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第一章　集合与常用逻辑用语
第一节　集合运算
[复习要点]　1.了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系．
2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
7．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及集合运算．
知识点一　集合的基本概念
1．集合中元素的性质：________、________、________.
2．元素与集合的关系
(1)属于，记为________；(2)不属于，记为________．
3．常见数集的符号
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 ________ ________ ________ ________ ________
4.集合的表示方法：(1)________；(2)________；(3)________．
答案：1.确定性　无序性　互异性
2．(1)∈　(2)
3．N　N*或N＋　Z　Q　R
4．(1)列举法　(2)描述法　(3)图示法
知识点二　集合间的基本关系
　　表示关系　　 文字语言 符号语言
相等 集合A与集合B中的所有元素________ ______且______ A＝B
子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素 ________
真子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 ________
空集 空集是________的子集，是________的真子集 A ?B(B≠ )
答案：相同　A B　B A　A B或B A　A?B或B?A　任何集合　任何非空集合
知识点三　集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 ________ ________ 若全集为U，则集合A的补集为________
图形表示
意义 {x|________} {x|______} {x|＝________}
答案：A∪B　A∩B　 UA　x∈A，或x∈B　x∈A，且x∈B　x∈U，且x A
?链/接/教/材
1．[必修1·P11·A组T1改编]若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则(　　)
A．a∈P B．{a}∈P
C．{a} P D．a P
答案：D
2．[必修1·P12·A组T6改编]已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0A．[－1,4] B．(0,3]
C．(－1,0]∪(1,4] D．[－1,0]∪(1,4]
答案：A
3．[必修1·P12·B组T3改编]设全集为R，集合A＝{x|0A．{x|0C．{x|1≤x<2} D．{x|0答案：B
?易/错/问/题
1．忽视元素的互异性
(1)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
(2)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，若B A，则m＝________.
答案：(1)－　(2)0或3
2．集合中的两个易混结论：集合中元素的个数；集合子集的个数．
(1)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．
(2)集合A＝{1,4,7,10,13,16,19,21}，则集合A有________个子集、________个真子集、________个非空子集、________个非空真子集．
(1)答案：5　解析：因为A∪B＝{1,2,3,4,5}，所以A∪B中元素的个数为5.
(2)答案：28　28－1　28－1　28－2　解析：因为集合A中有8个元素，所以集合A有28个子集、28－1个真子集、28－1个非空子集、28－2个非空真子集．
?通/性/通/法
1．解决集合问题的两个方法：列举法；图示法．
(1)若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集的个数为________．
(2)若集合A＝{x|－5＜x＜2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A∩B＝________.
(1)答案：4　解析：A∩B＝{1,3}，其子集分别为 ，{1}，{3}，{1,3}，共4个．
(2)答案：{x|－3＜x＜2}　解析：在数轴上画出表示集合A，B的两个区间，观察可知A∩B＝{x|－3＜x＜2}．
2．集合中两组常用结论：集合间的基本关系；集合的运算．
(1)[2021湖南湘潭模拟]已知全集U＝R，集合M＝{x||x|<1}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则集合 U(M∪N)＝(　　)
A．(－∞，－1] B．(－1,2)
C．(－∞，－1]∪[2，＋∞) D．[2，＋∞)
(2)[2021皖北协作区联考]已知集合A＝{y|y＝}，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}，则 R(A∩B)＝(　　)
A． B．(－∞，0)∪
C． D．(－∞，0]∪
(1)答案：A
(2)答案：D　解析：因为A＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}＝，所以A∩B＝，所以 R(A∩B)＝(－∞，0]∪.
题型　集合的含义与表示
角度Ⅰ.用描述法表示集合
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．已知集合A＝{∈Z，则集合A用列举法表示为_______________．
思考：已知集合A＝{x∈N*，则A中的元素分别是________．
[答案]　{－2，－3，－6,6,3,2,1}　[解析]　集合中的元素为的取值，当x＝2,3,4,6,7,8,11时，的值为－2，－3，－6,6,3,2,1，共有7个取值，集合A用列举法表示为{－2，－3，－6,6,3,2,1}．
思考：2,3,4,6,7,8,11
2．[2021湖北天门调研]集合M＝，N＝，则(　　)
A．M＝N B．M?N
C．N?M D．M与N没有相同的元素
[答案]　B　[解析]　由题可知，
集合M＝
＝，
N＝
＝，当k∈Z时，2k＋1是奇数，k＋2是整数，又知奇数均为整数，而整数不一定为奇数，所以M?N，故选B.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
与集合中的元素有关的问题的求解策略
(1)确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数．
[易错警示]　要注意检验集合中元素的互异性．
角度Ⅱ.元素的互异性与参数的求值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2 021＋b2 021为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．±1
[答案]　C　[解析]　只有b＝0，a2＝1 a＝－1(a＝1不满足互异性)，从而b＝0，且a＝－1，有a2 021＋b2 021＝－1.
