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新课标解读：义务教育数学新课标的理解和教学实施
今天想给各位老师，各位同学。讲一下这个如何理解这个课程标准，特别是想讲一下这个教学实施，主要想讲这么三个问题：
一个是关注课程的内容和素养的融合。第二个对于课程变化教学中怎么来做这个事情。第三个就是这次课标里跟高中课标一样，强调了要增加代数的推理，增强几何直观。我先讲第一个问题，内容和素养的融合问题：
这个世纪开始，这个教育教学改革主要体现于课程标准，核心标准的就是设定目标了。课程目标从双基到四基，从四基到核心素养，这是一个表现形式。但是老师们一定要记住，它的一条底线，这个主线就是强调了过程的教育。什么叫强调的过程教育？就是强调我们的教学活动要让学生亲身参与，参与这个活动干什么呢？让学生在这个活动中思考。因此是经验的活动或者思维的经验和做事的经验。我们稍微回顾一下01年的这个课程标准，在以前叫教学大纲，从01年这个教育课程标准，课程标准之后出版了相应的教材。05年就出现了一些问题，当时因为在这个之前我没有关心过这个义务教育的数学教育，后来教育部就希望我来组织来修订这个课程标准，课程标准之后修订，那时候组织了一个修订小组，通过几年的时间修订，后来到11年就是颁布了这个，后来这个成为2011年版的义务教育课程标准。这个标准虽然有很大的变化，主要有这么三个变化，一个变化就是课程目标，刚才我谈到了，双基就是基础知识和基本技能，扩展为四基就是加上了基本思想和基本活动经验，这个两个目标完全是过程性，就是学生是通过过程，他自己思维的过程和他活动过程得到的，而不是靠软。教师单纯靠教师的讲授得到的东西，这个双基是学苏联1952年学苏联的教学大纲提到的，到63年作为文件颁布，在拓展到四基的同时，那个时候国家要培养这个创新人才，因此我们课标组大家商定，就是在传统的发现问题的能力和提出问题的能力的基础上，加上了发现问题能力和提出问题能力。
还有一个就是内容， 就是01年没有几何这个词，就是空间图形，后来改为修订为图形与几何了，这个是非常关键，几何的本质带度量，度量的本质在两点间距离，如果度量进不了图形的研究的时候，那个这样的研究还是不是不可以。所以数学的研究必须有不良的研究，所以这个是这样，后来又给了几个几何的基本事实，使得几何的证明成为可能。当时没有想到要应该给代数基本事实，没有想到。因此后来有一些比较思考问题的，那个特别是教研员们跟我问我是不是代数没有证明的时候，我突然发现我们那次有个疏忽，就是代数没有给基本事实，没有给基本事实就无法进行这个演绎式的证明了，就所以给人造成一项代数不能证明。所以这次加上两个基本事实，我待会会讲这个问题。然后把这个传统的三大能力拓展到了后来是10个核心词了。01版也都有，01版没这么多了，说的没有什么仔细。我们就是在01版的基础上把这个话说得更仔细一点。这个时候我非常想提醒，我们的教材编辑者和老师注意的是，从那一次开始，这个咱们国家的基础教育开始，就抽象这个概念，就是传统的运算推理和空间想象能力，空间想象力啊，这个没有抽象，但是抽象是创数学的最本质的事情，并且是数学创造最本质的事情。因此虽然在这个时候没有明确说抽象，但是符号意识和数感，事实上是抽象的，更具体的表现。我下面好还要谈到，这是前一段时间北师大的裴迪娜老师给我打电话，问我你们那个是四基是什么时候提出来的？我还好长时间我都忘了，所以我开始回想四基是什么时候提出来，我跟他说了什么时候06年提出来，后来我又找一下找这两张照片还挺高兴，我前两天也给大家看了就是这个照片。 这是四基提出来的时候，06年当时心里拿不准，我说问一下数学家，也问一下数学教育的专家们，他们是怎么想的？所以在东北我就请这个北大的姜伯驹先生，复旦的李大强先生，这个南开的侯自新先生，吉大的吴卓群先生到东北师大的我就问跟他们谈四基，我说行不行？咱们双基再再加两个可不可以？他们挺高兴，他们都支持。特别是这个基本活动经验，我他们说这个加挺好，他说这个，因为数学家都知道数学结果是看出来的，不是证出来的，会看哪，是直觉是经验的积累，这是非常重要的。我后来又想起来了。2006年，那个华东师大的张奠宙先生在宁波开个会，他希望我去讲，我在那个会上也讲到了四基的事情，张奠宙先生也非常支持，他也说呀，这个基本活动经验提得好，这个他跟我说的他是研究数学教育的，他说这个使得中国数学教育啊就有了灵魂，这个很重要。因此我现在讲给教材编写者听或者老师们听，就是这个帮助学生积累会想问题，会做事情，经验这件事情本身是非常重要的。那个那次会上这个主管教育的教育部副部长陈小娅和基础司的司长这个张慧敏，他们也参加了这会，在那会上基本就定了四基是可以的，但是那个会上姜伯驹先生曾经问我一个问题，他说你说的基本思想是什么？我当时没有仔细想，我也回答不上，后来我说姜先生我这么样我写书了，我来回答你的问题吧，这样的话就有了后来的基本思想概论和数学思想18讲一书，就是想谈清楚这个数学的思想是什么， 后来经过思考，对我这样的一个原则，数学的基本思想，就是数学的产生和发展所必须依赖的那些思想。是学习过数学的人所应当具有的思维特征。