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第四章　三角函数　解三角形
第一节　弧度制及任意角的三角函数
[复习要点]　1.了解任意角的概念和弧度制的概念．
2．能进行弧度与角度的互化．
3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
知识点一　角的概念
1．角的形成
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置________到另一个位置所成的________．
3．所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
答案：1.旋转　图形　2.逆时针　顺时针
知识点二　弧度的定义和公式
1．定义：长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2．公式：(1)弧度与角度的换算：360°＝________弧度，
180°＝________弧度；
(2)弧长公式：l＝________；
(3)扇形面积公式：S扇形＝________和S扇形＝________.
说明：(2)(3)公式中的α必须为弧度制！
答案：1.半径长　2.(1)2π　π　(2)|α|r　(3)lR　|α|R2
知识点三　任意角的三角函数
1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________(x≠0)．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示. 正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的________、________和________．
答案：1.y　x　　2.正弦线　余弦线　正切线
?链/接/教/材
1．[必修4·P10·A组T7改编]角－225°＝________弧度，这个角在第________象限．
答案：－　二
2．[必修4·P15·练习T2改编]设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________.
答案：
3．[必修4·P10·A组T6改编]一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．
答案：
?易/错/问/题
1．混淆几种角的概念：任意角；终边相同的角；象限角．
下列命题叙述正确的有________个．
①小于90°的角是锐角；
②终边相同的角相等；
③第二象限角大于第一象限角．
答案：0
2．三角函数概念理解误区：根据终边上的点P坐标求值．
(1)角α的三角函数值与终边上的点P的位置________关．(填“有”或“无”)
(2)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
(3)已知角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sin θ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．
答案：(1)无　(2)－8
(3)解：由题意得r＝，
所以sin θ＝＝m(m≠0)，
所以m＝±，
故角θ是第二或第三象限角．
当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，
所以cos θ＝＝＝－，
tan θ＝＝＝－.
当m＝－时，r＝2，
点P的坐标为(－，－)，
所以cos θ＝＝＝－，
tan θ＝＝＝.
综上可知，cos θ＝－，tan θ＝－或
cos θ＝－，tan θ＝.
?核/心/素/养
在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？
题型　任意角的概念
角度Ⅰ.区域角、象限角、终边相同的角
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，则角α的集合为________________________．
[答案]　{α|90°＋n·180°≤α≤135°＋n·180°，n∈Z}
2．下列各角中，与角330°的终边相同的是(　　)
A．150° B．－390°
C．510° D．－150°
[答案]　B
3．与－2 020°终边相同的最小正角是________．
[答案]　140°
4．已知角α是第三象限角，试判断：
(1)π－α是第几象限角？
(2)是第几象限角？
(3)2α是第几象限角？
[解]　(1)∵α是第三象限角，
∴2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，
∴－2kπ－<π－α<－2kπ，k∈Z，
∴π－α是第四象限角．
(2)∵kπ＋<∴是第二或第四象限角．
(3)∵4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z，
∴2α是第一或第二象限角或y轴非负半轴上的角．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
角α，β终边的位置关系
1．终边相同
α－β＝2k·180°，k∈Z；
2．终边互为反向延长线
α－β＝(2k＋1)·180°，k∈Z；
3．终边在一条直线上
α－β＝k·180°，k∈Z；
4．关于x轴对称
α＋β＝2k·180°，k∈Z；
5．关于y轴对称
α＋β＝(2k＋1)·180°，k∈Z.
[注意]　可在坐标系中画出角α，β的终边，根据图象判断角α，β的终边的位置关系．
角度Ⅱ.由条件确定角的象限
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．[2020全国卷Ⅱ理]若α为第四象限角，则(　　)
A．cos 2α>0 B．cos 2α<0
C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
[答案]　D　[解析]　本题考查象限角以及三角函数值的符号．因为α为第四象限角，所以－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，故－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，所以2α为第三、四象限角或y轴负半轴上的角．所以cos 2α的正负不确定，sin 2α<0，故选D.
6．已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x的可能区间是(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　D
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
三角函数值的符号及角的位置的判断
已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出该角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．
若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．
题型　扇形的弧长及面积公式
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．已知半径为1的扇形面积为π，则扇形的圆心角为(　　)
A．π B．π
C．π D．π
[答案]　B
2. [2021陕西山阳期末]如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α弧度，则＝________.
[答案]　　[解析]　设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2，
在Rt△POB中，PB＝rtan α，
则△POB的面积为r·rtan α，
由题意得r·rtan α＝2×αr2，
∴tan α＝2α，∴＝.
3．一扇形的圆心角为60°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．
[答案]　
4．已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.
(1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
[解]　(1)因为α＝100°＝100×＝，
所以S扇形＝l·r＝αr2＝××4＝.
(2)由题意知，l＋2r＝20，即l＝20－2r，
故S扇＝l·r＝(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，
当r＝5时，S的最大值为25，此时α＝＝2.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
题型　三角函数的定义
角度Ⅰ.三角函数的符号
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021湖北襄阳四校联考]△ABC为锐角三角形，若角θ的终边过点P(sin A－cos B，cos A－sin C)，则＋＋的值为(　　)
A．1 B．－1
C．3 D．－3
[答案]　B　[解析]　由△ABC为锐角三角形，可知A＋B>，即A>－B，又A，B∈，所以sin A>cos B，所以sin A－cos B>0，同理cos A－sin C<0，所以θ为第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0，所以＋＋＝－1＋1－1＝－1，故选B.
2．已知sin α<0，tan α>0.
(1)求角α的集合．
(2)求终边所在的象限．
(3)试判断tan sin cos 的符号．
[解]　(1)因为sin α<0且tan α>0，
所以α是第三象限角，故角α的集合为
.
(2)由(1)知，2kπ＋π<α<2kπ＋，
k∈Z，故kπ＋<当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋<<2nπ＋，n∈Z，即是第二象限角．
当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋<<2nπ＋，n∈Z，即是第四象限角．
综上，的终边在第二或第四象限．
(3)当是第二象限角时，tan<0，sin >0，cos<0，
故tansincos>0.
当是第四象限角时，tan<0，sin<0，cos>0，
故tansincos>0.
综上，tansincos取正号．
角度Ⅱ.根据三角函数的定义求值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[多选]已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(x0，y0)．若<α<，则(　　)
A．x0＋y0>0 B．x>y0
C．[答案]　ACD　[解析]　本题考查三角函数的定义、三角恒等变换公式及三角函数性质的综合应用．
由三角函数的定义得x0＝cos α，y0＝sin α，
则tan α＝，x0＋y0＝sin α＋cos α＝sin.
∵<α<，∴<α＋<π，
此时x0＋y0>0，故A正确．
由于x－y0＝cos2α－sin α＝1－sin2α－sin α＝－2＋.
∵<α<，∴sin α∈，
∴x－y0<0，故B错误．
∵tan α＝<0，y0＝sin α>0，
∴∵x0＝cos α<0，y0＝sin α>0，
∴x0y0<0，故D正确．故选ACD.
[关键点拨]若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为(x0，y0)，则sin α＝y0，cos α＝x0.
4．在直角坐标系中，P点的坐标为，Q是第三象限内一点，|OQ|＝1且∠POQ＝，则Q点的横坐标为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
[答案]　A　[解析]　设∠xOP＝α，则cos α＝，sin α＝，xQ＝cos＝×－×＝－.故选A.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法
(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．
(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．由tan α＝k，讨论α的象限，从而计算sin α，cos α的值．
角度Ⅲ.应用三角函数线解不等式
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．[2021浙江台州调研]已知θ∈[0，π)，若对任意的x∈[－1，0]，不等式x2cos θ＋(x＋1)2sin θ＋x2＋x>0恒成立，则实数θ的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　A　[解析]　令f(x)＝(cos θ＋sin θ＋1)x2＋(2sin θ＋1)x＋sin θ，
由θ∈[0，π)，知cos θ＋sin θ＋1>0恒成立，
若f(x)>0在[－1,0]上恒成立，
只需满足
得θ∈.