4．[2021山东百师联盟测试三]已知集合P＝{－1,2a＋1，a2－1}，若0∈P，则实数a的取值集合为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　C　[解析]　当2a＋1＝0时，a＝－，满足题意；当a2－1＝0时，a＝±1，经检验，a＝1满足题意，故a∈.
5．已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，则a＝________.
[答案]　－1　[解析]　因为A∩B＝{－3}，
所以只可能a－3＝－3或a－2＝－3，
解得a＝0或a＝－1.
当a＝0时，A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2,1}，此时A∩B＝{1，－3}，不合题意．当a＝－1时，A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，此时A∩B＝{－3}，符合题意，故a＝－1.
解/题/感/悟(小题示，大智慧)
要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．
题型　集合的基本关系
角度Ⅰ.子集、真子集关系的判断
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．已知集合M＝，N＝，P＝，试分析集合M，N，P之间的关系．
[解]　集合M＝.关于集合N：当n是偶数时，
令n＝2m(m∈Z)，
则N＝；
当n是奇数时，令n＝2m＋1(m∈Z)，
则N＝
＝，
从而得M?N.
关于集合P：当p＝2m(m∈Z)时，
则P＝；
当p＝2m－1(m∈Z)时，
则P＝
＝，
从而得N＝P.
综上可知，M?N＝P.
角度Ⅱ.子集、真子集的个数问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
2．[2021山东省实验中学期中]设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若A∩B＝B，则实数a组成的集合的子集个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．8
[答案]　D　[解析]　A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{3,5}，因为A∩B＝B，所以B A，结合题意可知B＝ 或{3}或{5}，对应实数a的值分别为0，，，其组成有3个元素的集合：，所以所求子集个数是23＝8，故选D.
3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　D
角度Ⅲ.根据集合间的关系求参数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．[2021湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A＝{x∈Z|x≥a}，集合B＝{x∈Z|2x≤4}．若A∩B只有4个子集，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2，－1] B．[－2，－1]
C．[0,1] D．(0,1]
[答案]　D　[解析]　本题考查根据集合的子集个数求参数的取值．集合A＝{x∈Z|x≥a}，集合B＝{x∈Z|2x≤4}＝{x∈Z|x≤2}，故A∩B＝{x∈Z|a≤x≤2}．因为A∩B只有4个子集，所以A∩B中元素只能有2个，即A∩B＝{1,2}，所以05．[多选]设集合P＝{x，集合T＝{x|mx＋1＝0}，若T P，则实数m的取值可以是(　　)
A． B．－
C．0 D．
[答案]　BCD　[解析]　由2x2＋2x＝－x－6，
得2x2＋2x＝2x＋6，
∴x2＋2x＝x＋6，即x2＋x－6＝0，
解得x＝－3或x＝2，
∴集合P＝{2，－3}．
若m＝0，则T＝ ，∴T P.
若m≠0，则T＝.
由T P，得－＝2或－＝－3，
∴m＝－或m＝.
综上，实数m的取值是，－，0.
故选BCD.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
根据两集合的关系求参数的方法
(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性．
(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．
[易错警示]　题目中若有条件B A，则应分B＝ 和B≠ 两种情况进行讨论．
题型　集合的运算
角度Ⅰ.交集、并集、补集的综合运算
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2020全国卷Ⅲ，理]已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
[答案]　C　[解析]　本题考查集合的表示方法，集合的交集运算，集合中元素的个数．依题意A∩B的元素是直线x＋y＝8上满足x，y∈N*且y≥x的点，即点(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)．故选C.
