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第八章 成对数据的统计分析
8.1 成对数据的统计相关性
8.1.2 样本相关系数
学案
一、学习目标
1.结合实例，了解样本相关系数的定义.
2.会通过相关系数比较变量的相关性.
二、基础梳理
1.样本相关系数：对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，，…，，其中和的均值分别为和，则有，称r为变量x和变量y的样本相关系数.
2.样本相关系数与正、负相关的关系：样本相关系数r的正负性和绝对值的大小可以反映成对样本数据的变化特征：当时，称成对样本数据正相关；当时，称成对样本数据负相关.
3.样本相关系数与线性相关程度的关系：样本相关系数r的取值范围为. 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.
三、巩固练习
1.对于样本相关系数r，下列说法中正确的是( )
A.r越大，线性相关程度越强
B.越小，线性相关程度越强
C.越大，线性相关程度越弱
D.，且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱
2.如图1，2分别表示样本容量均为7的A、B两组成对数据的散点图，已知A组成对数据的样本相关系数为，B组成对数据的样本相关系数为，则与的大小关系为( )
A. B. C. D.无法判断
3.变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；变量U与V相对应的组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），为变量Y与X之间的样本相关系数，为变量U与V之间的样本相关系数，则( )
A. B. C. D.
4.若对甲、乙、丙3组不同的成对数据作线性相关性检验，得到这3组成对数据的样本相关系数依次为0.83，0.72，-0.90，则线性相关程度最强的组是________(填“甲”“乙”或“丙”)
5.某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验，得到的实验数据经整理后得到折线图如图：
由图可以看出，这种酶的活性指标值y与温度x具有较强的线性相关性，请用样本相关系数r加以说明.
附：，，，
样本相关系数
6.某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度，在某年的连续6个月内，对月份和关注人数（单位：百）（）的数据做了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值如表所示.
17.5 35
判断两个变量x，y是否线性相关，计算样相关系数r，并说明它们的相关程度.
参考公式：样木相关系数，若，则y与x的线性相关程度相当高.
参考数据：.
7.某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销量y（单位：万件）之间的关系如表：
x 1 2 3 4
y 12 28 42 56
在图中画出表中数据的散点图，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并估计它们的相关程度.
附注：参考数据：，，.
参考公式：相关系数.
8.互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业(以下称外卖甲、外卖乙)的经营情况进行了调查，调查结果如下表：
1日 2日 3日 4日 5日
外卖甲日接单(百单) 5 2 9 8 11
外卖乙日接单(百单) 2 3 10 5 15
（1）试根据表格中这五天的日接单量情况，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况；
（2）据统计表明，y与x之间具有线性相关关系，请用样本相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断.（若，则可认为y与x有较强的线性相关关系， r的值精确到0.001）
答案
1.答案：D
解析：对于A，越大，线性相关程度越强，A错误；对于B，越小，线性相关程度越弱，B错误；对于C，越大，线性相关程度越强，C错误；对于D，，且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱，D正确.故选D.
2.答案：C
解析：由题图1可知，散点几乎在一条直线上，且成正相关，，由题图2可知，散点分散在一条直线附近，也成正相关， ，A组成对数据的线性相关程度比B组强些，，故选C.
3.答案：B
解析：由变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），可得变量Y与X之间成正相关，因此；由变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），可得变量U与V之间成负相关，因此，故.故选B.
4.答案：丙
解析：样本相关系数越接近1，成对数据的线性相关程度就越强，结合题中所给的3组成对数据的样本相关系数知，-0.90的绝对值最接近1，所以丙组成对数据的线性相关程度最强.
5.解析：由题可知， ，
，
则，因为非常接近1，所以酶的活性指标值y与温度x具有较强的线性相关性.
6.解析：由题图可知，变量x，y线性相关.
，.
又，
样本相关系数.
，x与y这两个变量成正相关，且相关程度相当高.
7.解析：作出散点图如图：
由散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由此推断x与y线性相关.
由题中所给表格及参考数据得：
，，，，，
，
，
.
∵y与x的相关系数近似为0.9997，可以推断该公司的年销量y与第x年呈正线性相关，且线性相关程度很强.
8.解析：(1)由题可知，，
外卖甲的日接单量的方差，
外卖乙的日接单量的方差，
因为，，即外卖甲的平均日接单量与外卖乙的平均日接单量相同，
但外卖甲的日接单量更集中一些，所以外卖甲比外卖乙经营状况更好.
（2）因为，易得，，
所以代入计算可得，样本相关系数，
所以可认为y与x有较强的线性相关关系.

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