6．(1)不等式sin x≥的解集为________________．
(2)不等式cos x≥－的解集为________________．
(3)函数f(x)＝＋lg(2cos x－)的定义域为________________．
[答案]　(1){x
(2){x
(3){x
[解析]　(1)过点作平行于x轴的直线，交单位圆于点P1，P2，
则以OP1，OP2为终边的角的正弦值为，终边落在阴影部分的角的正弦值大于，
∴sin x≥的解集为{x.
(2)过点作垂直于x轴的直线与单位圆交于点Q1，Q2，
则以OQ1，OQ2为终边的角的余弦值为－，终边落在阴影部分的角的余弦值大于－.
∴cos x≥－的解集为{x.
(3)由得
在单位圆中分别画出不等式①②的解集对应的区域，其公共区域为不等式组的解集，
∴函数f(x)的定义域为{x.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
利用单位圆解不等式的步骤
(1)确定对应的三角方程区域的边界．
(2)正弦不等式口诀：大于取上边，小于取下边．
(3)余弦不等式口诀：大于取右边，小于取左边．
角度Ⅳ.三角函数在实际问题中的应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
7．如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD，AB＝120米，AD＝80米，以AD，BC为直径的半圆O1和半圆O2(半圆在矩形ABCD内部)为两个半圆形水上主题乐园，BC，CD，DA都建有围墙，游客只能从线段AB处进出该主题乐园．为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着，修建不锈钢护栏，沿着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口，其中E，F分别为，上的动点，EF∥AB，且线段EF与线段AB在圆心O1和O2连线的同侧．已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部分的平均修建费用为400元/米．
(1)若EF＝80米，则检票等候区域(其中阴影部分)面积为多少平方米？
(2)试确定点E的位置，使得修建费用最低．
[解]　(1)如图，设直线EF与矩形ABCD交于M，N两点，连接O1E，O2F，则ME＝20米，O1M＝20米．
梯形O1O2FE的面积为×(120＋80)×20＝2 000(平方米)，
矩形AO1O2B的面积为120×40＝4 800(平方米)，
由∠AO1E＝，得扇形O1AE和扇形O2FB的面积均为××402＝(平方米)，
故阴影部分面积为平方米．
(2)设∠AO1E＝θ，θ∈，
则＝＝40θ，
所以EF＝120－2×40sin θ＝120－80sin θ，
修建费用f(θ)＝200×80θ＋400×(120－80sin θ)＝16 000(θ＋3－2sin θ)，
所以f′(θ)＝16 000(1－2cos θ)，
令f′(θ)＝0，得θ＝，
当θ变化时，f′(θ)，f(θ)的变化情况如下表：
θ
f′(θ) － 0 ＋
f(θ) ? 极小值 ?
由上表可得当θ＝，即∠AO1E＝时，f(θ)有极小值，也为最小值．
故当∠AO1E为时，修建费用最低．
提醒 完成限时跟踪检测(十六)
第二节　同角三角函数的基本关系及诱导公式
[复习要点]　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
知识点一　同角三角函数的基本关系式
1．平方关系：________________.
2．商数关系：________.
答案：1.sin2α＋cos2α＝1　2.tan α＝
知识点二　六组诱导公式
角函数 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 ______ ______ ______ ______ ______ ______
余弦 ______ ______ ______ ______ ______ ______
正切 ______ ______ ______ ______ — —
答案：sin α　－sin α　－sin α　sin α　cos α　cos α　cos α　－cos α　cos α　－cos α　sin α　－sin α　tan α　tan α　－tan α　－tan α
?链/接/教/材
1．[必修4·P20·练习T1改编]已知sin α＝，≤α≤π，则tan α＝(　　)
A．－2 B．2
C． D．－
答案：D
2．[必修4·P29·B组T2改编]已知sin＝，那么cos α＝　(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案：C
3．[必修4·P20·练习T4改编]若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝________.
答案：2
?易/错/问/题
1．基本关系式的误区：公式形式误区；角的范围误区．
下列命题正确的有________．(填序号)
①若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1；
②若α∈R，则tan α＝恒成立；
③sin2α＋cos2α＝sin2θ＋cos2θ.
答案：③　解析：①只有当α＝β时，才有sin2α＋cos2β＝1；
②因为cos α≠0，所以α≠＋kπ，k∈Z；
③根据平方关系式，可得③正确．
2．诱导公式应用的常见两种错误：符号；函数名．
(1)若sin(3π＋θ)＝，则sin θ＝________.
(2)若cos＝m，则sin α＝________.
答案：(1)－　(2)－m　解析：(1)先应用诱导公式一，得sin(3π＋θ)＝sin(2π＋π＋θ)＝sin(π＋θ)；再应用公式二，得sin(π＋θ)＝－sin θ，故sin θ＝－.
(2)因为＋α可看作是第二象限角，所以cos＝－sin α，故sin α＝－m.
?通/性/通/法
1．诱导公式的应用原则：负化正，大化小，化到锐角为终了．
sin(－2 010°)的值是________．
答案：　解析：sin(－2 010°)＝－sin 2 010°＝－sin(5×360°＋210°)＝－sin 210°＝－sin(180°＋30°)＝sin 30°＝.
2．弦切互化．
(1)＝________.
(2)已知tan α＝2，求的值．
(1)答案：cos2α　解析：由sin2α＋cos2α＝1和＝tan α，得tan2αcos2α＋cos2α＝1，故＝cos2α.
(2)解：原式＝＝＝－.
题型　同角三角函数的基本关系
角度Ⅰ.利用sin2α＋cos2α＝1求三角函数值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin α＝(　　)
A．－ B．
C．± D．
[答案]　B
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
sin α，cos α与tan α三者中知一求二的解题策略
(1)已知sin α或cos α时，可通过sin2α＋cos2α＝1求出cos α或sin α，然后利用tan α＝求出tan α；
(2)已知tan α时，可以通过构造直角三角形，利用三角函数的定义求出sin α和cos α的绝对值，再根据角的范围写出最终结果．
(3)对常考的三角函数值形成条件反射：
2．[2021河南安阳模拟]若＝3，则cos α－2sin α＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D．－1或－
[答案]　C
方/法/总/结
已知asin α＋bcos α＝m(a，b，m为常数)，求tan α的解题策略
1．解方程组法
联立解方程组求得结论．
消元的小技巧：要解先变形为
或将①代入②中消元可以避免分数运算，提高运算速度和正确率．
2．“对偶式”法
第一步：构造“对偶式”bsin α－acos α＝x并将其平方，得b2sin2α－2absin αcos α＋a2cos2α＝x2；①
第二步：将asin α＋bcos α＝m平方，得a2sin2α＋2absin αcos α＋b2cos2α＝m2；②
第三步：①＋②，整理得a2(sin2α＋cos2α)＋b2(sin2α＋cos2α)＝m2＋x2，即a2＋b2＝m2＋x2，求得x；
第四步：解方程组求出sin α，cos α，进而求出tan α.
3．“弦化切”法
第一步：将asin α＋bcos α＝m平方，得a2sin2α＋2absin αcos α＋b2cos2α＝m2；
第二步：“弦化切”，得＝m2，解方程求出tan α.
特别地：若asin α＋bcos α＝时，此时sin α＝，cos α＝.
角度Ⅱ.弦化切及“1”的应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2021山西康杰中学等五校联考]已知tan θ＝2，则＋sin2θ的值为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　C　[解析]　解法一：＋sin2θ＝＋＝＋，
将tan θ＝2代入，得原式＝，故选C.
解法二：tan θ＝2＝，在平面直角坐标系xOy中，不妨设θ为锐角，角θ的顶点与原点O重合，
始边与x轴的非负半轴重合，在终边上取点P(1,2)．
则|OP|＝，
由三角函数的定义，得sin θ＝，cos θ＝，
所以＋sin2θ＝＋2＝，故选C.
