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必考点04 离散型随机变量的分布
及其数字特征
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
例题1. 设离散型随机变量的分布列为：
则
A． B． C． D．
例题2设随机变量X的分布列如表所示，其中、、 、构成等差数列，则（ ）
X 1 2 3 4 5
P
A．最大值为 B．最大值为
C．最小值为 D．最小值为
【解题技巧提炼】
离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
题型二 求离散型随机变量的分布列
例题1.由于研究性学习的需要，中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数，其中某一天的数据记录如下：
5860 6520 7326 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 6460 6830 9860 8753 9450 9860 7290 7850
对这20个数据按组距为1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计表（设步数为）．
组别 步数分组 频数
2
10
2
(1)写出，的值；
(2)从，两个组别的数据中任取2个数据，记这2个数据步数差的绝对值为，求的分布列．
例题2. 已知离散型随机变量的分布列．
(1)求常数的值；
(2)求；
(3)求．
【解题技巧提炼】
离散型随机变量分布列的求解步骤
题型三 离散型随机变量的均值与方差
例题1在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ ）
A． B．
C． D．
例题2设，随机变量的分布列为
X 0 1 2
P b
则当在内增大时（ ）
A．增大 B．减小 C． 先减小后增大 D．先增大后减小
【解题技巧提炼】
求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值.
(2)求ξ取每个值的概率.
(3)写出ξ的分布列.
(4)由均值的定义求E(ξ).
(5)由方差的定义求D(ξ).
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
1. 1．下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ；
②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；
③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；
④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y；
其中是离散型随机变量的为（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
2．已知离散型随机变量X的分布列，则（ ）
A．1 B． C． D．
题型二 求离散型随机变量的分布列
1．有一种密码，明文由三个字母组成，密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成，编码规则如下表．明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，对应的密码由明文所取的这三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成，如明文取的三个字母为AFP，则与它对应的五个数字（密码）就为11223．
第一排 明文字母 A B C
对应数字 11 12 13
第二排 明文字母 E F G
对应数字 21 22 23
第三排 明文字母 M N P
对应数字 1 2 3
(1)假设明文是BGN，求这个明文对应的密码；
(2)设随机变量表示密码中所含不同数字的个数．
①求；
②求随机变量的分布列．
2．设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3
试求：
(1)的分布列；
(2)的分布列.
题型三 离散型随机变量的均值与方差
1．已知袋中有大小相同、质地均匀的黑色小球m个和白色小球个，从中任取3个，记随机变量为取出的3个球中黑球的个数，则（ ）
A．都与m有关 B．与m有关，与m无关
C．与m无关，与m有关 D．都与m无关
2．已知随机变量ξ的分布列如下表，D(ξ)表示ξ的方差，则D(3ξ+2)=（ ）
ξ 2 1 0
P a
A． B． C． D．
一、单选题
1．已知下表为离散型随机变量X的分布列，则（ ）
X 0 1 2 3
P
A． B．
C． D．
2．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为
A． B． C． D．
3．设ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.故选：D.
4．随机变量的分布列如下表，其中，且，
2 4 6
则（ ）A． B． C． D．
5．设，随机变量的分布
0 1
则当在内增大时，（ ）
A．增大，增大 B．增大，减小
C．减小，增大 D．减小，减小
6．将3只小球放入3个盒子中， 盒子的容量不限， 且每个小球落入盒子的概率相等． 记为分配后所剩空盒的个数， 为分配后不空盒子的个数， 则（ ）
A． B．
C． D．
7．程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数，其中A的各位数中，，（2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记，当程序运行一次时，ξ的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
8．设，随机变量的分布列是
0 1 2
若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由分布列可知：.，
，即
所以联立方程组得：，解得：故选：B
二、多选题
9．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：
所需时间（分钟） 30 40 50 60
线路一 0.5 0.2 0.2 0.1
线路二 0.3 0.5 0.1 0.1
则下列说法正确的是（ ）
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
10．中华人民共和国第十四届运动会将于2021年9月在陕西省举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，第十四届全国运动会组织委员会欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的有（ ）
A．设事件：“抽取的三人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则
B．设事件：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件：“抽取的3人中全是男志愿者”，则
C．用表示抽取的三人中女志愿者的人数，则
D．用表示抽取的三人中男志愿者的人数，则
11．袋内有大小完全相同的个黑球和个白球，从中不放回地每次任取个小球，直至取到白球后停止取球，则（ ）
A．抽取次后停止取球的概率为
B．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为
C．取球次数的期望为
D．取球次数的方差为
12．设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（ ）
0 1 2
P
A． B．的值最大
C．随着p的增大而增大 D．当时，
三、填空题
13．已知X，Y均为离散型随机变量.且X＝2Y，若X的所有可能取值为0，2，4，则Y的所有可能取值为________.
