资源简介

第二章　函　　数
第一节　函数及其表示
[复习要点]　1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
知识点一　函数的概念
定义：建立在两个________A到B的一种确定的对应关系f，使对于集合A中的________数x，在集合B中都有________的数f(x)和它对应，记作：y＝f(x)，x∈A.
答案：非空数集　任意一个　唯一确定
知识点二　函数的三要素
函数由定义域、________和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中
(1)定义域：________的取值构成的集合；
(2)值域：函数值的集合________，值域由定义域和对应法则确定．
答案：对应关系　(1)自变量x　(2){f(x)|x∈A}
知识点三　函数的表示法
表示函数的常用方法有：________、________、________.
答案：解析法　列表法　图象法
知识点四　分段函数
若函数在定义域的不同子集上，因________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
答案：对应关系
知识点五　函数的定义域
1．求定义域的步骤
(1)写出使函数式有意义的不等式(组)；
(2)解不等式(组)；
(3)写出函数的定义域．(注意用区间或集合的形式写出)
2．基本初等函数的定义域
(1)整式函数的定义域为R.
(2)分式函数中分母________．
(3)偶次根式函数被开方式为________．
(4)一次函数、二次函数的定义域均为________．
(5)函数f(x)＝x0的定义域为________．
(6)指数函数的定义域为________．
(7)对数函数的定义域为________．
答案：2.(2)不为0　(3)非负数　(4)R　(5){x|x≠0}
(6)R　(7)(0，＋∞)
知识点六　函数的值域
基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是________．
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为____________；当a<0时，值域为____________．
(3)y＝(k≠0)的值域是________．
(4)y＝ax(a>0，且a≠1)的值域是________．
(5)y＝logax(a>0，且a≠1)的值域是________．
答案：(1)R　(2)　　(3){y|y≠0}　(4)(0，＋∞)　(5)R
?链/接/教/材
1．[必修1·P25·B组T2改编]若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
答案：B
2．[必修1·P25·B组T1改编]函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．
答案：[－3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2)∪(4,5]
?易/错/问/题
1．函数概念里的两个“允许”和两个“不允许”的理解．
如图表示的是从集合A到集合B的对应，________是函数．
　
答案：①②
2．函数解析式的求法：配凑法、换元法的运用不熟练．
已知f(x＋1)＝x2－1，则f(x)＝________.
答案：x2－2x
3．换元法求解析式，反解忽视自变量的范围．
已知f＝x2＋5x，则f(x)＝_______________.
答案：＋(x≠0)
题型　函数的概念
角度Ⅰ.函数关系的判断
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[多选][2021山东淄博模拟]设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　　)
[答案]　BC 　[解析]　A不满足函数的定义域,不正确;BC满足函数的定义域以及函数的值域，正确;D不满足函数的定义.故选BC.
2．已知A＝{x|x＝n2，n∈N}，给出下列关系式：
①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x4；⑤f(x)＝x2＋1，其中能够表示函数f：A→A的是________．
[答案]　①②③④　[解析]　对于⑤，当x＝1时，x2＋1 A，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确．
3．[2018上海卷]设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f(1)的可能取值只能是(　　)
A． B．
C． D．0
[答案]　B　[解析]　A选项，若f(1)＝，将点(1，)依次旋转后可得到函数图象上的一些点，由图可知，当x＝±1，±，0时，对应了两个y值，不符合函数定义，
∴f(1)≠.同理，结合图象分析B，C，D选项，只有B选项符合函数定义，故选B.
角度Ⅱ.同一函数的判断
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．[2021湖北武汉模拟]下列五组函数中，表示同一函数的是________．(填序号)
①f(x)＝x－1与g(x)＝；
②f(x)＝lg x2与g(x)＝2lg x；
③f(x)＝x＋2，x∈R与g(x)＝x＋2，x∈Z；
④f(u)＝与f(v)＝；
⑤y＝f(x)与y＝f(x＋1)．
[答案]　④　[解析]　①中定义域不同；②中两函数定义域不同；③中两函数定义域不同；⑤中两函数的对应法则不同，故表示同一函数的只有④.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
(1)两个函数是同一函数的条件为：定义域、值域和对应关系都相同；不要误认为函数解析式相同就是同一函数．
(2)函数的自变量习惯上用x表示，但也可以用其他字母表示，如f(x)＝3x＋2，g(m)＝3m＋2是同一函数．
题型　函数的定义域
角度Ⅰ.求已知函数的定义域
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021山东菏泽模拟]已知函数f(x)＝log2x的值域是[1,2]，则函数φ(x)＝f(2x)＋f(x2)的定义域为(　　)
A．[，2] B．[2,4]
C．[4,8] D．[1,2]
[答案]　A　[解析]　∵f(x)的值域为[1,2]，
∴1≤log2x≤2，∴2≤x≤4，
∴f(x)的定义域为[2,4]，
∴φ(x)＝f(2x)＋f(x2)
满足解得≤x≤2.
∴φ(x)的定义域为[，2]，故选A.
2．[2021福建永定模拟]函数y＝＋log2(tan x－1)的定义域为________．
[答案]　　[解析]　要使函数y＝＋log2(tan x－1)有意义，则1－x2≥0，tan x－1>0，且x≠kπ＋(k∈Z)，∴－1≤x≤1且＋kπ解/题/感/悟(小提示，大智慧)
常见函数定义域的类型
(1)分式型要满足f(x)≠0；
(2)偶次根式型(n∈N*)要满足f(x)≥0；
(3)[f(x)]0要满足f(x)≠0；
(4)对数型logaf(x)(a>0，且a≠1)要满足f(x)>0；
(5)正切型tan[f(x)]要满足f(x)≠＋kπ，k∈Z.
角度Ⅱ.求抽象函数的定义域
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　)
A．(－1,1) B．
C．(－1,0) D．
[答案]　B　[解析]　由题意知－1<2x＋1<0，则－14．[2021名师原创]已知A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，C(cos γ，sin γ)是△ABC的三个顶点，记p：“△ABC是等边三角形”，q：“sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0”，则p是q的(　　)
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
[答案]　C　[解析]　因为sin2α＋cos2α＝1，sin2β＋cos2β＝1，sin2γ＋cos2γ＝1，所以A，B，C都在圆x2＋y2＝1上，即O(0,0)是△ABC的外心，又由已知条件可得
＝0，＝0，
所以△ABC的重心是O(0,0)，即△ABC外心、重心重合，从而△ABC是等边三角形．故必要性成立．
因为△ABC是等边三角形，
所以△ABC的外心也是重心，
又因为A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，C(cos γ，sin γ)在单位圆x2＋y2＝1上，且圆心是O(0,0)，
所以＝0，＝0，
从而sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0.
故充分性成立．所以p是q的充要条件．故选C.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
对于抽象函数定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
角度Ⅲ.已知函数定义域求参数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．[2021江苏扬州邗江蒋王中学月考]已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取值范围是(　　)
A．a> B．－12C．－12[答案]　B　[解析]　由题意可知ax2＋ax－3≠0对于一切实数都成立，当a＝0时，－3≠0，不等式成立；当a≠0时，要想ax2＋ax－3≠0对于一切实数都成立，只需Δ＝a2－4a×(－3)<0，解得－12综上，实数a的取值范围是－126．已知函数f(x)＝log2(ax2＋x＋1)的定义域为R，则a的取值范围为________．
[答案]　　[解析]　由f(x)＝log2(ax2＋x＋1)的定义域为R，得ax2＋x＋1>0对于x∈R恒成立，当a＝0时，x＋1>0不恒成立；当a>0时，Δ＝1－4a<0，∴a>.
题型　函数值与解析式的求法
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021名师原创]已知函数f(x)＝ex，实数t>0，下列与不相等的函数值是(　　)
A．f(ln t－t)·f(t－3ln t)
B．f[2(t－ln t)]
C．f(t)·f(t－2ln t)
D．[f(t－ln t)]2
[答案]　A　[解析]　由f(x)＝ex得f[2(t－ln t)]＝f(2t－2ln t)＝e2t－2ln t＝＝，f(2t－2ln t)＝f(t)·f(t－2ln t)＝[f(t－ln t)]2，故B，C，D中的函数值均与相等；而f(ln t－t)·f(t－3ln t)＝f(－2ln t)＝t－2，与不相等．故选A.
2．求下列函数的解析式：
(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f＝x4＋，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)的解析式．
[解]　(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，
则sin x＝1－t，
∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]，
即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．
(2)(配凑法)
∵f＝2－2，
∴f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞)．
(3)(待定系数法)因为f(x)是一次函数，
可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴解得
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)(消去法)当x∈(－1,1)时，
有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①
以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去f(－x)得，
f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1，1)．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
求函数解析式的四种常用方法
1．待定系数法
若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则可用待定系数法．
2．配凑法
由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的式子，然后用x替代g(x)，便得到f(x)的解析式．
3．换元法
已知复合函数f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式时可用换元法，即令g(x)＝t，从中解出x，代入已知解析式进行换元，此时要注意新元的取值范围．
4．解方程组法
已知关于f(x)与f或f(－x)的等式，可根据已知条件再构造出一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
题型　分段函数及应用
角度Ⅰ.已知分段函数解析式求值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021广东梅州质检]设函数f(x)＝
则f(－2)＋f(log212)＝________.