没想到这两个准则变成了现在核心素养，关键这个待会我会谈为什么这两个东西是核心素养最关键的事情，这样的话，当时想到了三个词儿，一个是抽象，一个是推理，一个是模型。就是通过抽象这个使使得现实世界中的数量和数量关系，图形和图形关系进入了数学内部，通过定义或者符号予以表达。数学的发展是通过推理，是通过逻辑推理，然后包括归哪一类，得到数学的研究成果，包括计算和演绎验证数学结构，这个这些推理都是有逻辑的推理，再过一会我还会讲到这个问题。然后数学通过模型构建了数学与现实世界的桥梁，这样的话通过抽象限时进入数学，通过推理，数学得到发展，又通过桥梁数学又回到现实世界，就是这么一个一个过程。这个是四基的时候的理解。 后来，到了17年，高中对课标提出了学科核心素养。这个提出是源于2014年，这个教育部的一个文。教育部的文是根据2012年就是那个十八大提出了立德树人的教育的根本任务。14年教育部为了落实立德树人根本任务，就是通过核心素养来落实，因此要求当时正在修订的高中数学课程标准，它是很希望提出的，贯彻始终就提出核心素养。到了十九大党进一步提出要立德树人的根本任务。因此这一次就两个特别要关于就修订的数学课程标准，不仅不能削弱它还只能加强。在这个意义上，这个核心素养不仅高中有，小学初中也得有。我想未来大学研究生研究，甚至包括研究者，是不是也要在这个过程中进一步发展他的素养呢？这个事情，所以如果是这个意义下的素养，那就比如我刚才所说的那个基本思想要更进一步，因此我想这个数学这个核心素养大概得有这三个基本规则。
第一个特征是内涵的一致性，就是内涵要保持不变。你小学初中到大学的这一直是一条线，不能变不能一会是这样一会是那样，如果说的更绝对的话，就是每一个学习过数学人都应当具有的，但又是始终具有的，这么一个素养，应该是这样的东西。并且又有阶段性，就是不同学段还得有不同的表现，这个表现可能跟身心发展有关，也可能跟知识的储备有关，更重要的是跟经验的积累有关。如果是这样的话，那么就应该有整体性，光有数学特征是不行，还得有教育的特征。说白了，就是有学科的思维又有认知的，就是不仅要关心数学的知识，还要关心学生如何获得这个知识。这个问我们只有人管你知道吗？整体性这个大概就是这核心素养的基本特征。这样的话我们就把核心素养不叫传统的叫做学科核心素养，应该更一般的叫做通过数学教育学生获得了核心素养。把高中阶段那个学科两个字去掉，数学、可以做，就是根据我刚才说的三个基本性质，因此是数学教育的与人的行为有关的终极目标。这个行为就是一直说的也是跟经验说的，就是思维的经验和做事，就是会不会想问题，会不会做事情，自己是这个还是这在这个意义上是一脉相承的。并且他的获得也是我们刚才强调的，在活动中是本人参与的数学活动中逐渐形成和发展。因此无论是教材的编写，还是还是老师这个嗯的而是有的最活动都要启发学生思考，这个因为只有自己想才会想，这是很多人，这是一个经验的积累，是过程跟目标的拓展，是四基的集成发展。这样的话，我这个是不是也说嘛？这次嗯从系统来看，就是我们这个虽然有时候换了一些词儿，但是它的本质一条主线是没有变的，是逐渐发展，逐渐继承的。这样的话我们就把三会作为核心素养。
在高中阶段三会是提出那个6个词的基础。现在我干脆既然核心素养具有三会那么样的特征的话，就只能把三会本身作为核心作用。这三个就是会用数学的眼光观察线之间，会用数学的思维思考这样的世界，会用数学的语言表达现代世界。这样的话我们可能就要重新审制数据。不是我们的数数学老师要是中心是数学，数学的教材的编写者大概要重新审视或者数学才能够提供一种观察。因此数学为人们提供了一点认识和探究现实世界的观察法。 在这个意义上比原来说的组织的抽象是更加上位。通过观察学生能够直观理解学习的数学知识和他的背景，能够发现生活中和其他学科中的数学，并且能够表达它是发现问题和提出问题的这么一个思想意识方面的，或者是这个思维品质方面的一组表达，在这样的过程中能够发展好奇心、想象力和创新意识，这样的话又把情感态度、价值观融为一体，怎么样关于数学的思考，那么数学为人们提供理解理解和警示世界现实世界思考，这比逻辑推理比数学推理更加上位。学生能够理解数学的概念和法则的发生发展，概念之间的关系，能够合乎逻辑的进行思考，并且能够研究现实世界的数据，能够培养批判性思维，科学态度和理性精神。因此也有情感态度、价值观方面，还有数学是作为一种远表达，这句话是非常重要的。就是数学位人们提供了描述与交流现实世界的表达方式。因此在这个意义上，它比模型就更加上位。 在这样的过程中，学生能够感悟数学与现实世界交流谁不懂。就是我们上下午会谈到综合与实践的时候，不是会计的做完，这一次他们搞得学会用数学的，数学的经营的，能够直到数学和其他学科中会这个研究，如何用数学的方法研究其他学的东西，包括我们对数据的理解，在这个过程中欣赏数学语言的简洁与优美。这样的话，那么数学这个核心素养，咱们来进一步分析，刚才说的三会这个核心素养的数学特征是什么？它的数学特征，数学的眼光，虽然刚才说的是一种观察世界的方法，更主要的还是抽象的。这样的话，使得数学具有了一般性。数学的思维主要是逻辑推理，使得数学具有严谨性。这个推理，无所谓正确不正确。推理主要是有逻辑还是没有逻辑？我们数学要培养一种有逻辑的事，数学主要培养逻辑思维，还有一种是数学语言，主要是模型，当然还有数据分析等等。