4．[2021安徽皖南八校第一次联考]已知θ∈，且＋＝35，则tan 2θ＝(　　)
A． B．
C．± D．±
[答案]　D　[解析]　依题意，得
12(sin θ＋cos θ)＝35sin θcos θ，
令sin θ＋cos θ＝t，
∵θ∈，∴t>0，
则原式化为12t＝35·，
解得t＝或t＝－(舍去)，
故sin θ＋cos θ＝，
则sin θcos θ＝，
即＝，
即＝，12tan2θ－25tan θ＋12＝0，
解得tan θ＝或，
则tan 2θ＝＝±，故选D.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略
已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的值．
1．类型一
所求式子为关于sin α与cos α的齐n次分式．
方法：
将分子、分母同除以cosnα，转化为关于tan α的式子，代入求解即可．
当分子或分母中含常数时，可利用1＝sin2α＋cos2α将式子转化为齐次式．
2．类型二
所求式子为关于sin α与cos α的齐二次整式．
方法：
将这个整式看作分母为1的分式，然后将分母1替换成sin2α＋cos2α，再将分子、分母同时除以cos2α，转化为关于tan α的式子，代入求解即可．
当求sin α±cos α时，可将该式平方，转化为齐二次整式求出结果后，再开方得出该式的值．
角度Ⅲ.sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α
知一求二
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　)
A．1＋ B．1－
C．1± D．－1－
[答案]　B
6．已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.
(1)求sin x－cos x的值；
(2)求的值．
[答案]　(1)－　(2)－
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
(1)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，均可利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α求出另外两个式子的值．
(2)当已知sin α＋cos α，sin αcos α其中一个式子求sin α，cos α时，可根据sin α，cos α是方程x2－(sin α＋cos α)x＋sin αcos α＝0的两根求得结果．
[注意]　遇到a＋b，a·b同时出现时，要联想到一元二次方程x2－(a＋b)x＋ab＝0的根．
题型　三角函数诱导公式及其应用
角度Ⅰ.利用诱导公式化简求值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021河北邯郸重点中学联考]已知3sin＝－5cos，则tan＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
[答案]　A　[解析]　由3sin＝－5cos，
得sin＝－cos，
所以tan＝＝－.
2．已知cos 29°＝a，则sin 241°·tan 151°的值是(　　)
A． B．
C．－ D．－
[答案]　B
3．[2021河南洛阳阶段性测试]在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P(3,4)，则sin＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
[答案]　B　[解析]　∵角α的终边经过点P(3,4)，
∴sin α＝，cos α＝.
∴sin
＝－sin
＝－sin＝－cos α
＝－.
故选B.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
利用诱导公式化简求值
第一步：负化正，将负角的三角函数化为正角的三角函数；
第二步：大化小，将大于360°的角的三角函数化为0°～360°角的三角函数；
第三步：小化锐，将大于90°的角的三角函数化为0°～90°角的三角函数；
第四步：锐求值，得到0°～90°角的三角函数后直接求值．
角度Ⅱ.利用角之间的关系求值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．[多选]定义角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　)
A．sin β＝ B．cos(π＋β)＝
C．tan β＝ D．tan β＝
[答案]　AC　[解析]　本题考查三角函数诱导公式及同角三角函数关系的应用．
∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝.
若α＋β＝，则β＝－α.
∴sin β＝sin＝cos α＝±，故A正确；
由cos(π＋β)＝cos＝－sin α＝－，故B不正确；
由tan β＝，得sin β＝cos β，
又sin2β＋cos2β＝1，
∴sin β＝±，故C正确；
由tan β＝，得sin β＝cos β，
又sin2β＋cos2β＝1，
∴sin β＝±，故D不正确．故选AC.
5．已知sin＝，则cos的值为(　　)
A． B．－
C．－ D．
[答案]　B
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
1．常见的互余角
－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α.
2．常见的互补角
＋α与－α，＋α与－α.
3．三角形中的三角函数关系式
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C；
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C；
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C；
sin＝sin＝cos ；
cos＝cos＝sin .
题型　同角三角函数关系及诱导公式的灵活应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．已知sin α＝，求tan(α＋π)＋的值．
[解]　因为sin α＝>0，
所以α为第一或第二象限角，
tan(α＋π)＋
＝tan α＋
＝＋
＝.
(1)当α是第一象限角时，cos α＝＝，
原式＝＝.
(2)当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，
原式＝＝－.
综合(1)(2)知，原式＝或－.
2．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
[解]　假设存在角α，β满足条件．
由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝，∴sin α＝±.
∵α∈，∴α＝±.
当α＝时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；
当α＝－时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝，β＝满足条件．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
同角三角函数基本关系在求值与化简时的常用方法
1．弦切互化法
主要利用公式tan x＝进行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等类型可进行弦化切．
2．和积转换法
对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．
3．巧用“1”的变换
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan ＝…
提醒 完成限时跟踪检测(十七)
第三节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式
[复习要点]　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．会利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3．会利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)
知识点一　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
知识点二　二倍角的正弦、余弦和正切公式
公式名 公式
二倍角的正弦 sin 2α＝____________
二倍角的余弦 cos 2α＝____________＝____________＝____________
二倍角的正切 tan 2α＝____________
答案：2sin αcos α　cos2α－sin2α　1－2sin2α　2cos2α－1　
?链/接/教/材
1．[必修4·P135·练习T2改编]已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案：A
2．[必修4·P129·例3改编]若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案：C
3．[必修4·P131·练习T5改编]计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝________.
答案：
?通/性/通/法
辅助角公式．
(1)函数f(x)＝sin x＋cos x的最大值为________．
(2)一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝________或f(α)＝________.
(1)答案：　解析：sin x＋cos x
＝
＝sin≤ .
(2)答案：sin(α＋φ)　cos(α－φ)
?核/心/素/养
已知：①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1，②tan 5°tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1，③tan 20°tan 30°＋tan 30°tan 40°＋tan 40°tan 20°＝1成立，由此得到一个由特殊到一般的推广．此推广是什么？并证明．
解：观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°，20°＋30°＋40°＝90°，
猜想此推广为：若α＋β＋γ＝90°，且α，β，γ都不为k·180°＋90°(k∈Z)，
则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.
证明如下：
因为α＋β＋γ＝90°，
所以β＝90°－(α＋γ)，
故tan β＝tan[90°－(α＋γ)]
＝＝
＝＝.
所以tan αtan β＋tan βtan γ＝1－tan γtan α，
即tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.
题型　两角和与差公式的应用
角度Ⅰ.两角和与差公式的基本应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2020全国卷Ⅲ，文]已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　B　[解析]　本题考查两角和的正弦公式以及辅助角公式．
因为sin θ＋sin
＝sin θ＋sin θ＋cos θ
＝sin θ＋cos θ
＝sin
＝1，
所以sin＝.故选B.
2．[2020全国卷Ⅲ，理]已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案]　D　[解析]　本题考查两角和的正切公式的应用．∵2tan θ－tan＝7，
∴2tan θ－＝7，
∴2tan θ－2tan2θ－1－tan θ＝7－7tan θ，
即tan2θ－4tan θ＋4＝0，解得tan θ＝2.
角度Ⅱ.两角和与差公式的逆用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．
[答案]　[－1,1]　[解析]　由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，
又α，β∈[0，π]，∴－π≤α－β≤π，
∴α－β＝，
∴即≤α≤π，
∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)
＝sin＋sin(α－2α＋π)
＝cos α＋sin α＝sin.
∵≤α≤π，
∴≤α＋≤，
∴－1≤sin≤1，
即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1,1]．
4．[多选]已知0<θ<，若sin 2θ＝m，cos 2θ＝n，且m≠n，则下列选项中与tan恒相等的有(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　AD　[解析]　本题考查同角三角函数基本关系及两角差的正切公式的应用．由题意知，tan＝＝＝
＝＝.
又知tan＝
＝＝
＝＝，
则AD正确．故选AD.
5．[2021山西质检]已知sin 10°＋mcos 10°＝2cos 140°，则m＝________.
[答案]　－　[解析]　由题可得
m＝
＝
＝
＝＝－.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
1．公式的逆用变形
(1)两角和与差公式的逆用：cos αcos β±sin αsin β＝cos(α β)，sin αcos β±cos αsin β＝sin(α±β)；
(2)正切公式的变形应用：tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)．
2．三角形中的常见变形
角度Ⅲ.辅助角公式：asin α＋bcos α＝·sin(α＋φ)的应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.
[答案]　－　[解析]　由辅助角公式，得
f(x)＝·＝sin(x－φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝，
由x＝θ时，f(x)取得最大值，
得sin(θ－φ)＝1，
∴θ－φ＝2kπ＋，k∈Z，
即θ＝φ＋＋2kπ，k∈Z，
∴cos θ＝cos＝－sin φ＝－.