14．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为________．
15．一个质地均匀的小正方体，它的6个面中有三个面上标着数字1，另两个面上标着数字2，还有一个面上标着数字3，现将此正方体任意抛掷2次，记向上的面上数字之和为，则___________.
16．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X 1 2 3
P
则X的数学期望为_________．
四、解答题
17．某中学小蔡老师在校“五一”表彰活动中，根据学生表现筛选出品学兼优的李好，张好，王学，徐习四人，欲从此4人中选择一人为“校优秀学生”，现进入最后一个互投环节，李好，张好，王学，徐习四人每人一票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同．
(1)记李好的得票数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)求最终仅李好一人获得最高票数的概率．
18．伴随着2022年北京冬奥会成功举办，这也是中国历史上第一次举办冬季奥运会，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，引领着相关户外用品行业市场增长.下面是2013年至2020年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况：
(1)求2020年中国雪场滑雪人次相较于2013年的增长率（百分号前保留2位小数）；
(2)根据市场调查表明，8年期间每年雪场滑雪人次与该年冰雪市场的销售总额有如下关系：
滑雪人次（万人次） 2000以上
销售总额（亿元） 3.5 4 4.8 5.2 6
视频率为概率，任取1年的销售总额，记所取该年的销售总额为，求的数学期望及方差.
19．随着国家对体育、美育的高度重视，不少省份已经宣布将体育、美育纳入中考范畴．某学校为了提升学生的体育水平，决定本学期开设足球课，某次体育课上，体育器材室的袋子里有大小、形状相同的2个黄色足球和3个白色足球，现从袋子里依次随机取球．
（1）若连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率；
（2）若无放回地取3次，每次取1个球，取出黄色足球得1分，取出白色足球不得分，求总得分X的分布列．
20．为迎接年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为元（不足1小时的部分按小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过小时离开的概率分别为、；小时以上且不超过小时离开的概率分别为、；两人滑雪时间都不会超过小时.
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望，方差.
21．在某校开展的知识竞赛活动中，共有三道题，答对分别得2分 2分 4分，答错不得分.已知甲同学答对问题的概率分别为，乙同学答对问题的概率均为，甲 乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.
(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；
(2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强.
22．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件) 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.
（1）求当天商店不进货的概率；
（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.
（北京）股份有限公司
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必考点04 离散型随机变量的分布
及其数字特征
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
例题1. 设离散型随机变量的分布列为：
则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得 ，选B.
例题2设随机变量X的分布列如表所示，其中、、 、构成等差数列，则（ ）
X 1 2 3 4 5
P
A．最大值为 B．最大值为
C．最小值为 D．最小值为
【答案】A
【解析】因为、、 、构成等差数列
所以，得
所以
由分布列性质可知
所以，当且仅当时取等号
所以有最大值.故选：A
【解题技巧提炼】
离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
题型二 求离散型随机变量的分布列
例题1.由于研究性学习的需要，中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数，其中某一天的数据记录如下：
5860 6520 7326 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 6460 6830 9860 8753 9450 9860 7290 7850
对这20个数据按组距为1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计表（设步数为）．
组别 步数分组 频数
2
10
2
(1)写出，的值；
(2)从，两个组别的数据中任取2个数据，记这2个数据步数差的绝对值为，求的分布列．
【解析】 (1)根据20个数据可得步数在范围的有4个，
所以，步数在范围的有2个，所以．
(2)，两个组别共有4个数据：5860，6460，9860，9860．
从中任取两个数据有6种取法，的可能取值为0，600，3400，4000，
，，，．
可得的分布列如表所示．
0 600 3400 4000
例题2. 已知离散型随机变量的分布列．
(1)求常数的值；
(2)求；
(3)求．
【解析】 (1)由题意得随机变量的分布列如下表所示．
1
由分布列的性质得，，解得．
(2)．
(3)∵，∴或，
∴．
【解题技巧提炼】
离散型随机变量分布列的求解步骤
题型三 离散型随机变量的均值与方差
例题1在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A选项，该组数据的平均数为，
方差为
对于B选项，该组数据的平均数为，
方差为；
对于C选项，该组数据的平均数为，
方差为；
对于D选项，该组数据的平均数为，
方差为.