[答案]　9　[解析]　∵－2<1，log212>1，
∴f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝3，
f(log212)＝2log212－1＝2log26＝6.
∴f(－2)＋f(log212)＝9.
2．[2018江苏卷]函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝
则f(f(15)) 的值为________．
[答案]　　[解析]　由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝＝，所以f(f(15))＝f＝cos＝.
角度Ⅱ.求解分段函数不等式
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[多选][2021河北枣强中学期中]已知f(x)＝存在实数m满足2f(f(m))＋1＝2f(m)＋1，则　(　　)
A．f(m)≤0 B．f(m)可能大于0
C．m∈(－∞，1] D．m∈(－∞，－1]∪(0，e2]
[答案]　AD　[解析]　本题考查函数与方程的综合应用．若f(m)>0，由2f(f(m))＋1＝2f(m)＋1，
可得f(f(m))＝2f(m)－，
则ln[f(m)]－2＝2f(m)－.
∵ln x≤x－1,2x>x，
∴ln x－2≤x－3，x－1<2x－1<2x－，
∴ln x－2≤x－3∴方程无解．
若f(m)≤0，
∵2f(f(m))＋1＝2＋1＝2f(m)＋1，
故只需解f(m)≤0即可．
当m≤0时，由f(m)＝2m－≤0，解得m≤－1；
当m>0时，由f(m)＝ln m－2≤0，解得0综上所述，当m∈(－∞，－1]∪(0，e2]时，f(m)≤0，满足2f(f(m))＋1＝2f(m)＋1.故选AD.
4．[2021湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”联考]已知函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3)∪[0,1) B．(－3,0)∪(0,1)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
[答案]　C　[解析]　解法一：当a<0时，a－7<1，解得a>－3，∴－3即0综上，可得－3解法二：画出函数y＝f(x)的图象以及直线y＝1，如图所示：
直线y＝1与y＝f(x)的图象的交点坐标为A(－3,1)，B(1,1)，结合图象知，f(x)<1的解集为(－3,1)，
即a∈(－3,1)．
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
有关分段不等式问题，关键是由定义写出函数表达式，此过程常对自变量的取值范围加以分段讨论．
角度Ⅲ.应用分段函数的性质，求解参数问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．[多选][2021山东顶级名校模拟]已知函数f(x)＝若存在实数k，使得函数f(x)的值域为[－1,1]，则实数a可取的值为(　　)
A． B．2
C．1＋ D．3
[答案]　BC　[解析]　y＝log2(2－x)在[0，k)上是单调递减函数，当x＝0时，y＝1；当x＝时，y＝－1，
所以0令g(x)＝x3－3x2＋3，则g′(x)＝3x2－6x，
令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝2，
当x＝2时，函数取得极小值－1，
当x3－3x2＋3＝1时，解得x1＝1，
x2＝1＋，x3＝1－<0(舍)，
所以2≤a≤1＋，故选BC.
6．[2021广东珠海质检]已知函数f(x)＝
的值域为R，则实数a的取值范围是　 (　　)
A．(－∞，－1] B．
C． D．
[答案]　C　[解析]　由题意知y＝ln x(x≥1)的值域为[0，＋∞)，
故要使f(x)的值域为R，则必有y＝(1－2a)x＋3a为增函数，且1－2a＋3a≥0，
所以1－2a>0，且a≥－1，
解得－1≤a<，故选C.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
(1)已知分段函数解析式求参数，需对参数的范围属于哪段分类讨论，当出现f(f(a))的形式时，由内向外依次求值且进行讨论．
(2)若已知函数的值域和定义域求参数，最好应用数形结合法．
提醒 完成限时跟踪检测(三)
第二节　函数的单调性与最值
[复习要点]　1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．
2．会运用基本初等函数的图象分析函数的单调性．
知识点一　函数的单调性
1．单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1图象描述 自左向右看图象是________ 自左向右看图象是________
2.单调性、单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是________或________，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
答案：1.f(x1)f(x2)　上升的　下降的
2．增函数　减函数
知识点二　函数的最值
前提 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 ①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得________ ①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得________
结论 则M是y＝f(x)的最大值 则M是y＝f(x)的最小值
答案：f(x)≤M　f(x0)＝M　f(x)≥M　f(x0)＝M
知识点三　利用定义判断函数单调性的步骤
1．取值；2.作差；3.化简判断；4.下结论．
?链/接/教/材
1．[必修1·P44·A组T9]已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上具有单调性，则实数k的取值范围是________．
答案：{k|k≤40或k≥160}　解析：函数f(x)的图象的对称轴是直线x＝.
当≤5或≥20，即k≤40或k≥160时，f(x)在[5,20]上具有单调性．
所以，实数k的取值范围为{k|k≤40或k≥160}．
2．[必修1·P39·B组T1改编]函数f(x)＝ln(x2－2x－8) 的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
答案：D　解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.
设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．
要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8在f(x)定义域上的单调递增区间．
∵函数t＝x2－2x－8在区间(4，＋∞)上单调递增，
在区间(－∞，－2)上单调递减．
∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.
3．[必修1·P39·A组T1改编]函数y＝x2－5x－6在区间[2,4]上是(　　)
A．递减函数 B．递增函数
C．先递减再递增函数 D．先递增再递减函数
答案：C
4．[必修1·P31·例4改编]函数y＝在[2,3]上的最小值为(　　)
A．2 B．
C． D．－
答案：B
?易/错/问/题
1．单调性易错点：单调区间首先应注意定义域．
函数y＝log(－x2＋x＋6)的单调递增区间为(　　)
A． B．
C．(－2,3) D．
答案：A　解析：由－x2＋x＋6>0，得－2令t＝－x2＋x＋6，则y＝logt，易知其为减函数，
由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2,3)上的单调递减区间．
利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2,3)上的减区间为.故选A.
2．抽象函数单调性问题，不可忽视定义域．
已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)A． B．
C． D．
答案：D　解析：不等式可转化为
解得≤x<.故选D.
?通/性/通/法
1．常见函数的单调性：一次函数、二次函数、反比例函数．
函数f(x)＝－x2＋2x的单调递增区间是________；函数y＝的单调递减区间是________．
答案：(－∞，1]　(－∞，0)，(0，＋∞)　解析：根据二次函数、反比例函数的单调性可得．
2．复合函数的单调性：同增异减．
函数f(x)＝log(x2－1)的单调递增区间是______________．
答案：(－∞，－1)　解析：函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所求区间即为内层函数在定义域上的单调递减区间，即(－∞，－1)．
题型　函数的单调性
角度Ⅰ.单调区间的判断
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
[答案]　(－∞，－1)和(0,1)　[－1,0]和[1，＋∞)
[解析]　y＝
即y＝
画出函数图象如图所示．
则其单调递增区间为(－∞，－1)和(0,1)，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
2．函数y＝的单调递增区间为_____________，单调递减区间为_____________．
[答案]　[2，＋∞)　(－∞，－3]
角度Ⅱ.含参函数单调性的讨论
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，讨论f(x)的单调性．
[解]　f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．
①若a≤0，则f′(x)＜0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．
②若a＞0，则由f′(x)＝0，
得x＝－ln a.
当x∈(－∞，－ln a)时，f′(x)＜0；
当x∈(－ln a，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
用导数讨论函数的单调性，需观察参数出现的位置，导数因式分解后，常要讨论两根大小关系，含参零点与定义域的关系等．
角度Ⅲ.已知函数的单调性求参数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．[多选][2021山东潍坊模拟]已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)，则满足函数f(x)在R上单调递减的a的取值为(　　)
A． B．
C． D．1
[答案]　ABC　[解析]　由分段函数f(x)在R上单调递减，可得05．[2021四川南充月考]已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,3) B．(0,3]
C．(0,2) D．(0,2]
[答案]　D　[解析]　本题考查分段函数的单调性及其应用．因为函数f(x)为R上的减函数，
所以解得0易错警示
忽视分段函数定义域的分界点而致错
对于分段函数在实数集R上的单调递增(减)的问题，除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系，若函数是增函数，则左边小于或等于右边(若函数是减函数，则右边小于或等于左边)，这样才能满足在R上单调递增．否则求出的参数的范围会出现错误．
角度Ⅳ.复合函数的单调性
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．[2021河北武邑期末]若函数y＝log (x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函数，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－4)∪[2，＋∞)
B．(－4,4]
C．[－4,4)
D．[－4,4]
[答案]　D　[解析]　令t＝x2－ax＋3a，则y＝logt，易知t＝x2－ax＋3a在上单调递减，
在上单调递增．
∵y＝log(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函数，
∴t＝x2－ax＋3a在(2，＋∞)上是增函数，
且在(2，＋∞)上t>0，
∴2≥，且4－2a＋3a≥0，
∴a∈[－4,4]．故选D.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
复合函数单调性的判断方法
(1)将复合函数y＝f(g(x))分解为两个函数y＝f(u)与u＝g(x)．
(2)确定复合函数的定义域．
(3)判断函数y＝f(u)与u＝g(x)的单调性．
(4)确定结论．
(5)若两函数在对应的区间上的单调性相同，则函数y＝f(g(x))在该区间上为增函数；若两函数在对应的区间上的单调性相反，则函数y＝f(g(x))在该区间上为减函数．
复合函数的单调性可概括为“同增异减”．
题型　单调性的应用
角度Ⅰ.比较函数值的大小
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2019全国卷Ⅲ]设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则(　　)
[答案]　C　[解析]　因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f＝f(－log34)＝f(log34)．
2．[2021湖南长沙明德中学月考]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋3x，则a＝f(2)，b＝f，c＝f()的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
[答案]　C　[解析]　根据函数f(x)是定义在R上的偶函数，得b＝f＝f(－3)＝f(3)，又由0<<2＝2<3，当x≥0时，f(x)＝x3＋3x在[0，＋∞)上单调递增，有f>f(2)>f()，即b>a>c，故选C.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
利用函数的单调性比较函数值大小的求解思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质转化到同一个单调区间内，只需比较自变量的大小，再根据单调性比较函数值大小．
角度Ⅱ.解函数不等式
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________．
[答案]　(－，－2)∪(2，)　[解析]　因为函数 f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)4．定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为________．
[答案]　[0,1)
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
利用函数的单调性解函数不等式
解函数不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“f”，变函数不等式为一般不等式．去掉“f”时，要注意函数的定义域的限制．
题型　求函数的最值(值域)
角度Ⅰ.常见函数的值域
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．求下列函数的值域：
(1)y＝，x∈[－3，－1]；
(2)y＝2x＋；
(3)y＝x＋4＋；
(4)y＝；
(5)y＝log3x＋logx3－1.