7．[2021浙江绍兴诸暨中学质检]＝________.
[答案]　－4　[解析]　原式＝
＝
＝＝－4.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
辅助角公式常用结论
(1)sin x±cos x＝2sin
(2)sin x±cos x＝2sin
(3)sin x±cos x＝sin
[注意]　利用辅助角公式化简asin x＋bcos x时，通常先化成正弦的形式，如果需要化成余弦，可再用诱导公式进行转化．
题型　二倍角公式的应用
角度Ⅰ.二倍角正弦公式的应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．若cos＝，则sin 2α＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
[答案]　D　[解析]　解法一：sin 2α＝cos＝cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－.故选D.
解法二：cos＝(cos α＋sin α)＝ cos α＋sin α＝ 1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝－.故选D.
2．[2021安徽怀远一中月考]sin 10°sin 50°sin 70°＝________.
[答案]　　[解析]　sin 10°sin 50°sin 70°
＝sin 10°cos 40°cos 20°＝
＝＝.
角度Ⅱ.二倍角余弦公式的应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2020江苏卷]已知sin2＝，则sin 2α的值是________．
[答案]　　[解析]　∵sin2＝＝＝，∴sin 2α＝.
4．[2020全国卷Ⅰ，理]已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　A　[解析]　本题考查三角恒等变换以及同角三角函数基本关系．
因为3cos 2α－8cos α＝5，
所以3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
即3cos2α－4cos α－4＝0，
即(3cos α＋2)(cos α－2)＝0，
解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．
又α∈(0，π)，所以sin α＝＝，故选A.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
二倍角正、余弦公式的常见变换方式
1．配方变换
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2.
2．因式分解变换
cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．
3．降幂扩角变换
cos2α＝，sin2α＝.
4．升幂缩角变换
1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.
5．变式变换
cos α＝，sin α＝.
角度Ⅲ.二倍角正切公式的应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．[2021广东揭阳模拟]已知f(x)＝sin x－cos x，实数α满足f′(α)＝3f(α)，则tan 2α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
[答案]　A　[解析]　由题意可得
f′(x)＝cos x＋sin x，∴f′(α)＝cos α＋sin α.
由f′(α)＝3f(α)，得cos α＋sin α＝3sin α－3cos α，
∴2sin α＝4cos α，即tan α＝2.
∴tan 2α＝＝＝－，
故选A.
6．[2021河南顶级名校联考]若＝2 020，则＋tan 2α＝(　　)
A．2 021 B．2 020
C．2 019 D．1 004
[答案]　B　[解析]　＋tan 2α
＝＋＝
＝＝
＝＝＝2 020，故选B.
角度Ⅳ.三角恒等变换公式的综合应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
7．在△ABC中，若lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差数列，且三个内角A，B，C也成等差数列，则△ABC的形状为________．
[答案]　等边三角形　[解析]　因为lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差数列，
得lg sin A＋lg sin C＝2lg sin B，
即sin2B＝sin Asin C．①
又三内角A，B，C也成等差数列，
所以B＝60°.
代入①得sin Asin C＝.②
假设A＝60°－α，C＝60°＋α.
代入②得sin(60°＋α)sin(60°－α)＝.
展开得，cos2α－sin2α＝.
即cos2α＝1.所以α＝0°.
所以A＝B＝C＝60°.
故答案为等边三角形．
8．已知α，β∈，tan(α＋β)＝9tan β，则tan α的最大值为________．
[答案]　　[解析]　∵α，β∈，
∴tan α>0，tan β>0，
∴tan α＝tan(α＋β－β)＝
＝＝≤＝
，
∴(tan α)max＝.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路
1．角的变换
明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．
2．名的变换
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
题型　三角函数式的化简求值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021江苏南京师大附中模拟]在△ABC中，已知sin A＝13sin Bsin C，cos A＝13cos Bcos C，则tan A＋tan B＋tan C的值为________．
[答案]　196　[解析]　由题意知，cos A，cos B，cos C均不为0，
由sin A＝13sin Bsin C，
cos A＝13cos Bcos C，
得tan A＝tan Btan C．
又因为cos A＝13cos Bcos C，
且cos A＝－cos(B＋C)＝sin Bsin C－cos Bcos C，
所以sin Bsin C＝14cos Bcos C，
所以tan Btan C＝14.
又tan B＋tan C
＝tan(B＋C)(1－tan Btan C)
＝－tan A(1－tan Btan C)，
所以tan A＋tan B＋tan C
＝tan Atan Btan C
＝196.
2．[2021山东淄博模拟]2＋＝(　　)
A．2cos 2 B．2sin 2
C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2
[答案]　B　[解析]　2＋
＝2＋
＝2＋
＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|，
∵<2<，
∴2是第二象限角，
∴cos 2<0.
∵<2＋<π，
∴sin 2＋cos 2＝sin>0，
∴原式＝2－2cos 2＝2sin 2.
故选B.
3．求值：－sin 10°.
[答案]　
4．化简：.
[解]　原式＝
＝
＝
＝＝
＝＝cos 2x.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
三角函数式的化简目标
(1)项数尽可能少；
(2)三角函数名称尽可能少；
(3)角尽可能小和少；
(4)次数尽可能低；
(5)分母尽可能不含三角式；
(6)尽可能不带根号；
(7)能求出值的求出值．
提醒 完成限时跟踪检测(十八)
第四节　简单的三角恒等变换
[复习要点]　能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．
知识点　半角公式(不要求记忆)
1．sin ＝________；
2．cos ＝________；
3．tan ＝________＝＝.
答案：1.±　2.±　3.±
?链/接/教/材
1．[必修4·P143·B组T2]若sin 76°＝m，则cos 7°＝________(用含m的式子表示)．
答案：　解析：由于76＋2×7＝90，所以sin 76°＝sin(90°－14°)＝cos 14°＝m，即2cos27°－1＝m，得cos 7°＝.
2．[必修4·P147·B组T4]已知cos＝，答案：－　解析：
＝＝
＝sin 2x·＝sin 2x·tan.
由又cos＝，
所以sin＝－，tan＝－.
cos x＝cos＝－，
sin x＝－，sin 2x＝.
所以＝－.
?易/错/问/题
倍角公式中的特殊情形．
判断正误：
(1)存在实数α，使cos 2α＝2cos α.(　　)
(2)存在实数α，使sin 2α＝2sin α.(　　)
(3)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)√
?核/心/素/养
[2021山东济南模拟]广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2 m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，∠ACB＝，记该设施平面图的面积为S(x) m2，∠AOB＝x rad，其中(1)写出S(x)关于x的函数关系式；
(2)如何设计∠AOB，使得S(x)有最大值？
解：(1)因为扇形AOB的半径为2 m，∠AOB＝x rad，
所以S扇形＝x·22＝2x，
过点B作边AC的垂线，垂足为点D，如图所示．
则∠BOD＝π－x，
所以BD＝2sin(π－x)＝2sin x，
OD＝2cos(π－x)＝－2cos x，
因为∠ACB＝，
所以CD＝BD＝2sin x，
所以S△BOC＝CO·BD
＝(2sin x－2cos x)×2sin x
＝2sin2x－2sin xcos x
＝1－cos 2x－sin 2x，
所以S(x)＝1－cos 2x－sin 2x＋2x，x∈.
(2)根据(1)，得到S(x)＝1－cos 2x－sin 2x＋2x，
所以S′(x)＝2sin 2x－2cos 2x＋2，
令S′(x)＝0，
所以2sin＝－2，
所以sin＝－，
又所以x＝，根据实际意义知，当x＝时，该函数取得最大值，故设计∠AOB＝，此时S(x)有最大值．
题型　三角函数的条件求值问题
角度Ⅰ.给角求值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1.的值为(　　)
A．1 B．－1
C． D．－
[答案]　D
2．cos 20°cos 40°cos 80°＝________.
[探究]　(1)sin 6°cos 24°sin 78°cos 48°＝________.
(2)cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝________.
[答案]　　[解析]　解法一：cos 20°cos 40°·cos 80°＝
＝
＝
＝＝.
