止，剪断细绳，木块上浮h时（还没有出水面），则铁沉下沉的深度为多大？（水的阻力不计）
答案：x=mh/M
7．人和冰车的总质量为M，另有一木球质量为m，且M∶m = 10∶1，人坐在静止于水平冰面的冰车上，以速度υ（相对地面）将原来静止的木球沿冰面推向前方的固定挡板，球与冰面、车与冰面的摩擦可不计，空气阻力也忽略不计，设球与挡板碰撞后，球被原速率反向弹回，人接住球后再以同样的速率υ将球沿冰面向正前方推向挡板．问人推球多少次后不能再接到球？
答案：人推球六次后不能再接到球
8．如图所示，n个相同的木块（可视为质点），每块的质量都是m，从右向左沿同一直线排列在水平桌面上，相邻木块间的距离均为l，第n个木块到桌边的距离也是l，木块与桌面间的动摩擦因数为 ．开始时，第1个木块以初速度v0向左滑行，其余所有木块都静止，在每次碰撞后，发生碰撞的木块都粘在一起运动．最后第n个木块刚好滑到桌边而没有掉下．
（1）求在整个过程中因碰撞而损失的总动能．
（2）求第i次（i≤n－1）碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比．
（3）若n＝４，l＝0.10m，v0 ＝3.0m/s，重力加速度g＝10m/s2，求 的数值．
答案：（1）整个过程中系统克服摩擦力做的总功为
Wf＝ mgl（1＋2＋3＋…＋n）＝
整个过程中因碰撞而损失的总动能为
（2）设第i次（i≤n－1）碰撞前瞬间，前i个木块粘合在一起的速度为vi，
动能为
与第i＋１个（i≤n－1）木块碰撞粘合在一起后瞬间的速度为vi＇，
由动量守恒定律
则
第i次（i≤n－1）碰撞中损失的动能为
则第i次（i≤n－1）碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比为
（i≤n－1）
（3）n＝４时，共发生了i＝3次碰撞．
第1次碰前瞬间的速度为，碰撞中动量守恒：
第1次碰后瞬间的速度为
第2次碰前瞬间的速度为
碰撞中动量守恒：
第2次碰后瞬间的速度为
第3次碰前瞬间的速度为
碰撞中动量守恒：
第3次碰后瞬间的速度为
最后滑行到桌边，速度恰好为零，则
即
整理后得，代入数据解得


专题五 直线运动和曲线运动?
重点难点
1．竖直上抛运动的处理方法?
分段处理法：竖直上抛运动可分为上升过程和下降过程．上升过程是初速为υ0，末速为υt，加速度为重力加速度（方向竖直向下）的匀加速直线运动；下降过程是自由落体运动．
整段处理法：竖直上抛运动是初速为υ0（方向竖直向上），加速度为重力加速度（方向竖直向下）的匀减速直线运动，其运动规律是：υt = υ0-gt，h = υ0t-gt2．
2．小船过河问题
若用υ1表示水速，υ2表示船速，则：
①过河时间仅由υ2的垂直于岸的分量υ⊥决定，即t = ，与υ1无关，所以当υ2垂直于河岸时，过河所用时间最短，最短时间为t = ，也与υ1无关．
②过河路程由实际运动轨迹的方向决定，当υ1＜υ2时，最短路程为d；当υ1＞υ2时，最短路程程为d（如图所示）．
3．圆周运动的临界问题
分析圆周运动的临界问题时，一般应从与研究对象相联系的物体（如：绳、杆、轨道支持面等）的力学特征着手．分为两种情形：
①没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况．
②球过最高点时，轻质杆对小球产生的弹力情况．?
规律方法?
【例1】一辆摩托车能达到的最大速度为30m/s，要想在3min内由静止起沿一条平直公路追上在前面1000m处以20m/s的速度匀速行驶的汽车，则摩托车必须以多大的加速度起动？?
甲同学的解法是：设摩托车恰好在3min时追上汽车，则at2 = υt+s0，代入数据得：a = 0．28m/s2．?
乙同学的解法是：设摩托车追上汽车时，摩托车的速度恰好是30m/s，则υ = 2as = 2a（υt+s0），代入数据得： a = 0.1m/s2?
你认为他们的解法正确吗？若错误请说明理由，并写出正确的解法．?
【解析】甲错，因为摩托车以a = 0．28m/s2加速3min，速度将达到υm = at = 0．28×180m/s = 50．4m/s，大于摩托车的最大速度30m/s．
乙错，若摩托车以a = 0.1m/s2加速，速度达到30m/s所需时间为t = = s = 300s，大于题给时间3min正确解答：从上述分析知道，摩托车追上汽车的过程中，先加速到最大速度υm，再以此最大速度υm追赶汽车．设加速到最大速度υm所需的时间为t0，则以最大速度υm追赶的时间为t-t0．?
对摩托车加速段有：υm = at0?
由摩托车和汽车运动的位移相等可得：at+υm（t-t0） = υt+s0?
解得：a = 0.56m/s2．?
训练题羚羊从静止开始奔跑，经过50m的距离能加速到最大速度25m/s，并能维持一段较长时间．猎豹从静止开始奔跑，经过60m的距离能加速到最大速度30m/s，以后只能维持这一速度4.0s，设猎豹距羚羊xm时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1．0s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，则?
（1）猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，x值应在什么范围内？?
（2）猎豹要在其加速阶段追到羚羊，x值应在什么范围内？?
答案：（1）x＜55m
（2）x＜31.9m
【例2】如图所示，从倾角为θ的足够长斜面上的A点，先后将同一个小球以不同的初速度水平向右抛出．第一次初速度为υ1，球落到斜面上时瞬时速度方向与斜面夹角为α1；第二次初速度为υ2，球落到斜面上时瞬时速度方向与斜面夹角为α2．不计空气阻力，若υ1>υ2，则α1 ＝ α2（填>、 = 、<）．?　　　　　
训练题如图所示，从倾角为θ = 30°的斜面顶端以初动能E = 6J向下坡方向平抛出一个小球，则小球落到斜面上时的动能E′为? ?J．?　　　　　　　
答案：E′=14J
【例3】质量为m的物体沿着半径为R的半球形金属球壳滑到最低点时的速度大小为υ，如图所示，若物体与球壳之间的摩擦因数为μ，则物体在最低点时的　　　　　（ AD ）
A．向心加速度为　　　　　?B．向心力为m（g+）?
C．对球壳的压力为?　　　D．受到的摩擦力为μm（g+）?　　　　　　　　　
训练题质量为m的物体从半径为R的半球形碗的碗口下滑到碗的最低点的过程中，
如果摩擦力的作用使得物体的速度大小不变，如图所示，那么（ D ）
A．因为速率不变，所以物体的加速度为零
B．物体下滑过程中受的合外力越来越大
C．物体下滑过程中的摩擦力大小不变
D．物体下滑过程中的加速度大小不变，方向始终指向球心
　
能力训练
1．小球从空中自由下落，与水平地面相碰后反弹到空中某一高度，其速度—时间图象如图所示，则由图可知　　　　　　　　　（ ABC ）
A．小球下落的最大速度为5m/s
B．小球第一次反弹初速度的大小为3m/s
C．小球能弹起的最大高度
D．小球能弹起的最大高度1.25m 　　　　　
2．如图所示，小球沿斜面向上运动，依次经过a、b、c、d到达最高点e，已知ab = bd = 6m，bc = 1m，小球从a到c和从c到d所用的时间都是2s．设小球经b、c时的速度分别为υb、υc，则（ ABD ）
A．υb = m/s 　　　B．υc = 3m/s
C．de＝5m D．从d到e所用时间为4s
3．如图所示，一小球沿竖直放置的光滑圆环形轨道做圆周运动，圆环的半径为R．关于小球的运动情况，下列说法中正确的是 （ ACD ）
A．小球的线速度的方向时刻在变化，但总在圆周切线方向上
B．小球的加速度的方向时刻在变化，但总是指向圆心的
C．小球的线速度的大小总大于或等于
D．小球通过轨道最低点的加速度的大小一定大于g
4．在光滑的水平面上静止一物体，现以水平恒力甲推此物体，作用一段时间后换成相反方向的水平恒力乙推物体，当恒力乙作用时间与恒力甲的作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的速度为υ2，若撤去恒力甲的瞬间物体的速度为υ1，则υ2∶υ1 = ？
答案：υ2∶υ1 = 2∶1
5．如图所示，水平台AB距地面CD高h = 0．8m．有一小滑块从A点以6．0m/s的初速度在平台上做匀变速直线运动，并从平台边缘的B点水平飞出，最后落在地面上的D点．已知AB = 2．20m，落地点到平台的水平距离为2.00m．（不计空气阻力，g = 10m/s2）求滑块从A到D所用的时间和滑块与平台的动摩擦因数．
答案：t=0。8s，μ=0。25
6．某年9月，四川、重庆普降暴雨，造成重庆市10余县区发生历史上罕见的洪涝灾害，造成百余人死亡．在此次抗洪抢险中，战士驾驶冲锋舟救人，假设江岸是平直的，洪水沿江而下，水的流速为5m/s，舟在静水中的航速为10m/s，战士救人的地点A离岸边最近点O的距离为50m，如图．求：
（1）战士要想通过最短的时间将人送上岸，则最短时间是多少？
（2）战士要想通过最短的航程将人送上岸，冲锋舟的舟头应与河岸成多少度角？
（3）若水的流速是10m/s，而舟的航速（静水中）为5m/s，战士想通过最短的距离将人送上岸，则这个最短距离是多少？
答案：（1）tmin=5s
（2）θ=600
（3）smin=100m
7．甲、乙两质点同时开始在彼此平行且靠近的两水平轨道上同向运动，甲在前，乙在后，相距s，甲初速度为零，加速度为a，做匀加速直线运动；乙以速度v0做匀速运动，关于两质点在相遇前的运动。
某同学作如下分析：
设两质点相遇前，它们之间的距离为△s，则，当时，两质点间距离△s有最小值，也就是两质点速度相等时，两质点之间距离最近。
你觉得他的分析是否正确？如果认为是正确的，请求出它们的最小距离；如果认为是不正确的，请说明理由并作出正确分析。
答案：不正确。
在两质点相遇之前，它们之间的距离Δs也可能不断减小，直至Δs＝0（相遇），而不存在变小后变大的情况，这完全取决于两质点之间的初始距离s与v0、a之间的大小关系
由　　s＝v0t－可解得：
可见，若v02＝2as 即 则
当t≤时，甲乙之前的距离始终在减小，直至相遇，（最小距离Δ s＝0），不会出现Δs最小的情况。
当v0<2as，即s>时，甲与乙不可能相遇，在t<时，两质点距离会出现先变小后变大的情况，当t=时，两质点之间的距离最近，：Δ s min＝s－

8．这是一个研究圆周运动向心力的实验设计：在一个透明玻璃做成的圆台面上均匀贴了数条反光度很高的狭窄铝箔纸条，在圆盘上方某处安装了一个光传感器，它具有发射红外光线，同时可接收反射光的功能。台面上有一条光滑的凹槽，凹槽的尽头，靠近台壁处安装了一个力传感器（可以感知力的大小），力传感器前放置一个小球。圆盘转动时，光传感器发出的光线在铝箔处反射为光传感器接收，在没有铝箔处将透射过去，小球压迫在力传感器上，获得传感器给球的弹力，这个力充当小球作圆周运动的向心力，力的大小通过传感器可以测量，当光传感器和力传感器通过数据采集系统与电脑连接后，电脑显示屏可显示出光接收波形图( a )和力的测量数值。从而在小球m已知前提下，研究向心力的关系。现已知光传感器在圆台面上的光点距转轴距离r，小球的质量为m，球心与转轴相距r，铝箔宽度d，电脑显示屏显示出铝箔条反射光的最短时间为t1，当力传感器获得对应时间的数值F0后。
（1）A同学是这样处理的
算出，再由，与F0比较，从而验证。但结果发现，误差较大，请指出问题所在。
（2）这一设计对转台作非匀速圆周运动的情况是否适用。简要说明理由。
答案：（1）是由于用计算瞬时速度时，d值偏大的原因。
（2）适用，在实验中，若使d值较小，则由算出的速度可表示瞬时速度。专题十八 光的反射和折射?
?
重点难点
1.平面镜的作用?
(1)平面镜改变光的传播方向，而不改变光束的性质．?
(2)平面镜成像的特点：等大、正立、虚像、物像关于镜面对称．?
2.成像作图要规范化?
射向平面镜的入射光线和反射光线要用实线，并且要用箭头标出光的传播方向．反射光线的反向延长线只能用虚线，虚线上不能标箭头．镜中的虚像是物体射到平面镜上所有光线的反射光线反向延长后相交形成的，在成像作图中，可以只画两条光线来确定像点．法线既与界面垂直，又是入射光线与反射光线夹角的平分线．平面镜转过一个微小的角度α，法线也随之转过α角，反射光线则偏转2α角.?
3.光的折射定律?
折射光线跟入射光线在同一平面内，折射光线和入射光线分别位于法线的两侧；入射角的正弦跟折射角的正弦成正比，n =.?
4.折射率?
光从真空射入某种介质，入射角的正弦与折射角正弦之比为定值叫做介质的折射率，表示为n=.实验和研究证明，某种介质的折射率等于光在真空中的速度c跟光在这种介质中的速度υ之比，即n=
5.全反射和临界角?
全反射的条件：①光从光密介质进入光疏介质；②入射角大于或等于临界角．?
临界角：使折射角等于90°时的入射角，某种介质的临界角用sinC=计算.?
6.用折射定律分析光的色散现象?
分析、计算时，要掌握好n的应用及有关数学知识，着重理解两点：其一，光的频率(颜色)由光源决定，与介质无关；其二，同一介质中，频率越大的光折射率越大，再应用n=等知识,就能准确而迅速地判断有关色光在介质中的传播速度、波长、入射光线与折射光线偏折程度等问题.?
规律方法
【例1】光纤通信是一种现代通信手段，它可以提供大容量、高速度、高质量的通信服务.目前，我国正在大力建设高质量的宽带光纤通信网络.下列说法正确的是 (AD)?
A.光纤通信利用光作为载体来传递信息?
B.光导纤维传递光信号是利用光的衍射原理?
C.光导纤维传递光信号是利用光的色散原理?
D.目前广泛应用的光导纤维是一种非常细的特制玻璃丝?
【例2】一束复色光由空气射向玻璃，发生折射而分为a、b两束单色光，其传播方向如图所示.设玻璃对a、b的折射率分别为na和nb，a、b在玻璃中的传播速度分别为υa和υb，则 (AD)?