[解]　(1)由y＝可得y＝－.
∵－3≤x≤－1，
∴≤－≤，
∴≤y≤3，即y∈.
(2)(代数换元法)令t＝(t≥0)，
则x＝.
∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋(t≥0)．
∴当t＝，即x＝时，y取最大值，ymax＝，但y无最小值，
∴函数的值域为.
(3)(三角换元法)令x＝3cos θ，θ∈[0，π]，
则y＝3cos θ＋4＋3sin θ＝3sin＋4.
∵0≤θ≤π，
∴≤θ＋≤，
∴－≤sin≤1.
∴1≤y≤3＋4，
∴函数的值域为[1,3＋4]．
(4)(判别式法)观察函数式，将已知的函数式变形为 yx2＋2yx＋3y＝2x2＋4x－7，
整理得(y－2)x2＋2(y－2)x＋3y＋7＝0.显然y≠2(运用判别式法之前，应先讨论x2的系数)．
将上式看作关于x的一元二次方程．
易知原函数的定义域为R，则上述关于x的一元二次方程有实根，所以Δ＝[2(y－2)]2－4(y－2)(3y＋7)≥0.
解不等式得－≤y≤2.又y≠2，
∴原函数的值域为.
(5)y＝log3x＋logx3－1变形得y＝log3x＋－1.
①当log3x>0，即x>1时，
y＝log3x＋－1≥2－1＝1，
当且仅当log3x＝1，即x＝3时等号成立．
②当log3x<0，即0当且仅当log3x＝－1，即x＝时等号成立．
综上所述，原函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
函数值域的常见求法
(1)分离常数法；
(2)配方法；
(3)换元法；
(4)判别式法；
(5)有界性法；
(6)数形结合法；
(7)基本不等式法；
(8)利用函数的单调性；
(9)导数法．
角度Ⅱ.函数的最值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
2．[2021山西太原模拟]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝4x2＋2.设g(x)＝f(x)－2x2，若g(x)的最大值和最小值分别为M和m，则M＋m＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　B　[解析]　由g(x)＝f(x)－2x2，得
g(－x)＝f(－x)－2x2，
两式相加，可得g(－x)＋g(x)＝2，
故g(x)的图象关于(0,1)对称，
其最高点、最低点也关于(0,1)对称，
所以M＋m＝2.故选B.
3．[2021四川成都棠湖中学期中]如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值是14，那么a的值为________．
[答案]　3或　[解析]　本题考查指数型复合函数的最值及二次函数的性质．设t＝ax>0，则y＝t2＋2t－1，图象的对称轴方程为t＝－1.若a>1，x∈[－1,1]，则t＝ax∈，∴当t＝a时，y取得最大值，ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．若0方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
求函数最值的三种常用方法
1．单调性法
先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
2．图象法
先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
3．换元法
对比较复杂的函数，可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
题型　抽象函数单调性的应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021陕西西安模拟]已知定义在R上的函数f(x)满足：
①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1.
②当x>0时，f(x)>－1.
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
[解]　(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.
在R上任取x1>x2，
则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.
又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，
所以，函数f(x)在R上是单调增函数．
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.
由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4，
得f(x2＋x＋1)>f(3)，
又函数f(x)在R上是增函数，
故x2＋x＋1>3，
解得x<－2或x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
2．函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明；
(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋5)－f<2.
[解]　(1)f(1)＝f＝f(x)－f(x)＝0.
(2)f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
证明如下：
任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1则>1，则f＝f(x2)－f(x1)>0
即f(x1)从而f(x)在(0，＋∞)单增．
(3)因为f(6)＝f＝f(36)－f(6)，又f(6)＝1，
所以f(36)＝2，原不等式化为f(x2＋5x)又因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以解得0方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
常见抽象函数的运算关系
f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，
(1)f(ab)＝f(a)＋f(b)
①若x>1时，f(x)<0 f(x)单调递减．
②若x>1时，f(x)>0 f(x)单调递增．
(2)f(a＋b)＝f(a)·f(b)
①若x>0时，f(x)>1 f(x)单调递增．
②若x>0时，0提醒 完成限时跟踪检测(四)
第三节　函数的奇偶性与周期性
[复习要点]　1.了解函数奇偶性的含义．
2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．
3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
知识点一　函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于________对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于________对称
答案：f(－x)＝f(x)　y轴　f(－x)＝－f(x)　原点
知识点二　函数的周期性
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________的正数，那么这个________就叫做f(x)的最小正周期．
答案：1.f(x＋T)＝f(x)　2.最小　最小正数
?链/接/教/材
1．[必修1·P46·A组T10改编]已知f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则f等于(　　)
A． B．
C． D．1
答案：B
2．[必修1·P35·例5改编]函数f(x)＝－2x的图象关于　(　　)
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
答案：C
3．[人A必修1·P83·B组T3改编]若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
答案：1
?易/错/问/题
常见误区：①忽视奇偶函数的定义域关于原点对称致误；②利用奇偶性求解析式忽视定义域致误；③找不到周期函数的周期从而求不出结果致误．
1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－ B．
C． D．－
答案：B
2．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，则f(9)＝________.
答案：1
3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋4x－3，则函数f(x)的解析式为________________．
答案：f(x)＝
?核/心/素/养
数学抽象——活用奇函数最值性质，抽象函数的对称性解题
1．奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
2．抽象函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数．
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．
(3)若方程y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则f(x)的图象关于(a，b)对称．
1．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
答案：2　解析：f(x)＝1＋，
设g(x)＝为奇函数，g(x)max＋g(x)min＝0，
从而f(x)的最大值，最小值的和M＋m＝2.
2．函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________．
答案：4　解析：由已知得f(x)具有周期性，T＝4，
从而f(2 020)＝f(0)＝0，f(2 021)＝f(1)＝4，f(2 022)＝f(2)＝f(0)＝0，从而原式值为4.
题型　函数的奇偶性
角度Ⅰ.奇偶性的判断
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．下列函数中既不是奇函数，也不是偶函数的是________．
①f(x)＝log2(x＋)；
②f(x)＝；
③f(x)＝＋；
④f(x)＝(x－1)；
⑤f(x)＝；
⑥f(x)＝lg.
[答案]　④
2．[多选][2021山东模拟]已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)是以2为周期的周期函数
B．函数f(x)是以4为周期为周期函数
C．函数f(x－1)为奇函数
D．函数f(x－3)为偶函数
[答案]　BC　[解析]　本题考查函数的奇偶性、周期性的综合应用．对于选项A，B，
∵函数f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
∵f(x)＋f(2－x)＝0，
∴f(2＋x)＋f(－x)＝0，
则f(2＋x)＋f(x)＝0，即f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，
故函数f(x)是周期为4的周期函数，所以选项A错误，选项B正确；
对于选项C，令F(x)＝f(x－1)，
则F(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)．
在f(x)＋f(2＋x)＝0中，将x换为x－1，
得f(x－1)＋f(1＋x)＝0，
∴f(x＋1)＝－f(x－1)，
∴F(－x)＝－f(x－1)＝－F(x)，
∴函数F(x)＝f(x－1)为奇函数，所以选项C正确；
对于选项D，由题意不妨取满足条件的函数f(x)＝cos x，
∴f(x－3)＝cos (x－3)＝cos＝－sin x为奇函数，所以选项D错误．故选BC.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
判断函数奇偶性的常用方法
1．定义法
2．图象法
3．性质法
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
角度Ⅱ.利用函数的奇偶性求值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2021江西南昌第一中学模拟]已知函数f(x)＝(ex＋e－x)ln－1，若f(a)＝1，则f(－a)＝________.
