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人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章　圆锥曲线的方程
一、单选题
1．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
2．双曲线的顶点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．1
3．若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
5．已知双曲线（，）的离心率为，O为坐标原点，右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，的周长为12，则双曲线的实轴长为（ ）
A．8 B．4 C． D．2
6．在中，，如果一个椭圆通过 两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在上，则这个椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
7．焦点在x轴，一条渐近线的方程为，虚轴长为的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点A，B，C在抛物线上，抛物线的焦点F在上，与x轴交于点D，，，则（ ）
A． B．4 C． D．3
10．已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．不垂直于坐标轴的直线与双曲线的渐近线交于，两点，若线段的中点为，和的斜率满足，则顶点在坐标原点，焦点在轴上，且经过点的抛物线方程是（ ）
A． B． C． D．
12．已知点的坐标为，点是抛物线上的点，则使得是等腰三角形的点的个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
13．点是椭圆与圆的一个交点，且，其中，分别为椭圆的左 右焦点，则椭圆的离心率为___________.
14．设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．
15．已知点，是椭圆上的两点，且线段恰为的一条直径，点关于轴的对称点为，设，直线与椭圆的另一个交点为，且直线，斜率之积为，则椭圆的离心率为____.
16．斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
三、解答题
17．已知 分别为椭圆左右焦点，为椭圆上一点，满足轴，，且椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线交椭圆于，两点，(其中为坐标原点)，与直线平行且与椭圆相切的两条直线分别为 ，若与两直线间的距离为，求直线的方程.
18．已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：．
（1）若与只有一个公共点，求的值；
（2）过点作斜率为的直线交抛物线于、两点，求的面积．
19．已知抛物线T：（）和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段的中垂线交椭圆C于M，N两点.
(1)若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；
(2)若恰好被平分，求面积的最大值
20．已知椭圆的左 右顶点分別为，右焦点为F（1，0），且椭圆C的离心率为，M，N为椭圆C上任意两点，点P的坐标为（4，t）（t≠0），且满足.
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：M，F，N三点共线.
21．已知抛物线C：x2= 2py经过点（2， 1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y= 1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
由题设，利用为的重心，求出线段的中点为，将B代入直线方程得，再利用点差法可得，结合，可求出，进而求出离心率.
【详解】
由题设，则线段的中点为，
由三角形重心的性质知，即，解得：
即代入直线，得①.
又B为线段的中点，则，
又为椭圆上两点，，
以上两式相减得，
所以，化简得②
由①②及，解得：，即离心率.
故选：C.
方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
2．B
根据双曲线方程求出渐近线方程和顶点坐标，再由点到直线的距离公式即可求解.
【详解】
由双曲线可得，，
所以双曲线的渐近线方程为即，顶点坐标为，
所以顶点到渐进线的距离为，
故选：B.
3．C
利用双曲线的渐近线过点，可以求得的值，再利用 即可求出离心率.
【详解】
双曲线的一条渐近线为，
因为渐近线过点，所以，所以，
所以，
故选：C
本题主要考查了求双曲线的离心率，考查了双曲线的渐近线方程，属于中档题.
4．C
本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】
由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
5．A
利用点到直线的距离公式计算出，从而得到，再根据周长为12，得到，最后结合离心率求得，即可得出结果.
【详解】
因为双曲线（，）的渐近线方程为，右焦点为，
不妨令点P位于第一象限，则的长度为点到直线的距离，
即，所以，
又的周长为12，所以得到，
因为该双曲线的离心率为，即，得，
又，即，解得，即双曲线的实轴长为8.
故选：A.
6．D
根据等腰，可得，然后可得，假设，依据椭圆定义可得，根据可得，最后可得离心率.
【详解】
设另一个焦点为，如图所示，∵，，
，则，
设，则，，
∴，，，∴，
故选:D.
7．A
根据题意，有双曲线的虚轴长可得的值，有双曲线的焦点位置可得其渐近线方程为，分析可得的值，将、的值代入双曲线的方程即可得答案．
【详解】
解：根据题意，要求双曲线的虚轴长为，即，即，
又由要求双曲线的焦点在轴，其渐近线方程为，
若双曲线的一条渐近线的方程为，即，则，
故要求双曲线的标准方程为，
故选：．
8．C
根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及离心率为，即可求得的值，进而由焦点在轴上可得的标准方程.
【详解】
由题意可知，椭圆的面积为，且、、均为正数，
即，解得，
因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.
故选：C.
9．B
设出点A，B，C的坐标，利用直线AB，AC，BC斜率的关系建立等式即可得解.
【详解】
依题意设，则直线AB，AC，BC斜率分别为：
，
因，则，即，
则，因F(1，0)在直线AB上，则，而，
有，即，点A在直线上，
又是等腰三角形，点F，点D关于直线对称，所以点D坐标为(5，0)，|FD|=4.
故选：B
10．A
延长与交于点，由条件判断为等腰三角形，为的中位线，故，再根据的值域，求得的最值，从而得到结果.
【详解】
如图，
延长与交于点，则是的角平分线，
由可得与垂直，
可得为等腰三角形，故为的中点，
由于为的中点，
则为的中位线，故，
由于，所以，
所以，
问题转化为求的最值，
而的最小值为，的最大值为，即的值域为，
故当或时，取得最大值为
，
当时，在轴上，此时与重合，
取得最小值为0，又由题意，最值取不到，
所以的取值范围是，
故选：A.