2．[多选][2021山东济宁一中一模]若集合A＝{x|sin x＝1}，
B＝{y，则正确的结论有(　　)
A．A∪B＝B B． RB RA
C．A∩B＝ D． RA RB
[答案]　AB　[解析]　本题考查集合的包含关系与补集关系．
由A＝{x|sin 2x＝1}
＝
＝，
又B＝{y＝{y，
显然集合{x|x＝4kπ＋π，k∈π＋π，k∈Z}，
所以A B，则A∪B＝B成立，所以选项A正确；
且 RB RA成立，所以选项B正确，选项D不正确；
A∩B＝A，所以选项C不正确．故选AB.
角度Ⅱ.根据集合的运算求参数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2021湖北名校学术联盟联考]已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}．若A∩B＝{4}，则a＝(　　)
A．3 B．2
C．2或3 D．3或1
[答案]　A　[解析]　∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4,6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3,4}，不符合题意．综上，a＝3，故选A.
4．[2021豫北名校联考]设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}，若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．(1，＋∞)
[答案]　B　[解析]　A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，设函数f(x)＝x2－2ax－1，因为函数f(x)＝x2－2ax－1图象的对称轴为直线x＝a(a>0)，f(0)＝－1<0，根据对称性可知，若A∩B中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有即所以即≤a<.故选B.
角度Ⅲ.补集思想在解题中的应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．已知集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0}，B＝{x|x2＋2x－a＝0}，C＝{x|x2＋2ax＋2＝0}，若三个集合至少有一个集合不是空集，则实数a的取值范围是________．
[答案]　{a|a≤－或a≥－1}　[解析]　假设三个集合都是空集，即三个方程均无实根，则有 解得解得－解/题/感/悟(小提示，大智慧)
运用补集思想求参数取值范围的步骤
第一步：把已知的条件否定，考虑反面问题；
第二步：求解反面问题对应的参数的取值范围；
第三步：求反面问题对应的参数的取值集合的补集．
角度Ⅳ.集合的新定义问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．[2021名师原创]对集合A，B，记A－B＝{x|x∈A且x B}，定义A△B＝(A－B)∪(B－A)为A，B的对称差集．若A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，y，|x|}，且A△B＝ ，则＋＋＋…＋＋＝________.
[答案]　－2　[解析]　依题意及Venn图知，图中左侧阴影部分为A－B，右侧阴影部分为B－A，两阴影部分合起来就是A△B，因为A△B＝ ，所以A＝B，根据集合中元素的互异性，且结合集合B知x≠0，y≠0，因为0∈B，且A＝B，
所以0∈A，故只有lg(xy)＝0，
从而xy＝1，而1＝xy∈A，
由A＝B得或其中x＝y＝1与集合中元素的互异性矛盾，所以x＝y＝－1，
代入得＋＋＋…＋＋＝－2＋2－2＋…＋2－2＝－2.
7．[2021四川成都联考]已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B1，B2，B3，…，Bk，k∈N*.记bi为集合Bi(i＝1,2,3，…，k)中的最大元素，则b1＋b2＋b3＋…＋bk＝(　　)
A．45 B．105
C．150 D．210
[答案]　B　[解析]　本题考查集合的新定义问题．集合A的含有3个元素的子集共有C＝20个，所以k＝20.在集合Bi(i＝1,2,3，…，k)中，最大元素为3的集合有C＝1个；最大元素为4的集合有C＝3个；最大元素为5的集合有C＝6个；最大元素为6的集合有C＝10个，所以b1＋b2＋b3＋…＋bk＝3×1＋4×3＋5×6＋6×10＝105.故选B.
8．[多选]已知集合M，N都是非空集合U的子集，令集合S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}，下列说法正确的是(　　)
A．若S＝N，则M＝
B．若S＝ ，则M＝N
C．若S M，则M N
D． M，N，使得S＝( UM)∪( UN)
[答案]　ABD　[解析]本题考查Venn图．用Venn图表示，集合S为如图1中的阴影部分，对于A选项，若S＝N，利用S的Venn图观察，则有M∩N＝ ，M＝ ，故A选项正确；对于B选项，若S＝ ，则M＝N，故B选项正确；对于C选项，反例：如图集合S为如图2中的阴影部分，N M，故C选项错误；对于D选项，例如U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{4}，S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}＝{1,2,3,4}＝U，而( UM)∪( UN)＝{4}∪{1,2，3}＝{1,2,3,4}＝S，故D选项正确，故选ABD.