[答案]　－3　[解析]　∵y＝ex＋e－x是偶函数，y＝ln在(－1,1)上为奇函数，∴φ(x)＝(ex＋e－x)·ln为奇函数．
∵f(a)＝φ(a)－1＝1，∴φ(a)＝2.
∴f(－a)＝φ(－a)－1＝－φ(a)－1＝－3.
4．[2021福建龙岩质量检查]已知f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则f＝(　　)
A．－ B．－1
C．1 D．
[答案]　B　[解析]　∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f＝f(－ln 2)＝－f(ln 2)，
∵ln 2>0，
又∵x≥0时，f(x)＝ex－1，
∴f(ln 2)＝eln 2－1＝2－1＝1，
∴f＝－1.故选B.
5．[2021贵州贵阳一中月考]设函数f(x)＝3＋x＋·的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值是(　　)
A．3 B．2
C．6 D．4
[答案]　C　[解析]　本题考查奇函数的性质．
令g(x)＝x＋·，
由1－x2≥0，
得－1≤x≤1.g(－x)＝－x＋·＝－x＋·＝－x－·＝－g(x)，
则函数g(x)是定义域为[－1,1]的奇函数，
所以g(x)max＋g(x)min＝0，
所以M＋N＝g(x)max＋3＋g(x)min＋3＝6.故选C.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
利用函数奇偶性求值的方法
(1)求f(a)＋f(－a)的值通常可将函数f(x)拆分成f(x)＝g(x)＋k[其中g(x)为奇函数，k为常数]的形式，所以f(a)＋f(－a)＝g(a)＋g(－a)＋2k＝2k.
(2)奇函数在关于原点对称的区间上的最大值与最小值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，且取最值时的自变量互为相反数．
角度Ⅲ.利用奇偶性求分段函数的解析式
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．已知f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x<0时，f(x)＝(　　)
A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)
C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)
[答案]　C　[解析]　当x<0时，－x>0，
则f(x)＝－f(－x)
＝－[(－x)3＋ln(1－x)]
＝x3－ln(1－x)．
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
严格定义，转化自变量，将之化到已知区间内，从而求得在未知区间上的解析式．
角度Ⅳ.由奇偶性求参数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
7．[2021广东广州调研]已知函数f(x)＝＋a为奇函数，则实数a＝________.
[答案]　－
8．[2021广东佛山模拟]已知f(x)＝2x＋为奇函数，g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，则f(ab)＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
[答案]　D　[解析]　解法一：由f(x)＝2x＋为奇函数，得f(x)＋f(－x)＝0，
即＋＝0，
可得a＝－1；
由g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，
得g(x)＝g(－x)，
即bx－log2(4x＋1)＝b(－x)－log2(4－x＋1)，
可得b＝1，则ab＝－1，
f(ab)＝f(－1)＝2－1－＝－，故选D.
解法二：由f(x)是定义域为R的奇函数，得f(0)＝0，
∴a＝－1，经检验符合题意，
又由g(x)为偶函数可知g(1)＝g(－1)，可得b＝1，
经检验符合题意．
∴ab＝－1，∴f(ab)＝f(－1)＝2－1－＝－，故选D.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
由奇偶性求参数的方法
1．特殊值法
偶函数可取特值±1，由f(1)＝f(－1)求参数，奇函数可取特值±1或0，由f(－1)＝－f(1)或f(0)＝0求参数，这样求参数较快捷．
2．定义法
偶函数 f(－x)－f(x)＝0恒成立；奇函数 f(－x)＋f(x)＝0恒成立．
题型　函数的奇偶性与单调性的综合应用
角度Ⅰ.利用奇偶性、单调性比较大小
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021辽宁大连一中模拟]已知函数f(x)＝log2(x2＋e|x|)，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．bC．c[答案]　B　[解析]　本题考查指数函数，对数函数的性质及应用．因为函数f(x)＝log2(x2＋e|x|)的定义域为R，且满足f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．当x>0时，f(x)＝log2(x2＋e|x|)＝log2(x2＋ex)在区间(0，＋∞)上单调递增．因为c＝f＝f＝f，且01，<0.3<1，所以log2<0.3<0.2.故c2．[多选]已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足(　　)
A．f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)
B．f(－2)C．f(2x)＝2f(x)g(x)
D．[f(x)]2－[g(x)]2＝1
[答案]　ABC　[解析]　f(－x)＝＝－＝－f(x)，g(－x)＝＝g(x)，故选项A正确；
f(x)为增函数，则f(－2)2f(x)g(x)＝2×·＝2×＝f(2x)，故选项C正确；
[f(x)]2－[g(x)]2＝[f(x)＋g(x)]·[f(x)－g(x)]＝ex·(－e－x)＝－1，故选项D错误．故答案为ABC.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
利用函数性质比较大小
利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先应根据函数的奇偶性与对称性求得周期，再根据函数的周期性转化为单调区间上的函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化应在定义域内进行．
角度Ⅱ.利用奇偶性、单调性解不等式
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2020新高考Ⅰ]若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1,1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞)
D．[－1,0]∪[1,3]
[答案]　D　[解析]　本题考查函数的性质与不等式的求解．
奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，
则f(x)在(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝0，
又f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
由xf(x－1)≥0，得或
即或
解得－1≤x≤0或1≤x≤3.故选D.
4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是________．
[答案]　　[解析]　因为f(2|a－1|)>f(－)＝f()，又由已知可得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以2|a－1|<＝2，所以|a－1|<，所以5．[2021福建厦门模拟]已知函数f(x)＝ln ＋x，且f(a)＋f(a＋1)>0，则a的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　B　[解析]　对于函数f(x)＝ln ＋x，
由>0，解得－1即函数f(x)的定义域为(－1，1)，
又f(－x)＝ln ＋(－x)＝－＝－f(x)，
则函数f(x)为奇函数，分析可得，
f(x)＝ln ＋x在(－1,1)上为增函数，
f(a)＋f(a＋1)>0 f(a)>－f(a＋1) f(a)>f(－a－1)，
则有解得－即a的取值范围为，故选B.
6．[2021陕西、湖北、山西部分校联考]已知函数f(x)＝ln(－x)＋3－x－3x，不等式f(a)＋f(x2＋5)≤0对 x∈R恒成立，则实数a的取值范围为　(　　)
A．[－2，＋∞) B．(－∞，－2]
C． D．
[答案]　C　[解析]　本题考查根据函数单调性和奇偶性解不等式．
∵函数f(x)的定义域为R，
且f(－x)＝ln(＋x)＋3x－3－x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
又f(x)＝ln(－x)＋3－x－3x＝ln ＋3－x－3x，
且易知y1＝ln ，y2＝3－x，y3＝－3x均为减函数，
∴f(x)在R上单调递减．
不等式f(a)＋f(x2＋5)≤0，
即f(a)≤f(－x2－5)，
则a≥－x2－5，
即a≥＝－.
设t＝(t≥2)，y＝－在[2，＋∞)上单调递减，当t＝2，即x＝0时，取最大值，
故max＝－.
∴a≥－.
角度Ⅲ.抽象函数的奇偶性与单调性
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
7．[2021辽宁抚顺模拟]设函数y＝f(x)(x∈R，且x≠0)对任意非零实数x1，x2，恒有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且对任意x>1，f(x)<0.
(1)求f(－1)及f(1)的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)求解不等式f(x)＋f≤0.
[解]　(1)由题意得，令x1＝x2＝1，
代入f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
得f(1)＝f(1)＋f(1)，
解得f(1)＝0，令x1＝x2＝－1，
代入f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
得f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
解得f(－1)＝0.
(2)取x1＝－1，x2＝x，代入f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
得f(－x)＝f(x)，
又函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∴函数f(x)是偶函数．
(3)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x11，
由题设有f<0，
∴f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)＝f＋f(x1)－f(x1)＝f<0，
∴f(x2)即函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数．
又由(1)(2)知函数f(x)是偶函数，且f(1)＝0，
∴f(x)＋f≤0等价于f≤f(1)，
∴≥1，解得x≤－或x≥2，
∴不等式的解集为∪[2，＋∞)．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
常见的抽象函数模型
(1)f(xy)＝f(x)＋f(y)可看作是f(x)＝logax或f(x)＝loga|x|的抽象表达式(a>0，且a≠1)．
(2)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)可看作是f(x)＝kx的抽象表达式．
(3)f(x＋y)＝f(x)f(y)可看作是f(x)＝ax的抽象表达式(a>0，且a≠1)．
(4)f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)可看作是f(x)＝cos x的抽象表达式．
[注意]　可以借助这些熟悉的函数探究抽象函数问题的解题方向以及抽象函数的性质．
题型　函数的周期性
角度Ⅰ.利用周期性求值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[多选][2021福建泉州毕业班适应性线上测试]已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)，若f(1)＝1，则(　　)
A．f(x)是周期函数
B．当n为偶数时，f(n)＝0
C．f(1)＋22f(2)＋32f(3)＋…＋62f(6)＝16
D．f(1)＋22f(2)＋32f(3)＋…＋(4n＋2)2f(4n＋2)＝8n2＋8n＋1
[答案]　ABD　[解析]　因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)．
又f(1＋x)＝f(1－x)，
所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
可得函数f(x)的周期为4，选项A正确；
f(－2)＝－f(2)＝－f(0)＝0，
即f(－2)＝f(2)＝f(0)，
又因为函数f(x)的周期为4，
所以当n为偶数时，f(n)＝0，选项B正确；
因为f(－1)＝－f(1)＝－1，周期T＝4，
所以f(1)＋22f(2)＋32f(3)＋…＋62f(6)＝1－32＋52＝17，所以选项C是错的；
f(1)＋22f(2)＋32f(3)＋…＋(4n＋2)2f(4n＋2)
＝1－32＋52－72＋92－112＋…＋(4n＋1)2
＝1＋(52－32)＋(92－72)＋…＋[(4n＋1)2－(4n－1)2]
＝1＋2[3＋5＋7＋9＋…＋(4n－1)＋(4n＋1)]
＝1＋2×
＝1＋2n(4n＋4)＝8n2＋8n＋1，
所以选项D正确，故选ABD.