该题考查的是与椭圆相关的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，椭圆的性质，角分线的性质，属于较难题目.
11．C
运用点差法得到得解
【详解】
设，则，
相减得，，所以，
即，所以，．由题意设抛物线方程是，则．于是所求抛物线方程是．
故选：C．
12．C
根据等腰三角形的腰长不明确，分①；②；③；三种情况进行讨论求解．
【详解】
，则P为OA垂直平分线与抛物线的交点，下图中的、；
，则P为以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的交点，下图中的、；
，则P为以A为圆心，AO为半径的圆与抛物线的交点，下图中的、．

故选：C.
13．##
求出椭圆的两个焦点，判断三角形的形状，利用椭圆的定义得到关系式，进而可以求出离心率．
【详解】
如图：
∵椭圆的焦点，，，
而圆的半径，因此△为直角三角形，
又，∴，，，，，
由椭圆的定义可知，椭圆的离心率．
故答案为：．
14．(x-1)2+y2=4.
由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.
【详解】
抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，
焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，
以F为圆心，
且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．．
已知得关于原点对称，设，则，，
由向量线性运算求得点坐标，求得的斜率关系，再设，用点差法可求得，再由已知斜率之积可得的等式，从而求得离心率．
【详解】
因为线段是圆的一条直径，所以关于原点对称，
设，则，，
又，即，，即，
所以，，①
设，则，
又，相减得，，
所以，②，而，③，
由①②③可得，，所以．
故答案为：．
本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于的齐次等式．解题方法是设，由对称性得坐标，再得点坐标，用点差法求得，这样可利用直线的斜率得出关系式．
16．
先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
【详解】
∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.
故答案为：
本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.
17．（1）；（2）.
（1）由条件可得、，解出即可；
（2）设直线，，，联立直线与椭圆的方程消元，韦达定理可得、，然后由可求出，直线 的方程分别为 ，与椭圆的方程联立消元，然后利用可得，然后利用与两直线间的距离可求出.
【详解】
（1）由题意可得，即，
而由椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为
可得，即，
，
解得，，
椭圆的方程.
（2）由点可设直线，且，，
联立直线和椭圆方程组，得，
整理得：，
则，
又
于是有，
解得，
所以点.
设直线 的方程分别为 ，与椭圆联立
可得，
于是，
解得，
而直线 间的距离为，
解得，
故直线的方程为
方法点睛：主观题中考查圆锥曲线题型主要是直线与圆锥曲线位置关系问题，其特点是运算量大，且逻辑思维要求高，但并不是没有规律可循，解题的入手点应当是把直线方程与圆锥曲线方程联立方程组，消去(或)，获取(或)的一元二次方程，然后通过韦达定理建立方程求解.
18．（1）1或0；（2）.
（1）将直线方程与抛物线方程联立，由或即可求解；
（2）求出抛物线的焦点坐标，即可得直线方程，设，，联立直线与抛物线方程，根据及韦达定理即可求解；
【详解】
解：（1）依题意消去得，即，
①当时，显然方程只有一个解，满足条件；
②当时，，解得；
综上，当或时直线与抛物线只有一个交点；
（2）抛物线：，所以焦点，所以直线方程为，设，，
由，消去得，所以，，
所以，
所以.
19．(1)4
(2)．
（1）求出椭圆焦点，得抛物线焦点，从而得的值；
（2）设直线方程为，代入抛物线方程，结合韦达定理得中点坐标，根据椭圆的弦中点性质得出一个参数值，由中点在椭圆内部得出另一个参数的范围，然后求出三角形面积，得出最大值．
(1)
在椭圆中，， 所以，；
(2)
设直线方程为，代入抛物线方程得，
设，中点为，则，，
，，
设，则，两式相减得，
所以，，，
所以，解得，
点在椭圆内部，所以，得，
因为，所以或，
，
时，，时，，
所以面积的最大值为．
本题考查求抛物线的方程，考查直线民椭圆、抛物线相交问题，考查圆锥曲线中的面积问题．解题方法采用设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，代入曲线方程后应用韦达定理，求得弦中点坐标，弦长等，把这个结论代入其他条件可求得参数关系，参数值，参数范围等．即设参数，利用韦达定理把目标用参数表示，进而求最值，证明一些结论．本题考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，对学生的要求较高，属于难题．
20．(1)；
(2)证明见解析.
（1）根据椭圆的焦点坐标及离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.
（2）设，由题设易知共线，共线，利用向量共线的坐标表示有，再由M，N在椭圆上可得，最后由，结合分析法证明结论.
(1)
椭圆C的右焦点为，且离心率为，
∴a=2，c=1，则b2=a2-c2=3，
∴椭圆C的方程为.
(2)
由（1）知，的坐标分别为，设，
∴，，，，
∵，，
∴三点共线，三点共线，即，整理得，两边平方得，①
又M，N在椭圆上，则，代入①并化简得，
又，，
∴要证M，F，N三点共线，只需证，即，只需证，整理得，
∴M，F，N三点共线.
关键点点睛：第二问，设，由向量共线得，利用分析法结合向量共线的坐标表示只需证，最后由M，N在椭圆上求证即可.
21．(Ⅰ) ，；
(Ⅱ)见解析.
(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；
(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论.
【详解】
(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，
故抛物线方程为：，其准线方程为：.
(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，
设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.
故：.
设，则，
直线的方程为，与联立可得：，同理可得，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，
且：，，
则圆的方程为：，
令整理可得：，解得：，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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