图1　　　 　　　图2
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
解决集合新定义问题的方法
1．紧扣新定义
分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是解答新定义型集合问题的关键．
2．用好集合的性质
集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解答时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
提醒 完成限时跟踪检测(一)
第二节　充分条件与必要条件，全称量词与存在量词
[复习要点]　1.理解充分条件与必要条件的意义．
2．理解全称量词与存在量词的含义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
知识点一　命题的概念
概念 使用语言、符号或者式子表达的，可以判断______的陈述句
特点 (1)能判断真假；(2)陈述句
分类 ________命题、________命题
答案：真假　真　假　
知识点二　充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的______条件，q是p的______条件
p是q的________条件 p q且qp
p是q的________条件 pq且q p
p是q的________条件 p q
p是q的________条件 pq且qp
答案：充分　必要　充分不必要　必要不充分　充要　既不充分也不必要
知识点三　全称量词和存在量词
1．全称量词：所有的，任意一个，任给一个，用符号“________”表示；存在量词：存在一个，至少有一个，有些，用符号“________”表示．
2．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立” 用符号简记为：___________________________________.
3．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：_________________________________________.
答案：1. 　 　2. x∈M，p(x)　3. x0∈M，p(x0)
知识点四　含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
x∈M，p(x) ________________
x0∈M，p(x0) ________________
答案： x0∈M，綈p(x0)　 x∈M，綈p(x)
?链/接/教/材
1．[选修2－1·P12·A组T3]设a，b∈R且ab≠0，则ab>1是a>的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：D
2．[选修2－1·P30·A组T6]命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是_____________________________________________.
答案：有些表面积相等的三棱锥体积不相等
3．[选修2－1·P27·A组T3改编]命题“ x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　)
A． x0∈R，x＋x0≤0
B． x0∈R，x＋x0<0
C． x∈R，x2＋x≤0
D． x∈R，x2＋x<0
答案：B
4．[选修2－1·P24·例3改编]命题：“ x∈R，x2－ax＋1<0”的否定为________．
答案： x∈R，x2－ax＋1≥0
?易/错/问/题
1．命题中的易错点：命题的否定与否命题区分不当．
命题“已知a>1，若x>0，则ax>1”的否命题为(　　)
A．已知00，则ax>1
B．已知a>1，若x≤0，则ax>1
C．已知a>1，若x≤0，则ax≤1
D．已知0答案：C
2．充要条件的易混点：混淆条件的充分性和必要性．
[多选]设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是(　　)
A．x<1 B．x>1
C．x>－1 D．x>3
答案：BC
3．充要条件的易错点：否定形式下充分条件、必要条件判断错误．
已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的　(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
?核/心/素/养
逻辑推理——充要条件关系中的核心素养
充要条件问题中常涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心素养．
[2021河北保定模拟]已知条件p：≤－1，条件q：x2＋xA． B．
C．[－1,2] D．∪[2，＋∞)
答案：C　解析：由≤－1，即＋1≤0，
化简，得≤0，解得－3≤x<1；
由x2＋x由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，即p是q的必要不充分条件，
即条件q对应的x取值集合是条件p对应的x取值集合的真子集．
设f(x)＝x2＋x－a2＋a，如图，
则
所以所以－1≤a≤2.
题型　充分条件与必要条件
角度Ⅰ.充分条件与必要条件的判断
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2020北京卷]已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　C　[解析]　本题考查充分条件、必要条件的判断，以及诱导公式的应用．充分性：若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则α＝2nπ＋β，则sin α＝sin(2nπ＋β)＝sin β；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则α＝(2n＋1)π－β＝2nπ＋(π－β)，则sin α＝sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β，所以充分性成立．必要性：若sin α＝sin β，则α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β(n∈Z)，即α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z)，所以必要性成立．故选C.
2．[多选][2021海南华侨中学段测]“关于x的不等式x2－2ax＋a>0对 x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)
A．0C．0[答案]　BD　[解析]　本题考查二次不等式恒成立、充分条件和必要条件的判断．关于x的不等式x2－2ax＋a>0对 x∈R恒成立，则Δ＝4a2－4a<0，解得0A选项，“00对 x∈R恒成立”的充要条件；
B选项，“0≤a≤1”是“关于x的不等式x2－2ax＋a>0对 x∈R恒成立”的必要不充分条件；
C选项，“00对 x∈R恒成立”的充分不必要条件；
D选项，“a≥0”是“关于x的不等式x2－2ax＋a>0对 x∈R恒成立”的必要不充分条件．故选BD.