2．[2021山西长治模拟]定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＝(　　)
A．336 B．337
C．338 D．339
[答案]　C　[解析]　∵f(x＋6)＝f(x)，
当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，
当－1≤x<3时，f(x)＝x，
∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，
f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，
∵f(x＋6)＝f(x)，
∴f(x)的周期为6，
又2 020＝336×6＋4，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＝336＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝338.故选C.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
由周期性求值，关键在于把自变量转化到已知区间内，从而求值；对条件的转化是要点，对于周期为T的奇函数，则有f＝0.
角度Ⅱ.利用周期性求参数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2021江苏南京四校联考]设f(x)是定义在R上且周期为4的函数，且在区间(－2,2]上，其函数解析式为f(x)＝其中a∈R.若f(－5)＝f(5)，则f(2a)的值是________．
[答案]　1　[解析]　∵f(x)是周期为4的函数且f(－5)＝f(5)，
∴f(－1)＝f(1)，∴－1＋a＝0，
∴a＝1.
∴f(x)＝
∴f(2a)＝f(2)＝1.
4．[2021河北石家庄模拟]已知f(x)是定义在R上，以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为________．
[答案]　(－1,4)　[解析]　∵f(x)是定义在R上，以3为周期的偶函数，
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，
∴由f(1)<1，f(5)＝，
得f(5)＝<1，
即－1＝<0，
解得－1∴实数a的取值范围为(－1,4)．
题型　函数性质的综合应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[多选]已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(x)＋f(2)成立，当x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2时，都有>0，则下列结论正确的是　 (　　)
A．f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝0
B．直线x＝－5是函数y＝f(x)图象的一条对称轴
C．函数y＝f(x)在[－7,7]上有5个零点
D．函数y＝f(x)在[－7，－5]上为减函数
[答案]　ABD　[解析]　由题意得y＝f(x)为奇函数，且f(2－x)＝f(x)＋f(2)，
令x＝2，则f(0)＝2f(2)＝0，
∴f(2)＝0，∴f(2－x)＝f(x)，
∴y＝f(x)的图象关于x＝1对称，
又∵y＝f(x)的图象关于(0,0)对称，
∴y＝f(x)为周期函数且T＝4，
易知f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝0，
∵ x1，x2∈[0,1]且x1≠x2，都有>0，
∴y＝f(x)在[0,1]上为增函数．
对于A，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝504×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，正确．
对于B，∵x＝－1是函数f(x)图象的一条对称轴，且y＝f(x)的周期为4，∴x＝－5也是对称轴，正确．
对于C，由奇函数的图象关于(0,0)对称且y＝f(x)的周期为4可知函数y＝f(x)在[－7,7]上有7个零点，不正确．
对于D，∵当x∈[1,3]时，y＝f(x)单调递减，
∴y＝f(x)在[－7，－5]上为减函数，正确．
2．[多选][2021山东泰安模拟]已知定义在R上的连续奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则下列命题中正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于直线x＝4k＋2(k∈Z)对称
B．函数f(x)的单调递增区间为[8k－6,8k－2](k∈Z)
C．函数f(x)在区间(－2 018,2 018)上恰有1 008个极值点
D．若关于x的方程f(x)－m＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8
[答案]　ACD　[解析]　A正确，∵定义在R上的连续奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
∴f[(x－4)－4]＝－f(x－4)＝f(x)，
即f(x－8)＝f(x)，
∴f(x)是以8为周期的函数，
8k(k∈Z且k≠0)也是其周期．
又f(x)为R上的连续奇函数，
由f(x－4)＝－f(x)，
即f(x)＝－f(x－4)，
得f(x)＝f(4－x)，
∴函数f(x)的一条对称轴为x＝＝2.
又8k(k∈Z且k≠0)是f(x)的周期，
∴f(x)＝f(x＋8k)＝f(4－x)，
函数的对称轴为x＝＝4k＋2(k∈Z且k≠0)．
综上，函数f(x)的图象关于直线x＝4k＋2(k∈Z)对称，故A正确．
B错误，作图如下：
由图可知，函数f(x)的单调递减区间为[8k－6,8k－2](k∈Z)，故B错误．
C正确，由图可知，f(x)在一个周期内有两个极值点，在区间(－2 016，2 016)上有504个完整周期，有1 008个极值点，在区间(－2 018，－2 016]和[2 016,2 018)上没有极值点，故在区间(－2 018,2 018)上有1 008个极值点，C正确．
D正确，由图中m1，m2，m3，m4，m5五条直线可知，关于x的方程f(x)－m＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8，故D正确．故选ACD.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
1．函数的对称性与函数的周期性的关系
(1)若函数f(x)关于直线x＝a与直线x＝b对称，那么函数的周期是2|b－a|.
(2)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是2|b－a|.
(3)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是4|b－a|.
2．函数的奇偶性、周期性、对称性的关系
(1)
(2)
(3)
(4)
其中a≠0，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个．
提醒 完成限时跟踪检测(五)
第四节　二次函数与幂函数
[复习要点]　1.了解幂函数的概念．
2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．
3．理解二次函数的图象和性质．
4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
知识点　幂函数的图象和性质
1．五种幂函数图象的比较
2．幂函数的性质比较
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R ________ {x|x∈R且x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 ________ 奇
单调性 单调递增 x∈[0，＋∞)时，单调递增；x∈(－∞，0]时，单调递减 单调递增 单调递增 x∈(0，＋∞)时，单调递减；x∈(－∞，0)时，单调递减
定点 ________ (1,1)
3.二次函数的图象与性质
f(x)＝ax2＋bx＋c a>0 a<0
图象
定义域 R
值域
单调性 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增；在上单调递减
奇偶性 当b＝0时，为偶函数；当b≠0时，既不是奇函数也不是偶函数
图象特点 ①对称轴：x＝－；②顶点：
答案：2.[0，＋∞)　非奇非偶　(0,0)，(1,1)
?链/接/教/材
1．[必修1·P79·T1改编]已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(　　)
A． B．4
C． D．
答案：C
2．[必修1·P39·B组T1改编]函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值为________．
答案：－1
3．[必修1·P44·A组T9改编]若函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t的取值范围是________．
答案：(－∞，1]
?易/错/问/题
1．幂函数概念的误区：系数为1；指数为常数．
已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm－3，则m为________．
答案：2或－1　解析：若函数为幂函数，则m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
2．忽视二次函数的二次项系数的讨论致误．
已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案：C　解析：∴a>.
?通/性/通/法
二次函数在给定区间上的最值．
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(不妨设a>0)在区间[m，n]上的最大或最小值如下：
(1)当－∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时：
f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是________；若－≤，f(x)的最大值为________；若－≥，f(x)的最大值为________．
(2)当－ [m，n]，即给定的区间在对称轴的一侧时：
f(x)在[m，n]上是单调函数．若－(3)当不能确定对称轴－是否属于区间[m，n]时，则需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值．
答案：(1)f＝　f(n)　f(m)　(2)f(m)　f(n)　f(n)　f(m)
题型　幂函数的图象与性质
角度Ⅰ.幂函数的概念
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021广东深圳高级中学模拟]已知幂函数g(x)＝(2a－1)xa＋1的图象过函数f(x)＝mx－b－(m>0，且m≠1)的图象所经过的定点，则b的值等于(　　)
A．± B．±
C．2 D．±2
[答案]　B　[解析]　本题考查幂函数的定义以及函数恒过定点的问题．由于g(x)＝(2a－1)xa＋1为幂函数，则2a－1＝1，解得a＝1.对于函数f(x)＝mx－b－(m>0，且m≠1)，当x＝b时，f(b)＝mb－b－＝，故f(x)的图象经过的定点为，所以g(b)＝，即b2＝，解得b＝±.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
幂函数的三个特点
(1)指数为常数；
(2)底数为自变量；
(3)xa的系数必须为1.