解法二：令a＝cos 20°cos 40°cos 80°，
b＝sin 20°sin 40°sin 80°，
显然b≠0，
则ab＝cos 20°cos 40°cos 80°sin 20°·sin 40°sin 80°
＝sin 40°×sin 80°×sin 160°
＝sin 40°sin 80°sin 160°
＝sin 40°sin 80°sin 20°
＝b，
即ab＝b，
∴a＝，故原式＝.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解．
角度Ⅱ.给值求值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2021湖南炎德英才大联考]设α是锐角，且cos＝，则sin的值为________．
[答案]　　[解析]　由于cos＝，
所以cos＝2cos2－1
＝2×2－1＝－，∵α为锐角，
且cos＝>0，∴0<α＋<，
∴0<α<，∴<2α＋<π，
∴sin＝.
∴sin＝sin
＝sin·cos－cossin
＝×－×＝.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
已知角α＋与所求角2α＋之间没有直接关系，因此要另辟蹊径，观察系数变化发现二倍角的关系，2α＋＝2－.另：角的范围的讨论是确定符号的关键．
需形成条件反射的特殊角的拆分：
＝＋，＝＋，＝－.
4．[2021河南郑州第一中学月考]设α，β为锐角，且2α－β＝，＝1，则x＝(　　)
A．1 B．2
C． D．
[答案]　A　[解析]　∵2α－β＝，
∴β＝2α－，∴＝1，
即＝1，
∴x＝cos 2α＋tan αsin 2α＝cos 2α＋2sin2α＝1，故选A.
方/法/总/结(来自课堂的最有用的方法)
1．常用的角的代换
单角化复角：α＝(α＋β)－β＝＋
单角化倍角：α＝2×
倍角化复角：2α＝(α＋β)＋(α－β)＝－
2．给值求值问题的解题策略
已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值．
解题关键：把“所求角”用“已知角”表示．
(1)当“已知角”有两个时， “所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式或者和或差的二倍形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解．
角度Ⅲ.给值求角问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，
则2α－β＝________.
[答案]　－　[解析]　∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝<1，α∈(0，π)，
∴0<α<，
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝
＝＝1.
∵0<β<π，tan β＝－<0，
∴<β<π.
又0<α<，∴－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
6．[2021安徽安庆模拟]设α∈，β∈，且cos β＝tan α(1＋sin β)，则(　　)
A．α－β＝ B．α＋β＝
C．2α－β＝ D．2α＋β＝
[答案]　D　[解析]　由cos β＝tan α(1＋sin β)，可得 cos β＝(1＋sin β)，整理得cos αcos β－sin αsin β＝sin α＝cos，即cos(α＋β)＝cos.又α∈，β∈，则α＋β∈(0，π)，－α∈.故α＋β ＝－α，即2α＋β＝.故选D.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
已知某些角的三角函数值，求相关角的大小
“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围)，在选取函数时，遵循以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数．
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数；若角的范围为，选正弦函数．
(3)谨记“给值求角”问题口诀
求角大小象限定，函数转化标准型．
题型　利用三角恒等变换化简与证明
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．化简：(0<θ<π)＝________.
[答案]　－cos θ　[解析]　
原式＝
＝cos·＝.
∵0<θ<π，∴0<<，∴cos>0，∴原式＝－cos θ.
2．证明：cos θ－cos φ＝－2sin sin .
[证明]　因为θ＝＋，φ＝－，
所以cos θ－cos φ
＝cos－cos
＝coscos－sinsin－coscos－sin ·sin
＝－2sin sin .
3．证明：＝.
[证明]　证法一：等式左边＝
＝
＝＝
＝＝＝，
等式右边＝＝.
∴左边＝右边，∴原等式成立．
证法二：等式左边＝
＝
＝
＝＝，
则原等式等价于＝，
即sin2x＝(1＋cos x)(1－cos x)，
即sin2x＝1－cos2x，
即sin2x＋cos2x＝1，该等式恒成立，
∴原等式成立．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
三角恒等式的证明策略
1．绝对三角恒等式的证明
(1)由繁杂的式子证到简单的式子；
(2)证明左右两边等于同一式子；
(3)证明与原恒等式等价的式子，从而推出原式成立．
2．条件三角恒等式的证明
分析已知条件与所证等式的特点、角的关系，寻找证明突破口，常用的方法有：代入法、消元法、两头凑法．
题型　利用三角恒等变换解决实际问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．如图，在矩形OABC中，AB＝1，OA＝2，以B为圆心，BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，PM⊥OA，垂足为M，PN⊥OC，垂足为N，求四边形OMPN的周长的最小值．
[解]　连接BP，设∠CBP＝α，其中0≤α<，
则PM＝1－sin α，PN＝2－cos α，
则四边形DMPN的周长
C＝6－2(sin α＋cos α)＝6－2sin，
因为0≤α<，所以≤α＋<，
故当α＋＝，即α＝时，周长C有最小值6－2.
[探究]　若本例题中条件“OA＝2”改为“OA＝1”，其他条件不变，求四边形OMPN面积的最大值．
[解]　连接BP，设∠CBP＝α，其中0<α<，
则PM＝1－sin α，PN＝1－cos α，
四边形OMPN的面积
S＝(1－sin α)(1－cos α)＝1－(sin α＋cos α)＋sin αcos α，
令sin α＋cos α＝t，
则sin αcos α＝(t2－1)，
S＝1－t＋(t2－1)＝(t－1)2，
因为t＝sin α＋cos α＝sin，
由0<α<，得<α＋<，
所以sin∈，
所以t∈(1， ]，
当t＝，即α＝时，Smax＝－.
2．如图是半径为1的半圆，且四边形PQRS是半圆的内接矩形，设∠SOP＝α，求α为何值时矩形的面积最大，并求出最大值．
[解]　因为∠SOP＝α，
所以PS＝sin α，SR＝2cos α，
故S矩形PQRS＝SR·PS＝2cos α·sin α＝sin 2α，
故当α＝时，矩形的面积有最大值1.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
三角函数应用题的处理方法
(1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题．
(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的范围，最后得出结论并回答问题．
题型　三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用
角度Ⅰ.利用三角恒等变换研究三角函数的图
象变换问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[多选][2021山东重点中学第一次联考]若对于任意x∈R都有f(x)＋2f(－x)＝3cos x－sin x，则函数f(2x)图象的对称中心可以为(　　)
A．(k∈Z) B．(k∈Z)
C．(k∈Z) D．(k∈Z)
[答案]　BCD　[解析]　因为f(x)＋2f(－x)＝3cos x－sin x，x∈R，
所以f(－x)＋2f(x)＝3cos x＋sin x.
解得f(x)＝cos x＋sin x＝sin，
所以f(2x)＝sin.
令2x＋＝nπ(n∈Z)，得x＝－(n∈Z)，故D正确．
若n＝2k时，x＝kπ－，k∈Z；若n＝2k＋1时，y＝kπ＋，k∈Z，从而BC也正确．
2．已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，若其图象是由y＝sin 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位得到的，则φ的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　C
角度Ⅱ.利用三角恒等变换研究三角函数的性质问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．已知函数f(x)＝(sin ωx－cos ωx)cos ωx＋(ω>0)的图象的一条对称轴为x＝π.
(1)求ω的最小值；
(2)当ω取最小值时，若f＝，－<α<0，求sin的值．
[解]　(1)f(x)＝(sin ωx－cos ωx)cos ωx＋＝sin ωxcos ωx－cos2ωx＋＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin.
因为函数f(x)的图象的一条对称轴为x＝π，
所以πω－＝＋kπ(k∈Z)，
所以ω＝1＋k(k∈Z)．
又ω>0，所以ω的最小值为1.
(2)由(1)知f(x)＝sin.
则f＝sin＝sin＝.
因为－<α<0，
所以－<α＋<，
所以cos>0，
则cos＝.
所以sin
＝sin
＝－sin－cos
＝－2sincos－2cos2＋1
＝－2××－2×2＋1
＝－.
4．[2016天津卷]已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
[解]　(1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x
＝2sin.
所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，函数y＝2sin z的单调递增区间是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，B＝{x，
易知A∩B＝.
