资源简介

6.2.4平面向量的数量积
2课时 向量数量积的运算律
导学案
【学习目标】
1.了解数量积的运算律
2.会用向量数量积的公式解决相关问题．
【自主学习】
知识点1 向量数量积的性质
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量．
(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；
(2)a⊥b a·b＝ 且a·b＝ a⊥b；
(3)a·a＝|a|2或|a|＝；
(4)cos〈a，b〉＝；
(5)|a·b| |a||b|.
知识点2 向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
【合作探究】
探究一 向量的数量积的运算律
【例1】已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求：
(1)a·b； (2)(a＋b)·(a－b)； (3)(2a－b)·(a＋3b)．
归纳总结：
【练习1】已知向量a与b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，则a·(2a＋b)等于 .
探究二 向量的模
【例2】已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，则|a－3b|＝________.
归纳总结：
【练习2】已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝ .
探究三 向量的夹角
【例3】已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(　　)
A.　　　 B.
C. D.
归纳总结：
【练习3】设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
探究四 向量垂直的判定
【例4】已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？
归纳总结：
【练习4】P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的(　　)
A．外心　　　B．内心　　　C．重心　　　D．垂心
探究五 向量数量积的综合应用
【例5】在△ABC中，＝c，＝a，＝b，且a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC的形状．
归纳总结：
【练习4】若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰直角三角形　　　 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．下面给出的关系式中正确的个数是(　　)
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．5
3．已知|a|＝1，|b|＝，且a＋b与a垂直，则a与b的夹角是(　　)
A．60° B．30°
C．135° D．45°
4．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
5．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝5，则|3a－b|等于(　　)
A．7 B．6
C．5 D．4
6．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于(　　)
A．－ B．0
C. D．3
7．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是(　　)
A．矩形 B．菱形
C．直角梯形 D．等腰梯形
8．设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1.(　　)
A．若θ确定，则|a|唯一确定
B．若θ确定，则|b|唯一确定
C．若|a|确定，则θ唯一确定
D．若|b|确定，则θ唯一确定
二、填空题
9．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________.
10．已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的取值范围________．
11．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．　　
三、解答题
12．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|.
13．设n和m是两个单位向量，其夹角是，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
14．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|和|a－b|.
15．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
B组 能力提升
一、选择题
1.已知向量，，且与的夹角为，则（ ）
A． B．2 C． D．14
2.设，若单位向量，满足：且向量与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．1
3.在边长为3的菱形中，，，则=（ ）
A． B．-1
C． D．
4．已知平面上三点,,满足,,,则( )
A． B． C． D．
5.（多选）下列命题中，结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．若，则A B C D四点共线；
D．在四边形中，若，，则四边形为菱形.
6．（多选）若内接于以为圆心，为半径的圆，且，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
二、填空题
7．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若A＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
8.已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为 .
9.已知是非零向量,满足,则与的夹角是 .
10.若两个向量的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为 .
11.已知向量满足，则向量在向量上的投影为________.
C组 挑战压轴题
一、填空题
1.已知，，，点在内，且，设，，则__________．
2.如图，O为△ABC的外心，，，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则等于___________.
3.如图，等腰三角形，，．，分别为边，上的动点，且满足，，其中，，，，分别是，的中点，则的最小值为_____.
4.在面积为1的平行四边形中，，则___________；
点P是直线上的动点，则的最小值为___________.
5.设非零向量，，，满足，，则的最小值是________．6.2.4平面向量的数量积
2课时 向量数量积的运算律
导学案
【学习目标】
1.了解数量积的运算律
2.会用向量数量积的公式解决相关问题．
【自主学习】
知识点1 向量数量积的性质
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量．
(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；
(2)a⊥b a·b＝0且a·b＝0 a⊥b；
(3)a·a＝|a|2或|a|＝；
(4)cos〈a，b〉＝；
(5)|a·b|≤|a||b|.
知识点2 向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
【合作探究】
探究一 向量的数量积的运算律
【例1】已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求：
(1)a·b；
(2)(a＋b)·(a－b)；
(3)(2a－b)·(a＋3b)．
[分析]　根据数量积、模、夹角的定义以及数量积的运算，逐一进行计算即可．
[解]　(1)a·b＝|a|·|b|cos120°＝2×3×(－)＝－3.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×4－5×3－3×9＝－34.
归纳总结：求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.
【练习1】已知向量a与b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，则a·(2a＋b)等于 .
答案：2
解析：a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝4－2＝2.
探究二 向量的模
【例2】已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，则|a－3b|＝________.
[答案]　
[分析]　利用模的公式和数量积的运算律进行求解．
[解析]　因为a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，
所以|a－3b|＝＝＝＝.