A. na＞nb B. na＜nb?
C. υa＞υb D. υ a＜υb?
训练题两种单色光由水中射向空气时发生全反射的临界角分别为θ1、θ2，已知θ1＞θ2. 用n1、n2分别表示水对两单色光的折射率，υ1、υ2分别表示两单色光在水中的传播速度，则 ( B )
A. n1＜n2, υ1＜υ2 B. n1＜n2, υ1＞υ2
C. n1＞n2，υ1＜υ2 D. n1＞n2, υ1＞υ2?
【例3】如图一束白光通过玻璃棱镜发生色散现象，下列说法正确的是( B )?
A. 红光的偏折最大，紫光的偏折最小?
B. 红光的偏折最小，紫光的偏折最大?
C. 玻璃对红光的折射率比紫光大?
D. 玻璃中紫光的传播速度比红光大?
训练题1　如图所示，两块同样的玻璃直角三棱镜ABC,两者的AC面是平行放置的，在它们之间是均匀的未知透明介质，一单色细光束O垂直于AB面入射，在图示的出射光线中 ( B )?
A. 1、2、3(彼此平行)中的任一条都有可能? B. 4、5、6(彼此平行)中的任一条都有可能?
C. 7、8、9(彼此平行)中的任一条都有可能? D. 只能是4、6中的某一条? 　　　　　　　　　　
训练题2一束复色光由空气射向一块平行平面玻璃砖，经折射分成两束单色光a、b.已知a光的频率小于b光的频率.图中哪个光路图可能是正确的 ( B )?
【例4】为了观察门外情况，有人在门上开一小圆孔，将一块圆柱形玻璃嵌入其中，圆柱体轴线与门面垂直如图所示.从圆柱底面中心看出去，可以看到的门外入射光线与轴线间的最大夹角称做视场角.已知该玻璃的折射率为n,圆柱长为l,底面半径为r，则视场角是 ( B )?
A.arcsin B.arcsin
C.arcsin D.arcsin
训练题图示为一直角棱镜的横截面∠bac=90°,∠abc=60°一平行细光束从O点沿垂直于bc面的方向射入棱镜.已知棱镜材料的折射率n=,若不考虑原入射光在bc面上的反射光，则有光线 ( BD )?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.从ab面射出? B.从ac面射出?
C.从bc面射出，且bc面斜交? D.从bc面射出，且与bc面垂直?
能力训练
1．如图所示，直角三角形ABC为一透明介质制成的三棱镜的截面，且∠A=30°，在整个AC面上有一束垂直于它的平行光线射入，已知透明介质的折射率n＞2，以下关于光线经过各个界面出射情况的说法正确的判断是BCD
A．一定有光线垂直于AB面射出
B．光线一定不会由AB面射出
C．一定有光线垂直于BC面射出
D．一定有光线垂直于AC面射出
2．如图激光液面控制仪的原理是：固定的一束激光AO以入射角i照射到水平液面上，反射光OB射到水平放置的光屏上，屏上用光电管将光讯号转换为电讯号，电讯号输入控制系统来控制液面的高度，若发现光点在屏上向右移动了Δs距离，射到B′点，则液面的高度变化是 ( D )
A.液面降低 B.液面升高
C.液面降低 D.液面升高
3．检查视力时人与视力表之间的距离应为5m，现因屋子太小而使用一个平面镜，视力表到镜子的距离为3m，如图所示，那么人到镜中的视力表的距离和人到镜子的距离分别为 ( A )
A.5m,2m B.6m,2m C 4.5m,1.5m D.4m,1m
4．如图所示，半圆形玻璃砖的半径为R，直径MN，一细束白光从Q点垂直于直径MN的方向射入半圆形玻璃砖，从玻璃砖的圆弧面射出后，打到光屏P上，得到由红到紫的彩色光带。已知QM= R/2。如果保持入射光线和屏的位置不变，只使半圆形玻璃砖沿直径方向向上或向下移动，移动的距离小于R/2，则有 （ D ）
A．半圆形玻璃砖向上移动的过程中，屏上红光最先消失
B．半圆形玻璃砖向上移动的过程中，屏上紫光最先消失
C．半圆形玻璃砖向下移动的过程中，屏上红光最先消失
D．半圆形玻璃砖向下移动的过程中，屏上紫光最先消失
5．如图所示，截面为ABC的玻璃直角三棱镜放置在空气中，宽度均为d的紫、红两束光垂直照射三棱镜的一个直角边AB，在三棱镜的另一侧放置一平行于AB边的光屏，屏的距离远近可调，在屏上出现紫、红两条光带，可能是（ CD ）
A．紫色光带在上，红色光带在下，紫色光带较宽
B．紫色光带在下，红色光带在上，紫色光带较宽
C．红色光带在上，紫色光带在下，红色光带较宽
D．红色光带在下，紫色光带在上，红色光带较宽
6．如图所示，水盆中盛有一定深度的水，盆底处水平放置一个平面镜，平行的红光束和蓝光束斜射入水中，经平面镜反射后，从水面射出并分别投射到屏MN上两点，则有 ( B )
A．从水面射出的两束光彼此平行，红光投射点靠近M端
B．从水面射出的两束光彼此平行，蓝光投射点靠近M端
C．从水面射出的两束光彼此不平行，红光投射点靠近M端
D．从水面射出的两束光彼此不平行，蓝光投射点靠近M端
7．一束可见光射到置于空气中的平行玻璃砖上，穿过玻璃砖后从下表面射出，变为a、b两束平行单色光，如图所示.如果光束b是蓝光，则光束a可能是 ( D )
A.红光 B.黄光 C.绿光 D.紫光
8．一块透明的光学材料，AB为其一个端面，建立平面直角坐标系如图甲所示，设该光学材料的折射率沿y轴正方向(即BA方向)均匀减小，有一光线PO从真空中以某一入射角射向O点，并进入该材料的内部，则该光线在光学材料内都可能的传播路径是图乙中的 ( D )
9．如图所示，一个棱镜的顶角为θ=41.30°,一束白光以较大的入射角从棱镜的左侧面射入，在光屏上形成从红到紫排列的彩色光带，各色光在棱镜中的折射率和临界角见表.当入射角逐渐减小到0的过程中，彩色光带的变化情况是 ( A )
色光 红 橙 黄 绿 蓝 紫
折射率 1.513 1.514 1.517 1.519 1.528 1.532
临界角 41.370 41.340 41.230 41.170 40.880 40.750
A.紫光最先消失，最后只剩红光、橙光
B.紫光最先消失，最后只剩红光、橙光、黄光
C.红光最先消失，最后只剩紫光
D.红光最先消失，最后只剩紫光、蓝光
10．如图所示为一盛水容器，容器底部M处安装一盏射灯，当容器中不盛水时，从容器上方看到在容器右壁S处有一个光斑，若往容器中加水使水面升到图中a处时，从容器上方看到的光斑位于容器右壁P处;若继续往容器中加水使水面升到图中b处时，从容器上方看到的光斑位于容器右壁Q处，则 ( C )
A.P和Q都在S的下方
B.P和Q都在S的上方
C.P在S的下方,Q在S的上方
D.P在S的上方，Q在S的下方
11． MN是空气与某种液体的分界面，一束红光由空气射到分界面，一部分光线被反射，一部分光线进入液体中，当入射角是45°时，折射角为30°，如图所示，以下判断正确的是 ( C )
A.反射光线与折射光线的夹角为90°
B.该液体对红光的全反射临界角为60°
C.在该液体中，红光的传播速度比紫光大
D.紫光以同样的入射角从空气射到分界面，折射角也是30°
12．人在水面上观察正下方水中的红、橙、黄、绿、兰、靛、紫七种颜色的小彩灯，看到它们是在水面下同一深度处排成一行，则可以判断 ( A )
A.紫色灯的实际位置最深，且比看到的位置深些
B.紫色灯的实际位置最深，且比看到的位置浅些
C.红色灯的实际位置最深，且比看到的位置深些
D.红色灯的实际位置最深，且比看到的位置浅些
13．如图所示，用一临界角为42°的玻璃制成一直角三棱镜AB，∠B=15°，∠C=90°，一条光线垂直于AC面入射，它在棱镜内发生全反射的次数为 ( B )
A.2次 B.3次 C.4次 D.5次
14．据报道：2008年北京奥运会，光纤通信网将覆盖所有奥运场馆，为各项比赛提供安全可靠的通信服务.光纤通信利用光的全反射将大量信息高速传输.如图6-23-22所示，一条圆柱形的光导纤维，长为L，它的玻璃芯的折射率为n1,外层材料的折射率为n2，光在空气中的传播速度为c，若光从它的一端射入经全反射后从另一端射出所需的最长时间为t，则下列说法正确的是(图中所标的φ为全反射的临界角，其中sinφ=)?( B )
A.n1＞n2, t= B.n1＞n2,t=
C.n1＜n2,t= D.n1＜n2,t=
15．据1951年，物理学家发现了“电子偶数”,所谓“电子偶数”就是由一个负电子和一个正电子绕它们连线的中点旋转形成的相对稳定的系统。已知正，负电子的质量均为m,普朗克常数为h,静电常量为k。
(1) 若正负电子是由一个光子和核场作用产生的，且相互作用过程中核场不提供能量，则此光子的频率必须大于某个临界值，此临界值为多大？
(2) 假设“电子偶数”中，正负电子绕它们连线的中点做匀速圆周运动的轨道半径r,运动速度v及电子质量满足波尔的轨道量子化理论：2mvnrn=nh/2π,n =1,2,…。“电子偶数”的能量为正负电子运动的动能和系统的电势能之和，已知两正负电子相距L时系统的电势能为Ep=-ke2/L。试求n=1时“电子偶数”的能量．
(3) “电子偶数”由第一激发态跃迁到基态发出的光子的波长为多大
答案：(1)由题意 2mec2=h 所以
(2) “电子偶数”绕质量中心(即几何中心)转动,则 ①
故 “电子偶数”的总动能Ek=2 又已知其电势能
, ∴ “电子偶数”的总能量E总=Ek+E= ②
根据波尔的轨道量子化理论 可得 ③
由①③得 代入②即有E总=
在n=1时有E总= ④
(3) “电子偶数”从第一激发态(n=2)跃迁至基态时,放出能量,由④可得
△E=E总２-E总１＝　故由△E=得 。
????????????
30°
B
A
C
M
N
Q
P专题六 带电粒子在电场中的运动?
重点难点
1．两个基本规律?
库仑定律： F = k．
电场的叠加规律：电场强度是矢量，当空间的电场由几个场源共同激发时，空间某点的电场强度等于各个场源单独存在时所激发的电场在该点场强的矢量和．若用电势描述，则是各个场源单独存在时所激发的电场在该点电势的代数和．
2．两个核心概念：电场强度和电势差
电场强度描述了电场的力的性质．放入电场中某一点的电荷受到的电场力跟它的电荷量的比值就是电场强度，公式为E = ．电场强度是矢量，方向是正电荷在该点受力的方向．
电势差描述电场的能的性质．电荷在电场中两点间移动时，电场力所做的功跟它的电荷量的比值叫做这两点间的电势差，公式为UAB = ，是标量．
3．三个常用公式：E = ，E = k，E = ．
E = 是电场强度的定义式，适用于任何电场．电场中某点的电场强度是确定值，其大小和方向与检验电荷q无关．检验电荷q充当“测量工具”的作用．
E = k是真空中点电荷所形成的电场的决定式．
E = 是电场强度和电势差的关系式，只适用于匀强电场．注意：式中d为两点中沿电场方向的距离．?
4．两组关系?
电场力做功与电势能改变的关系：ΔW = -ΔE．?
等势面与电场线的关系：电场线问题与等势面垂直，且从高等势面指向低等势面．
5．接在电路中电容器的两种变化?
电容器两端的电压恒定时：电量Q = CU∝C，而C = ∝，E = ∝．?
充电后断开电路，电容器带电量Q恒定：C∝，U∝，E∝．?
规律方法
【例1】光滑水平面上有一边长为l的正方形区域处在场强为E的匀强电场中，电场方向与正方形一边平行．一质量为m，带电荷量为q的小球由正方形某一边的中点，以垂直于该边的水平初速υ0进入该正方形区域．当小球再次运动到该正方形区域的边缘时，具有的动能不可能为 （　D　）
A．0 B．mυ+qEl?　　　　C．mυ 　　　D．mυ+qEl?
训练题如图所示中虚线代表电场中的a、b、c三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，即Uab = Ubc，实线为一带正电的质点仅在电场力作用下的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知（ BD ） （ ）?
A．三个等势面中，a面电势较高?
B．带电质点通过P点时的电势能较大?
C．带电质点通过P点时的动能较大?
D．带电质点通过P点时的加速度较大
【例2】如图所示，有一方向水平向右的匀强电场．一个质量为m、带电量为q的小球以初速度υ0从a点竖直向上射入电场中．小球通过电场中b点时速度大小为2υ0，方向与电场方向一致．则a、b两点的电势差为 　（　D　）
A．　　　　　　 B．?　　　　
C． 　　　　 D．?
训练题如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正点电荷Q为圆心的某一圆周交于B、C两点．质量为m，带电量为-q的有孔小球从杆上A点无初速下滑，已知q≤Q，AB = h，小球滑到B点时速度大小为，求：
（1）小球从A→B过程中电场力做的功；
（2）A、C两点的电势差．?
答案：（1）W=mgh/2 （2）U=mgh/2q
【例3】从阴极K发射的电子经电势差U0 = 5000V的阳极加速后，沿平行于板面的方向从中央射入两块长L1 = 10cm、间距d = 4cm的平行金属板A、B之间，在离金属板边缘L2 = 75cm处放置一个直径D = 20cm、带有纪录纸的圆筒．整个装置放在真空内，电子发射时的初速度不计，如图所示，若在金属板上加U = 1000cos2πtV的交流电压，并使圆筒绕中心轴按图示方向以n = 2r/s匀速转动，分析电子在纪录纸上的轨迹形状并画出从t = 0开始的1s内所纪录到的图形．
【解析】对电子的加速过程，由动能定理得：eU0 = mυ02?
得电子加速后的速度υ0 = = 4．2×107m/s?
电子进入偏转电场后，由于在其中运动的时间极短，可以忽略运动期间偏转电压的变化，认为电场是稳定的，因此电子做类平抛的运动．如图所示．
交流电压在A、B两板间产生的电场强度　E = = 2．5×104cos2πtV/m?
电子飞离金属板时的偏转距离y1 = at = （）2?
电子飞离金属板时的竖直速度υy = at1 = （）
电子从飞离金属板到到达圆筒时的偏转距离
y2 = υyt2 = ?
