资源简介

三角函数的应用
【学习目标】
会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
【学习重难点】
三角函数的实际应用问题。
【学习过程】
一、自主学习
知识点一：函数y＝Asin（ωx＋φ），A>0，ω>0中各参数的物理意义
知识点二：三角函数模型应用的步骤
三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．
步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．
这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．
知识点三：三角函数模型的拟合应用
我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
解答三角函数应用题应注意四点
（1）三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系．
（2）在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题．
（3）实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．
（4）实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器．
教材解难：
教材P248思考
不对．因为这条船停止后还需0.4h，若在P点停止，再经0.4h后船驶出安全水深．
基础自测：
1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F（t）＝50＋4sin（t≥0），则在下列哪个时间段内人流量是增加的（ ）
A．[0，5]
B．[5，10]
C．[10，15]
D．[15，20]
解析：由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F（t）的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z．当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15] [3π，5π]，故选C．
答案：C
2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t（s）时离开平衡位置的位移s1（cm）和s2（cm）分别由下列两式确定：
s1＝5sin，s2＝5cos．
则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是（ ）
A．s1>s2
B．s1C．s1＝s2
D．不能确定
解析：当t＝时，s1＝－5，s2＝－5，所以s1＝s2．
答案：C
3．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将传播至（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C．
答案：C
4．简谐振动y＝sin的频率和相位分别是________．
解析：简谐振动y＝sin的周期是T＝＝，相位是4x＋，频率f＝＝．
答案：，4x＋
二、素养提升
题型一：三角函数在物理中的应用
例1：已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置（静止时的位置）的距离h（cm）与时间t（s）的函数关系式为：h＝3sin．
（1）求小球开始振动的位置；
（2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间；
（3）经过多长时间小球往返振动一次？
（4）每秒内小球能往返振动多少次？
解析：（1）令t＝0，得h＝3sin＝，所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置cm处．
（2）由题意知，当h＝3时，t的最小值为，即小球第一次上升到最高点的时间为s．
当h＝－3时，t的最小值为，即小球第一次下降到最低点的时间为s．
（3）T＝＝π，即经过约πs小球往返振动一次．
（4）f＝＝，即每秒内小球往返振动次．
→→→
方法归纳：
处理物理学问题的策略
（1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
（2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
跟踪训练1：已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s（cm）随时间t（s）的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞）．用“五点法”做出这个函数的简图，并回答下列问题：
（1）小球在开始振动（t＝0）时的位移是多少？
（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
（3）经过多长时间小球往复振动一次？
解析：列表如下，
t 0
2t＋ π 2π
sin 1 0 －1 0
s 2 4 0 －4 0
描点、连线，图象如图所示．
（1）将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin＝2，所以小球开始振动时的位移是2cm．
（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和－4cm．
（3）因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs．
解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义，易出现的问题是混淆彼此之间的对应关系．
题型二：三角函数在实际生活中的应用[教材P245例2]
例2：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报．
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m
0：00 5.0 9：18 2.5 18：36 5.0
3：06 7.5 12：24 5.0 21：42 2.5
6：12 5.0 15：30 7.5 24：00 4.0
（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值（精确0.001m）．