角度Ⅱ.幂函数的图象
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
2．[2021广东揭阳三中第一次月考]如图的曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象．已知n分别取±2，±四个值，与曲线C1，C2，C3，C4相应的n依次为(　　)
A．2，，－，－2
B．2，，－2，－
C．－，－2,2，
D．－2，－，，2
[答案]　A　[解析]　根据幂函数的图象与性质，得在直线x＝1的右侧越远离x轴的曲线，指数越大，所以与曲线C1，C2，C3，C4相应的n依次为2，，－，－2.故选A.
3．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
[答案]　B　[解析]　∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n在(0，＋∞)上是减函数，
∴∴n＝1，
又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1.故选B.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
幂函数y＝xα的图象特点
(1)α的正负：当α>0时，图象经过点(0,0)和点(1,1)，在第一象限的部分“上升”；当α<0时，图象不过点(0,0)，经过点(1,1)，在第一象限的部分“下降”．
(2)曲线在第一象限的凹凸性：当α>1时，曲线下凹；当0<α<1时，曲线上凸；当α<0时，曲线下凹．
角度Ⅲ.利用幂函数的图象与性质比较大小
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝，b＝f(ln π)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．cC．b[答案]　A
5．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．b[答案]　D　[解析]　因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝>b＝，因为y＝x是减函数，所以a＝方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
与幂函数值相关的比较大小的方法
(1)底数相同、指数不同，可以利用指数函数的单调性进行比较．例如0.5和，可以利用y＝x的单调性比较大小．
(2)指数相同、底数不同，可以利用幂函数的单调性进行比较，例如0.6和可以利用y＝x的单调性比较大小．
(3)指数和底数都不同，首先看能不能化成同底或同指数，若不能，则一般利用“中间值法”比较大小．例如1.30.1与0.82.3，选取“1”为中间值，比较得1.30.1>1.30＝1＝0.80>0.82.3.在解题时经常用到的“中间值”有“1”“－1”“0”“”“－”等．
角度Ⅳ.利用幂函数的图象与性质求参数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．[2021名师原创]若幂函数f(x)＝xα(α∈R)满足(α＋1)·f(x)＝f(ex)，则关于函数f(x)的性质正确的判断是　(　　)
A．f(x)的图象关于直线x＝－1对称
B．f(x)是周期函数
C．f(x)的图象关于点(0,1)对称
D．f(x)是单调函数
[答案]　C　[解析]　∵(α＋1)f(x)＝f(ex)，
∴(α＋1)xα＝eαxα，即eα＝α＋1.
令g(α)＝eα－α－1，
则g′(α)＝eα－1，
令g′(α)＝0，得α＝0.
当α∈(－∞，0)时，g′(α)<0，g(α)单调递减；
当α∈(0，＋∞)时，g′(α)>0，g(α)单调递增．
∴g(α)min＝g(0)＝0，
∴方程eα＝α＋1有唯一解α＝0，
∴f(x)＝x0＝1(x≠0)，
∴f(x)的图象不关于直线x＝－1对称，f(x)不是周期函数，f(x)无单调性，f(x)的图象关于点(0,1)对称．故选C．
7．[2018上海卷]已知α∈，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________.
[答案]　－1　[解析]　∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.
题型　二次函数
角度Ⅰ.二次函数的解析式
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．已知二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________________．
[答案]　f(x)＝x2－2x＋1　[解析]　依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，又其图象过点(0,1)，所以4a－1＝1，所以a＝，所以f(x)＝(x－2)2－1＝x2－2x＋1.
2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，其图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意的x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________________．
[答案]　f(x)＝x2－4x＋3　[解析]　∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意的x∈R恒成立，
∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)·(x－3)(a≠0)，
∵f(x)的图象过点(4,3)，
∴3a＝3，解得a＝1，
∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件选择恰当的二次函数解析式的形式，选择规律如下：
角度Ⅱ.二次函数的单调性
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为(　　)
A．16 B．18
C．25 D．
[答案]　B　[解析]　由已知得f′(x)＝(m－2)x＋n－8，又对任意的x∈，f′(x)≤0，
所以即
由②得m≤(12－n)．
∴mn≤n(12－n)≤2＝18，
当且仅当m＝3，n＝6时取得最大值，
经检验m＝3，n＝6满足①和②
所以(mn)max＝18，故选B.
4．[2021湖南雅礼中学月考]如果f(x)＝ax2－(2－a)x＋1在区间上为减函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．(0,1] B．[0,1)
C．[0,1] D．(0,1)
[答案]　C　[解析]　本题考查根据函数的单调性求参数取值范围．
当a＝0时，f(x)＝－2x＋1，此时f(x)在R上单调递减，满足题意；当a<0时，显然不成立；当a>0时，要使f(x)在上为减函数，则≥，解得a≤1.
综上，可得0≤a≤1.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)单调性的常见类型
(1)y＝f(x)在区间(m，n)上不单调 m<－(2)y＝f(x)在(m，n)上单调递增(单调递减) m≥－.
(3)y＝f(x)在(m，n)上存在单调递增(单调递减)区间 n>－.
角度Ⅲ.二次函数的最值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．[2021广东珠海模拟]已知函数y＝x2－4x＋5在闭区间[0，m]上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是(　　)
A．[0,1] B．[1,2]
C．[0,2] D．[2,4]
[答案]　D　[解析]　设y＝f(x)＝x2－4x＋5.
∵函数y＝f(x)＝x2－4x＋5在闭区间[0，m]上有最大值5，最小值1，f(x)的图象的对称轴方程为x＝2，f(2)＝4－8＋5＝1，f(0)＝f(4)＝5，
∴2≤m≤4.
∴m的取值范围是[2,4]．故选D.
6．[2021福建养正中学模拟]已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋2ax(－3≤x≤3)．
(1)若g(x)在[－3,3]上是单调函数，求a的取值范围；
(2)当a＝－1时，求函数y＝f(g(x))的值域．
[解]　(1)g(x)＝(x＋a)2－a2的图象的对称轴为直线 x＝－a，∵g(x)在[－3,3]上是单调函数，∴－a≥3或－a≤－3，即a≤－3或a≥3.
故a的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．
(2)当a＝－1时，f(g(x))＝2x2－2x(－3≤x≤3)，
令u＝x2－2x，则y＝2u.
∵x∈[－3,3]，∴u＝x2－2x＝(x－1)2－1∈[－1,15]．
而y＝2u是增函数，∴≤y≤215，
∴函数y＝f(g(x))的值域是.
方/法/总/结(来自课堂的最有用的方法)
二次函数最值问题的解题方法
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在区间[m，n]上的最值主要有四种类型：轴定区间定，轴定区间动，轴动区间定，轴动区间动，无论哪种类型，关键都是要看对称轴与区间的位置关系．对称轴与区间的位置关系主要有(以a>0为例)：
当对称轴在区间右侧，即n≤－时，最大值为f(m)，最小值为f(n)(如图1)．
当对称轴在区间左侧，即－≤m时，最大值为f(n)，最小值为f(m)(如图2)．
当对称轴在区间内，即m<－角度Ⅳ.二次函数中的恒成立问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
7．[多选]已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且关于x的方程f(x)＝x无实数根，现有下列说法，其中说法正确的是(　　)
A．若a>0，则不等式f(f(x))>x对一切x∈R恒成立
B．若a<0，则必然存在实数x0使不等式f(f(x0))>x0成立
C．关于x的方程f(f(x))＝x一定没有实数根
D．若a＋b＋c＝0，则不等式f(f(x))[答案]　ACD　[解析]　∵关于x的方程f(x)＝x无实数根，∴f(x)－x>0或f(x)－x<0.
若a>0，则f(x)－x>0对一切x∈R恒成立，
∵f(x)>x，
∴f(f(x))>f(x)>x，∴说法A正确；同理，若a<0，则有f(f(x))∴f(1)－1<0，
∴a<0，∴恒有f(f(x))∴说法D正确．综上，选ACD.
8．[多选]已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集是(－1,3)，若对于任意x∈[－1,0]，不等式f(x)＋t≤4恒成立，则t的取值范围可以是下面选项中的(　　)
A．(－∞，3] B．(－3，－2]
C．(－∞，－4] D．(－∞，4]
[答案]　BC　[解析]　由不等式f(x)>0的解集是(－1,3)，可知－1和3是方程－2x2＋bx＋c＝0的根，
即解得f(x)＝－2x2＋4x＋6.不等式f(x)＋t≤4化为t≤2x2－4x－2，x∈[－1,0]，令g(x)＝2x2－4x－2，x∈[－1,0]，由二次函数图象的性质可知g(x)在[－1,0]上单调递减，则g(x)的最小值为g(0)＝－2，则t≤－2.故选BC.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
不等式恒成立问题求参数的处理方法
1．分离参数法
分离成功后转化为a>f(x)恒成立 a>f(x)max，或者a2．函数法
若分离参数有难度，可不分离参数：f(a，x)>0恒成立 f(a，x)min>0，转而讨论函数y＝f(a，x)在含参情形下的最值．
角度Ⅴ.二次方程根的分布问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
9．[多选]已知函数f(x)＝则直线y＝x与函数f(x)的图象的公共点的个数为(　　)
A．当－1≤m<2时，有3个公共点
B．当m<－2时，有且只有1个公共点
C．当－2≤m<－1时，有2个公共点
D．当m>2时，没有公共点
[答案]　ABC　[解析]本题考查函数与方程．直线y＝x与直线y＝2有一个交点A(2，2)，联立
得B(－1，－1)，C(－2，－2)，所以直线y＝x与抛物线 y＝x2＋4x＋2有两个交点B，C.结合图象可知，ABC均正确；当m>2时，有2个公共点，故D错误，故选ABC.