因此，B选项这一组的方差最小，所以B选项这一组的标准差最小.故选：B.
例题2设，随机变量的分布列为
X 0 1 2
P b
则当在内增大时（ ）
A．增大 B．减小 C． 先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】A
【解析】根据随机变量分布列的性质可知，
，
，
因为，所以单调递增，故选：A
【解题技巧提炼】
求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值.
(2)求ξ取每个值的概率.
(3)写出ξ的分布列.
(4)由均值的定义求E(ξ).
(5)由方差的定义求D(ξ).
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
1. 1．下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ；
②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；
③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；
④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y；
其中是离散型随机变量的为（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】C
【解析】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；
对于②，沿直线y＝2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；
对于③，5分钟内接到的雷达电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；
对于④，某同学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，
所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.故选：C
2．已知离散型随机变量X的分布列，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得随机变量X的分布列如表所示.
X 1
P a
由分布列的性质得，，解得.∵，∴或，
∴.故选C.
题型二 求离散型随机变量的分布列
1．有一种密码，明文由三个字母组成，密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成，编码规则如下表．明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，对应的密码由明文所取的这三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成，如明文取的三个字母为AFP，则与它对应的五个数字（密码）就为11223．
第一排 明文字母 A B C
对应数字 11 12 13
第二排 明文字母 E F G
对应数字 21 22 23
第三排 明文字母 M N P
对应数字 1 2 3
(1)假设明文是BGN，求这个明文对应的密码；
(2)设随机变量表示密码中所含不同数字的个数．
①求；
②求随机变量的分布列．
【解析】 (1)这个明文对应的密码是12232．
(2)①∵表格的第三、四列数字均由1，2组成，
∴当时，只能取表格的第三、四列数字作为密码，∴．
②由题意，可知的取值为2，3两种情形，∴，
∴的分布列为
2 3
2．设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3
试求：
(1)的分布列；
(2)的分布列.
【解析】 (1)由分布列的性质知，
所以.列表为
0 1 2 3 4
1 3 5 7 9
1 0 1 2 3
的分布列为
1 3 5 7 9
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)的分布列为
0 1 2 3
0.1 0.3 0.3 0.3
题型三 离散型随机变量的均值与方差
1．已知袋中有大小相同、质地均匀的黑色小球m个和白色小球个，从中任取3个，记随机变量为取出的3个球中黑球的个数，则（ ）
A．都与m有关 B．与m有关，与m无关
C．与m无关，与m有关 D．都与m无关
【答案】C
【解析】由题可知：
，
，
故，
=
=．故选：C．
2．已知随机变量ξ的分布列如下表，D(ξ)表示ξ的方差，则D(3ξ+2)=（ ）
ξ 2 1 0
P a
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据分布列的性质得，得，
所以，
所以，
所以.故选：C
一、单选题
1．已知下表为离散型随机变量X的分布列，则（ ）
X 0 1 2 3
P
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，
，
故.故选：A.
2．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．
所以，随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
随机变量X的数学期望E(X)＝.
3．设ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.故选：D.
4．随机变量的分布列如下表，其中，且，
2 4 6
则（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由概率的性质可得，由得
则，故选：A
5．设，随机变量的分布
0 1
则当在内增大时，（ ）
A．增大，增大 B．增大，减小
C．减小，增大 D．减小，减小
【答案】D
【解析】因为分布列中概率之和为1，可得，
∴，∴当增大时，减小，
又由，
可知当在内增大时，减小.故选：D.