在现代社会，很多学科都用数学语言来描述学科的事情，而且都要构建数学模型，这就体现了数学应用的广泛性。100多年来，数学得到了非常大程度的发展，有各种流派，主要有三个流派。虽然如此，但是关于数学的特征，就是一般性、严谨性和应用广泛性，这得到了100多年来几代数学家、全世界的认可，因此，如果能把“三会”这个核心素养与数学的特征有机地联合在一起是非常必要的，核心素养就体现了数学的特征。我在想啊，核心素养应当体现教育的特征，但是我对教育本身的研究还是不够深入的，所以还真说不清楚教育，包括教学的课程，我更说不清楚，我只清楚一件事情，就是核心素养经常会用观念、能力这些词儿来表示，所以我给了一个不一定准确的定义，意识是指基于经验的感悟，观念是指基于概念的理解，能力是指基于实践的掌握。因为小学阶段呢，这个核心素养啊，主要用意识表示。因此，这次课标里对小学阶段没有一个东西要求定义，没有建立明确的概念。明确的概念是从初中开始的，因此在小学阶段，这个学生对核心素养的感悟，主要是基于意识，基于经验。这样的话，阶段性特征体现于低阶段更基于感官，更加具体，就是我刚才说的更侧重于意识，高学段更加侧重概念，更一般，更侧重观念、思想、能力。基于这样的一种分析，2011版义教课标10个核心词，17版高中课标六个表现，都保留了下来。 核心素养在各个学习阶段的表现是这样，小学九个更加具体，初中七个，高中六个，再加上应用意识和创新意识，这个是始终有的，比如数学眼光，在小学时用了符号意识、数感、量感，这个表面看好像是没有抽象，事实上它是一种抽象意识，所以小学这儿没有写抽象意识。就是这么想着，就写得更具体。其实符号意识是抽象最本质的东西，整个数学里面就是符号。所以在小学建立起来，数感、量感都非常重要。到初中再谈到抽象能力，到高中就谈了一般性的抽象，高中函数舍弃了几乎所有的现实背景，就是越来越来越抽象。高中说直观想象，小学和初中还谈空间观念和几何直观。小学加了一项，就是有推理意识。这个初中是推理能力，高中是逻辑，就是越来越强。小学阶段就要求一个能力，就是运算能力，因此对于小学来说，运算是极为重要的。初中也是运算。对于模型，小学只需要是意识，基于经验，初中上升到思想，高中建模。数据也是一样，小学是意识，初中是观念，高中是分析。核心素养的阶段性表现就是“三会”，“三会”是核心素养的诉说，这些词儿是“三会”在各个学习阶段的表现。因此，在整个教学过程中，三会可能就是你教学的魂了，而这些东西是要达到的目标。为了说明这一点，课程性质的表述跟过去有很大的不同。
这句话留下来了：数学是研究数量关系和空间形式的科学。然后为了用三会定义数学核心素养的合理性，我们对数学要重新描述：数学源于对现实世界的抽象。通过对数量和数量关系抽象、图形和图形关系的抽象，得到数学研究对象及其关系。基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型构建等，形成数学的结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律。那么在这个意义上，数学就不仅是运算和推理的工具，更重要的还是表达和交流的语言。因为语言能够承载着思想和文化，因此，数学能够承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。这样的话，把数学文化，包括中华优秀传统文化融入数学，也是顺理成章的，是合情合理的。
这样的认识世界的方法，其实是从伽利略和牛顿时代开始的。伽利略是一位科学家，他构造了第一个数学模型，就是重力加速度，他是这么认识世界的，他说，宇宙大自然这本书，是用数学语言写的，它的符号就是三角形、圆和其他几何图形，没有这些符号的帮助，我们无法理解它的只言片语，没有这些符号，我们只能在黑暗的迷宫中徒劳地摸索。关于这样的认识，爱因斯坦是这么评价他的：由于伽利略看到了这一点，尤其是由于他向科学界谆谆不倦地教导这一点，他才成为近代物理学之父，事实上，也成为整个近代科学之父。最早从物理学开始，就是从伽利略和牛顿时代开始，用数学语言来表达现实世界的规律，然后用观察或者实验来验证数学的表达。表达对不对呢？用观察来验证。爱因斯坦很多东西，包括他提到这引力波这些东西，就是用数学表达出来，而后通过很长时间，包括光线是弯曲的，都是通过实践来验证。就是这样的研究科学的方法，越来越多地应用到了化学，甚至影响到了生物学。因此数学是作为一种语言存在，而不要仅仅认为它是一种工具，它是能够讲现实世界的故事的语言。在这个层次上理解数学的话，我们就能够更好地理解我们所说的核心素养，为什么可以用三会表达，它的道理是什么？这样的话，这次义务教育的总目标就是用三会统领四基，统领四能，统领情感、态度、价值观。这个就是2022版义教数学课程标准总目标。用三会，就是用核心素养统领四基、四能，因此整个数学改革的发展的脉络是一环扣一环的，是不断发展的。 接着我讲第二个问题，就是内容的变化与教学的实施。我先讲一般性的问题。首先，教材的编写要融入核心素养。刚才谈了核心素养具有整体性、一致性和阶段性。整体性是说不仅有知识，还有学生如何认知；一致性是说义教、高中是一脉相承，逐渐发展起来，每个人都具有的、终极的；阶段性是说核心素养是日积月累逐渐形成的，每个阶段有不同的表现。