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与洋底的距离），该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？
（3）某船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船这一天在2：00开始卸货，吃水深度以0.3m/h的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4h才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域？
解析：（1）以时间x（单位：h）为横坐标，水深y（单位：m）为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（图1）．根据图象，可以考虑用函数y＝Asin（ωx＋φ）＋h刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：
A＝2.5，h＝5，T＝12.4，φ＝0；
由T＝＝12.4，得ω＝．
所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数y＝2.5sinx＋5近似描述．
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值（表）：
时刻 0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00
水深/m 5．000 6．213 7．122 7．497 7．245 6．428 5．253 4．014 3．023 2．529 2．656 3．372
时刻 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00
水深/m 4.497 5．748 6．812 7．420 7．420 6．812 5．748 4．497 3．372 2．656 2．529 3．023
（2）货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5m，所以当y≥5.5时就可以进港．令
2.5sinx＋5＝5.5，sinx＝0.2．
由计算器可得
0.2013579208≈0.2014．
如图2，在区间[0，12]内，函数y＝2.5sinx＋5的图象与直线y＝5.5有两个交点A，B，因此
x≈0.2014，或π－x≈0.2014．
解得xA≈0.3975，xB≈5.8025．
由函数的周期性易得：
xC≈12.4＋0.3975＝12.7975，
xD≈12.4＋5.8025＝18.2025．
因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．
（3）设在xh时货船的安全水深为ym，那么y＝5.5－0.3（x－2）（x≥2）．在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可以看到在6～8时之间两个函数图象有一个交点（图3）．
借助计算工具，用二分法可以求得点P的坐标约为（7.016，3.995），因此为了安全，货船最好在6.6时之前停止卸货，将船驶向较深的水域．
观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性，根据表中的数据画出散点图，如图1．从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如y＝Asin（ωx＋φ）＋h的函数来刻画，其中x是时间，y是水深．根据数据可以确定A，ω，φ，h的值．
教材反思：
解三角函数应用问题的基本步骤
跟踪训练2：如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题：
（1）求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式；
（2）当你第四次距离地面60.5米时，用了多少时间？
解析：（1）由已知可设y＝40.5－40cosωt（t≥0），由已知周期为12分钟，可知ω＝，即ω＝．
所以y＝40.5－40cost（t≥0）．
（2）令y＝40.5－40cost＝60.5，得cost＝－，
所以t＝π或t＝π，解得t＝4或t＝8，故第四次距离地面60.5米时，用时为12＋8＝20（分钟）．
（1）由已知可得解析式．
（2）利用y＝60.5解t．
题型三：根据数据拟合函数
例3：某港口水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作y＝f（t），下面是某日水深的数据．
t/小时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/米 10．0 13．0 9．9 7．0 10．0 13．0 9．9 7．0 10．0
经长期观察，y＝f（t）的曲线可近似地看成是函数y＝Asinωt＋b的图象．
（1）试根据以上数据，求出函数y＝f（t）的近似解析式．
（2）一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？
解析：（1）由已知数据，描出曲线如图：
易知函数y＝f（t）的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，
∴ω＝＝，∴y＝3sint＋10．（0≤t≤24）
（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米，
由y≥11.5，得3sint＋10≥11.5，∴sint≥．①
∵0≤t≤24，∴0≤t≤4π．②
由①②得≤t≤或≤t≤．化简得1≤t≤5或13≤t≤17．
∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时．
由表格画出曲线图，由图可求A，b，由周期T可求ω，即求y＝Asinωt＋b．
方法归纳：
在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤
（1）根据原始数据，绘出散点图；
（2）通过散点图，做出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；
（3）根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
（4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
跟踪训练3：已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，记y＝f（t），下表是某日各时的浪高数据：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1．5 1．0 0．5 1．0 1．5 1．0 0．5 0．99 1．5