所以在纸筒上的落点对入射方向的总偏转距离为
y = y1+y2 = （+L2） = （+L2） = 0．20cosπtm?
可见，在纪录纸上的点在竖直方向上以振幅0.20m、周期T = 1s做简谐运动．因为圆筒每秒转2周，故转一周在纸上留下的是前半个余弦图形，接着的一周中，留下后半个图形，则1s内，在纸上的图形如图所示．?
训练题图中B为电源，电动势E = 27V，内阻不计．固定电阻R1＝500Ω，R2为光敏电阻．C为平行板电容器，虚线到两极板距离相等，极板长l1＝8.0×10－2m，两极板的间距d = 1.0×10－2m．S为屏，与极板垂直，到极板的距离l2 = 0.16m．P为一圆盘，由形状相同、透光率不同的三个扇形a、b和c构成，它可绕AA′轴转动．当细光束通过扇形a、b、c照射光敏电阻R2时，R2的阻值分
别为1000Ω、2000Ω、4500Ω．有一细电子束沿图中虚线以速度υ0 = 8.0×106m/s连续不断地射入C．已知电子电量e = 1．6×10－19C，电子质量m = 9×10－31kg．忽略细光束的宽度、电容器的充电放电时间及电子所受的重力．假设照在R2上的光强发生变化时R2阻值立即有相应的改变．?
（1）设圆盘不转动，细光束通过b照射到R2上，求电子到达屏S上时，它离O点的距离y．（计算结果保留二位有效数字）．
（2）设转盘按图2-6-10中箭头方向匀速转动，第3秒转一圈．取光束照在a、b分界处时t＝0，试在图2-6-11给出的坐标纸上，画出电子到达屏S上时，它离O点的距离y随时间t的变化图线（0～6s间）．要求在y轴上标出图线最高点与最低点的值．（不要求写出计算过程）
答案：（1）y=2．4×10-2m
（2）略
能力训练
1．一负电荷仅受电场力的作用，从电场中的A点运动到B点，在此过程中该电荷作初速度为零的匀加速直线运动，则A、B两点电场强度EA、EB及该电荷的A、B两点的电势能WA、WB之间的关系为（ AD ）
A．EA＝EB　　　　　B．EA＜EB　　　　　C．WA＝WB　　　　　D．WA＞WB
2．如图所示，在粗糙、绝缘且足够大的水平面上固定着一个带负电荷的点电荷Q．将一个质量为m带电量为q的小金属块（金属块可以看成质点）放在水平面上并由静止释放，金属块将在水平面上沿远离Q的方向开始运动．则在金属块运动的整个过程中 　　　 （ D ）
A．电场力对金属块做的功等于金属块增加的机械能
B．金属块的电势能先减小后增大
C．金属块的加速度一直减小
D．电场对金属块所做的功一定等于摩擦产生的热．
3．在空间中的A、B两点固定着一对等量同种电荷，有一带电微粒在它们产生的电场中运动，设带电微粒在运动过程中只受到电场力的作用，则带电微粒所做的运动可能是（ D ）
A．匀变速直线运动 B．匀速圆周运动
C．抛物线运动 D．机械振动
4．如图所示，把一带正电小球a放在光滑绝缘斜面上，欲使球a能静止在斜面上，需在MN间放一带电小球b．则b应 （ C ）
A．带负电，放在A点 B．带正电，放在A点
C．带负电，放在C点 D．带正电，放在C点
　5．一个α粒子原来静止，一个质子以初速υ0向着α粒子运动，速度方向沿着两粒子的连线方向，已知质子的质量为m，电量为e，两粒子相距最近时的距离为L，当两粒子距离最近时，求
（1）α粒子的速度大小是多少？
（2）α粒子的加速度大小是多少？
答案：（1）v=v0/5
（2）a=Ke2/2mL2
6．如图所示，处于同一条竖直线上的两个点电荷A、B带等量同种电荷，电荷量为Q；G、H 是它们连线的垂直平分线。另有一个带电小球C，质量为m、电荷量为＋q（可视为点电荷），被长为l的绝缘轻细线悬挂于O点，现在把小球C拉起到M点，使细线水平且与A、B处于同一竖直面内，由静止开始释放，小球C向下运动到GH线上的N点时刚好速度为零，此时细线与竖直方向上的夹角θ＝30 。试求：
⑴在A、B所形成的电场中，MN两点间的电势差，并指出M、N哪一点的电势高。
⑵若N点与A、B两个点电荷所在位置正好形成一个边长为x的正三角形，则小球运动到N点瞬间，轻细线对小球的拉力FT（静电力常量为k）。
答案：⑴带电小球C在A、B形成的电场中从M运动到N点的过程中，重力和电场力做功，
但合功为零，则：
所以
即M、N两点间的电势差大小为
且N点的电势高于M点的电势。
⑵在N点，小球C受到重力mg、细线的拉力FT、以及A和B
分别对它的斥力FA和FB四个力的作用如图所示，且沿细线方向的合力为零。
则 FT－mgcos30 －FAcos30 ＝0
又
得 FT＝mgcos30 ＋
7．两个正点电荷Q1＝Q和Q2＝4Q分别置于固定在光滑绝缘水平面上的A、B两点，A、B两点相距L，且A、B两点正好位于水平放置的光滑绝缘半圆细管两个端点的出口处，如图所示。
（1）现将另一正点电荷置于A、B连线上靠近A处静止释放，求它在AB连线上运动过程中达到最大速度时的位置离A点的距离。
（2）若把该点电荷放于绝缘管内靠近A点处由静止释放，已知它在管内运动过程中速度为最大时的位置在P处。试求出图中PA和AB连线的夹角θ。
答案：（1）正点电荷在A、B连线上速度最大处对应该电荷所受合力为零，即 所以 x=
（2）点电荷在P点处如其所受库仑力的合力沿OP方向，则它在P点处速度最大，此时满足
tanθ= 即得 θ＝arctan
8．如图，相距为d的A、B两平行金属板足够大，板间电压恒为U，有一波长为λ的细激光束照射到B板中央，使B板发生光电效应。已知普朗克恒量为h，金属板B的逸出功为W，电子质量为m，电荷量e，求：
⑴ 从B板运动到A板所需时间最短的光电子，到达A板时的动能；
⑵ 光电子从B板运动到A板时所需的最长时间。
答案：⑴ 根据爱因斯坦光电效应方程 EK＝hv – W
光子的频率：
所以，光电子的最大初动能：
能以最短时间到达A板的光电子，是初动能最大且垂直于板面离开B板的电子，设到达A板时的动能为EK1，由动能定理：
所以：
(2) 能以最长时间到达A板的光电子，是离开B板时的初速度为零或运动方向平行于B板的光的电子。
∵ d = at2/2 = Uet2/dm/2
∴ t =d
C
A
B
M
N
O
θ
G
H
C
A
B
M
N
O
θ
G
H
FT
FA
FB
mg
B
－
＋
A
d专题十六 电磁感应中的电路问题
重点难点
在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，则导体或回路就相当于电源．将它们接上电阻或用电器可以对用电器供电，接上电容器可以使电容器充电．
解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相似原型来启发理解和变换物理模型，即把电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电路．感应电动势的大小相当于电源电动势．其余部分相当于外电路，并画出等效电路图．
规律方法
【例1】如图（a）所示的螺线管的匝数n=1500，横截面积S=20cm2，电阻r=1.5Ω，与螺线管串联的外电阻R1=10Ω，R2=3.5Ω．若穿过螺线管的磁场的磁感应强度按图（b）所示的规律变化，计算R1上消耗的电功率．　　　　　　　　　　　　　　　
【解析】由磁感应强度变化规律图象可知，螺线管中磁场磁感强度的变化率为T/s
通电螺线管产生的感应电动势为V
电路中感应电流大小为A=1A
所以R1上消耗的电功率为．
训练题如图所示，是用于观察自感现象的电路，设线圈的自感系数较大，线圈的直流电阻RL与小灯泡的电阻R满足R L＜R．则在电键S由闭合到断开瞬间，可以观察到　 （ C ）
A．灯泡立即熄灭
B．灯泡逐渐熄灭，不会闪烁
C．灯泡有明显的闪烁现象
D．灯泡会逐渐熄灭，但不一定有闪烁现象　　　　　　　　　　　　　　　　
【例2】如图所示，MN、PQ为两平行金属导轨，M、P间连有一阻值为R的电阻，导轨处于匀强磁场中，磁感应强度为B，磁场方向与导轨所在平面垂直，图中磁场垂直纸面向里．有一金属圆环沿两导轨滑动，速度为υ，与导轨接触良好，圆环的直径d与两导轨间的距离相等．设金属环与导轨的电阻均可忽略，当金属环向右做匀速运动时　　　（　B　）　　　　
A．有感应电流通过电阻R，大小为　　　　
B．有感应电流通过电阻R，大小为
C．有感应电流通过电阻R，大小为　　　　
D．没有感应电流通过电阻R
训练题据报道，1992年7月，美国"阿特兰蒂斯"号航天飞机进行了一项卫星悬绳发电实验，实验取得了部分成功．航天飞机在地球赤道上空离地面约3000 km处由东向西飞行，相对地面速度大约6.5×103 m/s，从航天飞机上向地心方向发射一颗卫星，携带一根长20 km，电阻为800 Ω的金属悬绳，使这根悬绳与地磁场垂直，做切割磁感线运动．假定这一范围内的地磁场是均匀的．磁感应强度为4×10-5T，且认为悬绳上各点的切割速度和航天飞机的速度相同．根据理论设计，通过电离层（由等离子体组成）的作用，悬绳可以产生约3 A的感应电流，试求：
（1）金属悬绳中产生的感应电动势；
（2）悬绳两端的电压；
（3）航天飞机绕地球运行一圈悬绳输出的电能（已知地球半径为6400 km）．
答案：（1）E=5．2×103V
（2）U=2．8×103V
（3）E/=7．6×107V
【例3】在磁感应强度为B=0.4 T的匀强磁场中放一个半径r0=50 cm的圆形导轨，上面搁有互相垂直的两根导体棒，一起以角速度ω=103 rad/s逆时针匀速转动．圆导轨边缘和两棒中央通过电刷与外电路连接，若每根导体棒的有效电阻为R0=0.8 Ω，外接电阻R=3.9 Ω，如图所示，求：
（1）每半根导体棒产生的感应电动势；
（2）当电键S接通和断开时两电表示数（假定RV→∞，RA→0）．
【解析】（1）每半根导体棒产生的感应电动势为E1= =BI2ω=×０.4×103×（0.5）2 V＝50 V.
（2）两根棒一起转动时，每半根棒中产生的感应电动势大小相同、方向相同，相当于四个电动势和内阻相同的电池并联，得总的电动势和内电阻为E＝E1＝50 V，r=R0＝0.1 Ω
当电键S断开时，外电路开路，电流表示数为零，电压表示数等于电源电动势，为50 V.
当电键S′接通时，全电路总电阻为R′=r+R=（0.1+3.9）Ω=4Ω.