所以，当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
求与三角函数有关的函数的周期、单调区间、对称轴、对称中心和值域等问题时，一般先要转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式．
解答此类题目的步骤
第一步：将f(x)化为asin x＋bcos x＋k的形式；
第二步：构造f(x)＝＋k；
第三步：逆用和差公式得f(x)＝sin(x＋φ)＋k或f(x)＝cos(x－φ′)＋k；
第四步：研究f(x)＝sin(x＋φ)＋k或f(x)＝cos(x－φ′)＋k的性质．
提醒 完成限时跟踪检测(十九)
第五节　三角函数的图象与性质
[复习要点]　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．
知识点　正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 x∈R x∈R {x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}
值域 ________ ________ ________
单调性 在______________上递增；在______________上递减 在______________上递增；在______________上递减 在____________上递增
最值 x＝__________时，ymax＝1；x＝__________时，ymin＝－1 x＝________时，ymax＝1；x＝________时，ymin＝－1 无最值
奇偶性 ________ ________ ________
对称性 对称中心 ________ ________ ________
对称轴 ________ ________ 无对称轴
最小正周期 ________ ________ ________
答案：[－1,1]　[－1,1]　R　(k∈Z)
＋2kπ，＋2kπ ](k∈Z)　[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)
[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)　＋kπ，(k∈Z)　＋2kπ(k∈Z)　－＋2kπ(k∈Z)　2kπ(k∈Z)
π＋2kπ(k∈Z)　奇　偶　奇　(kπ，0)，k∈Z　，k∈Z　，k∈Z　x＝kπ＋，k∈Z　x＝kπ，k∈Z　2π　2π　π
?链/接/教/材
1．[必修4·P46·A组T2,3改编]若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)
A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2
答案：A
2．[必修4·P40·练习T4改编]下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(　　)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在和上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在和上是增函数，在上是减函数
[答案]　B
3．[必修4·P38·例3改编]函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________________.
答案：5　＋2kπ，k∈Z
?易/错/问/题
1．单调性问题中的误区：单调区间表达不全；忽略影响单调性的符号．
(1)函数y＝2sin x－1的单调递增区间是____________．
(2)函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
(1)答案：(k∈Z)　解析：(1)函数 y＝2sin x－1的单调性与正弦函数y＝sin x单调性一致．
(2)答案：(k∈Z)　解析：已知函数可化为f(x)＝－sin，欲求f(x)的单调减区间，只需求y＝sin的单调递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所给函数的单调减区间为(k∈Z)．
2．影响奇偶性判断的两个因素：函数化简有误；不注意定义域．
下面两题请填“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶函数”中的一个．
(1)函数y＝sin是________．
(2)函数f(x)＝|sin x|＋cos x，x∈[－π，π)是________．
(1)答案：偶函数　解析：因为y＝sin＝sin＝－sin＝－cos x，则函数y＝sin是偶函数．
(2)答案：非奇非偶函数　解析：因为函数的定义域不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性．
?通/性/通/法
1．求三角函数最值(值域)的两种方法：化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式来求；换元法．
(1)函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．
(2)已知x∈，则函数y＝－cos2x＋cos x＋1的最小值为________．
(1)答案：－ 　解析：由x∈，
得2x－∈，
所以sin∈，
故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.
(2)答案：　解析：y＝－cos2x＋cos x＋1＝－2＋，令t＝cos x，
因为x∈，所以－≤t≤，
所以当t＝cos x＝－时，
ymin＝－2＋＝.
2．(1)正、余弦函数中每一条经过其最值点且垂直于x轴的直线都是它的________，也就是说正、余弦函数在对称轴处取得________________．
(2)[多选]若函数f(x)＝2sin(4x＋φ)(φ<0)的图象关于直线x＝对称，则φ的取值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
(1)答案：对称轴　最大值或最小值
(2)答案：AB　解析：由题可得，4×＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，∵φ<0，∴k＝－1时，φ＝－，k＝－2时，φ＝－，选AB.
题型　三角函数的值域与最值
角度Ⅰ.在给定区间上的最值问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．函数f(x)＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________．
[答案]　2－
2．已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x＋m(m∈R)的图象过点M，则m＝________.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若ccos B＋bcos C＝2acos B，则f(A)的取值范围是________．
[答案]　　　[解析]　f(x)＝sin xcos x
－cos2x＋m＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋m＝sin 2x－cos 2x－＋m＝sin－＋m.
因为函数图象过点M，
所以sin－＋m＝0，解得m＝.
所以f(x)＝sin，f(A)＝sin.
由ccos B＋bcos C＝2acos B结合正弦定理可得sin Ccos B＋cos Csin B＝2sin Acos B．
因为sin Ccos B＋cos Csin B＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，所以sin A＝2sin Acos B．
因为△ABC中，sin A>0，
所以cos B＝，得B＝，
所以A∈，
所以－<2A－<.
所以－因此f(A)的取值范围为.
3．[多选]已知函数f(x)＝sin x·sin－的定义域为[m，n]，值域为，则n－m的值不可能是(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　CD　[解析]　由题可知，f(x)＝sin，x∈[m，n]，令t＝2x－，则t∈，y＝sin t的图象如图所示，要使 f(x)∈，则由函数的周期性，不妨取t∈，使sin t ∈即可．
当t＝2m－＝π，即m＝时，2n－∈，
∴n∈，
∴n－m∈.
当t＝2n－＝π，
即n＝π时，2m－∈，
∴m∈，∴n－m∈.
综上，n－m∈，故不可能的有CD.
角度Ⅱ.转化为二次函数求最值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．已知函数f(x)＝log0.5(sin x＋cos2x－1)，x∈，则f(x)的值域是(　　)
A．(－∞，2] B．(－∞，－2]
C．[2，＋∞) D．[－2，＋∞)
[答案]　C
5．已知f(x)＝sin x＋cos x＋2sin xcos x，若 t∈R，x∈R，asin t＋3a＋1≥f(x)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0，＋∞) B．
C． D．[，＋∞)
[答案]　B　[解析]　令m＝sin x＋cos x，
则|m|≤，2sin xcos x＝m2－1，
∴sin x＋cos x＋2sin xcos x＝m＋m2－1，
设g(m)＝m2＋m－1，－≤m≤，
则g(m)＝m2＋m－1＝2－，
∴函数g(m)在上单调递减，
在上单调递增，
且g(－)＝1－，g()＝1＋，
∴g(m)max＝1＋.
∵ t∈R，x∈R，asin t＋3a＋1≥f(x)恒成立，
∴asin t＋3a＋1≥1＋，
又∵－1≤sin t≤1，∴3＋sin t>0，
∴a≥恒成立，
∴a≥max.
∵当sin t＝－1时，取得最大值，
∴a≥.故选B.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
利用换元法解决最值问题的常见题型及解决办法
题型(x∈R) 解决办法
y＝asin2x＋bsin x＋c或y＝acos2x＋bcos x＋c 可设sin x＝t或cos x＝t，t∈[－1，1]，将问题转化为二次函数在特定区间上的最值问题
y＝asin2x＋bcos x＋c或y＝acos2x＋bsin x＋c 利用sin2x＋cos2x＝1化为上述形式
y＝asin x＋bcos 2x＋c或y＝acos x＋bcos 2x＋c 利用cos 2x＝1－2sin2x＝2cos2x－1化为上述形式
y＝a(sin x±cos x)＋bsin xcos x 可令t＝sin x±cos x，|t|≤，则sin xcos x＝±，将问题转化为函数y＝±b＋at在特定区间上的最值问题
[注意]　在解题过程中要注意根据已知条件确定新元的取值范围．
角度Ⅲ.根据正、余弦函数的有界性求最值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．函数y＝的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．不存在
[答案]　C　[解析]　解法一：将原式变形，得y(2－cos x)＝2＋cos x，
即(y＋1)cos x＝2y－2，
当y＝－1时，等式不成立，
∴y≠－1，∴cos x＝.
∵|cos x|≤1，∴≤1，
即|2y－2|≤|y＋1|，
即4y2－8y＋4≤y2＋2y＋1，
解得≤y≤3.
∴函数y＝的最大值为3.
故选C.
解法二：函数y＝
＝
＝－1＋.