归纳总结：
1要求几个向量线性运算后的模，可先求其平方，利用数量积的计算易解.
2已知两个向量线性运算后的模求某个向量的模，可把条件平方后化为所求目标的方程求解.
【练习2】已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝ .
答案：3
解析：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3.
探究三 向量的夹角
【例3】已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(　　)
A.　　　 B.
C. D.
[答案]　C
[分析]　利用向量垂直的判定和数量积公式进行求解．
[解析]　设a，b夹角为θ，由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，所以cosθ＝＝＝－，所以θ＝.
归纳总结：求两向量a，b的夹角，通常借助于公式计算
【练习3】设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
答案：(－7，－)∪(－，－)
解：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得
cosθ＝<0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
化简得2t2＋15t＋7<0，解得－7当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，则
∴.
∴所求实数t的取值范围是(－7，－)∪(－，－)．
探究四 向量垂直的判定
【例4】已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？
答案：k＝
[分析]　利用向量垂直的性质，由(ka－b)·(a＋2b)＝0可求出．
[解]　∵(ka－b)⊥(a＋2b)，
∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，
ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
k×52＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42＝0，
∴k＝，即k为时，向量ka－b与向量a＋2b垂直．
归纳总结：解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a⊥b ,a·b＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.
【练习4】P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的(　　)
A．外心　　　B．内心　　　C．重心　　　D．垂心
答案：D
解析：由·＝·得·(－)＝0，
即·＝0，∴PB⊥CA.
同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．
探究五 向量数量积的综合应用
【例5】在△ABC中，＝c，＝a，＝b，且a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC的形状．
答案：等边三角形
[分析]　易知a＋b＋c＝0，分别将a、b、c移至等号右边，得到三个等式，分别平方后选取两个等式相减，即可得到a、b、c中两个向量的长度之间的关系．
[解]　在△ABC中，易知＋＋＝0，
即a＋b＋c＝0，
因此a＋c＝－b，a＋b＝－c，
从而
两式相减可得b2＋2a·b－c2－2a·c＝c2－b2，
则2b2＋2(a·b－a·c)＝2c2，
因为a·b＝c·a＝a·c，
所以2b2＝2c2，即|b|＝|c|.
同理可得|a|＝|b|，故||＝||＝||，
即△ABC是等边三角形．
归纳总结：依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向.
【练习4】若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰直角三角形　　　 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
答案：B
解析：＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，于是|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，即·＝0，从而AB⊥AC，故△ABC为直角三角形.
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．下面给出的关系式中正确的个数是(　　)
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|·cos θ)2＝a2·b2cos2 θ≠a2·b2，选C.
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．5
答案　A
解析　|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，
∴a·b＝1.
3．已知|a|＝1，|b|＝，且a＋b与a垂直，则a与b的夹角是(　　)
A．60° B．30°
C．135° D．45°
答案　C
解析　∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，
∴a·b＝－a2＝－1，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
∴〈a，b〉＝135°.
4．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案　C
解析　设向量a与b的夹角为θ，∵c⊥a，∴c·a＝0.
又∵c＝a＋b，∴(a＋b)·a＝0，
即a2＋b·a＝0 |a|2＋|a||b|cos θ＝0.
又∵|a|＝1，|b|＝2，∴cos θ＝－.故θ＝120°.
5．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝5，则|3a－b|等于(　　)
A．7 B．6
C．5 D．4
答案　A
解析　|3a－b|＝＝
＝ ＝＝7.故选A.
6．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于(　　)
A．－ B．0
C. D．3
答案　A
解析　a·b＝·＝－·
＝－||||cos 60°＝－.
同理b·c＝－，c·a＝－，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－.
7．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是(　　)
A．矩形 B．菱形
C．直角梯形 D．等腰梯形
答案　B
解析　∵＝即一组对边平行且相等，·＝0即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．
8．设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1.(　　)
A．若θ确定，则|a|唯一确定
B．若θ确定，则|b|唯一确定
C．若|a|确定，则θ唯一确定
D．若|b|确定，则θ唯一确定
答案　B
解析　|b＋ta|2＝b2＋2a·b·t＋t2a2
＝|a|2t2＋2|a|·|b|cos θ·t＋|b|2.
因为|b＋ta|min＝1，
所以
＝|b|2(1－cos2θ)＝1.
所以|b|2sin2θ＝1，
所以|b|sin θ＝1，即|b|＝.
即θ确定，|b|唯一确定．
二、填空题
9．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________.