6．将3只小球放入3个盒子中， 盒子的容量不限， 且每个小球落入盒子的概率相等． 记为分配后所剩空盒的个数， 为分配后不空盒子的个数， 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为一共有3个盒子，所以，
因此，，
由题意可知：，
，，
，
，所以，故选：C
7．程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数，其中A的各位数中，，（2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记，当程序运行一次时，ξ的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知的可能取值是1，2，3，4，5
当时，表示后四个数字都是0，，
当时，表示后四个数字中有一个1，
同理可得：
，故选：B
8．设，随机变量的分布列是
0 1 2
若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由分布列可知：.，
，即
所以联立方程组得：，解得：故选：B
二、多选题
9．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：
所需时间（分钟） 30 40 50 60
线路一 0.5 0.2 0.2 0.1
线路二 0.3 0.5 0.1 0.1
则下列说法正确的是（ ）
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
【答案】BD
【解析】对于选项，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项A错误；
对于选项，线路一所需的平均时间为分钟，
线路二所需的平均时间为分钟，
所以线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；
对于选项，线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以选项C错误；
对于选项，所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为，和三种情况，概率为，所以选项D正确．故选：BD.
10．中华人民共和国第十四届运动会将于2021年9月在陕西省举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，第十四届全国运动会组织委员会欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的有（ ）
A．设事件：“抽取的三人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则
B．设事件：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件：“抽取的3人中全是男志愿者”，则
C．用表示抽取的三人中女志愿者的人数，则
D．用表示抽取的三人中男志愿者的人数，则
【答案】ABD
【解析】对A，所有可能的情况有种，其中既有男志愿者，也有女志愿者的情况有种，故，故A正确；
对B，，，
所以，故B正确；
对C，可得的可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
所以，故C错误.
对D，可得的可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
则，，
则，故D正确.故选：ABD.
11．袋内有大小完全相同的个黑球和个白球，从中不放回地每次任取个小球，直至取到白球后停止取球，则（ ）
A．抽取次后停止取球的概率为
B．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为
C．取球次数的期望为
D．取球次数的方差为
【答案】BD
【解析】设取球次数为，可知随机变量的可能取值有、、，
则，，.
对于A选项，抽取次后停止取球的概率为，A选项错误；
对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为，B选项正确；
对于C选项，取球次数的期望为，C选项错误；
对于D选项，取球次数的方差为，D选项正确.故选：BD.
12．设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（ ）
0 1 2
P
A． B．的值最大
C．随着p的增大而增大 D．当时，
【答案】AD
【解析】，所以A正确；
令，则，，所以B错误；
由题意得，
因为，所以随着p的增大而减小，所以C错误；
当时，，
，所以D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．已知X，Y均为离散型随机变量.且X＝2Y，若X的所有可能取值为0，2，4，则Y的所有可能取值为________.
【答案】0，1，2
【解析】因为X＝2Y，
所以Y＝X，
又因为X∈{0，2，4}，
所以Y∈{0，1，2}.
故答案为：0，1，2
14．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为________．
【答案】
ξ 0 1
P
【解析】ξ的可能取值为0，1，.
若两条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，所以
P(ξ＝0)＝＝，
若两条棱平行，则它们的距离为1或，而距离为的共有6对，
则P(ξ＝)＝＝，
P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1
P
故答案为：
ξ 0 1
P
15．一个质地均匀的小正方体，它的6个面中有三个面上标着数字1，另两个面上标着数字2，还有一个面上标着数字3，现将此正方体任意抛掷2次，记向上的面上数字之和为，则___________.
【答案】
【解析】由题意可得，的可能取值为，，，，，
又任意抛掷一次正方体，出现数字的概率为，出现点数为的概率为，出现点数为的概率为，
则，，，，，
所以.故答案为：.
16．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X 1 2 3
P
则X的数学期望为_________．
【答案】
【解析】由得，，
∴.
故答案为：.