教材编写怎么把这个事情体现出来呢？我想至少得体现你不能仅关注知识的体系吧，还要关注与知识关联的核心素养，要将它们整体把握落实。还有一致性，我希望教材的提出，小学从第一册到第六册，初中从第一册到第三册，要一起考虑清楚了。概念提出到最后实际应用，这个表达必须一致，不能一会儿这么说，一会儿那么说，可以逐渐加深认识，但是不能改变内涵，这是不允许的。特别是这个螺旋式上升，既要关注知识的进阶，还要关心核心素养的进阶。我想提出一个词儿，叫做整体设计、分步实施。什么叫整体设计呢？就是备课的时候儿，因为核心素养一个脉络和知识的脉络，整体性要把握好的话，是很难的一件事情。因此我建议，不仅全学年的数学老师一块儿备课，全学段的一块儿备课，甚至全学校的老师在一起也要备几次课。每一位老师得知道自己教学的位置，就是知识处于什么位置，核心素养处于什么位置，知道前后的联系，最后落实到课堂。课堂教学还是非常重要的，但是课堂教学这回换一下，从上到下就是每一堂课都清楚自己的位置是什么，这样的话，教学可能心里就有底儿了，它整个灵魂，就是从一年级到六年级或者初中三年，它整个灵魂就是三会了，这是整个统领，就是你在时刻想着，我在教孩子怎么看、怎么想、怎么说，但是具体的内容和具体核心素养的表现，在这个时候怎么体现是很重要的。教学的整体性，要构建数学知识结构与相应的核心素养之间的桥梁。这关键是知识的形态。我来讲这么一件事情，这个是我曾经带的一个博士生的博士论文研究的问题。是什么问题呢？就是数学知识直接跟核心素养挂钩，几乎是不可能的。 就是你这个内容怎么能跟它挂钩呢？但是什么能挂钩？那就是形态能挂钩。什么叫形态呢？有经验的老师就知道，我这次要教的内容是研究对象的概念呢，还是研究对象的性质呢，还是关系呢，还是运算呢，还是规律呢？这就叫做形态。这样的话我们就加深了，如果说2011版，有个重大的变化，就是过去更多地关注老师怎么教，逐渐到关注学生怎么学，那么这一次除这个变化之外，希望更进一步关注学生是如何获得的。就是关注学生的学，不是关注学生的学习态度，而是要关注学生获得了什么，包括知识的获得、思维的获得等。怎么跟核心素养能挂上钩呢？我想是这样，跟概念有关的内容，大概跟抽象关系密切；跟性质有关的内容，跟推理关系很强；跟关系有关的内容，大概跟模型更为密切；运算直接就与运算能力关系密切。从这个角度来思考，我们如何把知识与相应的核心素养挂钩，最终如果能够成为一个结构，一个体系更好，这个得日积月累才能形成。一个人不行的话，几位老师在一起，一个教研组在一起是不是就能形成？还有一致性，刚才我已经谈到概念的提出和使用知识一致，最终最终要表达数学表达的一次性。刚才已经谈到，不仅要关注数学知识进阶，也要关心相应核心素养的进阶，这个事情主要是教材的事情，因为老师讲课基本是根据教材来讲。这些东西，需要经验的积累。我只是提出一个问题，共同研究，供参考，需要理论研究，但也更需要政策。在教学中逐渐形成。 下面我谈具体内容和教学的关系。具体内容，小学原来两个学段变成三个学段，1-2，3-4，5-6，初中三个学段7-9，建议的课时是3，4，5，5-6，但是我们建议不好使，小学一二年级啊，希望少学点数学，把这个时间都给语文，到五六年级数学再要回来。这个由地方教育部门决定，我们已经跟地方教育部门建议了，但是最后还是他们说了算。教材编写的老师一定要注意到，过去的课程内容只谈课程内容，现在分三个来谈了，就是内容要求、学业要求和教学提示。内容要求是说学什么；学业要求就是说学到什么程度；教学提示是如何学习的问题。
我们举个例子，第一学段数与运算，内容要求有六条，其中第一条和第二条，内容要求是这么说的，理解万以内数的意义、理解数位的含义，这些东西到了学业要求，就是能够用数表示物体的个数或事物的顺序，能够认、读、写万以内的数，能说出不同数位上的数表示的数值，这个多多少少有点儿命题的原则。那么命题教学建议就跟核心素养挂钩了，就是数是对数量的抽象，在这样的教学活动中，帮助学生形成初步的符号意识和数感。因此这三个比较着来理解就知道不仅要知道学些什么，还应该知道学到什么程度，知道如何来学。但是整个课标里头写得不够详尽，很多事情还需要更认真进行理解，这是一个问题。还有一个事情，就是要增加代数推理，增强几何直观，因此对这个表述形式进行认真的分析，对于基本原理进行认真的理解是非常重要的。领域不变还是四大部分:数与代数，图形与几何，统计与概率、综合与实践。