答案　－8或5
解析　由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos，
即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5
10．已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的取值范围________．
答案　[1,7]
解析　方法一　∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，
∴1≤|a－b|≤7，即|a－b|的取值范围是[1,7]．
方法二　设θ为两向量a，b的夹角，则θ∈[0，π]．
∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b
＝a2＋b2－2|a||b|cos θ＝25－24cos θ，
∴|a－b|2∈[1,49]，∴|a－b|∈[1,7]．
11．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．　　
答案　
解析　在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，
则＝，
∴＝＝－，又＝＋，
∴·＝(＋)·(－)
＝2－·＋·－2
＝||2＋||||cos 60°－||2
＝1＋×||－||2＝1.
∴||＝0，又||≠0，
∴||＝.
三、解答题
12．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|.
解　(1)∵(a－b)·(a＋b)＝，
∴a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝；
又∵|a|＝1，∴|b|＝.∵a·b＝，∴|a|·|b|cos θ＝，∴cos θ＝，∴向量a，b的夹角为45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2|a||b|cos θ＋|b|2＝，∴|a－b|＝.
13．设n和m是两个单位向量，其夹角是，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
解　∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是，
∴m·n＝|m||n|cos ＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝＝
＝ ＝，
|b|＝|2n－3m|＝
＝
＝ ＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2
＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝，
故a与b的夹角为.
14．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|和|a－b|.
解　(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
解得a·b＝－6.
∴cos θ＝＝＝－，
又0≤θ≤π，
∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝13，
∴|a＋b|＝.
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝37.
∴|a－b|＝.
15．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
解　由向量垂直得
即
化简得
∴cos〈a，b〉＝＝＝，
∴a与b的夹角为.
B组 能力提升
一、选择题
1.已知向量，，且与的夹角为，则（ ）
A． B．2 C． D．14
【答案】A
【解析】，，
又，且与的夹角为，
所以
.
故选：A
2.设，若单位向量，满足：且向量与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由题意得，
，，，
又向量与的夹角为，
得，
又，，
则，
所以.故选：A.
3.在边长为3的菱形中，，，则=（ ）
A． B．-1
C． D．
【答案】C
【解析】
.
故选:C.
4．已知平面上三点,,满足,,,则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,,
故为直角三角形,且
故选:D.
5.（多选）下列命题中，结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．若，则A B C D四点共线；
D．在四边形中，若，，则四边形为菱形.
【答案】BD
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，若，则，所以，，故，即B正确；
对于C，，则或与共线，故C错误；
对于D，在四边形中，若，即，所以四边形是平行四边形，又，所以，所以四边形是菱形，故D正确；
故选：BD
6．（多选）若内接于以为圆心，为半径的圆，且，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】由于内接于以为圆心，为半径的圆，且，
所以，两边平方并化简得，
，两边平方并化简得，
，两边平方并化简得.
所以，A选项错误；，B选项正确.
，C选项错误.
，D选项正确.
故选：BD
二、填空题
7．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若A＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
答案　
解析　由⊥知·＝0，即·＝(λ＋)·(－)＝(λ－1)·－λA2＋2＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝.
8.已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为 .
【答案】
【解析】根据 与垂直得到（ ）·=0，
所以.
9.已知是非零向量,满足,则与的夹角是 .
【答案】
【解析】两个向量垂直，数量积为零，故，两式相减可得，故有.
10.若两个向量的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为 .
【答案】
【解析】因为两个向量的夹角是，是单位向量，，
可得，
又由，所以，
所以，
设向量与的夹角为，其中，
则，可得,
即向量与的夹角为.
11.已知向量满足，则向量在向量上的投影为________.
【答案】
【解析】向量满足，
可得，，
即为，，
两式相减可得，
则向量在向量上的投影为．
故答案为：．
C组 挑战压轴题
一、填空题
1.已知，，，点在内，且，设，，则__________．
【答案】3
【解析】因为，所以，从而有．因为，所以，化简可得，整理可得．因为点在内，所以，所以，则
2.如图，O为△ABC的外心，，，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则等于___________.
【答案】2
【解析】如图，取的中点，可知，
因为M是边BC的中点，所以,
,
由数量积的定义可得,
因为，
所以，
同理可得，
所以，
，
3.如图，等腰三角形，，．，分别为边，上的动点，且满足，，其中，，，，分别是，的中点，则的最小值为_____.
【答案】
【解析】
；
，，代入上式得：
；
；时，取最小值；的最小值为．故答案为：．
4.在面积为1的平行四边形中，，则___________；
点P是直线上的动点，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】∵平行四边形的面积为1，即，
∴，
故.
，
取BC的中点Q，连接PQ，
则，，
∴
，
此时，，
故答案为：，.
5.设非零向量，，，满足，，则的最小值是________．
【答案】
【解析】设，，
，
所以，
（令）
（仅当时取等号）
则的最小值是.
故答案为：

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