10．[2021河南洛阳期末]已知方程x2＋2(a＋2)x＋a2－1＝0.
(1)当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；
(2)当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围．
[解]　由题意知，Δ＝4(a＋2)2－4(a2－1)＝16a＋20.
(1)∵方程x2＋2(a＋2)x＋a2－1＝0有两个负根，
∴
解得
即a>1或－≤a<－1.
∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．
(2)∵方程x2＋2(a＋2)x＋a2－1＝0有一个正根和一个负根，
∴f(0)＝a2－1<0，解得－1∴实数a的取值范围是(－1,1)．
方/法/总/结
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的实根分布
根的分布(m，n，p为常数) f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 满足条件
x1mx1mm只有一个零点在(m，n)之间 或f(m)·f(n)<0或或
提醒 完成限时跟踪检测(六)
第五节　指数与指数函数
[复习要点]　1.了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念及单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象．
4．体会指数函数是一类重要的函数模型．
知识点一　指数及指数运算
1．根式的概念
根式的概念 符号表示 备注
如果________，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N*
当n为奇数时，正数的n次方根是一个____________，负数的n次方根是一个________ 零的n次方根是零
当n为偶数时，正数的n次方根有________，它们互为________ ±(a＞0) 负数没有偶次方根
2.分数指数幂
(1)a＝________(a＞0，m，n∈N*，n＞1)；
(2)a＝________＝________(a＞0，m，n∈N*，n＞1)；
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．有理数指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
答案：1.xn＝a　正数　负数　两个　相反数　2.(1)
(2)eq \f(1,a)　
知识点二　指数函数及其性质
1．指数函数的概念
函数______________叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
说明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数．
2．指数函数的图象和性质
底数 a>1 0图象
性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)
函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有00时，恒有01
函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数
答案：1.y＝ax(a>0，且a≠1)
?链/接/教/材
1．[必修1·P59·A组T4改编]化简(x<0，y<0)＝________.
答案：－2x2y
2．[必修1·P56·例6改编]若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________.
答案：
3．[必修1·P59·A组T7改编]已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
答案：a>b>c
?易/错/问/题
1．根式化简与指数运算的误区：混淆“”与“()n”；误用性质．
(1)计算＋＝________.
(2)化简[(－2)6]－(－1)0的结果为________．
(1)答案：2　解析：原式＝1＋＋(－1)＝2.
(2)答案：7　解析：[(－2)6]－(－1)0＝(26)－1＝8－1＝7.
2．指数函数常见误区：系数为1.
函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有a＝________.
答案：2　解析：根据定义有a2－3a＋3＝1，解得a＝2或a＝1(舍去)．
题型　指数幂的化简求值
角度Ⅰ.根式与指数幂的运算
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1.－(π－1)0－＋＝________.
[答案]　16
2．化简：÷.
[解]
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
指数幂的运算规律
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
[易错警示]　运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．
角度Ⅱ.“整体代换法”化简求值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2018上海卷]已知常数a>0，函数f(x)＝的图象经过点P，Q.若2p＋q＝36pq，则a＝________.
[答案]　6　[解析]　由已知条件知，
f(p)＝，f(q)＝－，
所以
①＋②，得＝1，
整理得2p＋q＝a2pq，
又2p＋q＝36pq，∴36pq＝a2pq，
又pq≠0，∴a2＝36，
∴a＝6或a＝－6，又a>0，得a＝6.
4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
＋＝(R＋r).
设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为(　　)
A．R B．R
C．R D．R
[答案]　D　[解析]　将r＝α·R代入方程可得＋＝(1＋α)，
即＋＝(1＋α)M1，
∴＝，
即＝，∴≈3α3，
∴α≈，
∴r＝R·α≈R.故选D.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
“整体代换法”中常见的转化方式
(1)(x＋y)2－2xy＝x2＋y2.
(2)(x＋y)2＝x＋y＋2.
(3)(x＋y)[(x＋y)2－3xy]＝x3＋y3.
(4)(x＋x－1)2＝x2＋x－2＋2.
(5)(x＋x)2＝x＋x－1＋2.
(6)(x±x)[(x±x)2 3]＝x－1±x.
(7)(x－1±x)[(x－1±x)2 3]＝x－3±x3.
题型　指数函数的图象
角度Ⅰ.指数函数的概念
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[多选]已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在f(x)＝2x的图象上，则下列各点一定在f(x)的图象上的是(　　)
A．(x1＋x2，y1＋y2)
B．(x1＋x2，y1y2)
C．(x1x2，y1＋y2)
D．
[答案]　BD　[解析]　由点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在 f(x)＝2x的图象上，
可得y1＝2x1，y2＝2 x2，
所以y1y2＝2 x1·2 x2＝2 x1＋x2＝f(x1＋x2)，
所以点(x1＋x2，y1y2)一定在f(x)＝2x的图象上．
又2－x1·2－x2＝＝2－(x1＋x2)，
故点也在f(x)＝2x图象上．故选BD.
2．指数函数y＝f(x)的图象经过点(m,3)，则f(0)＋f(－m)＝________.
[答案]　
角度Ⅱ.指数函数图象的辨析
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2021山东潍坊模拟]已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为(　　)
[答案]　A　[解析]∵x∈(0,4)，∴x＋1>1，∴f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＝2时等号成立，此时函数f(x)取最小值1，∴a＝2，b＝1，此时g(x)＝2|x＋1|＝ 此函数图象可以由函数y＝的图象向左平移1个单位得到，结合指数函数的图象及选项可知A正确，故选A.
4．定义运算a b＝则函数f(x)＝1 2x的图象是　(　　)
[答案]　A　[解析]　因为当x<0时，1>2x；当x≥0时，1≤2x，则f(x)＝1 2x＝故选A.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
辨析指数型函数图象应抓住以下几个特征
(1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象所过的关键点为(1，a)，(0,1)，.
(2)函数图象与坐标轴(x轴、y轴)的交点位置．
(3)函数的定义域、值域、奇偶性、单调性．
角度Ⅲ.“指数型”函数过定点问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．[2021陕西西安模拟]若函数f(x)＝ax－2－2a(a>0，且a≠1)的图象恒过定点，则函数f(x)在[0,3]上的最小值为________．
[答案]　－　[解析]　令x－2＝0，得x＝2，且f(2)＝1－2a，所以函数f(x)的图象恒过定点(2,1－2a)，因此x0＝2，a＝，于是f(x)＝x－2－，f(x)在R上单调递减，故函数f(x)在[0,3]上的最小值为f(3)＝－.
6．[2021广东佛山模拟]函数y＝ax＋2－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(m，n)，则am－2n＝________.
[答案]　1　[解析]　令x＋2＝0，
则x＝－2，y＝ax＋2－2＝a0－2＝－1，
∴函数y＝ax＋2－2的图象恒过点(－2，－1)，
即m＝－2，n＝－1，∴am－2n＝a－2＋2＝a0＝1.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
“指数型”函数y＝A·akx＋b＋C过定点问题，只需由kx＋b＝0，且y＝A＋C确定定点坐标．
角度Ⅳ.应用指数函数的图象求参数范围
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
7．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0[答案]　D　[解析]　由单调性判断0解/题/感/悟(小提示，大智慧)
利用图象判断参数，常结合单调性、特殊点的符号、极值等各种因素，从而起到辅助判断的功效．
题型　指数函数的性质
角度Ⅰ.指数函数的单调性与值域
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021湖北、山东部分重点中学高三第一次联考]已知函数y＝4x－3·2x＋3，若其值域为[1,7]，则x可能的取值范围是(　　)
A．[2,4] B．(－∞，0]
C．(0,1]∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
[答案]　D　[解析]　令t＝2x(t>0)，则y＝t2－3t＋3＝2＋，其图象的对称轴为直线t＝.
当x∈[2,4]时，t∈[4,16]，此时y∈[7,211]，不满足题意；
当x∈(－∞，0]时，t∈(0,1]，此时y∈[1,3)，不满足题意；
当x∈(0,1]∪[2,4]时，t∈(1,2]∪[4,16]，
此时y∈∪[7,211]，不满足题意；
当x∈(－∞，0]∪[1,2]时，t∈(0,1]∪[2,4]，
此时y∈[1,7]，满足题意．故选D.
2．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
[答案]　－　[解析]　当0由题意可得即
解得此时a＋b＝－.
当a>1时，函数f(x)在[－1,0]上单调递增，
由题意可得
即显然无解．所以a＋b＝－.
角度Ⅱ.指数型复合函数的单调性与值域
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2021广东揭阳三中月考]函数f(x)＝的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，＋∞) B．[－3,3]
C．(－∞，3] D．[3，＋∞)
[答案]　D　[解析]　设t＝x2－6x＋5，则y＝t.∵t＝x2－6x＋5在区间(－∞，3]上为减函数，在区间[3，＋∞)上为增函数，y＝t为减函数，∴f(x)＝的单调递减区间为[3，＋∞)．故选D.