四、解答题
17．某中学小蔡老师在校“五一”表彰活动中，根据学生表现筛选出品学兼优的李好，张好，王学，徐习四人，欲从此4人中选择一人为“校优秀学生”，现进入最后一个互投环节，李好，张好，王学，徐习四人每人一票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同．
(1)记李好的得票数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)求最终仅李好一人获得最高票数的概率．
【解析】 (1)由题意每个人投给其他任何一人的概率均为
X的取值为0,1,2,3
;
;
X的分布列为
X 0 1 2 3
则
(2)最终仅李好一人获得最高票数，则李好得票数为3票或2票（其他人得票数小于2票）
若李好得票数为3票的概率为
李好得票数为2票（其他人得票数小于2票）时，
不妨假设张好，王学投票为李好；
若李好投票给张好，徐习只能投票给王学；
若李好投票给王学，徐习只能投票给张好；
李好投票给徐习，徐习可以投票给张好或王学；
所以其概率为：
所以最终仅李好一人获得最高票数的概率为：
18．伴随着2022年北京冬奥会成功举办，这也是中国历史上第一次举办冬季奥运会，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，引领着相关户外用品行业市场增长.下面是2013年至2020年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况：
(1)求2020年中国雪场滑雪人次相较于2013年的增长率（百分号前保留2位小数）；
(2)根据市场调查表明，8年期间每年雪场滑雪人次与该年冰雪市场的销售总额有如下关系：
滑雪人次（万人次） 2000以上
销售总额（亿元） 3.5 4 4.8 5.2 6
视频率为概率，任取1年的销售总额，记所取该年的销售总额为，求的数学期望及方差.
【解析】 (1)2020年滑雪人次为（万人次）.
则2020年中国雪场滑雪人次相较于2013年的增长率为.
故2020年雪场滑雪人次相较于2013年的增长率经约为44.67%.
(2)
，4.8，5.2，6.
则的分布列为：
4 4.8 5.2 6
P
则（亿元）.
则.
19．随着国家对体育、美育的高度重视，不少省份已经宣布将体育、美育纳入中考范畴．某学校为了提升学生的体育水平，决定本学期开设足球课，某次体育课上，体育器材室的袋子里有大小、形状相同的2个黄色足球和3个白色足球，现从袋子里依次随机取球．
（1）若连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率；
（2）若无放回地取3次，每次取1个球，取出黄色足球得1分，取出白色足球不得分，求总得分X的分布列．
【解析】（1）从袋子里连续抽取3次，每次取1个球，设事件A为“取出1个黄色足球、2个白色足球”，则．
（连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率问题可转化为从5个足球中选出3个足球，其中有1个黄色足球、2个白色足球的概率问题）
（2）X的取值范围为，
则，，．
所以总得分X的分布列为：
X 0 1 2
P
20．为迎接年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为元（不足1小时的部分按小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过小时离开的概率分别为、；小时以上且不超过小时离开的概率分别为、；两人滑雪时间都不会超过小时.
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望，方差.
【解析】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为、、元，
两人都付元的概率为，两人都付元的概率为，
两人都付元的概率为.
则两人所付费用相同的概率为；
（2）设甲、乙所付费用之和为，可能取值为、、、、，
则，，
，，
.
所以，随机变量的分布列为
.
.
21．在某校开展的知识竞赛活动中，共有三道题，答对分别得2分 2分 4分，答错不得分.已知甲同学答对问题的概率分别为，乙同学答对问题的概率均为，甲 乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.
(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；
(2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强.
【解析】 (1)设甲同学三道题都答对的事件为,则，
所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为.
(2)设甲同学本次竞赛中得分为，则的可能取值为分，
则,
,
,
,
,
所以的概率分布列为：
0 2 4 6 8
所以
设乙同学本次竞赛中得分为，由的可能取值为分
,
,
,
,
,
所以的概率分布列为：
0 2 4 6 8
所以,
所以，所以乙的得分能力更强.
22．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件) 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.
（1）求当天商店不进货的概率；
（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.
【解析】（1）记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，
则；
（2）由题意知，X的可能取值为2，3.
P(X＝2) ＝P(当天商品销售量为1件)＝；
P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝，故X的分布列为：
X 2 3
P
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