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函数的基本性质——奇偶性
【学习目标】
1．理解函数的奇偶性定义；
2．会利用图象和定义判断函数的奇偶性；
3．掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用。
【学习重难点】
1．学习重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断。
2．学习难点：理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法
【学习过程】
要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数。
奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数。
要点诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
（3）的等价形式为：，，
的等价形式为：，；
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有；
（5）若既是奇函数又是偶函数，则必有.
2．奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数。
3．用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；
（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性。
若，则是奇函数；
若，则是偶函数；
若，则既不是奇函数，也不是偶函数；
若且，则既是奇函数，又是偶函数
要点二、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等。
（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可。
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称。
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断。在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数。分段函数不是几个函数，而是一个函数。因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系。首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较。
要点三、关于函数奇偶性的常见结论
奇函数在其对称区间和上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间上是增函数（减函数），则在区间上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间和上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间上是增函数（减函数），则在区间上也是减函数（增函数）。
类型一、判断函数的奇偶性
例1． 判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）。
思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断。
答案：（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数。
解析：
（1）∵的定义域为，不关于原点对称，因此为非奇非偶函数；
（2）对任意，都有，且，则为偶函数；
（3）∵，，∴为奇函数；
（4）
，∴为奇函数；
（5）∵，
∴，
∴为奇函数；
（6）∵，
∴为奇函数。
总结升华：判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域。函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功。如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉的绝对值符号时就十分麻烦。
举一反三：
变式1：判断下列函数的奇偶性：
（1）；（2）；（3）；
（4）。
答案：（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数。
解析：
（1）的定义域是，
又，是奇函数。
（2）的定义域是，
又，是偶函数。
（3）函数定义域为，定义域不关于原点对称，∴为非奇非偶函数。
（4）任取则，∴
任取，则，∴
时，∴时，∴为奇函数。
变式2：
已知，均为奇函数，且定义域相同，求证：为奇函数，为偶函数。
证明：设，则
∴为奇函数，为偶函数。
变式3：
设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论
恒成立的是 （ ）。
A．是偶函数
B．是奇函数
C．是偶函数
D．是奇函数
答案：A
类型二、函数奇偶性的应用（求值，求解析式，与单调性结合）
例2．已知，且，求。
答案：-26
解析：法一：∵
∴
∴
法二：令易证为奇函数
∴
∴
∴．
总结升华：本题要会对已知式进行变形，得出为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题便能迎刃而解。
举一反三：
变式1：已知为奇函数，，则为（ ）。
答案：6
解析：，又为奇函数，所以。
例3．已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式。
答案：
解析：是定义在上的奇函数，
，∵当时，，
又奇函数在原点有定义，∴。
总结升华：若奇函数在处有意义，则必有，即它的图象必过原点。
举一反三：
变式1
（1）已知偶函数的定义域是，当时，求的解析式。
（2）已知奇函数的定义域是，当时，，求的解析式。
答案：（1）；（2）
例4．设定义在上的偶函数在上是单调递增，当时，求的取值范围。
答案：
解析：∵
∴
而，
。
总结升华：若一个函数是偶函数，则一定有，这样就减少了讨论的麻烦。
类型三、函数奇偶性的综合问题
例5．设为实数，函数，，试讨论的奇偶性，并求的最小值。
思路点拨：对进行讨论，把绝对值去掉，然后把转化成二次函数求最值问题。
答案：当时，函数为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数。当时，；时，；当时，。
解析：当时，，此时函数为偶函数；
当时，=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数。
（1）当时，
①时，函数在的最小值为，且.
②时，函数在上单调递增，
∴在上的最小值为．
（2）当时，
①上单调递减，上的最小值为
②上的最小值为
综上：
。
举一反三：
变式1： 判断的奇偶性。
答案：当时，函数既是奇函数，又是偶函数；
当时，函数是奇函数。
解析：对进行分类讨论。
若，则。
，∴定义域关于原点对称，∴函数既是奇函数，又是偶函数。
当时，，∴ 是奇函数。
综上，当时，函数既是奇函数，又是偶函数；
当时，函数是奇函数。
例6．已知是偶函数，且在上是减函数，求函数的单调递增区间。
思路点拨：本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。
答案：[0，1]和
解析：∵是偶函数，且在上是减函数，∴在上是增函数。
设，则函数是函数与函数的复合函数。
∵当时，是减函数，且，而时，是减函数，根据复合函数的性质，可得是增函数。
∵当时，是增函数，且，而时，是增函数，根据复合函数的性质，可得是增函数。
同理可得当或时，是减函数。
∴所求的递增区间为和。
【学习小结】
（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题。
（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错。确定的取值范围时，必须考虑相应的的取值范围。本例中，时，仍是减函数，但此时，不属于的减区间，所以不能取，这是应当特别注意的。

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