3．[2019北京卷]设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　C　[解析]　因为点A，B，C不共线，由向量加法的三角形法则，可知＝－，所以|＋|>||等价于|＋|>|－|，因为模为正，故不等号两边平方得2＋2＋2||·||cos θ>2＋2－2||·||cos θ(θ为与的夹角)，整理得4||·||cos θ>0，故cos θ>0，即θ为锐角．因为以上推理过程可逆，所以“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的充分必要条件．故选C.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
充分条件与必要条件的判定方法
1．定义法
①若p q且q p，则p是q的充分不必要条件；
②若q p且p q，则p是q的必要不充分条件；
③若p q且q p，则p是q的充要条件；
④若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．等价转化法
条件和结论带有否定性词语的命题常转化为其逆否命题来判断．如
①命题“綈q 綈p”转化为命题“p q”；
②命题“綈p 綈q”转化为命题“q p”；
③命题“綈p 綈q”转化为命题“q p”．
3．集合法
设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，则
①若A B，则p是q的充分条件；
②若A B，则p是q的必要条件；
③若A＝B，则p是q的充要条件；
④若A?B，则p是q的充分不必要条件；
⑤若A?B，则p是q的必要不充分条件；
⑥若AB，且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
角度Ⅱ.探究充分条件、必要条件及充要条件
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．[多选]“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是(　　)
A．2≤m<3 B．≤m≤3
C．1≤m<3 D．2≤m≤
[答案]　BC　[解析]　本题考查必要不充分条件的探求．函数f(x)图象的对称轴是直线x＝m，由已知可得充要条件是1角度Ⅲ.由充分条件、必要条件求参数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．[多选]设f(x)是6展开式的中间项，则f(x)≤mx在区间上恒成立的必要不充分条件是(　　)
A．m∈[0，＋∞) B．m∈
C．m∈ D．m∈[5，＋∞)
[答案]　AB　[解析]　易知f(x)＝C(x2)3·3＝x3，故f(x)≤mx m≥x2，x∈，
∴m≥max＝5.
∴m∈[5，＋∞)满足条件，
即所求区间应真包含区间[5，＋∞)．故选AB.
6．已知p：2≤4，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
[答案]　[8，＋∞)　[解析]　由q：x2－2x＋1－m2≤0，解得1－m≤x≤1＋m，
所以綈q：A＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}，
由p：2≤4，解得－3≤x≤9，
所以綈p：B＝{x|x>9或x<－3}．
因为綈p是綈q的必要不充分条件，
所以A?B.
所以或
即m≥8或m>8，所以m≥8.
7．[2021湖南浏阳三校联考]设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.若a<0且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
[解]　由p得(x－3a)(x－a)<0，
当a<0时，3a由q得(x－3)(x＋2)≤0或(x＋4)·(x－2)>0，
则－2≤x≤3或x<－4或x>2，
则x<－4或x≥－2.
∴綈p是綈q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件．
设A＝(3a，a)，
B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，
可知A?B，∴a≤－4或3a≥－2，
即a≤－4或a≥－.
又∵a<0，∴a≤－4或－≤a<0，
即实数a的取值范围为(－∞，－4]∪.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
1．根据充分、必要条件求解参数范围的方法
解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
2．利用充要条件求参数的关注点
(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．
[提醒]　含有参数的问题，要注意分类讨论．
题型　全称量词与存在量词
角度Ⅰ.全(特)称命题的否定
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021湖南怀化模拟]命题“ x∈N*，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是(　　)
A． x∈N*，x2 N*且x2B． x∈N*，x2 N*或x2C． x0∈N*，x N*且xD． x0∈N*，x N*或x[答案]　D　[解析]　本题考查存在量词命题的否定．由题意可得命题“ x∈N*，x2∈N*且x2≥x”的否定为“ x0∈N*，x N*或x2．命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)
A． x∈R， n∈N*，使得nB． x∈R， n∈N*，使得nC． x∈R， n∈N*，使得nD． x∈R， n∈N*，使得n[答案]　D　[解析]　根据含有量词的命题的否定的概念可知选D.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
全称命题与特称命题的否定
1．改写量词
确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
2．否定结论
对原命题的结论进行否定．
3．“双量词”命题的否定叙述
“对于 t∈D1， x0∈D2，满足条件p(t，x0)”其否定叙述为“ t0∈D1，对于 x∈D2，满足条件綈p(t0，x)”，如本例2中出现的形式．
角度Ⅱ.全(特)称命题的真假判断
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．下列四个命题：
p1： x0∈(0，＋∞)，x0p2： x0∈(0,1)，logx0>logx0；
p3： x∈(0，＋∞)，x>logx；
p4： x∈，x其中真命题为(　　)
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
[答案]　D　[解析]　对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有x0>x0成立，故p1是假命题；
对于p2，当x0＝时，有1＝log＝log>log成立，即log>log，故p2是真命题；
对于p3，结合指数函数y＝x与对数函数y＝logx在(0，＋∞)上的图象(如图1)可以判断p3是假命题；
对于p4，结合指数函数y＝x与对数函数y＝logx在上的图象(如图2)可以判断p4是真命题．
综上可知，真命题为p2，p4，故选D.