∵－1≤cos x≤1，∴1≤2－cos x≤3，
∴≤≤4，即≤y≤3，
∴函数y＝的最大值为3，
故选C.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
求形如y＝或y＝的函数的最值时，把代数式中的sin x或cos x反解出来，根据有界性，得到关于y的不等式即可．
角度Ⅳ.利用化一法解决最值问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
7．[2020北京卷]若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为______________________________________．
[答案]　　
[解析]　本题考查三角恒等变换及辅助角公式的应用．
f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x
＝sin xcos φ＋cos xsin φ＋cos x
＝cos φsin x＋(sin φ＋1)cos x
＝sin(x＋θ)
，
由f(x)的最大值为2得＝2，
化简可得sin φ＝1，则φ可为，
其取值满足φ＝＋2kπ(k∈Z)即可．
8．[2018北京卷]已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
[解]　(1)因为f(x)
＝sin2x＋sin xcos x
＝－cos 2x＋sin 2x
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－.
要使f(x)在区间上的最大值为，
即sin在区间上的最大值为1.
所以2m－≥，即m≥.
所以m的最小值为.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
利用化一法解决最值问题的常见题型及解决办法
(1)求形如y＝asin x＋bcos x的函数的最值：引入辅助角，转化为y＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，再利用三角函数的单调性求最值，但要注意角的范围．
(2)求形如y＝asin2x＋bcos2x＋csin xcos x＋d的函数的最值：该式为关于sin x，cos x的二次齐次式，首先通过正、余弦的降幂公式及正弦的倍角公式：cos2x＝，sin2x＝，sin xcos x＝sin 2x将函数转化为y＝msin 2x＋ncos 2x＋p的形式，然后根据辅助角公式将函数化为“一角一名一次”的形式，即可求得函数的最值．
角度Ⅴ.与最值有关的参数问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
9．将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　D　[解析]　由已知得g(x)＝sin(2x－2φ)，满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设此时y＝f(x)和y＝g(x)分别取得最大值与最小值，
又|x1－x2|min＝，令2x1＝，2x2－2φ＝－，
此时|x1－x2|＝＝，
又0<φ<，故φ＝，故选D.
10．已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是， 则实数a的取值范围是________．
[答案]　　[解析]　∵x∈，
∴x＋∈，
∵当x＋∈时，f(x)的值域为，∴结合函数的图象知≤a＋≤，∴≤a≤π.
题型　三角函数的单调性
角度Ⅰ.求函数的单调区间
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．函数f(x)＝cos2－sin x－(x∈[0，π])的单调递增区间为________．
[答案]　　[解析]　f(x)＝cos2－sin x－＝·－sin x－＝cos x－sin x
＝cos，
令－π＋2kπ≤x＋≤2kπ，k∈Z，
解得－＋2kπ≤x≤－＋2kπ，
k∈Z，
又∵x∈[0，π]，
∴取k＝1，得≤x≤，
∴函数f(x)的单调递增区间为.
2．求下列函数的单调区间．
(1)y＝cos的单调递减区间；
(2)y＝3tan的单调区间；
(3)y＝－的单调递减区间．
[解]　(1)y＝cos＝cos，
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，得
kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)y＝3tan＝－3tan，
由kπ－<－4kπ－∴函数的单调递减区间为(k∈Z)．
(3)画出y＝－的图象，
由图象知函数的单调递减区间为(k∈Z)．
角度Ⅱ.已知函数的单调区间求参数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2021安徽示范高中皖北协作区模拟]已知f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A． B．∪
C．∪ D．∪
[答案]　B　[解析]　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sinωx＋(ω>0)，
由2kπ－≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，
得≤x≤，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为
，k∈Z.
∵f(x)在区间上单调递增，
∴即
即12k－5≤ω≤8k＋，k∈Z.
∵ω>0，
∴当k＝0时，－5≤ω≤，即0<ω≤；
当k＝1时，7≤ω≤；
当k＝2时，19≤ω≤，此时不成立．
综上，ω的取值范围是∪，故选B.
方/法/总/结
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在给定区间上的单调性，求ω的取值范围
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在[x1，x2]上单调递增(或递减)，求ω的取值范围．
第一步：根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期T的一半，即x2－x1≤T＝·＝，求得0<ω≤；
第二步：
方法一
①当函数在[x1，x2]上单调递增时，有
(k∈Z)．
如图所示：
②当函数在[x1，x2]上单调递减时，有
(k∈Z)．
如图所示：
方法二
①当函数在[x1，x2]上单调递增时，令2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)，求出函数的单调递增区间，设为[t1，t2]，则t1≤x1②当函数在[x1，x2]上单调递减时，令2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)，求出函数的单调递减区间，设为[m1，m2]，则m1≤x1由上述方法求出ω的取值范围(含参数k)后，结合第一步求出的ω范围对k赋值，从而求出ω(不含参数k)的取值范围．
4．[2021福建福州四校联考]将函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位得到函数y＝g(x)的图象，并且函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数ω的值为(　　)
A． B．
C．2 D．
[答案]　C　[解析]　将函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位得到函数g(x)＝sin＝sin的图象，由函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得≥，且当x＝时，g(x)取得最大值，则≥，ω×－＝＋2kπ，k∈Z，则ω≤6且ω＝2＋8k，k∈Z，结合ω>0得 ω＝2.故选C.
5．[2016全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A．11 B．9
C．7 D．5
[答案]　B　[解析]　解法一：由题意得
且|φ|≤，
则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝或φ＝－.
对比选项，将选项值分别代入验证：
若ω＝11，则φ＝－，
此时f(x)＝sin，
f(x)在区间上单调递增，
在区间上单调递减，不满足f(x)在区间上单调；若ω＝9，则φ＝，
此时f(x)＝sin，满足f(x)在区间上单调递减，故选B.
解法二：∵x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，
∴·T＝，即·＝，(n∈N)，
即ω＝2n＋1(n∈N)，即ω为正奇数，
∵f(x)在上单调，则－＝≤，
即T＝≥，解得ω≤12，
当ω＝11时，－＋φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|≤，∴φ＝－，
此时f(x)在上不单调，不满足题意；
当ω＝9时，－＋φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|≤，∴φ＝，
此时f(x)在上单调，满足题意，
故ω的最大值为9.故选B.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
区间含参问题的解决策略
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在区间[m，a]和[b，n](m，n为常数)上单调递增(或递减)，求实数a，b的取值范围．
当函数y＝Asin(ωx＋φ)在区间[m，a]和[b，n]上单调递增(或递减)时，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z，求出函数的单调递增(或递减)区间，根据m，n所在的单调区间确定k的值，从而求出对应的a，b的取值范围．
(1)当区间[m，a]和[b，n]在一个单调区间内时，k取1个值；
(2)当区间[m，a]和[b，n]不在一个单调区间内时，k取2个值．
[注意]　解决区间含参数问题的重点是确定区间在函数的哪个单调区间内．
题型　三角函数的奇偶性、周期性、对称性
角度Ⅰ.有关周期性的问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2017天津卷]设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
[答案]　A　[解析]　∵f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
∴f(x)的最小正周期为4×＝3π，
∴ω＝＝，
∴f(x)＝2sin.
∴2sin＝2，
得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|＜π，∴取k＝0，得φ＝.
故选A.
2．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
[答案]　A
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
求三角函数的周期时，一般要先对三角函数关系式进行化简，把三角函数式化为一个角的三角函数，然后根据正弦型或余弦型三角函数的周期公式T＝或正切型三角函数的周期公式T＝求解．
在y ＝|Asin(ωx＋φ)＋b|或y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|中，当b＝0时，函数的最小正周期为T＝；当b≠0时，函数的最小正周期为T＝，可利用定义法或图象法求得．
角度Ⅱ.有关对称性的问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2020全国卷Ⅲ，理]关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称；
②f(x)的图象关于原点对称；
③f(x)的图象关于直线x＝对称；
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________．
[答案]　②③　[解析]　本题考查三角函数的定义域、奇偶性、图象的对称性及最值．
因为f(x)＝sin x＋的定义域满足sin x≠0，即{x|x≠kπ，k∈Z}，所以函数f(x)的定义域关于原点对称．
f(－x)＝sin(－x)＋＝－sin x－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，因此①错误，②正确；又f(π－x)＝sin(π－x)＋＝sin x＋＝f(x)，故由f(π－x)＝f(x)知函数f(x)的图象关于直线x＝对称，因此③正确；
令t＝sin x，则t∈[－1,0)∪(0,1]，由于y＝t＋在[－1,0)，(0,1]上单调递减，因此y∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以函数f(x)无最小值，因此④错误．
4．[多选]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的图象关于点对称，则m的值可能为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　AD　[解析]　本题考查三角函数的图象与性质．由题图得＝＝－＝，故ω＝2，
则f(x)＝sin(2x＋φ)．
又f＝sin＝1，故＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
即φ＝＋2kπ(k∈Z)．
因为|φ|<，故φ＝，所以f(x)＝sin.