主题发生了很大变化。主题整合，整合原则。形式上基于抽象结构，是现代数学的基本形式，可以表述为“研究对象+”，其中加的内容可以是性质、关系、运算。教材编写启示:从数量中抽象出自然数一并从数量的多少关系中抽象出数的大小关系；给出了分数的定义，就要比较分数的大小；给出了角的定义，就要比较角的大小。理念上强调核心素养，单纯的概念教学要与性质、运算、或者关系的教学有机结合，开展整体设计，分步实施以核心素养为导向的教学活动。 主题整合 小学阶段数与代数领域六个主题整合为两个主题:数的认识和数的运算整合为数与运算。把常见的量放到了综合与实践，方程放到初中阶段探究，探索规律和正比例函数变成数量关系。所以小学阶段只有两个主题就是数与运算。图形与几何领域把四个主题变为两个主题:其中图形的认识和测量变为图形的认识与测量，图形的运动和图形与位置变为图形的位置与运动。过去综合与实践没有内容，这次赋予了具体内容，小学以主题形式学习为主，初中尝试项目式学习。。主题式学习:常见的量以跨学科的内容的形式设计在综合与实践。项目式学习:真实情境、跨学科的真实问题，解决问题的形式。传统文化要有数学:曹冲称象的故事，认识了千克和吨，等量的等量相等，总量等于分量和。度量衡的故事、圆周率的故事都是中国传统的文化。 小学初中增加了两个基本事实，一个是传递性，如果a=b,b=c,那么a=c.第二个是等式性质，a=b,a+c=b+c。。小学减少了方程，反比例，百分数移到了统计与概率，负数在综合与实践。增加了计数单位，是指个数与顺序的计量单位。加法模型，总量等于分量加分量。初中增加了理解负数的意义，九章算术方程篇，近似计算，了解代数推理，被3整除，韦达定理由选学调整为必学。 方程回归初中的两个理由。一、没有表现代数的本质。代数的本质是字母表示，过去主要表示方程中的未知数，停留在古希腊丢番图的表达。未来小学教材，加强用字母表达性质、关系和规律。感知字母可以表达一般，结论具有一般性。二、没有表现方程必要。过去小学教材，从简单方程5－x=2入手，无法感知学习方程的必要性。未来初中教材方程至少要从鸡兔同笼开始，知道方程讲两个量相等的故事，方程的等号表示等量关系，不是传递性，即2X-X=X的形式。 把百分数的内容移到统计与概率的理由:适应信息时代、大数据时代的要求，引导学生建立数据意识，字数素养。那么教学变化由确定性就变成了确定性加随机性。研究概念的引入由果汁的含量就变成了果汁含量加投篮命中率。决策依据:国家制定蓝天计划的依据，研制四年级同学的跳绳标准。决策分两种，确定性的决策和不确定性的决策。从小让孩子们感悟决策的重要性。
小学负数在综合与实践只是作为一个数量的表示，没有比较大小。到初中重新学习，可以从《九章算术》谈起，负数是中国最早出现的。负数和正数一样，数量相等，意义相反。因此绝对值的现实意义有两个：一个是表示数量相等，一个是表示线段的长度。数学符号的意义要明晰。关于代数推理可举例：小学中的一个三位数，个位、十位、百位加起来能被3整除，这个数字就能被3整除。小学发现这个规律到初中要求证明，就是尝试一些代数推理。同样根据代数推理的想法，把韦达定理由选学变成必学，让孩子们感悟什么叫代数。对于韦达定理，就可以用字母表示数之后，得到方程和系数之间的一般关系。 图形与几何部分增加了尺规作图。已知给定线段的长作三角形，这是作为一种存在性来看待。从小学开始便有了尺规作图。在这个意义上，初中增加了对尺规作图的要求。特别增加是过圆外一点作圆的切线。
统计概率部分，因为大数据原因，把分类改成数据分类。就是让小学生经过实物的分类到抽象的分类，在初中得学会分类。举例：十个省的人均GDP数据希望学生根据数据，把这十个省的GDP数据分为两类，你认为应该如何划分并说明理由。在小学主要引导学生建立一原则，组内的差距越小越好，组间的差距越大越好。而到了初中得学会如何用数学的语言来表达这一原则？借助离差平方和，方差是各个数据与平均数差的平方的平均数，离差平方和是各个数据与平均数差的平方之和。老师教学中要注意建立方程模型或其他模型一定要进行验证。代数基本是演绎推理和归纳推理。举例：三位数乘以两位数计算方法：123x12=123x(2+10)=123x2+123x10=246+1230=1476，竖式是算法，横式是算理.将三位数乘以两位数转化为之前所学内容，让学生感受将未知转化为已知，用已学知识解决新的问题。 到初中阶段增加了推理。什么叫推理？推理是从命题判断到命题判断的思维过程。推理是判断到判断。因此，一个推理正确与否。不是通过对错进行判断，而是通过过程进行判断。主要涉及三个命题：前提命题、论证命题、结论命题。逻辑推理通过推理的过程进行判断依据规则进行的推理（规则就是：推理过程具有传递性）。主要有两个逻辑推理：归纳推理（如哥德巴赫猜想）和演绎推理（如曹冲称象），它们是创造力的根源。
几何直观就是增加了几何直观即操作。几何抽象就是把现实生活中的三维图形转化为二维图形。感悟抽象存在，培养空间想象力。尺规作图让学生从小学的会画到初中的为什么这么画，从而锻炼学生的抽象思维和空间想象力。
在教学中，形成数学化的过程，孩子们对数的认识缺乏一致性。整数强调数量的抽象；小数强调现实，元、角、分；米、分、厘米；分数强调分数单位，比较1/2＞1/3.在同样的单位才能进行分数大小的比较，因此必须化为同样的单位。比如3/6＞2/6，所以1/2＞1/3，这是数的算法。数学的表达必须是一致的，没有进行表达力，最后都会造成错误。在数的运算中缺乏一致性，通过实际意义说明运算的道理。运算从实际意义上去了解，就是各讲各的故事，各说各的理。分数和小数的除法是小学教学重点和难点。 比如分数的除法，用包含除的原理解释：从1÷1/3＝3，到4×1÷1/3＝4×（1÷1/3）＝4×3＝12。小数除法,用商不变的原理解释：0.4÷0.02＝（0.4×100）÷（0.02×100）＝40÷2＝20。关于商不变原理，写出来一篇文章“除法是分数或者小数除法的一个注。”