由全电路欧姆定律得电流强度（即电流表示数）为I＝ A=12.5 A．
此时电压表示数即路端电压为U=E-Ir=50-12.5×0.1 V＝48.75 V（电压表示数）
或U＝IR＝12.5×3.9 V＝48.75 V．
训练题图中MN和PQ为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距l为0.40m，电阻不计．导轨所在平面与磁感应强度B为0.50T的匀强磁场垂直．质量m为6.0×10-3kg、电阻为1.0Ω的金属杆ab始终垂直于导轨，并与其保持光滑接触．导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为3.0Ω的电阻R1．当杆ab达到稳定状态时以速率υ匀速下滑，整个电路消耗的电功率P为0.27W，重力加速度取10m/s2，试求速率υ和滑动变阻器接入电路部分的阻值R2．
答案：v=4．5m/s R2=6．0Ω
【例4】如图所示，长平行导轨PQ、MN光滑，相距m，处在同一水平面中，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场竖直向下穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线ab的质量m =0.1kg、电阻R =0.8Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S将电动势E =1.5V、内电阻r =0.2Ω的电池接在M、P两端，试计算分析：
（1）在开关S刚闭合的初始时刻，导线ab的加速度多大？随后ab的加速度、速度如何变化？
（2）在闭合开关S后，怎样才能使ab以恒定的速度υ =7.5m/s沿导轨向右运动？试描述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）．
【解析】（1）在S刚闭合的瞬间，导线ab速度为零，没有电磁感应现象，由a到b的电流A，ab受安培力水平向右，此时瞬时加速度m/s2．
ab运动起来且将发生电磁感应现象．ab向右运动的速度为υ时，感应电动势，根据右手定则，ab上的感应电动势（a端电势比b端高）在闭合电路中与电池电动势相反．电路中的电流（顺时针方向，）将减小（小于I0=1.5A），ab所受的向右的安培力随之减小，加速度也减小．尽管加速度减小，速度还是在增大，感应电动势E随速度的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势与电池电动势E相等时，电路中电流为零，ab所受安培力、加速度也为零，这时ab的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动．
设最终达到的最大速度为υm，根据上述分析可知：
所以m/s=3.75m/s．
（2）如果ab以恒定速度m/s向右沿导轨运动，则ab中感应电动势
V=3V
由于＞，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：A=1.5A
直导线ab中的电流由b到a，根据左手定则，磁场对ab有水平向左的安培力作用，大小为N=0.6N
所以要使ab以恒定速度m/s向右运动，必须有水平向右的恒力N作用于ab．
上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点：
①作用于ab的恒力（F）的功率：W=4.5W
②电阻（R +r）产生焦耳热的功率：W=2.25W
③逆时针方向的电流，从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收能量，以化学能的形式储存起来．电池吸收能量的功率：W=2.25W
由上看出，，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变）．
训练题如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨单位长度电阻为r0，导轨的端点P、Q用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离为．有垂直纸面向里的非匀强磁场，其磁感应强度沿y方向大小不变，沿x方向均匀增强，即有，其中为常数．一根质量为m，电阻不计的金属杆MN可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中 始终保持与导轨垂直．在t＝0时刻，金属杆MN紧靠在P、Q端，在外力F作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动．求
（1）在t时刻金属杆MN产生的感应电动势大小；
（2）在t时刻流经回路的感应电流大小和方向；
（3）在t时刻金属杆MN所受的安培力大小．
答案：（1）E=skla2t3/2
（2）I=klat/2r0 方向逆时针
（3）F=k2a2l2t3/4r0
能力训练
1．如图所示，两根相距l的平行直导轨ab、cd，b、d间连有一固定电阻R，导轨电阻可忽略不计．MN为放ab和cd上的一导体杆，与ab垂直，其电阻也为R．整个装置处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于导轨所在平面（指向图中纸面内）．现对MN施加一力使它沿导轨方向以速度υ做匀速运动．用U表示MN两端电压大小，则（ A ）
A．U=Blυ/2，流过固定电阻R的感应电流由b到d
B．U=Blυ/2，流过固定电阻R的感应电流由d到b
C．U=Blυ，流过固定电阻R的感应电流由b到d
D．U=Blυ，流过固定电阻R的感应电流由d到b
2．在图甲、乙、丙中，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，甲图中的电容器C原来不带电．设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计，图中装置均在水平面面内，且都处于方向垂直水平面（即纸面）向下的匀强磁场中，导轨足够长．现给导体棒ab一个向右的初速度v0，在甲、乙、丙三种情形下导体棒ab的最终运动状态是（ B ）
A．三种情形下导体棒ab最终都做匀速运动
B．甲、丙中，ab棒最终将以不同速度做匀速运动；乙中，ab棒最终静止
C．甲、丙中，ab棒最终将以相同速度做匀速运动；乙中，ab棒最终静止
D．三种情形下导体棒ab最终都做静止
3．在方向水平的、磁感应强度为0.5 T的匀强磁场中，有两根竖直放置的导体轨道cd、ef，其宽度为1 m，其下端与电动势为12 V、内电阻为1 Ω的电源相接，质量为0.1 kg的金属棒MN的两端套在导轨上可沿导轨无摩擦地滑动，如图所示，除电源内阻外，其他一切电阻不计，g=10 m／s2，从S闭合直到金属棒做匀速直线运动的过程中　　　　　　　　　　　（ CD　 ）　　　　
A．电源所做的功等于金属棒重力势能的增加　　　
B．电源所做的功等于电源内阻产生的焦耳热
C．匀速运动时速度为20 m／s　　　　　　　　　
D．匀速运动时电路中的电流强度大小是2 A
4．如图所示，由一根绝缘导线绕成半径相同的两个小圆组成的“∞”形线圈水平放置，匀强磁场方向与线圈平面垂直．若将磁场的磁感应强度由B增强至2B的过程中有电量Q通过线圈，则下列过程中不能使线圈中通过电量为Q的有 （ B ）
　　A．保持B不变，将线圈平面翻转90°
B．保持B不变，将线圈平面翻转180°
C．保持B不变，将线圈的一个小圆平面翻转180°
D．保持B不变，将线圈拉大成一个大圆
5．放在绝缘水平面上的两条平行导轨MN和PQ之间宽度为L，置于磁感应强度为B的匀强磁场中，B的方向垂直于导轨平面，导轨左端接有阻值为R的电阻，其它部分电阻不计．导轨右端接一电容为C的电容器，长为2L的金属棒放在导轨上与导轨垂直且接触良好，其a端放在导轨PQ上．现将金属棒以a端为轴，以角速度沿导轨平面顺时针旋转角，如图1所示．求这个过程中通过电阻R的总电量是多少？（设导轨长度比2L长得多）
解析：从ab棒以a端为轴旋转切割磁感线，直到b端脱离导轨的过程中，其感应电动势不断增大，对C不断充电，同时又与R构成回路．
通过R的电量．
．
根据以上两式得 ．
当ab棒运动到b’时，电容C上所带电量为,
此时，而,
所以．
当ab脱离导轨后，C对R放电，通过R的电量为q’，所以整个过程中通过R的总电量为
．
6．如图所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度T，OCA导轨与OA直导轨分别在O点和A点接一阻值和几何尺寸可忽略的定值电阻，导轨OCA的曲线方程为（m）．金属棒ab长1.5米，以速度m/s水平向右匀速运动（b点始终在x轴上）．设金属棒与导轨接触良好，摩擦不计，电路中除了电阻R1和R2外，其余电阻均不计，曲线OCA与x轴之间所围面积约为1.9m2，求：
（1）金属棒在导轨上运动时R1的最大功率；
（2）金属棒在导轨上运动从到m的过程中通过金属棒ab的电量；
（3）金属棒在导轨上运动从到m的过程中，外力必须做多少功？
答案：ab棒等效为电源，R1、R2并联，所以总电阻．
（1）R1的功率．
当时，有R1的最大功率
．
代入数据得W．
（2）将OA分成n份长度为Δx的小段，每一小段中金属棒的有效长度可认为是一定的，设为．由于金属棒向右匀速运动，设金属棒每通过Δx的位移所用的时间为Δt．
金属棒每通过Δx的位移，通过其电量的表达式
，
其中为金属棒每通过Δx的所扫过的有效面积，设为，所以．
金属棒在导轨上运动从到的过程中通过金属棒ab的电量
，
式中S即为题目中曲线OCA与x轴之间所围的面积．
代入数据得C．
（3）因为
所以，ab棒产生的是正弦式交变电流，且V．
由．
得金属棒在导轨上从到的过程中R1、R2产生的热量，
由．代入数据得J．
7．半径为a的圆形区域内有均匀磁场，磁感应强度为B=0.2T，磁场方向垂直纸面向里，半径为b的金属圆环面垂直，其中a＝0.4m，b＝0.6m.金属环上分别接有灯L1、L2，两灯的电阻均为R0＝2Ω，一金属棒MN与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计.
（1）若棒以v0＝5m/s的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径的瞬时，（如图），MN中的电动势和流过灯L1的电流.
（2）撤去中间的金属棒MN，将右面的半圆环以为轴向上翻转90o，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为，求L1的功率.
答案：（1）棒滑过圆环直径时切割磁感线的有效长度L＝2a，棒中产生的感应电动势为
E＝BLv＝0.2×2×0.4×5V＝0.8V
当不计棒与环的电阻时，直径两端的电压U＝E＝0.8V，所以通过灯L1的电流为
I1＝
（2）右半圆环向上翻转90o后，穿过回路的磁场有效面积变为原来的一半，即＝.
磁场变化时在回路中产生的感应电动势为
＝2×（0.4）2V＝0.32V
由于L1、L2两灯相同，圆环电阻不计，所以每灯的电压均为，L1的功率为
P1＝
8．如图，水平平面内固定两平行的光滑导轨，左边两导轨间的距离为2L，右边两导轨间的距离为L，左右部分用导轨材料连接，两导轨间都存在磁感强度为B、方向竖直向下的匀强磁场。ab、cd两均匀的导体棒分别垂直放在左边和右边导轨间，ab棒的质量为2m，电阻为2r，cd棒的质量为m，电阻为r，其它部分电阻不计。原来两棒均处于静止状态，cd棒在沿导轨向右的水平恒力F作用下开始运动，设两导轨足够长，两棒都不会滑出各自的轨道。
⑴试分析两棒最终达到何种稳定状态？此状态下两棒的加速度各多大？
⑵在达到稳定状态时ab棒产生的热功率多大？
答案：⑴cd棒由静止开始向右运动，产生如图所示的感应电流，设感应电流大小为I，cd和ab棒分别受到的安培力为F1、F2，速度分别为v1、v2,加速度分别为a1、a2,则
F1=BIL F2=2BIL
开始阶段安培力小，有a1>>a2，cd棒比ab棒加速快得多，随着（v1-2v2）的增大，F1、F2增大，a1减小、a2增大。当 a1=2a2时，（v1-2v2）不变，F1、F2也不变，两棒以不同的加速度匀加速运动。将③式代入可得两棒最终作匀加速运动加速度：
⑵两棒最终处于匀加速运动状态时a1=2a2，代入③式得：
此时ab棒产生的热功率为：
×　　×　　×
×　　×　　×
v
M
d
c
b
a
R
N
E
C
a
×　　×　　×
×　　×　　×
v0
B
R
b
a
×　　×　　×
×　　×　　×
v0
B
R
b
a
×　　×　　×
×　　×　　×
v0
B
R
b
甲
乙
丙
M
P
R
N
Q
C
a
b
M
P
R
N
Q
C
a
b
D
b’
30°
a
b
y/m
x/m
O
C
A
R1
R2
1.5
3.0
1.0
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×专题三 曲线运动中的动力学问题?
重点难点
1．类平抛运动：
求解的方法是利用运动的合成和分解法进行分析：在初速度方向加速度为零，以初速度做匀速直线运动；在垂直于初速度方向有一个恒定的加速度，做静止开始的匀加速直线运动，加速度的大小由合外力决定．通常应结合运动的合成和分解的运动学规律进行求解．
2．圆周运动中的向心力：?
向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力?向心力是按力的作用效果来命名的，故在分析做圆周运动的物体受力时，切不可在性质力上再添加一个向心力，但对各种情况下向心力的来源应明确．
圆周运动中的动力学方程即将牛顿第二定律应用于圆周运动，由于向心加速度表示不同，有以下各种情况，解题时应根据已知条件进行选择．
F = m = mrω2 = mω = mr = 4π2mrf2?
3．圆周运动中的临界问题:?
（1）没有别的物体支持的质点做圆周运动，如细绳系着的物体或沿圆环内壁运动的物体在竖直平面内做圆周运动，在通过轨道最高点时的速度的临界值为υ = ．当υ≥时，物体能通过最高点;当υ＜时，物体还没有到最高点时，就脱离了轨道．
（2）受别的物体约速的质点做圆周运动，如套在圆环上的物体，有轻杆或管约束的物体在竖直平面内做圆周运动，当通过最高点时，物体通过最高点的速度可以为任何值，即υ≥0．当υ＞时，环、杆或管对物体的作用力方向向下；当υ= 时，没有作用力；当0＜υ＜时，作用力方向向上．?
规律方法
【例1】如图所示，质量为m的物块与转台之间能出现的最大静摩擦力为物块重力的k倍，它与转台转轴OO′相距R，物块随转台由静止开始转动，当转速增加到一定值时，物块即将在转台上滑动，在物块由静止到相对转台开始滑动前的这一过程中，转台对物块做的功为 （　B　）
A．0　　　　 B．小于kmgR　　　　
C．等于kmgR　　　　D．大于kmgR
训练题 如图所示，质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端固定有一个质量为m的小球．使小球在水平面内作半径为R的匀速圆周运动，且角速度为ω，则杆的上端受到球对杆的作用力大小为 （ C ）
A．mω2R 　　　　
B．m　　　　
C．m　　　 　
D．不能确定
　　【例2】如图所示，线的上端固定，下端系一小球，将小球与线拉到一水平位置后从静止开始释放，求小球的摆线运动到与水平方向成多大角度时，球获得最大的竖直分速度 （反三角函数表示）．
【解析】设小球从线水平开始转过角度θ时，速度为v，此过程中机械能守恒，则有：mglsinθ = mυ2，得：υ2 = 2glsinθ?
此时小球受重力mg和线的拉力FT，如图所示，在沿绳方向，由牛顿第二定律有：FT-mgsinθ = m，代入υ2得：FT = 3mgsinθ?
小球在竖直方向先加速后减速，当小球在竖直方向的加速度为零时，可获得最大的竖直分速度，即：FTsinθ-mg = 0，代入Ft可得sin2θ = ?
即当θ = arcsin（）时，小球获得竖直方向最大的分速度．
训练题如图所示，已知瓦特节速器上有固定有重球的两根棒，棒长各为20cm，电机在运动转时，两棒与竖直的转轴AB之间夹角为60°，如图所示，求此时节速器的转速为多少 ?
答案：n=96r/min
?【例3】如图所示，水平转台上放有质量均为m的两小物块A、B，A离转轴距离为L，A、B间用长为L的细线相连，开始时A、B与轴心在同一直线上，线被拉直，A、B与水平转台间最大静摩擦力均为重力的μ倍，当转台的角速度达到多大时线上出现张力wh当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动 ?
【解析】线上刚开始出现张力时，B受的最大静摩擦力刚好充当向心力，即：μmg = mω2（2L），得ω = ?
当A所受摩擦力达到最大静摩擦力时，A开始滑动，设此时线中张力为F，由牛顿第二定律，?对A有：μmg-F = mω′2L?
对B有：F+μmg = mω′2（2L）?
由上述两式有：ω′ = ?
即当转台的角速度达到时，线上开始出现张力，当角速度达到时，A开始滑动．?
训练题如图所示，细绳一端系看质量M = 0.6kg的物体静止于水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m = 0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，设M和水平面间的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（取g = 10m/s2）
答案：2。9r/s≤ω≤6。5r/s
能力训练
1．如图，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时，由于球对杆有作用，使杆发生了微小形变，关于杆的形变量与球在最高点时的速度大小关系，正确的是　（ C ）
A．形变量越大，速度一定越大 　　　　　B．形变量越大，速度一定越小
C．形变是为零，速度一定不为零 　　　　D．速度为零，可能无形变
2．如图所示，水平转盘上的A、B、C三处有三块可视为质点的由同一种材料做成的正立方体物块；B、C处物块的质量相等，为m，A处物块的质量为2m；A、B与轴O的距离相等，为r，C到轴O的距离为2r，转盘以某一角速度匀速转动时，A、B、C处的物块都没有发生滑动现象，下列说法中正确的是（ ABC ）
A．C处物块的向心加速度最大
B．B处物块受到的静摩擦力最小
C．当转速增大时，最先滑动起来的是C处的物块
D．当转速继续增大时，最后滑动起来的是A处的物块
3．两个正、负点电荷，在库仑力的作用下，它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，以下说法中正确的是（ BC ）
A．它们所受的向心力大小不相等　　　　　B．它们做匀速圆周运动的角速度相等
C．它们的线速度与其质量成反比 　　　　D．它们的运动半径与电荷量成反比
4．如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心r = 20cm处放置一小物块A，其质量m = 2kg，A与盘面间的静摩擦力的最大值为其重力的k倍（k = 0．5），试求：
（1）当圆盘转动的角速度ω = 2rad/s，物块与圆盘间的摩擦力为多大 方向如何
（2）若使A与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度是多大 （取g = 10m/s2）
答案：⑴方向为指向圆心。　　　　　　　
⑵　　　　　　　　　　　　　　　
5．如图一条不可伸长的轻绳长为L，一端用手握住，另一端系一质量为m的小球，今使手握的一端在水平桌面上做半径为R，角速度为ω的匀速圆周运动，且使绳始终与半径为R的圆相切，小球也将在同一水平面内做匀速圆周运动，若人手做功的功率为P，求：
（1）小球做匀速圆周运动的线速度大小；
（2）小球在运动过程中受到的摩擦力的大小．
答案：（1）v=（R2+L2）1/2
（2）f=P/ω（R2+L2）1/2
6．光滑水平面上，一个质量为2kg的物体从静止开始运动，在前5s受到一个沿正东方向大小为4N的水平恒力作用；以第5s未开始改为一个沿正北方向大小为2N的水平恒力作用了10s，求物体在这15s内的位移和15s末的速度．
答案：（1）s=135m ，方向东偏北θ=arctan2/5
（2）v=14．1m/s ，方向东偏北α=450
7．铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下图表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h．
弯道半径r/m 660 330 220 165 132 110
内外轨高度差h/mm 50 100 150 200 250 300
（1）根据表中数据，试导出h和r关系的表达式，并求出当r=440m时，h的设计值；
（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L=1435mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v（以km/h为单位，结果取整数；路轨倾角很小时，正弦值按正切值处理）
（3）随着人们生活节奏加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求．为了提高运输力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施？
答案：（1）分析表中数据可得，每组的h与r之乘积均等于常数C=660m×50×10－3m=33m2
因此 h·r=33（或h=33）
当r=440m时，有： h=m=0.075m=75mm
（2）转弯中，当内外轨对车轮没有侧向压力时，火车的受力如图所示．由牛顿第二定律得：
因为θ很小，有：
得：
代入数据得：v=15m/s=54km/h
（3）有效措施有：a．适当增大内外轨的高度差h；b．适当增大铁路弯道的轨道半径r．
8．水平放置的木柱，横截面为边长等于a的正四边形ABCD；摆长l =4a的摆，悬挂在A点（如图1—14所示），开始时质量为m的摆球处在与A等高的P点，这时摆线沿水平方向伸直；已知摆线能承受的最大拉力为7mg；若以初速度v0竖直向下将摆球从P点抛出，为使摆球能始终沿圆弧运动，并最后击中A点．求v0的许可值范围（不计空气阻力）．
答案：摆球先后以正方形的顶点为圆心，半径分别为R1=4a，R2=3a，R3=2a，R4=a为半径各作四分之一圆周的圆运动．
当摆球从P点开始，沿半径R1=4a运动到最低点时的速度v1，
根据动量定理 ①
当摆球开始以v1绕B点以半径R2=3a作圆周运动时，摆线拉力最大，为Tmax=7mg，这时摆球的运动方程为 ②
由此求得v0的最大许可值为．
当摆球绕C点以半径R3=2a运动到最高点时，为确保沿圆周运动，
到达最高点时的速度（重力作向心力）
由动能定理
∴? 专题十二 机械能守恒定律、功能关系
重点难点
1．两类力做功的特点：?