经长期观测，y＝f（x）的图象可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b的图象．
（1）根据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式；
（2）根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
解析：（1）由表中数据可知，T＝12，所以ω＝．又t＝0时，y＝1.5，所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅A为，函数解析式为y＝cost＋1（0≤t≤24）．
（2）因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，
所以y＝cost＋1>1，cost>0，2kπ－又0≤t≤24．所以0≤t<3或9根据表格，确立y＝Acosωt＋b的模型，求出A，T，b，推出ω，利用t＝0时，y为1.5，t＝3，y＝1.0，求出b，即可求出拟合模型的解析式．
三、学业达标
（一）选择题
1．电流I（A）随时间t（s）变化的关系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞），则电流I变化的周期是（ ）
A．
B．50
C．
D．100
解析：T＝＝．
答案：A
2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
A．5
B．6
C．8
D．10
解析：由图可知－3＋k＝2，则k＝5，∴y＝3sin＋5，∴ymax＝3＋5＝8．
答案：C
3．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y（每平方米的价格，单位：元）与第x季度之间近似满足y＝500sin（ωx＋φ）＋9500（ω>0），已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示．
x 1 2
y 10000 9500
则此楼群在第3季度的平均单价大约是（ ）
A．10000元
B．9500元
C．9000元
D．8500元
解析：因为y＝500sin（ωx＋φ）＋9500（ω>0），所以当x＝1时，500sin（ω＋φ）＋9500＝10000；当x＝2时，500sin（2ω＋φ）＋9500＝9500，即
所以易得3ω＋φ＝－＋2kπ，k∈Z．
又当x＝3时，y＝500sin（3ω＋φ）＋9500，所以y＝9000．
答案：C
4．如图，单摆离开平衡位置O的位移s（单位：cm）和时间t（单位：s）的函数关系为s＝6sin，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为（ ）
A．2s
B．1s
C．s
D．s
解析：由题意，知周期T＝＝1（s），从最右边到最左边的时间是半个周期，为s．
答案：C
（二）填空题
5．设某人的血压满足函数式p（t）＝115＋25sin（160πt），其中p（t）为血压（mmHg），t为时间（min），则此人每分钟心跳的次数是________．
解析：T＝＝（分），f＝＝80（次/分）．
答案：80
6．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数解析式是s＝Asin（ωt＋φ），0<φ<，函数图象如图所示，则φ＝________．
解析：根据图象，知，两点的距离刚好是个周期，所以T＝－＝．
所以T＝1，则ω＝＝2π．
因为当t＝时，函数取得最大值，
所以2π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝．
答案：
7．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低，为4千元，则f（x）＝________．
解析：由题意得解得A＝2，B＝6，周期T＝2×（7－3）＝8，所以ω＝＝．
所以f（x）＝2sin＋6．
又当x＝3时，y＝8，
所以8＝2sin＋6，
所以sin＝1，结合|φ|<可得φ＝－，
所以f（x）＝2sin＋6．
答案：f（x）＝2sin＋6
（三）解答题
8．弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20cm，某时刻振子处在B点，经0．5s振子首次到达C点，求：
（1）振动的振幅、周期和频率；
（2）弹簧振子在5s内通过的路程及位移．
解析：（1）设振幅为A，则2A＝20cm，
所以A＝10cm．
设周期为T，则＝0．5s，所以T＝1s，所以f＝1Hz．
（2）振子在1s内通过的距离为4A，故在5s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝20×10＝200（cm）．
5s末物体处在B点，所以它的位移为0cm．
9．交流电的电压E（单位：V）与时间t（单位：s）的关系可用E＝220sin（100πt＋）来表示，求：
（1）开始时电压；
（2）电压值重复出现一次的时间间隔；
（3）电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
解析：（1）当t＝0时，E＝110（V），
即开始时的电压为110V．
（2）T＝＝（s），即时间间隔为0．02s．
（3）电压的最大值为220V，
当100πt＋＝，即t＝s时第一次取得最大值．
尖子生题库：
10．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P（t）＝115＋25sin（160πt），其中P（t）为血压（mmHg），t为时间（min），试回答下列问题：
（1）求函数P（t）的周期；
（2）求此人每分钟心跳的次数；
（3）画出函数P（t）的草图；
（4）求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．
解析：（1）由于ω＝160π代入周期公式T＝，可得T＝＝（min），
所以函数P（t）的周期为min．
（2）函数P（t）的频率f＝＝80（次/分），即此人每分钟心跳的次数为80．
（3）列表：
t/min 0
P（t）/mmHg 115 140 115 90 115
描点、连线并左右扩展得到函数P（t）的简图如图所示．
（4）此人的收缩压为115＋25＝140（mmHg），舒张压为115－25＝90（mmHg），与标准值120/80mmHg相比较，此人血压偏高．

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