发表在《数学教育报》这篇杂志上。 弗赖登塔尔早也发现了这个问题。“一味地依赖具体环境会使得除法问题百年的更加复杂。由于教师教科书编写者对于如何从直观的分数进展到算法得分数，最终又如何引出分数的规则，缺乏适当的观念，从而使情况更恶化，就是把中心变得更难。” 但是弗赖登塔尔只说了问题，没有说怎么处理问题，史校长给出了了适当的观念。是教材编写的观念，也可能成为教学的观念。我们所有的引入都是从具体内容出发，但是最后要到舍弃内容的一个数学抽象的过程。它能抽象出数，也能抽象出算法，数学就是不断抽象的过程。这就是数学化的过程，因此这次课标明确要求，数是对量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成感知和符号意识；感悟数的运算和一级运算的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理能力。为了实现这个数学的抽象，增加了计数单位，计数单位它是一个特殊的计量单位，就是个数和顺序的计量单位，比如：公斤、公里这样的计量单位省不掉，但是个数和顺序可以省掉，把这个作为数学化或一致性的数学化抓手。 那怎么办呢？统领数的表达：所有数的表达都是多少个计数单位（十进制个数小于等于9），无论分数，小数。整数的计量单位是个十百千万，小数的计量单位是十分位，百分位，分数的计数单位是1/2，1/3计数单位.....因此，分数4/3是4个1/3，这样就把假分数的问题解决了，计数单位的表达就没有问题了，数的大小比较只有在同样的单位下进行，这样就可以统领数的加减运算，因此分数通分也是这个道理。乘除稍微困难点，就是这样想：2米×3米＝6平方米。2×3是数量，米×米等于平方米。所以可以提炼出：乘除法个数与个数的运算得到新的个数，计数单位与计数单位的运算得到新的计数单位。讲课要先讲分数，再讲小数。查教材后，63年的教材是先讲分数再讲小数。因为小数是一种特殊的分数，所以分数运算讲明白了，小数运算也就明白了。这个变通比较困难，这是一次性的过程，它的抓手就是计数问题，所以这是一个相当长久的过程，需要理论研究，更需要教学实践。通过实验，发现学生很聪明，对学习数学很感兴趣，试验后学生是醍醐灌顶，原来学生从来没有思考为什么？以为算法就是算理。现在学生们知道了很多事情。史校长是认真修改把教学总结修改写成一篇文章，投在人教社的课程教法中，第八期肯定登出来。可以供大家教材编写参考，也供老师讲课参考。史校长是给了一个非常折中的方法，用过去的方式讲课但是复习的时候可以给出四个课时讲这个一致性，让孩子们在小学毕业的时候知道数学讲的是一回事，多多少少对数学有感觉。 “还有挺多老师提问的，一会儿我们想请您回答两个问题。嗯，然后我觉得史校长讲得很通俗易懂，我虽然是个文科生，但是基本上听起来也没有什么障碍，数学是挺好的，当年应该更应该再学的认真一点。然后刚才我们也看到有网友根据您讲的内容也提了问题，然后所以也想请您回答一下，第一个。有网友问说这些课标上这些内容的增加会不会使得初中和小学的数学越来越难？现在的孩子呢，普遍都觉得数学可能有点儿难，不知道您怎么看这个问题？” 回答：“小学肯定是简单了。如果按照我的讲法讲那个王老师你记不记得那回在人教社用了三天讨论，反正那个刘家峡也是我们的学生吧，可能后来他给我讲，老师按照你的方法，他说可以省一学期吗 说不定可以省一年呢？但是达到省这件事，你们需要一段时间，人教社也需要一段时间。要达到这一步后，你会发现数学很简单了。就懂的讲整数就行，其他小数和分数都是特例。对于小学，比过去简单多了。初中可能要增加一点，初中你们总是受气的，怎么统筹安排好这件事情？就是方程。初中讲课有讲数，比如讲有理数的家伙，我总觉得你在那说绕口令，两个数相加符号相等。这个能把讲得更简洁一些大概包括这个代数式的运算，这块能够简洁一点。可能需要小点功夫。初中不能担保会比过去更轻松。”噢，谢谢史校长。 “还有一个问题，就是因为新课标是今年秋季才会正式投入使用使用，那但是我们现在的教材还是用的原来的，那就有老师会问中间这个过渡的阶段了，您对于老师们有没有什么好的建议？他们怎么来处理这个关系？” “新的教材很可能2024年使用。这样还有一两年的时间虽然这个理念上变化很大，内容变化不是很大，有几件事小学老师可以尝试。一个就是刚才我说的一次性，你们自己可以试试。还有一件事情，老师把综合与实践现代化的内容结合起来，可以自己编教案，你自己把它变成综合与实践了，就先操作起来。还有一个就是我刚才说的复习和总复习，特别总复习的时候，可以修改过去的教材，让孩子们感觉数学是一回事儿，感悟这数学。剩下的一回事儿，应该是你们老师或者教材编写者研究了，这是几何的一回事儿，这个是你们搞教学研究的老师们来研究的事。因此，在这个过程中把握住核心素养，最终把它归为三会改变，先改变教学形式是行的。”“好，谢谢史校长，那因为这个时间的关系。石校长的部分到这就差不多了，辛苦了！” “我们一会儿也可以请两位老师来，接着给大家解答一下啊。嗯，那刚才校长是从课标的这个方面来给大家进行讲解，那很自然地说完课标，肯定老师们也会想问问那教材方面会怎么做，所以接下来将请两位老师呢，从这个教材来落实核心素养的方面呢？