保守力（如重力）做功只与初、末位置有关，与运动的路径无关；耗散力（如滑动摩擦力）做功与运动的路径有关，且有时力总是与运动方向向相反，大小保持不变，此时做功的绝对值等于力的大小与路程的乘积．?
2．摩擦力做功的特点：?
在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移，静摩力起着传递机械能的作用，而没有机械能转化为其他形式的能．相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的和总是为零．一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两个方面：一是相互摩擦的物体之间机械能的转移，二是机械能转化为内能，转化为内能的量值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积?一对滑动摩擦力所做功的和为负值，其绝对值等于系统损失的机械能．?
3．机械能是否守恒的判断：?
从做功来判断：分析物体或物体系受力情况（包括内力和外力），明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．?
从能量转化来判断：若物体或物体系中只有动能和重力势能、弹性势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或物体系机械能守恒．如绳子突然绷紧、物体间碰撞粘合等现象时，机械能不守恒．
4．机械能守恒定律的几种表达式:?
（1）物体或系统初态总机械能E1等于未态的总机械能E2，此时应选定零势能面．
（2）系统减少的势能△Ep减等于增加的动能△Ek增，即△Ep减 = △Ek增（或△Ep增 = △Ek减）
（3）系统内只有A、B两物体时，则A减少的机械能△EA减等于B增加的机械能△EB增
规律方法
【例1】一物块由静止开始从粗糙斜面上的某点加速下滑到另一点，在此过程中重力对物体块做的功等于 　　（　D　）
A．物块动能的增加量
B．物块重力势能的减少量与物块克服摩擦力做的功之和
C．物块重力势能的减少量和物块动能的增加是以及物块克服摩擦力做的功之和?
D．物块动能的增加量与物块克服摩擦力做的功之和?
训练题如图所示，弹簧下端挂一质量为m的物体，物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，则物体在振动过程中　　　　（ AC ）
A．物体在最低点时的弹力大小应为2mg?
B．弹簧的弹性势能和物体动能总和不变
?C．弹簧的最大弹性势能等于2mgA?
D．物体的最大动能应等于mgA?
【例2】如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h＝0.2m，开始时让连着A的细线与水平杆的夹角θ1 = 37°，由静止释放B，当细线与水平杆的类角θ2 = 53°时，A的速度为多大？在以后的运动过程中，A所获得的最大速度为多大？（设B不会碰到水平杆，sin37° = 0．6，sin53° = 0．8，取g = 10m/s2）?
【解析】对A、B两物体组成的系统，只有动能和重力势能的相互转化，机械能守恒．设绳与水平杆夹角θ2＝53°时，A的速度为υA，B的速度为υB，此过程中B下降的高度为h1，则有：
mgh1 = 1/2mυ+1/2mυ，其中h1 = ，υAcosθ1 = υB
代入数据，解以上关系式得：υA = 1.1m/s
A沿着杆滑到左侧滑轮正下方的过程，绳子拉力对A做正功，A做加速运动，此后绳子拉力对A做负功，A做减速运动．故当θ3 = 90°时，A的速度最大，设为υAm，此时B下降到最低点，B的速度为零，此过程中B下降的高度为h2，则有：mgh2 = mυ，其中h2 = -h代入数据解得：υAm = 1.63m/s．
【例3】如图质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩，开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向．现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但并不继续上升．若将C将成另一质量为（m1+m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g．
【解析】开始时，A、B都静止，设弹簧压缩量为x1，有kx1 = m1g 挂上C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚离开地时弹簧伸长量为x2，则有kx2 = m2g B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到最低点，由机械能守恒定律可知，与初状态相比，弹簧弹性势能的增加量为：△E = m3g（x1+x2）- m1g（x1+x2） 　　　　　　　　　　　　　　
?C换成D后，当B刚离地时弹簧弹性势能的增加量与前一次相同，由机械能守恒有：
（m3+m1）υ2+m1υ2 = （m3+m1）g（x1+x2）- m1g（x1+x2） -△E
得（m3+2m1）υ2 = m1g（x1+x2） 　　?
则υ =
训练题如图所示，一根劲度系数为k的弹簧，两端各固定，一块质量为m的物体A和B，并竖直放在水平地面上，现有一质量也为m的物体C从距B高为h处自由下落，与B发生完全非弹性碰撞（碰后粘合在一起）后反弹跳起时，弹簧恰能将下端物体A提离地面．已知劲度系数为k的弹簧，当其形变量为x时，弹簧具有的弹性势能为Ep = kx2，求C自由下落的高度h是多少？
答案：h=8mg/k
能力训练
1．如图竖直轻弹簧下端固立在水平地面上，质量为m的小球，从轻弹簧的正上方某一高处自由落下，并将弹簧压缩，直到小球的速度变为零，对于小球、轻弹簧和地球组成的系统，在小球开始与弹簧接触到小球速度变为零的过程中，有（ A ）
A．小球的动能和重力势能的总和越来越小，小球的动能和弹性势能的总和越来越大．
B．小球的动能和重力势能的总和越来越小，小球的动能和弹性势能的总和越来越小．
C．小球的动能和重力势能的总和越来越大，小球的动能和弹性势能的总和越来越大．
D．小球的动能和重力势能的总和越来越小，小球的动能和弹性势能的总和越来越小．
2．光滑水平面上有一个静止的木块，枪沿水平方向先后发射两颗质量和速度都相同的子弹，两子弹分别从不同位置穿过木块．假设两子弹穿过木块时受到的阻力大小相同，忽略重力和空气阻力的影响，那么在两颗子弹先后穿过木块的过程中（ C ）
A．两颗子弹损失的动能相同 　　　B．木块两次增加的动能相同
C．因摩察而产生的热量相同　　　　D．木块两次移动的距离相同
3．如图所示，A、B两物体用一根轻弹簧相连，放在光滑水平地面上，已知mA = 2mB．A物体靠在墙壁上，现用力向左缓慢推B物体，压缩弹簧，外力做功W，突然撤去外力，B物体将从静止开始向右运动，以后将带动A物体一起做复杂的运动，从A物体开始运动以后的过程中，弹簧的弹性势能最大值为 （ B ）
A．W B．W C．W D．无法确定
4．在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球A、B，质量都为m，现B球静止，A球向B球运动，发生正碰，已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为Ep，则碰前A球的速度等于（ C ）
A． B． C．2 D．2
5．如图所示，离水平地面高1．5L的一个光滑小定滑轮上，静止地搭着一根链条．该链条长为L，质量为m （可以看作质量分布均匀）．由于受到一个小小的扰动，链条开始无初速滑动，最后落到水平面上．问：
⑴当该链条的一端刚要接触地面的瞬间（整个链条还在空间），链条的速度是多大？
⑵现在用一根细绳的一端a系住链条的一端，轻绳跨过定滑轮后，将绳拉紧，并在其另一端b用竖直向下的力F缓慢地拉链条，使它仍然搭到定滑轮上去，最终重新静止在定滑轮上，那么拉力F做的功是多少？（不计空气阻力）
答案：（1）从图中可以看出该过程链条重心下降的高度为3L/4
链条下落过程用机械能守恒定律： 解得：
（2）从图中可以看出该过程链条重心上升的高度为5L/4
将链条拉回的全过程用动能定理： 因此
如图所示，半径为r,质量不计的圆盘与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B。放开盘让其自由转动，问：
（1）A球转到最低点时的线速度是多少？
（2）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？
答案：该系统在自由转动过程中，只有重力做功，机械能守恒。设A球转到最低点时的线速度为VA，B球的速度为VB，则据机械能守恒定律可得：
mgr-mgr/2=mvA2/2+mVB2/2
据圆周运动的知识可知：VA=2VB
由上述二式可求得VA=
设在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是θ，则据机械能守恒定律可得： mgr.cosθ-mgr(1+sinθ)/2=0 得θ=sin-13/5 。
7．质量为m的小球固定在光滑轻细杆的上端，细杆通过光滑限位孔保持竖直。在光滑水平面上放置一质量为M＝2m的凹形槽，凹形槽的光滑内表面如图所示，AB部分是斜面，与水平面成θ＝30°，BCD部分是半径为R的圆弧面，AB与BCD两面在B处相切。让细杆的下端与凹形槽口的左边缘A点接触。现将小球释放，求：
（1）当轻细杆的下端滑到凹形槽的最低点C时， 凹形槽的速度是多大；
（2）轻细杆的下端能否运动到凹形槽口的右边缘 D点；（只要回答“能”或“不能”，不需说明原因）
（3）当轻细杆的下端滑到B点的瞬间，小球和凹形槽的速度各是多大。
答案：（1）当轻细杆的下端运动到最低点C时，小球的速度为零，小球减少的重力势能转化为凹形槽的动能，由能量转化守恒定律 又 M=2m
得凹形槽的速度：
（2）能。
（3）当轻细杆的下端从A点相对滑动到B点时，
小球的速度v1与凹形槽的速度v2之间的关系如右图所示：得：
由系统能量转化守恒定律 又 M=2m
解得：
8．如图所示，劲度系数为k=200N/m的轻弹簧一端固定在墙上，另一端连一质量为M=8kg的小车a，开始时小车静止，其左端位于O点，弹簧没有发生形变，质量为m=1kg的小物块b静止于小车的左侧，距O点s=3m，小车与水平面间的摩擦不计，小物块与水平面间的动摩擦系数为μ=0.2，取g=10m/s2。今对小物块施加大小为F=8N的水平恒力使之向右运动，并在与小车碰撞前的瞬间撤去该力，碰撞后小车做振幅为A=0.2m的简谐运动，已知小车做简谐运动周期公式为T=2，弹簧的弹性势能公式为Ep=（x为弹簧的形变量），则
（1）小物块与小车磁撞前瞬间的速度是多大？
（2）小车做简谐运动过程中弹簧最大弹性势能是多少？小车的最大速度为多大？
（3）小物块最终停在距O点多远处？当小物块刚停下时小车左端运动到O点的哪一侧？
答案：（1）设磁撞前瞬间，小物块b的速度为v1，小物块从静止开始运动到刚要与小车发生碰撞的过程中，根据动能定理可知Fs-μmgs=mv1 解得v1=6m/s
（2）由于小车简谐振动的振幅是0.2m，所以弹簧的最大形变量为x=A=0.2m
根据弹性势能的表达式可知最大弹性势能Epm=kA2 解得Epm=4J
根据机械能守恒定律可知小车的最大动能应等于弹簧的最大弹性势能
所以kA2=Mvm2 解得小车的最大速度vm=1m/s
（3）小物块b与小车a磁撞后，小车a的速度为vm，设此时小物块的速度为v1/，设向右为正方向，由动量守恒定律有 mv1=mv/1+Mvm 解得v1/=--2m/s
接着小物块向左匀减速运动一直到停止，设位移是s1，所经历的时间为t1，根据动能定理可知
-μmgs1=0-mv1/2 解得s1=1m
物块作匀减速运动时的加速度为 a==μg=2m/s2 t1=1s
小车a振动的周期T=2s
由于T＞t1＞T，所以小车a在小物块b停止时在O点的左侧，并向右运动。


F
b
a
A
B
θ
v相
θ
v1
v2
F
b
a
O
S专题十三 动量和能量
重点难点
1．弹簧类问题：
系统内有两个物体之间用轻质弹簧连在一起，连接的弹簧或为原长，或已压缩而被锁定．这样包括弹簧的系统与第三个物体相互作用（碰撞、子弹射入等）。这是这类问题的典型物理情境．首先应注意上述两种情况的区别：已完全压缩的弹簧没有缓冲作用，应将系统当作一个整体来处理；没压缩的弹簧有缓冲作用，只有碰撞的两个物体组成系统，与弹簧相连的另一端的物体没有参与．
此类问题还应注意：把相互作用的总过程划分为多个依次进行的子过程，分析确定哪些子过程机械能是守恒的，哪些子过程机械能不守恒．还有一个常见的物理条件：当弹簧最长或最短（或弹簧中弹性势能最大）时，弹簧两端的物体速度相等．?
2．“子弹击木块”模型类问题：
子弹击穿木块时，两者速度不相等；子弹未击穿木块时，两者速度相等．这两种情况的临界情况是：当子弹从木块一端到达另一端，相对木块运动的位移等于木块长度时，两者速度相等．?