4．[2021山西运城康杰中学期末]函数f(x)＝x2＋2x＋3的值域为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　C　[解析]　令t＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，则t≥2，y＝t为减函数，所以y≤2＝，结合y＝t>0可得，函数f(x)的值域为.故选C.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
求指数型复合函数的单调区间和值域的方法
(1)①形如y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令ax＝t，将求原函数的值域转化为求f(t)的值域，但要注意“新元”t的范围．
②形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f(x)，先求出u＝f(x)的值域，再利用y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域．
(2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：
①当a>1时，若f(x)在区间(m，n)上[其中(m，n) D]具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同．
②当0角度Ⅲ.应用指数函数的性质比较大小
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．比较大小：
已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，则f(a)，f(b)的大小关系是________．
[答案]　f(a)>f(b)　[解析]　易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数，又a＝＝>＝b，所以f(a)>f(b)．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
与指数有关的比较大小的方法
(1)若底数相同，则可由指数函数的单调性直接判断．
(2)若底数不同，指数相同，则可以利用图象法或作商法比较，其中指数函数的底数对图象的影响如图：
在y轴右侧，图象从上到下相应的指数函数的底数由大变小(a1>a2>1>a3>a4>0)，简称“底大图高”．
(3)若底数和指数都不同时，常借助中间值(如：－1,0,1)来比较．对于三个(或三个以上)数的大小比较，则通常先根据值的大小对其分类，常分为三类：一类是小于0的数，一类是大于0且小于1的数，一类是大于1的数．
角度Ⅳ.应用指数函数的单调性解不等式
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．不等式恒成立，则a的取值范围是________．
[答案]　(－2,2)
7．[2021百校联盟高三联考]若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则f(x－1)[答案]　{x|x<2}　[解析]　∵f(x)＝ex－ae－x为奇函数，且函数定义域为R，
∴f(0)＝1－a＝0，即a＝1，
∴f(x)＝ex－e－x.
∵y＝ex在R上为增函数，y＝e－x在R上为减函数，
∴f(x)＝ex－e－x在R上为增函数．
又∵f(1)＝e－，
∴f(x－1)∴x－1<1，即x<2，
∴f(x－1)解/题/感/悟(小提示，大智慧)
解指数不等式时，应讨论a的范围
若a∈(0,1)，af(x)>ag(x) f(x)若a∈(1，＋∞)，af(x)>ag(x) f(x)>g(x)．
角度Ⅴ.指数函数的综合问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
8．[2021湖南师范大学附属中学月考]设平行于x轴的直线l分别与函数y＝2x和y＝2x＋1的图象相交于点A，B，若在函数y＝2x的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l(　　)
A．至少有1条 B．至多有1条
C．有且只有1条 D．有无数条
[答案]　C　[解析]　根据题意，设直线l的方程 为y＝m，则A(log2m，m)，B(log2m－1，m)，AB＝1，
设C(x,2x)，
∵△ABC是等边三角形，
∴点C到直线AB的距离为，
∴m－2x＝，
∴x＝log2，
又x＝(log2m＋log2m－1)＝log2m－，
∴log2＝log2m－＝log2，
∴m－＝，
解得m＝，
故而符合条件的直线l只有1条．故选C.
9．已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
[解]　(1)当a＝－1时，
f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3，
由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，
而y＝t在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，
即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，
因此必有
解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
(3)令g(x)＝ax2－4x＋3，
由指数函数的性质知，要使f(x)＝g(x)的值域为(0，＋∞)，应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R，故a的值为0)
提醒 完成限时跟踪检测(七)
第六节　对数与对数函数
[复习要点]　1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
2．理解对数函数的概念及单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象．
3．体会对数函数是一类重要的函数模型．
4．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
知识点一　对数的定义
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
答案：x＝logaN
知识点二　对数的运算法则
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么
(1)loga(M·N)＝________.
(2)loga＝________.
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
答案：(1)logaM＋logaN　(2)logaM－logaN
知识点三　对数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
定点 过点________
单调性 在(0，＋∞)上________ 在(0，＋∞)上________
函数值正负 当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0
答案：(1,0)　单调递增　单调递减
知识点四　反函数
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝________(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．
[答案]　logax　y＝x
?链/接/教/材
1．[必修1·P75·A组T11改编](log29)·(log34)＝________.
答案：4
2．[必修1·P73·练习T2改编](1)函数y＝log2(1－2x)的定义域为________．
(2)函数y＝的定义域为________．
答案：(1)　(2)(0,1]
3．[必修1·P73·练习T3改编]比较下列各题中两个值的大小：
(1)log30.3________log30.4；
(2)log23________log4.
答案：(1)<　(2)>
?易/错/问/题
1．误用对数运算法则．
有下列结论：
①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝1，则x＝10；④若log22＝x，则x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9.其中正确结论的序号是____________．
答案：①②③④⑤
2．对数函数常见误区：真数必须大于零．
(1)函数f(x)＝lg的定义域是____________，函数g(x)＝lg(x－3)－lg(x＋2)的定义域是____________．
(2)函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________．
(1)答案：{x|x>3或x<－2}　{x|x>3}　解析：由>0，得x>3或x<－2，所以函数f(x)＝lg的定义域为{x|x>3或x<－2}；由 得x>3，所以函数 g(x)＝lg(x－3)－lg(x＋2)的定义域是{x|x>3}．可以看出f(x)与g(x)不是同一函数．
(2)答案：(－∞，0)　解析：函数f(x)＝lg x2的单调递减区间需满足x2>0且y＝x2单调递减，故x∈(－∞，0)．
?核/心/素/养
直观想象——数形结合法在对数函数问题中的应用
对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解，一些对数型函数、方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．
设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，若在区间(－2,6)内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>0，且a≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．(1,4)
C．(1,8) D．(8，＋∞)
答案：D　解析：依题意得f(x＋2)＝f[－(2－x)]＝f(x－2)，即f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是以4为周期的函数，
结合题意画出函数f(x)在x∈(－2,6)上的图象与函数 y＝loga(x＋2)的图象，结合图象分析可知，
要使f(x)与y＝loga(x＋2)的图象有4个不同的交点，则有由此解得a>8，即a的取值范围是(8，＋∞)．
题型　对数的化简求值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2019北京卷]在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
[答案]　A　[解析]　由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg ，所以lg＝10.1，所以＝1010.1.故选A.
2．[多选]已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝(　　)
A． B．
C． D．2
[答案]　AD　[解析]　令t＝logab，则t＋＝，
∴2t2－5t＋2＝0，
即(2t－1)(t－2)＝0，
∴t＝或t＝2，
∴logab＝或logab＝2，
∴a＝b2或a2＝b，
又∵ab＝ba，
∴2b＝b2＝a或a2＝2a＝b，
∴b＝2，a＝4或a＝2，b＝4.
∴＝2或＝，
故选AD.
3．计算：(1)；
(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)；
(4)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.
[解]　(1)原式＝eq \f(lg 33 ＋lg 23－3lg 10,lg \f(3×22,10))
＝
＝＝.
(2)原式＝·
＝·
＝·＝.
＝·log5(10－3－2)
＝log55＝－.
(4)因为log189＝a,18b＝5，
所以log185＝b，于是log3645＝＝＝＝.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
对数运算中的几个运算技巧
1．lg 2＋lg 5＝1的应用技巧
在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2＋lg 5，再应用公式lg 2＋lg 5＝1进行化简．
2．logab·logba＝1的应用技巧
对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式logab·logba＝1化简．
3．指对互化的转化技巧
对于将指数恒等式ax＝by＝cz作为已知条件，求函数f(x，y，z)值的问题，通常设ax＝by＝cz＝k(k>0)，则x＝logak，y＝logbk，z＝logck，将x，y，z的值代入函数f(x，y，z)求解．
题型　对数函数的图象及应用
角度Ⅰ.对数函数图象过定点问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021江苏张家港模拟]若函数f(x)＝loga(x－2)＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(m，n)，则logmn＝________.
[答案]　1　[解析]　令x－2＝1，得x＝3，
则f(3)＝loga(3－2)＋3＝3，函数图象过定点(3,3)，
∴m＝3，n＝3，∴logmn＝1.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
函数y＝loga(x－m)＋n(a>0，且a≠1)的图象过定点(m＋1，n)．确定定点的方法：令x－m＝1，得x＝m＋1，此时y＝n，故函数图象过定点(m＋1，n)．
角度Ⅱ.对数函数图象的辨析
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
2．[2019浙江卷]在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)
[答案]　D　[解析]　当01时，函数y＝ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，于是函数y＝的图象过定点(0,1)，在R上单调递减，函数y＝loga的图象过定点，在上单调递增．显然A，B，C，D四个选项都不符合．故选D.
3．[2021山西吕梁模拟]函数y＝ln sin x(0[答案]　C
角度Ⅲ.利用对数函数图象求参数的范围
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．当0A． B．
C．(1，) D．(，2)
[答案]　B　[解析]　易知0则由题意可知只需满足loga>4，解得a>，
∴[探究

展开更多......

收起↑