4．下列各命题中，真命题是(　　)
A． x∈R,1－x2<0 B． x∈N，x2≥1
C． x0∈Z，x<1 D． x0∈Q，x＝2
[答案]　C　[解析]　分别对选项中的不等式求解，依次判断是否正确即可．对于选项A,1－x2<0，即x>1或 x<－1，故A不正确；对于选项B，当x＝0时，x2＝0<1，故B不正确；对于选项D，x＝±为无理数，故D不正确；对于选项C，当x＝0时，x3＝0<1，故C为真命题，故选C.
5．[多选]已知直线l：y＝k(x－1)，圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，则下列命题正确的是(　　)
A． k∈R，l与C相交 B． k∈R，l与C相切
C． r>0，l与C相交 D． r>0，l与C相切
[答案]　AC　[解析]　直线l：y＝k(x－1)经过定点(1,0)，
圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)的圆心为(1,0)，半径为r，
∴直线l经过圆C的圆心，
∴ k∈R，l与C相交， r>0，l与C相交．
∴AC正确．
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
由于全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，原命题与其否定的真假相对，因此涉及特称命题为假命题时，常转化为全称命题为真命题后求解．
全称命题为真，常转化为恒成立问题，特称命题为真，常转化为有解问题．
角度Ⅲ.根据全(特)称命题的真假求参数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)， x1∈[－1,2]， x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．
[答案]　　[解析]　f(x)＝x2－2x，在x∈[－1,2]内的值域为[－1,3]，g(x)＝ax＋2(a>0)在x∈[－1,2]内的值域为[－a＋2,2a＋2]．
由条件可知：[－a＋2,2a＋2] [－1,3]．
从而：∴07．已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对 x1∈[0,3]， x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
[答案]　　[解析]　当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由题意得f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥.
8．[2021河南安阳调研]已知p： x∈[1,2]，x2－a≥0，q： x0∈R，使x＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
[答案]　{a|a≤－2或a＝1}　[解析]　由x2－a≥0，
得a≤x2.又x∈[1,2]，
∴x2∈[1,4]，
∴a≤1，
∴若命题p是真命题，则a≤1；
要使命题q为真命题，
则有Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
即a2＋a－2≥0，
解得a≥1或a≤－2.
∵命题“p且q”是真命题，
∴p，q同时为真，
∴
解得a≤－2或a＝1，
即实数a的取值范围是{a|a≤－2或a＝1}．
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
根据全(特)称命题真假求参数的取值范围时，常采用分离参数法
(1) x∈D，不等式p(a，x)≥0恒成立，分离出参数a后转化为a≥f(x)[或a≤f(x)]恒成立，进而转化为a≥f(x)max[或a≤f(x)min]．
(2) x∈D，不等式p(a，x)≥0有解，求参数，也常分离参数后，化为a≥f(x)[或a≤f(x)]有解问题，从而转化为a≥f(x)min[或a≤f(x)max]．
(3)形如：“对 x1∈A，都存在x2∈B，使得g(x2)＝f(x1)成立”，问题转化为两值域间的包含关系：{y|y＝f(x)} {y|y＝g(x)}．
(4)形如：“对 x1∈A，都存在x2∈B，使得f(x1)提醒 完成限时跟踪检测(二)

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