此时系统的动量守恒，机械能不守恒．可应用动能定理分别对子弹、木块列式，也可应用动能关系对系统列式．对系统的功能关系是：滑动摩擦力对系统做的功（W =-fd，d为子弹击入木块的深度），等于系统功能的变化（ΔEk = Ek未Ek初）．
3．“类子弹击木块”模型问题：
此时相互作用力不是介质阻力或滑动摩擦力，而是重力、弹力，此时机械能是守恒的．如弹性碰撞时：动量守恒、动能守恒，以两个运动物体发生弹性碰撞为例：?
两物体质量分别为m1、m2，碰撞前速度分别为υ10、υ20，碰撞后速度分别为υ1，υ2，且碰撞是弹性正碰，则有：动量守恒即m1υ10+m2υ20 = m1υ1+m2υ2 ①
动能守恒即m1υ+m2υ = m1υ+m2υ ②
将①式变形有：m1（υ10 -υ1） = m2（υ2- υ20） ③
将②式变形有：m1（υ10 -υ1）（υ10+υ1） = m2（υ2 -υ20）（υ2+υ20） ④
将④÷③有：υ10+υ1 = υ2+υ20 ⑤
由①和⑤解得：υ1 = υ10+υ20，υ2 = υ10+．
当υ20＝0时，υ1＝υ10，υ2 = υ10．?
当m1 = m2时，υ1＝υ20，υ2 = υ10，即两物体交换速度．
规律方法
【例1】如图所示，光滑水平面上有A、B、C三个物块，其质量分别为mA = 2.0kg，mB = 1.0kg，mC = 1.0kg．现用一轻弹簧将A、B两物块连接，并用力缓慢压缩弹簧使A、B两物块靠近，此过程外力做108J（弹簧仍处于弹性限度内），然后同时释放A、B，弹簧开始逐渐变长，当弹簧刚好恢复原长时，C恰以4m/s的速度迎面与B发生碰撞并粘连在一起．求：
（1）弹簧刚好恢复原长时（B与C碰撞前）A和B物块速度的大小．
（2）当弹簧第二次被压缩时，弹簧具有的最大弹性势能．?
【解析】（1）弹簧刚好恢复原长时，A和B物块速度的大小分别为υA、υB．
由动量守恒定律有：0 = mAυA - mBυB
此过程机械能守恒有：Ep = mAυ+mBυ?
代入Ep＝108J，解得：υA＝6m/s，υB = 12m/s，A的速度向右，B的速度向左．
（2）C与B碰撞时，C、B组成的系统动量守恒，设碰后B、C粘连时速度为υ′，则有：
mBυB -mCυC = （mB+mC）υ′，代入数据得υ′ = 4m/s，υ′的方向向左．
此后A和B、C组成的系统动量守恒，机械能守恒，当弹簧第二次压缩最短时，弹簧具有的弹性势能最大，设为Ep′，且此时A与B、C三者有相同的速度，设为υ，则有：
动量守恒：mAυA -（mB+mC）υ′ = （mA+mB+mC）υ，代入数据得υ = 1m/s，υ的方向向右．?
机械能守恒：mAυ+（mB+mC）υ′2 = Ep′+（mA+mB+mC）υ2，代入数据得E′p＝50J．
训练题如图所示，滑块A、B的质量分别为m1和m2，m1＜m2，由轻
质弹簧连接，置于光滑的水平面上，用一轻绳把两滑块拉至最近，使弹簧处于最大压缩状态后绑紧，并使两滑块以速度υ0向右运动，突然轻绳断开，当弹簧伸长到原长时，滑块A的速度恰好为零．请通过定量分析说明，在以后的运动过程中，滑块B是否会有速度为零的时刻．
答案：滑块B不会有速度为零的时刻
　　　　　　
【例2】如图3-13-3所示，两个完全相同的质量分别为m的木块A、B置于水平地面上，它们的间距S＝2．88m．质量为2m，大小可忽略的滑块C置于A板的左端．C与A、B之间的动摩擦因数μ1 = 0．22，A、B与水平地面之间的动摩擦因数为μ2＝0.10，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力．开始时，三个物体处于静止状态．现给C施加一个水平向右、大小为mg的力F，假定木板A、B碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起，要使C最终不脱离木板，每块木板的长度至少应为多少？
【解析】A、C之间的滑动摩擦力大小为f1，f1 = μ1mcg = 0.44mg，A与水平地面之间的滑动摩擦力大小为f2，f2 = μ2（mA+mC）g = 0.3mg，外力F = mg = 0．4mg?可见F＜f1，F＞f2，即首先A和C之间保持相对静，在F的作用下一起向右做加速运动．设A与B碰撞前A、C的速度大小为υ1，由动能定理有：（F-f2）s = （mA+mC）υ 代入数据得：υ1 = 0．8m/s
? A、B两木板的碰撞瞬间，内力的冲量远大于外力的冲量，由动量守恒定律，设A、B碰后一起运动的速度为υ2，则有：mAυ1 = （mA+mB）υ2 得υ2 = = 0．4m/s
碰撞后C与A、B之间有相对滑动，此时A、B与地面间滑动摩擦力大小为f3，f3＝μ2（mA+mB+mC）g = 0．4mg，可见F＝f3，即三物体组成的系统受合外力为零，动量守恒，设它们达到的共同速度为υ3，此时A、B向前滑动的距离为s1，C恰好滑到B板的右端，此后三者一起做匀速运动，C不会脱离木板，设对应的木块长度为l．
由动量守恒有：mcυ1+（mA+mB）υ2 = （mC+mA+mB）υ3 得υ3 = 0．6m/s
对A、B整体，由动能定理有：f1s1-f3s1 = （mA+mB）（υ-υ），得s1 = 1.5m
对C，由动能定理有：F（2l+s1）- f1（2l+s1） = mC（υ- υ），得l = 0.3m
训练题如图所示，O点左侧是粗糙的，右侧是光滑的一轻质弹簧右端与墙壁固定，左端与静止在O点的质量为m的小物块A连接，弹簧处于原长状态．质量也为m的物块B在大小为F的水平恒力．作用下由C处从静止开始向右运动，已知物块B与地面EO段的滑动摩擦力大小为．物块B运动到O点与物块A相碰并一起向右运动（设碰撞时间极短），运动到D点时撤云外力F?已知CO＝4s，OD = s，求撤去外力后：
（1）弹簧的最大弹性势能
（2）物块B最终离O点的距离?（设碰后A、B一起运动但不粘连）
答案：（1）Ep=5Fs/2
（2）L=0．3m
【例3】空间探测器从行星旁边绕过时，由于行星的引力作用，可以使探测器的运动速率增大，这种现象被称之为“弹弓效应”?在航天技术中，“弹弓效应”是用来增大人造小天体运动速率的一种有效方法．?
（1）如图所示是“弹弓效应”的示意图：质量为m的空间探测器以相对于太阳的速度u0飞向质量为M的行星，此时行星相对于太阳的速度为u0，绕过行星后探测器相对于太阳的速度为υ，此时行星相对于太阳的速度为υ，由于m?M，υ0、υ、u0、u的方向均可视为相互平行?试写出探测器与行星构成的系统在上述过程中“动量守恒”“及始末状态总动能相等”的方程，并在m<（2）若上述行星是质量为M＝5．67×1026kg的土星，其相对太阳的轨道速率u0 = 9.6km/s，而空间探测器的质量m＝150kg，相对于太阳迎向土星的速率υ0＝10.4km/s，则由于“弹弓效应”，该探测器绕过火星后相对于太阳的速率将增为多少？
（3）若探测器飞向行星时其速度υ0与行星的速度u0同方向，则是否仍能产生使探测器速率增大的“弹弓效应”？简要说明理由．?
【解析】（1）以探测器初始时速度υ0的反方向为速度的正方向
由动量守恒定律有：-mυ0+Mu0 = mυ+Mu
由动能守恒有: mυ+Mu = mυ2+Mu2
由上两式解得：υ = υ0+u0．
当m<（2）从所给数据可知m<（3）当υ0与u0方向同向时，此时υ0、u0都取负值，为使探测器能追上行星，应使｜υ0｜＞|u0|，此时有υ = υ0+2（u0）即｜υ｜＝｜υ0．2u0｜＜|υ0|?可见不能使探测器速率增大
训练题如图所示，运动的球A在光滑的水平面上与一个原来静止的B球发生弹性碰撞，碰撞前后的速度在一条直线上A、B的质量关系如何，才
可以实现使B球获得：
（1）最大的动能；
（2）最大的速度；
（3）最大的动量?（设两球半径相等）
答案：（1）Ek2m=mAv02/2
（2）vBm=2v0
（3）P2m=2mAv0
【例4】如图所示，弹簧上端固定在O点，下端挂一木匣A，木匣A顶端悬挂一木块B（可视为质点），A和B的质量都为m = 1kg，B距木匣底面高度h = 16cm，当它们都静止时，弹簧长度为L某时刻，悬挂木块B的细线突然断开，在木匣上升到速度刚为0时，B和A的底面相碰，碰撞后结为一体，当运动到弹簧长度又为L时，速度变为υ′ = 1m/s?求：
（1）B与A碰撞中动能的损失ΔEk;
（2）弹簧的劲度系数k；?
（3）原来静止时弹簧内具有的弹势势能E0
【解析】线断后，A向上做简谐运动，刚开始为最低点，此时弹簧伸长为x，应有kx = 2mg；A到达平衡位置时，应有kx1 = mg，x1为此时弹簧的伸长，可见x = 2x1，A振动的振幅即x1 = ，当A到达最高点时，A的速度为零，弹簧处于原长位置，弹簧的弹性势能也为零．
（1）当A、B结为一体运动到弹簧长度又为L时，弹簧中弹性势能不变，A的重力势能不变，B的重力势能减少mgh，此时A、B具有动能·2m·υ2，可见系统（A、B及弹簧）减少的机械能为ΔE＝mgh·2mυ2 = 0．6J
只有在B与A碰撞粘合在一起时有机械能（动能）的损失，其他过程均不会损失机械能，故碰撞中损失的动能即系统损失的机械能：ΔEk = ΔE＝0．6J
（2）A、B发生碰撞时，A向上运动了x，速度为零;B向下自由下落了h- x，速度为υB，由机械能守恒定律有：mg（h- x） = mυ
A和B碰撞过程，动量守恒，设碰后共同速度为υ，则mυB = 2mυ
由能量守恒有：mυ = ΔEk+·2m·υ2
由以上各式，代入数据解得：x = 0．04m，k = 500N/m?
（3）线断后，A从最低点到最高点时，弹簧原来具有的弹性势能转化为A的重力势能，有E0＝mgx，得E0 = 0.4J??