来分别给大家讲讲。”那要不我王老师咱们先从小学数学方面开始。 “各位老师！刚才我们一起聆听了史校长关于数学新课标的这个理念目标。如何来理解？包括教学实施方面、包括两个角度。听史校长讲课标已经不是第一次了，他N多次了。那么我记得我们是从2016年就把史校长等人，特别是课标组的这个核心成员请到了一起，组建了人教社小学数学研究团队，就开始对2021版新课标进行展望性的前瞻性的一些研究，领会这个新课招课程改革的一个方向，然后进个教材编写的阶段，目前已经编出了一套读本叫《生本教材》。想把新课标关于核心素养尝试着做一些落实，一般教材编写大约十年一个周期，势必也要去传承。就是继承传统的教科书的优秀经验的基础上进行改革创新。根据石校长对这个新课标的介绍，特别当中提到了这个关于教材的改革，这几天我也在思考这个问题，就是对我们提出了很大的挑战。很多老师关心内容增加了，难度增加了，实际上内容有所减少了，从另外角度来说，要求把核心素养落地。传统上我们更关注知识和技能，现在上升为核心素养。上升到这个高度这个层次，不仅要关心知识的获得，还要关注知识是怎么获得的？他的结论是怎么获得的？让学生经历这么一个过程，就是得让学生经历这么一个知识方法的这个形成的过程。特别是在这次新课标，在这个总目标当中，就是让学生用学过的知识和方法来解决问题。应该说核心素养这个目标，是更高层次的目标。对于人的要求比知识技能更高。传统观念认为小学数学，挺简单的。一加二不就等于三吗？三七不就21嘛，过去我们还说不管三七二十一，你背会了就行。但从现在这个角度来说，不管21不行，甚至就是说一加二等于三也不能仅仅是说我先数出一根小棒，再数出两根小棒，这是三根就行了。因为刚才校长告诉我们，数学眼光既有直观的，也有抽象的，那你还得思考一加二等于三是什么意思？九加二为什么等于11呢？从这个角度来说方程和反比例内容，这个包括负数也降低了要求。我们从数学的思想方法，从核心素养目标上去达成，是提出一个很有研究性的挑战。生本教材已经体现出来，已经体现了一些东西，包括一致性，包括三位数乘两位数这个恒式也已经体现出来，但是分数小数的乘除法，我们在升本当中没有办法体现出来。这个逻辑关系和一致性，还得正在研究。 另外一个，就是在这个教材的编写过程中，也应该在思考。既然核心素养的目标是高要求的，那我们可能要还得再舍弃一些东西。怎么舍弃？就是放弃一点东西，除了放弃了反比例、方程、用字母表示数量关系等。可能还在小学数学大数目的计算繁琐程度上降低了要求，把传统的计算的这个复杂的数据降低一点，包括小数计算、分数计算，包括这个整数的，比方说到六年级学习圆的周长，面积的计算，要用到这个圆周率，圆周率传统上取3.14，然后如果半径是个2.8.这个很多孩子就会出现错误，那可能希望将来这个在复杂数据程度降低一点点要求，把这个时间和空间腾出来给这个核心素养目标的达成，也就是说课程方案里提出来的用小故事讲大道理，就是降低数据的复杂程度，因为我们是已经是人工智能时代。大数目的计算交给计算机和计算器。比较简单一点的数据来达到对运算能力的培养。不是说你算的又对又快，你要理解横式，理解算理，理解运算律，为初中数学打下一个良好的数学核心素养，生本教材有些东西已经体现出来了，有些东西我们正在研究，那么根据这个工作计划，可能得明年送审教材，2024年秋季采用一年级教材。这两年，也就像石校长建议的我们用现行教科书，可以适当的参考升本学材，把课标的这个理论先研究透，再找一些经典的案例来进行研究，做好这两年的过度。” 好，谢谢王老师，那确实也感觉到这个新课标对于我们的教材编写，还有老师教学，其实都提出了新的挑战。
教材正在编写过程当中，初稿我们已经完成，现在处在打磨阶段。初中从内容上来讲，有的东西是从小学挪到了初中，但其实我觉得整体的变化还是不大。大的变化，就是负数和方程，但实际上初中老师很熟悉，就是我们原来的教材的写法。就是复述的内容，包括我们有理数，包括方程其实就是从头开始。当然现在小学没有这个基础之后，怎么做好这个零起点，你这块儿要下一些功夫，包括家长提到的，像方程要讲好两个数量关系的这个等量关系，包括这个代数推理和几何直观，去重视这个问题，我讲这些都是具体内容处理上的方面，但是我想这次教材编写最核心的东西，怎么去落实核心素养。我记得这个就是荷兰的著名的数学家和数学教育家，他说过这样一句话，就是数学是系统化的常识，学习数学唯一正确的方法就是进行。那教材呢，我觉得应该给学生提供一个对这些系统化的，因为数学的东西都是数学家研制出来的，已经成型的东西，那怎么去再发现，再创造的这样一个过程，其实这个过程，这些内容它获得的这样一个过程。这个过程其实就是怎么从数学的角度去想问题。我觉得也就是落实核心素养的过程，那具体来讲，数学的思维和数学的语言。我想可能这个过程是这三个方面，一个就是我们的数学概念，数学，我们的教学内容，它的获得的过程，小学不要去严格的定义概念，但是到初中开始就严格的去定义这个，我们的数学概念呢，实际上是通过抽象过程。这个过程当中怎么去发展，他这个数学的眼光。那得到数学概念之后，那我们可能说该对这这个数学概念进行研究，就是研究它的性质，但其实就是数学的推理，就是数学的思维，是这样一个过程。