训练题如图所示，一质量M＝2kg的长木板B静止于光滑的水平面上，B的右端与竖直档板的距离为s＝1m，一个质量m = 1kg的小物体A以初速度υ0 = 6m/s从B的左端水平滑上B，在B与竖直挡板碰撞的过程中，A都没有到达B的右端?设物体A可视为质点，A、B间的动摩擦因数μ = 0.1，B与竖直挡板碰撞时间极短，且碰撞过程中无机械能损失，g取10m/s2?求：
（1）B与竖直挡板第一次碰撞前的瞬间，A、B的速度各是多少？
（2）最后要使A不从B的两端滑下，木板B的长度至少是多少？ （结果保留3位有效数字）
答案：（1）vA=4m/s ，vB=1m/s
（2）L=18．0m
能力训练
1．矩形滑块由不同材料的上、下两层粘结在一起，将其放在光滑的水平面上，如图所示，质量为m的子弹以速度u水平射向滑块?若射击上层，则子弹刚好不穿出；若射击下层，则整个子弹刚好嵌入，则上述两种情况相比较 （ AB ）
A．两次子弹对滑块做的功一样多
B．两次滑块所受冲量一样大
C．子弹嵌入下层过程中对滑块做功多
D．子弹击中上层过程中，系统产生的热量多
2．1924年法国物理学家德布罗意提出物质波的概念?任何一个运动着的物体，小到电子，大到行星、恒星都有一种波与之对应，波长为λ = ，P为物体运动的动量，h是普朗克常量．?同样光也具有粒子性，光子的动量为：P = ．根据上述观点可以证明一个静止的自由电子如果完全吸收一个γ光子，会发生下列情况：设光子频率为ν，则E = hν，P = = ，被电子吸收后有hν = meυ2，h = meυ，解得：υ = 2C．电子的速度为光速的2倍，显然这是不可能的关于上述过程以下说法正确的是 （ CD ）
A．因为在微观世界动量守恒定律不适用，上述论证错误，电子有可能完全吸收一个电子
B．因为在微观世界能量守恒定律不适用，上述论证错误，电子有可能完全吸收一个电子
C．动量守恒定律，能量守恒定律是自然界中普遍适用的规律，所以惟一结论是电子不可能完全吸收一个r光子
D．若γ光子与一个静止的自由电子发生作用，则r光子被电子散射后频率会减小
3．如图所示，质量为m的子弹以速度υ0水平击穿放在光滑水平地面上的木块?木块长为L，质量为M，木块对子弹的阻力恒定不变，子弹穿过木块后木块获得动能为Ek，若木块或子弹的质量发生变化，但子弹仍穿过木块，则 （ AC ）
A．M不变，m变小，则木块获得的动能一定变大
B．M不变，m变小，则木块获得的动能可能变大
C．m不变，M变小，则木块获得的动能一定变大
D．m不变，M变小，则木块获得的动能可能变大
4．如图所示，半径为R的光滑圆环轨道与高为10R的光滑斜面安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，在水平轨道CD上一轻质弹簧被两小球a、b夹住（不连接）处于静止状态，今同时释放两个小球，a球恰好能通过圆环轨道最高点A，b球恰好能到达斜面最高点B，已知a球质量为m，求释放小球前弹簧具有的弹性势能为多少？
答案：Ep=7．5mgR
5．如图所示，光滑水平面上，质量为2m的小球B连接着轻质弹簧，处于静止；质量为m的小球A以初速度v0向右匀速运动，接着逐渐压缩弹簧并使B运动，过一段时间，A与弹簧分离，设小球A、B与弹簧相互作用过程中无机械能损失，弹簧始终处于弹性限度以内
（1）求当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能E．
（2）若开始时在小球B的右侧某位置固定一块挡板(图中未画出)，在小球A与弹簧分离前使小球B与挡板发生正撞，并在碰后立刻将挡板撤走．设小球B与固定挡板的碰撞时间极短，碰后小球B的速度大小不变、但方向相反。设此后弹簧弹性势能的最大值为，试求可能值的范围．
答案：（1）当A球与弹簧接触以后，在弹力作用下减速运动，而B球在弹力作用下加速运动，弹簧势能增加，当A、B速度相同时，弹簧的势能最大．
设A、B的共同速度为v，弹簧的最大势能为E，则A、B系统动量守恒，有
由机械能守恒　 联立两式得　　
（2）设B球与挡板碰撞前瞬间的速度为vB，此时A的速度为vA
系统动量守恒
B与挡板碰后，以vB向左运动，压缩弹簧，当A、B速度相同（设为v共）时，弹簧势能最大
有　 得　　
所以　
当弹簧恢复原长时与小球B挡板相碰，vB有最大值vBm，有
解得　vBm＝
即vB的取值范围为　
当vB＝时Em有最大值为Em1＝
当vB＝时，Em有最小值为Em2＝
6．如图所示，光滑绝缘杆上套有两个完全相同、质量都是m的金属小球a、b，a带电量为q（q＞0），b不带电。M点是ON的中点，且OM=MN=L，整个装置放在与杆平行的匀强电场中。开始时，b静止在杆上MN之间的某点P处，a从杆上O点以速度v0向右运动，到达M点时速度为3v0/4，再到P点与b球相碰并粘合在一起（碰撞时间极短），运动到N点时速度恰好为零。求：
⑴电场强度E的大小和方向；
⑵a、b两球碰撞中损失的机械能；
⑶a球碰撞b球前的速度v。
答案：⑴a球从O到M WOM=
得： 方向向左
⑵设碰撞中损失的机械能为△E，对a、b球从O到N的全过程应用能的转化和守恒定律
-qE2L-△E=0-
则碰撞中损失的机械能为 △E==
⑶设a与b碰撞前后的速度分别为v、v′，则 mv=2mv’
减少的动能△E=-=

7．一玩具“火箭”由上下两部分和一短而硬（即劲度系数很大）的轻质弹簧构成。上部分G1的质量为m1，下部分G2的质量为m2，弹簧夹在G1与G2之间，与二者接触而不固连。让G1、G2压紧弹簧，并将它们锁定，此时弹簧的弹性势能为已知的定值E0。通过遥控可解除锁定，让弹簧恢复至原长并释放弹性势能，设这一释放过程的时间极短。现将玩具在一枯井的井口处从静止开始自由下落，撞击井底（井足够深）后以原速率反弹，反弹后当玩具竖直向上运动到离井口深度为h的时刻解除锁定。求
⑴解除锁定前瞬间，火箭的速度；
⑵解除锁定后瞬间G1、G2的速度；
⑶若以井口处作为重力势能的参考点，解除锁定后G1的机械能会超过E0吗？如能，请分析超过E0的条件。
答案：⑴v0 =　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
⑵解除锁定前后，G1、G2动量守恒 （m1+m2）v0 = m1v1 + m2v2
G1、G2能量守恒（m1+m2）v02 + E0 = m1v12 + m2v22
解得： v1 = ±（“－”舍去） v1 = ＋
v2 = ±（“＋”舍去） v2 = －
由题意知 m1v12 + m1gh ＞ E0
解得：h ＞
8．如图所示，质量为2kg的物块A（可看作质点），放在长木板B的左端，B的质量为1kg，可在水平面上无摩擦滑动，两端各有一竖直挡板M、N，现A、B上相同的速度υ0 = 6m/s向左运动并与挡板M发生碰撞，B与M碰后速度立即变为零，
但不与M粘连；A与M碰撞时没有能量损失?碰后立即返回向N板运动，且在与N板碰撞前，A、B能达到共同速度并且立即被锁定，与N板碰撞后，A、B一起以原速反向运动，并且立即解除锁定?A、B之间的动摩擦因数μ = 0.1．通过计算求下列问题：
（1）A与挡板M能否发生第二次碰撞？
（2）A最终停在何处？
（3）A在B上一共通过了多少路程？
答案：(1)第一次碰撞后A以vO=6 m／s速度向右运动，B的初速度为0，与N板碰前达共同速度v1，则mA v0=(mA+mB)v1 v1=4m/s
系统克服阻力做功损失动能
因与N板的碰撞没有能量损失，A、B与N板碰后返回向左运动，此时A的动能 因此，当B先与M板碰撞停住后，A还有足够能量克服阻力做功，并与M板发生第二次碰撞．所以A可以与挡板M发生第二次碰撞。
(2)设第i次碰后A的速度为vi，动能为EAi，达到共同速度后A的速度为vi′动能为EAi′ 同理可求
单程克服阻力做功
因此每次都可以返回到M板，景终停靠在M板前。
(3)由(2)的讨论可知，在每完成一个碰撞周期中损失的总能量均能满足
(即剩余能量为)
其中用以克服阻力做功占损失总能量之比
碰撞中能量损失所占的比例
因此，当初始A的总动能损失完时，克服摩擦力做的总功为
所以S＝27/2＝13.5m







m
2m
A
B
v0
a
b
M
N
O
v0
P
·
·
专题十四 电磁感应中的能量
重点难点
1．分清能量转化的关系：导体棒中的感应电流在磁场中受到安培力作用，如果该安培力做负功，是把其他形式的能量转化为电能；如果安培力做正功，是把电能转化为其他形式能量．
2．有效值问题：当线框在磁场中转动切割匀强磁场磁感线或导体棒以简谐运动切割磁感线时，产生的电能、热能等都应以有效值进行运算．
3．电量的计算：当导体棒只受安培力作用时，安培力对棒的冲量为：F安·t = BIlt，其It即为该过程中电磁感应时通过导体的电量q，即安培力冲量为Bql．当两个过程中磁通量φ变化量Δφ相同时，由q = 可知此时通过的电量也相同，安培力冲量也相同．
规律方法
【例1】如图所示，两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面，导轨上横放着两根相同的导体棒ab、cd与导轨构成矩形回路，导体棒的两端连接着处于压缩状态的两根轻质弹簧，两棒的中间用细线绑住，它们的电阻均为R，回路上其余部分的电阻不计，在导轨平面内两导轨间有一竖直向下的匀强磁场，开始时，导体棒处于静止状态，
剪断细线后，导体棒在运动过程中 （ AD ）
A．回路中有感应电动势?
B．两根导体棒所受安培力的方向相同?
C．两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒，机械能守恒?
D．两根导体棒的弹簧构成的系统动量守恒，机械能不守恒?
训练题两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨的左端接有电阻R，导轨的电阻可忽略不计，斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上，质量为m，电阻可不计的金属棒ab，在沿着斜面与棒垂直的恒力F作用下沿导轨匀速上滑，并上升高度h，如图所示，在这个过程中（ A ）
A．作用在金属棒上的各个力的合力所做功等于零?
B．作用在金属棒上的各个力的合力所做的功等于mgh与电阻R上发出的焦耳热之和?
C．恒力F与安培力的合力所做的功等于零?
D．恒力F与重力的合力所做的功大于电阻R上发出的焦耳热?
【例2】如图所示，固定的水平金属导轨，间距为L，左端接有阻值为R的电阻，处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略?初始时刻，弹簧恰处于自然长度?导体棒具有水平向右的初速度υ0在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．（1）求初始时刻导体棒受到的安培力；（2）若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为Ep，则这一过程中安培力所做的功W1和电阻上产生的焦耳热Q1分别为多少？（3）导体棒往复运动，最终将静止于何处？从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为多少？?
【解析】导体棒以初速度υ0做切割磁感线运动而产生感应电动势，回路中的感应电流使导体棒受到安培力的作用?安培力做功使系统机械能减少，最终将全部机械能转化为电阻R上产生的焦耳热．由平衡条件知，棒最终静止时，弹簧的弹力为零，即此时弹簧处于初始的原长状态．
（1）初始时刻棒中产生的感应电动势?
E = BLυo ①?
棒中产生的感应电流I = ②?
作用于棒上的安培力F = BIL ③?
联立①②③，得F = ，安培力方向：水平向左??
（2）由功和能的关系，得:安培力做功W1 = Ep-mυ?
电阻R上产生的焦耳热Q1 = mυ-EP?
（3）由能量转化及平衡条件等，可判断：棒最终静止于初始位置?
Q = mυ?
训练题如图所示，间距为l的光滑平行金属导轨，水平地放置在竖直方向的磁感应强度为B的匀强磁场中，一端接阻值为R的电阻，一电阻为R0质量为m的导体棒放置在导轨上，在外力F作用下从t = 0的时刻开始运动，其速度随时间的变化规律υ = υmsinωt，不计导轨电阻，求：
（1）从t1 = 0到t2 = 2π/ω时间内电阻R产生的热量．
（2）从t1 = 0到t3 = 时间内外力F所做的功．
答案：（1）Q=πB2l2vm2R/ω（R0+R）2
（2）W=mvm2/2 + πB2l2vm2/4ω（R0+R）
【例3】如图所示a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面（纸面）向里，导轨的a1b1段与a2b2段是竖直的，距离为l1；c1d1段与c2d2段也是竖直的，距离为l2?x1y1与x2y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m1和m2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触．两杆与导轨构成的回路的总电阻为R．F为作用于金属杆x1y1上的竖直向上的恒力．已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用在两杆上的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率．
【解析】设杆向上运动的速度为υ，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少?由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小E = B（l2-l1）υ，回路中的电流I = ，电流沿顺时针方向?两金属都要受到安培力的作用，作用于杆x1y1的安培力为f1 = Bl1I，方向向上，作用于杆x2y2的安培力f2 = Bl2I，方向向下?当杆做匀速动动时，根据牛顿第二定律有F-m1g-m2g+f1-f2 = 0，解以上各式，得?
I = υ = R ?
作用于两杆的重力的功率的大小P =（m1+m2）gu 电阻上的热功率Q = I2R ?
得 P = R（m1+m2）g? Q = []2R?
训练题如图，两根金属导轨与水平面成30°平行放置，导轨间距0．5m，导轨足够长且电阻不计，两根金属棒MN、PQ垂直导轨放置，由于摩擦，MN、PQ均刚好保持静止，两棒质量均为0．1kg，电阻均为0．1Ω，它们与导轨间动摩擦因素均为μ = ，空间有垂直导轨平面的匀强磁场，磁感应强度B = 0.4T现用沿导轨平面向上的力F = 1．2N垂直作用力于金属棒MN，取g = 10m/s2，试求：
（1）金属棒MN的最大速度；
（2）金属棒MN运动达到稳定状态后，1s内外力F做的功，并计算说明能量的转化是否守恒．
答案：（1）vm=2m/s
（2）W=2．4J
能力训练
1．如图水平光滑的平行金属导轨，左端与电阻R相连接，匀强磁场B竖直向下分布在导轨所在的空间内，质量一定的金属棒垂直搁在导轨上，令棒以一定的初速度向右运动，当其通过位置a时速率为υa，通过位置b时速率为υb，到位置C时棒刚好静止，设导轨与棒的电阻均不计，a、b与b、c的间距相等，则关于金属棒由a到b和由b到c的两个过程中，以下说法正确的是 （ D ）
A．通过棒截面的电量不相等
B．棒运动的加速度相等
C．棒通过a、b两位置时的速率关系为υa＞2υb
D．回路中产生的电能Eab与Ebc的关系为：Eab = 3Ebc
2．如图所示，ab、cd为两根水平放置且相互平行的金属轨道，相距L，左右两端各连接一个阻值均为R的定值电阻，轨道中央有一根质量为m的导体棒MN垂直放在两轨道上，与两轨道接触良好，棒及轨道的电阻不计，整个装置处于垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B．棒MN在外驱动力作用下做简谐运动，其振动周期为T，振幅为A，通过中心位置时的速度为υ0，则驱动力对棒做功的平均功率为 （ B ）
A． B．
C． D．
3．一电阻为R的金属圆环，放在匀强磁场中，磁场与圆环所在平面垂直，如图(a)所示．已知通过圆环的磁通量随时间t的变化关系如图(b)所示，图中的最大磁通量φ0和变化周期T 都是已知量，求
(1)在t= 0到的时间内，通过金属圆环某横截面的电荷量q．
(2)在t= 0到t=2T的时间内，金属环所产生的电热Q．
答案：(1)在t=0到时间内，环中的感应电动势 E1=
在以上时段内，环中的电流为 I 1=
则在这段时间内通过金属环某横截面的电量 q= I 1 t
联立求解得
(2)在到和在到t =T时间内，环中的感应电动势 E 1= 0
在和在时间内，环中的感应电动势 E 3=
由欧姆定律可知在以上时段内，环中的电流为 I 3 =
在t=0到t=2T时间内金属环所产生的电热 Q=2(I 12 R t 3+ I 32 R t 3)
联立求解得 Q=
4．平行轨道PQ、MN两端各接一个阻值R1＝R2＝8的电阻，轨道间距L＝1m，轨道很长，本身电阻不计。轨道间磁场按如图所示的规律分布，其中每段垂直纸面向里和向外的磁场区域宽度均为2cm，磁感应强度的大小均为B＝1T，每段无磁场的区域宽度均为1cm，导体棒ab本身电阻r＝1，与轨道接触良好。现使ab以v＝10m/s向右匀速运动。求：
⑴当导体棒ab从左端进入磁场区域时开始计时，设电流方向从a流向b为正方向，请画出流过导体棒ab的电流随时间变化关系的i—t图象。
⑵整个过程中流过导体棒ab的电流为交变电流，求出流过导体棒ab的电流有效值。
答案：⑴ab在两磁场中切割磁场产生的电动势E＝BLV＝10（V）　
则ab中的感应电流大小均为（A）　
流过导体棒ab的电流随时间变化规律如图所示
⑵由电流图象得流过ab棒的电流周期为T＝6×10－3s
由 　
5．如图所示，光滑平行的金属导轨MN、PQ相距l，其框架平面与水平面成θ角，在M点和P点间接一个阻值为R的电阻，在两导轨间OO1O1′O′矩形区域内有垂直导轨平面向下、宽为d的匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、电阻为r的导体棒ab，垂直搁置于导轨上，与磁场上边界相距d0，现使它由静止开始运动，在棒ab离开磁场前已经做匀速直线运动（棒ab与导轨始终保持良好的接触，导轨电阻不计）。求：
⑴棒ab在离开磁场下边界时的速度；
⑵棒ab通过磁场区的过程中整个电路所消耗的电能。
答案：⑴导体棒ab切割磁感线产生的电动势E＝BLv
产生的电流为
导体棒受到的安培力为 F＝BIl　
导体棒出磁场时作匀速运动，受力平衡，即mgsinθ＝F
联立解得
⑵由能量转化守恒得E电＝EG－EK
即E电＝＝
6．如图光滑斜面的倾角α＝30°，在斜面上放置一矩形线框abcd，ab边的边长l1＝1m，bc边的边l2＝0.6m，线框的质量m＝1kg，电阻R＝0.1Ω，线框通过细线与重物相连，重物质量M＝2kg，斜面上ef线（ef∥gh）的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度Ｂ＝0.5T，如果线框从静止开始运动，进入磁场最初一段时间是匀速的，ef线和gh线的距离s＝11.4m，（取g＝10m/s2），求：
⑴线框进入磁场时匀速运动的速度v；
⑵ab边由静止开始运动到gh线所用的时间t；
⑶t时间内产生的焦耳热．
答案：⑴因为线框进入磁场的最初一段时间做匀速运动，所以重物受力平衡
线框abcd受力平衡
ab边进入磁场切割磁感线，产生的电动势
形成的感应电流 受到的安培力
联立得： 解得　　　　
⑵线框abcd进磁场前时，做匀加速直线运动；进磁场的过程中，做匀速直线运动；进入磁场后到运动到gh线，仍做匀加速直线运动。
进磁场前 对M 对m
联立解得： 该阶段运动时间为
进磁场过程中 匀速运动时间
进磁场后 线框受力情况同进磁场前，所以该阶段的加速度仍为
解得：
因此ab边由静止开始运动到gh线所用的时间
⑶ J
7．如图所示，水平固定的光滑U形金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一阻值为R的电阻（金属框架、金属棒及导线的电阻匀可忽略不计），整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B．现给棒ab一个初速度υ0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图甲所示．
（1）金属棒从开始运动到达到稳定状态的过程中，求通过电阻R的电量和电阻R中产生的热量；
（2）金属棒从开始运动到达到稳定状态的过程中求金属棒通过的位移；
（3）如果将U形金属框架左端的电阻R换为一电容为C的电容器，其他条件不变，如图乙所示．求金属棒从开始运动到达到稳定状态时电容器的带电量
和电容器所储存的能量（不计电路向外界辐射的能量）．
答案：（1）由动量定理得 即 所以
由能量守恒定律得
（2） 所以
（3）当金属棒ab做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，当ab棒以稳定速度v匀速运动时，有：
BLv=UC=
而对导体棒ab利用动量定理可得： -BL=mv-mv0
由上述二式可求得：
8．如图所示，两条光滑的绝缘导轨，导轨的水平部分与圆弧部分平滑连接，两导轨间距为L，导轨的水平部分有n段相同的匀强磁场区域（图中的虚线范围），磁场方向竖直向上，磁场的磁感应强度为B，磁场的宽度为S，相邻磁场区域的间距也为S，S大于L，磁场左、右两边界均与导轨垂直。现有一质量为m，电阻为r，边长为L的正方形金属框，由圆弧导轨上某高度处静止释放，金属框滑上水平导轨，在水平导轨上滑行一段时间进入磁场区域，最终线框恰好完全通过n段磁场区域。地球表面处的重力加速度为g，感应电流的磁场可以忽略不计，求：
（1）刚开始下滑时，金属框重心离水平导轨所在平面的高度．
（2）整个过程中金属框内产生的电热．
（3）金属框完全进入第k（k＜n）段磁场区域前的时刻，金属框中的电功率．
答案：（1）设金属框在进入第一段匀强磁场区域前的速度为v0，金属框在进入和穿出第一段匀强磁场区域的过程中，线框中产生平均感应电动势为
平均电流强度为（不考虑电流方向变化）
由动量定理得：　　
　　　　　　　
　　　　　　　
同理可得：　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　……
整个过程累计得：　　
解得：　　　　　　　
金属框沿斜面下滑机械能守恒：　
（2）金属框中产生的热量Q＝mgh Q＝
（3）金属框穿过第（k－1）个磁场区域后，由动量定理得：
金属框完全进入第k个磁场区域的过程中，由动量定理得：　　
解得：　　. 功率：
P通
v
Q
M
N
R1
R2
a
b
1cm
2cm
无
无
无
无
2cm
……
i/A
O
t/10－3s
3
6
9
12
15
14
1
2
4
5
7
8
10
11
13
2
－2
N
M
P
Q
O
O1
O1′
O′
R
l
a
b
d
d0
θ
θ
B专题十五 直流电路和交流电路
重点难点
1．电路的动态变化．
进行动态分析的常见思路是：由部分电阻变化推断外电路总电阻（）的变化，再由全电路欧姆定律讨论干路电流的变化，最后再根据具体情况分别确定各元件上其他量的变化情况（使用的工具是部分电路欧姆定律、电路中各元件上的电压关系和电流关系）．
2．电路故障分析：断路的表现是电路的端电压不为零而电流为零，一般是用电压表测量电路中某两点电压，若电压不为零，则说明这两点与电源的连接完好，断路点就在该两点之间，这样逐渐缩小测量范围即可找到断路点（用电流表也可类似得出）．短路的表现是电流不为零而电压为零．
3．电源输出的最大功率
电源输出功率最大的条件为：R＝r，即外电阻等于电源内阻，此时的最大输出功率为Pm＝，电源的效率为50%．
4．电流表和电压表在电路中的作用：可分为两种情形．①理想情况：电流表内阻为零，电压表内阻可视为无穷大，都对电路没有影响．在分析和计算时，常将电流表视为短路，将电压表视为断路；②实际情况：可将电流表看作阻值为其内阻、能测量其本身电流的特殊电阻串入电路中，可将电压表看作阻值为其内阻、能测量其本身电压的特殊电阻并入电路中．
5．交流电的有效值：有效值的概念是根据电流的热效应规定的，具有等效的含义．在交流电路中，电表的测量值，计算电功用的电流和电压值，电器设备上所标的额定电流和电压值均指的是有效值．
6．理想变压器：
①变压器的输入功率等于输出功率，且输出功率随负载的变化而变化，输入功率随输出功率变化而变化；
②由可知：，即变压器副线圈两端电压由原、副线圈的匝数比和输入电压U1决定；
③变压器副线圈上的电流由副线圈的输出电压和负载决定，即．
规律方法
【例1】在如图所示的电路中，电源电动势为E．设电流表的示数为I．电压表的示数为U，电容器C所带的电荷量为Q．将滑动变阻器R1的滑动触头P向上移动，待电流达到稳定后，则与P移动前相比 （ AC ）
A．若电源内阻不可忽略，则U减小
B．若电源内阻不可忽略，则I增大
C．若电源内阻不可忽略，则Q减小
D．若电源内阻可以忽略，则Q减小
训练题如图所示，两只相同的白炽灯泡D1和D2串联后接在电压恒定的电路中．若D1的灯丝断了，经过搭丝后（搭丝后灯泡的电阻减小）仍然与D2串联，重新接人原来的电路．假设在此过程中，灯丝电阻随温度变化的因素可忽略不计，且每只灯泡两端的电压均未超过其额定电压．则此时每只灯泡所消耗的功率与原来各自的功率相比（　BC ）
A．D1的功率变大　　　　　　
B．D1的功率变小
C．D2的功率变大　　　　　　
D．D2的功率变小
【例2】如图所示是一个电热器电路．指示灯、电键、电热丝构成串联回路，接在电源上发现该电路有一个元件断路、有一个元件短路，但不知道是哪个元件上有故障，今用一个校验电灯分别依次接在各处进行检测，得到如下表所示的结果，请根据表格回答下列问题：
校验次序 1 2 3 4 5 6
校验接入点 af ab cd ef ad cf
发光情况 正常发光 不发光 发光不正常 不发光 发光不正常 正常发光
（1）由前两次检测可以知道：
（2）由第三次检测可以知道：
（3）由以上检测可以知道： 断路； 短路．
【解析】（1）第1次检测，将电灯接在af点，正常发光，说明电路从电源→a→f→电源是连通的，即电源正常，且灯泡的额定电压等于电源电压．第2次检测，将电灯接在ab点，不发光，说明电路不通，所以从前两次检测可判定：电源正常，电键或电热丝断路．
（2）第3次检测，将电灯接在cd点，发光但不正常，说明电路是通的，即指示灯、电热丝没有断路．
（3）第4次检测，将电灯接在ef点，不发光，说明电路不通，综上各次检测可判定：电键断路．
第5次检测，将电灯接在ad点，发光但不正常，说明电路是通的，灯泡两端电压小于电源电压，所以电热丝有电阻即是正常的．
第6次检测，将电灯接在cf点，正常发光，说明电路是通的，灯泡两端电压等于电源电压，而ac间电压为零，即指示灯短路．
综上所述，电路故障是：电键断路，指示灯短路．
训练题图为一电路板的示意图，a、b、c、d为接线柱，a、d与220V的交流电源连接，ab间、bc间、cd间分别连接一个电阻．现发现电路中没有电流，为检查电路故障，用一交流电压表分别测得b、d两点间以及a、c两点间的电压均为220V．（　CD　）
A．ab间电路通，cd间电路不通
B．ab间电路不通，bc间电路通
C．ab间电路通，bc间电路不通
D．bc间电路不通，cd间电路通
【例3】如图所示的电路中，电源电动势E=9 V，电阻R1=2.5Ω，R2=3Ω，当电阻箱Rx调到3Ω时，电流表的示数为2 A．求：
（1）电源的内电阻；
（2）调节电阻箱，使电流表的示数为1.8 A时，电阻R2消耗的电功率．
【解析】（1）当Rx=3Ω时，则电路外电阻为
由闭合电路欧姆定律有：．
（2）调节电阻箱后，由闭合电路欧姆定律
有：（V）=3.6V
所以电阻R2消耗的电功率为=4.32W．
训练题在图电路中，电源由6个电动势为1.5 V、内电阻为0.1Ω的电池串联而成，R1为4.4Ω，R2为6Ω，变阻器R3开始时接入电路的阻值为12Ω，R2的额定功率为3 W．问：
（1）此时通过R1的电流是多大？
（2）此时电源的输出功率是多大？
（3）为确保R2消耗的实际功率不超过它的额定功率，变阻器R3接入电路的阻值应满足什么条件？
答案：（1）I=1A
（2）P=8．4W
（3）变阻器R3接入电路的阻值应小于、等于17Ω
【例4】如图所示，一理想变压器原线圈匝数n1=1100匝，副线圈匝数n2=180匝，交流电源的电压，电阻R=45Ω，电压表、电流表均为理想电表，则（ BD ）
A．交流电的频率为50Hz B．A1的示数约为0.13A
C．A2的示数约为1.1A D．V的示数为36V
能力训练
1．在图示电路的三根导线中，有一根是断的，电源、电阻器R1、R2及另外两根导线都是好的，为了查出断导线，某学生想先将万用表的红表笔连接在电源的正极a，再将黑表笔分别连电阻器R1的b端和R2的c端，并观察万用表指针的示数，在下列选档中，符合操作规程的是（ A ）
A．直流10V挡 B．直流0.5A挡
C．直流2.5V挡 D．欧姆挡
2．电路如图，电源内阻不能忽略，R1＝10Ω，R2＝8Ω，开关接通1时，电压表的示数U1＝2.0V，则当开关接通2时，电压表的示数可能是（ C ）
A．2.2V B．2.0V C．1.8V D．1.6V
3．如图所示，是测定两个电源的电动势E和内电阻r实验中得到的路端电压U和电流I的图线，则应有　　　（ ACD ）
A．当I1=I2时，电源总功率P1=P2
B．当I1=I2时，外电阻R1=R2
C．当U1=U2时，电源输出功率P出1＜P出2
D．当U1=U2时，电源内部消耗的电功率P内1＜P内2
4．如图甲所示，一矩形闭合线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的转轴ΟΟ′以恒定的角速度转动，当线圈平面与磁场方向平行时开始计时，线圈中产生的交变电流按照图乙所示的余弦规律变化．在 t=时刻 （ CD ）
A．线圈中的电流最大
B．穿过线圈的磁通量为零
C．线圈所受安培力的力矩为零
D．线圈消耗的电功率为零
5．所示电路中，电源电动势E=10V，内阻r=1Ω，电容器电容C=40μF，电阻R1=R2=4Ω，R3=5Ω。接通电键S，待电路稳定后，求：
（1）理想电压表V的读数；
（2）电容器的带电量。
答案：当开关合上后，等效电路如图所示，这时电压表测得 的是R3两端的电压U3，电容器两端的电压为R1两端的电压U1
（1）流过电路中的总电流
代入数据得I=1A U3=IR3 U3=5V
（2）U1=IR1 U1=4V C=Q/U1 Q=CU=1.6×10 -4C
6．如图所示，电源的电动势，内阻不计，电阻，，电容器的电容，其中有一带电微粒恰好处于静止状态。若在工作的过程中，电阻突然发生断路。电流表可看作理想电表。求：
（1）带电微粒加速度的大小和方向。
（2）从电阻断路到电路稳定的过程中，流经电流表的电量。
答案：（1）
电容器两端电压为，带电量（上板带负电）
带电微粒静止
断路后，电路稳定后，电容器两端电压，
电容器带电量为（上板带正电）
带电微粒的加速度，方向竖直向下。
（2）从电阻断路到电路稳定的过程中，流经电流表的电量
7．如图所示，是用直流电动机提升重物的装置示意图，电源电动势E＝100V，内电阻r1＝1，电动机的线圈电阻r2＝4。重物质量m＝36kg，重物被电动机以v＝0.5m/s的速度匀速提起，不计重物运动中所受的阻力，取g＝10m/s2，试求：电路中的电流I和电源的输出功率P。
答案：电源的输出功率：P＝UI　 由闭合电路欧姆定律　E＝U＋Ir1　 即　P＝I（E－Ir1）　
电动机的热功率：P热＝I 2r2 　电动机的输出机械功率：P出＝mgv　　则：P＝mgv+I 2r2　
所以得：I2（r2＋r1）－IE＋mgv＝0 代入数据化简，得：I 2－20I＋36＝0
所以I＝2（A）　（I＝18A舍去） 得P＝196（W）
8．一个矩形线圈在一匀强磁场中绕垂直于磁场方向的中心轴匀速转动，产生的交变电动势表达式为V，试求：
(1)电动势的最大值、有效值和频率；
(2)若矩形线圈是100匝，线圈平面面积为0.02m2，匀强磁场的磁感应强度B是多少
(3)当线圈平面从中性面开始转过时，电动势的瞬时值是多大
答案：（1）将（V）　跟对应比较，可知V
有效值： V＝220V
频率：　 Hz＝50Hz
（2）由得T＝0.5T
（3）线圈从中性面转过，即 V＝311×0.707V＝220V
V
C
E
r
S
R1
R2
R3
E
r
R1
R3
：
电动机
I
v0

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