那最后的数学语言呢，我理解呢，可能就是说用数学的语言去表达我们这种现实问题啊，或者是其他问题当中的这些数量和数量关系，把这个数学的语言表达出来，然后通过解决数学问题，得到这个实际问题，这个实际上就是这个，这个数学的语言去表达现实过程。这三个过程，我觉得体验好了这个核心素养，落实那这个设计过程当中去，我们讲落实刺激的发展思想，去这个发展的需要。这里也可以举一个例子，比如说这个函数的概念，那这是我们数学或者数学中学数学一个非常核心的一块。那怎么去让学生获得，或者说抽象得到这个概念。 数学思想方法概论里面提到，就是它是针对整个从初中到高中的函数，要经历一个感性，具体到理性，，一般的这样一个过程。那我想呢，实际上，在我们初中的讲概率也要经历这么一个过程。那具体到理性，具体是什么？实际上，就是说我们通过给学生一些丰富的反应函数的这种变化关系，，是一些具体实例，这些实例呢，我们说强调多元的几个。就是既有解析式的，也有图像的，也有表格的啊，根据解析式可能极可能是连续的，也可能是离散。他通过这些例子对每一个问题，很感性的，我们直观的认识，然后用数学的语言去表达，这里面的数量关系，这个过程，就是一个感性，具体当地具体的过程。我觉得初中的函数概念对本质的特征是什么，叫变量间的对应关系，从理性具体到理性一般把它抽象出来那你这个变量间的这种单值对应关系。我讲这个就是我们讲三个过程第一个过程，是这个数学概念的抽象的教材，我讲这个后面的例子就不举了。去落实这个核心素养，在教材当中把他体现出来。那这也是我们正在做的这样一个事情。 您能不能简单给大家介绍一下，生本学材？教材是我们从二零一六年开始在课标组专家的指导下，我们经过研究，就是当时是想编一套这个实验本教材，但是后来因为咱们整体的教材管理制度，不像二十年以前似的说先编实验本没有了。后来我们这套东西编出来了，又想找一些学校，用一用参考参考。后来我们就变成了教辅，就是按照教辅图书出版的。所以我们还是叫希望叫生学教材。就是以学生发展为本的学习材料，就是跟我们这次新课标，这个让学生经历知识的形成过程体现数学的本质啊体现核心素养体现一致性啊做了一些尝试啊当然我们也觉得特别是啊，当然也还是跟现在刚才使校长说的，离我们他心目中的那个新教材还有相当的距离啊，我们还得花这个时间和精力去打磨啊，确实是这样，还有还有很大的差距。 我知道咱们有一套数学读物，很多网友也问有没有初中版的，老师们可不可以给咱们的老师在实际的教学当中，有没有一些比较好的建议，可以在这段时间可以帮助老师们来进行一个过渡？小学呢，现在最近比较流行的是单元整体设计教材。但实际上单元整体设计教学呢，我也写文章了，就是我们现在小学的单元啊，当然也包括初中单元，就是它每个单元还不够完整。就是我们很多知识，比方说这个啊，笔算整数、乘法三年级上册学习多位数乘一位数，三年级下学期学习两位数乘两位数。四年级上册学习三位数。那么你实际上刚才史校长希望的这个四年级的孩子能独立探索三位数乘，那我们必须得进行单元整体的设计，这个单元整体设计不是说一个单元整体设计，得把这三个单元整体进行设计。这样前后关联，比方说我们三年级和四年级老师共同来设计这三个单元，怎么来教，这样我们保证孩子到四年级的时候呢，我前面三年级学习两次了，四年级我自己探索就可以，这才形成一个结构啊，所以我我讲的这个就是结构化的教学，要注意这个问题啊。
好，谢谢老师，我觉得其实刚才只要咱们讲到这一点，就是他说到的整体性和一致性。嗯，其实这个呢，也是我们这次编教材的重点，我想教学当中也要注意点，其实原来教材呢，也有一些这些想法呢，这次我们请教了，你看初中这块儿，在这一块儿做得更强一些啊。比如说这里面说到像初中的这个数字内容，数字通信用数合适的研究，其实就是用数字通信。然后解方程这种从一次方程，二次方程方程组，分式方程，那这里面其实也有一种一致性，然后研究函数，那么从概念到性质到图像到性质应用，他也有一个一致性。包括几何图形，我拿到一个几何图形中，该怎么去想？最好的问题，这些东西我觉得老师们在教学当中，我觉得就是要怎么要从整体上去规划相关内容，思考方法或者研究问题的方法，我觉得这个是非常重要的，就是说学生学完就知识之后，遇到一个新知识，我可以去想一下，我学过哪些，能不能把旧知识的方法迁移到新知识，对对对的，这种叫回顾与梳理，迁移。就是你思考小问题的解题也好。包括校长提到的这个这个，这个几何，就是怎么去想问题吧，可以拿到一个具体的数学题，你怎么去想这个东西，老师都要解题，要想分析，怎么去分析呢？更多的要在怎么想到了加工，涉及到一个就是思考小问题的解题啊，包括家长提到的这个这个，这个几何作图，这样子不知怎么去想问题啊，拿到一个具体的时间，你怎么去想，这个东西帮你讲讲，老师讲题讲分析，怎么去分析。那更多的要在怎么想到了，这个就是难点，也是在正在正在想这样一个问题。在这方面可以多，我们那个生本我提出来是什么呢？关联，类比转化，把关联，类比转化，就是你三位数乘两位数，你关联前面那两个，然后类比相同点，不同点，然后转化，这方法就有了，就是举一反三吗？以此类推嘛，咱们数学里讲推理，类比推理啊，就是你从一类的这个学过的推到这个新的知识。

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