将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得 g(x)＝sin的图象．
又函数g(x)的图象关于点对称，
故sin＝0，即＋2m＝kπ(k∈Z)，
故m＝－(k∈Z)，
令k＝1,2，则m＝，，故选AD.
5．[多选]已知x＝是函数f(x)＝(asin x＋cos x)cos x－的图象的一条对称轴，则下列结论中正确的是(　　)
A．是f(x)的图象的一个对称中心
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)是最小正周期为π的奇函数
D．先将函数y＝2sin 2x的图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后向左平移个单位长度即可得函数f(x)的图象
[答案]　AB　[解析]　易知函数f(x)＝asin xcos x＋cos2x－＝asin 2x＋cos 2x，因为x＝是函数 f(x)的图象的一条对称轴，所以f(0)＝f，即＝sin＋cos，所以a＝，f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin.令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，所以函数f(x)的图象的对称中心为(k∈Z)，A正确；当－≤x≤时，－≤2x＋≤，B正确；f(x)的最小正周期为π，但f(x)不是奇函数，C错误；先将函数y＝2sin 2x的图象上各点的纵坐标缩短为原来的，得到函数y＝sin 2x的图象，再将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，D错误．故选AB.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
(1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中
心时，可通过检测f(x0)的值进行判断．
(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数图象的对称轴或对称中心时，都是把“ωx＋φ”看作一个整体，然后根据y＝sin x和y＝cos x的图象的对称轴或对称中心进行求解．
角度Ⅲ.三角函数的零点与奇偶性问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．[2019上海卷]已知ω∈R，函数f(x)＝(x－6)2·sin ωx，存在常数a∈R，使得f(x＋a)为偶函数，则ω的值可能为　(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　C　解析：f(x＋a)＝(x＋a－6)2·sin(ωx＋ωa)，因为f(x＋a)为偶函数，所以y1＝(x＋a－6)2与y2＝sin(ωx＋ωa)都为偶函数，由于y1＝x2＋2(a－6)x＋(a－6)2，所以可得a－6＝0，即a＝6，此时y2＝sin(ωx＋6ω)为偶函数，则6ω＝＋kπ(k∈Z)，则ω＝＋(k∈Z)，当k＝1时，ω＝，所以ω的值可能为，故选C.
7．[2019全国卷Ⅲ]设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：
①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；
②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点；
③f(x)在单调递增；
④ ω的取值范围是.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①④ B．②③
C．①②③ D．①③④
[答案]　D　[解析]　已知f(x)＝sin(ω>0)在[0,2π]有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a，b)上，此时f (x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点，但f (x)在(0,2π)可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；
当x∈[0,2π]时，ωx＋∈，由f (x)在[0,2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋<6π，得ω的取值范围是，所以④正确；当x∈时，<ωx＋<＋<<，所以f(x)在单调递增，所以③正确．故选D.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.
提醒 完成限时跟踪检测(二十)
第六节　三角函数的图象与应用
[复习要点]　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
2．了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
3．会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
知识点一　y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞) 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝______ f＝＝________ ______ ______
答案：　　ωx＋φ　φ
知识点二　用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点
如下表所示.
x _______ _______ _______ _______ _______
ωx＋φ _______ _______ _______ _______ _______
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
答案：　　　　　0　　π　　2π　
知识点三　函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
三角函数两种图象的变换，主要区别在于左右平移变换，可统一记忆为“左加右减”个单位，当“ω＝1”时，即为先φ后ω变换．
答案：|φ|　
?链/接/教/材
1．[必修4·P56·练习T3改编]函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，， B．2，，
C．2，， D．2，，－
答案：A
2．[必修4·P57·A组T1(2)改编]为了得到y＝3cos的图象，只需把y＝3cos图象上的所有点的　(　　)
A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
答案：D
3．[必修4·P62·例4改编]某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：
月份x 1 2 3 4
收购价格y(元/斤) 6 7 6 5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________．
答案：y＝sin＋6
?易/错/问/题
图象变换的两个误区：平移变换；伸缩变换．
(1)要得到函数y＝sin 2x的图象，只需把函数y＝sin的图象向右平移________个单位长度．
注意：这里的向右平移个单位长度，指的是x－，而不是2x－，否则本题易错误地认为应该将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度．
(2)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数________的图象．
注意：由于对伸缩变换理解不到位，本题易得到错误答案是y＝sinx.
(1)答案：　解析：因为y＝sin＝sin，所以应把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 2x的图象．
(2)答案：y＝sin 2x　解析：把横坐标缩短，周期变小，则ω应变大，故应得到函数y＝sin 2x的图象．
?核/心/素/养
已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：
t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b(A>0，ω>0)的图象．根据以上数据，
(1)求函数f(t)的解析式；
(2)求一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间．
解：(1)由表格得解得
又因为T＝12，所以ω＝＝，
故y＝f(t)＝cos t＋1(0≤t≤24)．
(2)由题意，令cos t＋1>1.25，即cos t>，
又因为t∈[0,24]，所以t∈[0,4π]，
故0≤t<或或2π即0≤t<2或10所以在一日内该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．
题型　五点画图法
角度Ⅰ.五点画图法作正弦、余弦函数的图象
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0
请将上表数据补充完整，直接写出函数f(x)的解析式并画出函数f(x)在一个周期内的图象．
[解]　根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0
且函数表达式为f(x)＝5sin.
画出函数在一个周期内的图象如图所示．
2．用五点法作出y＝2sin在内的图象．
[解]　2×＋＝－，
2×＋＝，
令2x＋＝0，∴x＝－.
2x＋＝，∴x＝.
2x＋＝π，∴x＝.
2x＋＝，∴x＝.
列表如下：
2x＋ － 0 π
x － －
y － 0 2 0 －2 －
描点作图．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
用“五点法”作正、余弦型函数图象的步骤
(1)将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的形式；
(2)确定周期；
(3)确定一个周期内函数图象的最高点和最低点；
(4)选出一个周期内与x轴的三个交点；
(5)列表；
(6)描点、连线．
角度Ⅱ.由图象求解析式
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2021湖南五市十校1月联考]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则f(2 019)的值为________．
[答案]　－1　[解析]　由题意可知＝－1＝，得T＝6，又知T＝，ω>0，∴ω＝，
∴f(x)＝Asin.
又∵f(1)＝A，∴Asin＝A，即sin＝1.
∵0≤φ<2π，∴φ＝.
∴f(x)＝Asin.
又知f(0)＝1，
∴Asin＝1，得A＝2，
∴f(x)＝2sin.
∴f(2 019)＝2sin
＝2sin
＝2sin
＝2sin＝－2sin＝－1.
4．[多选][2020新高考Ⅰ]如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　)
A．sin B．sin
C．cos D．cos
[答案]　BC　[解析]　本题考查三角函数的图象、性质及其解析式．由题图可知，最小正周期T＝＝2＝π，得ω＝±2，故A错误；当ω＝2时，将的坐标代入y＝sin(2x＋φ)，得2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，
即φ＝2kπ＋，k∈Z.
当k＝0时，φ＝，则y＝sin＝sin＝－sin＝sin，故B正确；
y＝sin＝sin＝cos，故C正确；
y＝cos＝cos＝－cos＝－cos，故D错误．故选BC.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.
角度Ⅲ.求正切函数解析式
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f＝________.
[答案]　　[解析]　由题中图象可知，
＝－＝，
∴T＝，∴ω＝＝2，
∴f(x)＝Atan(2x＋φ)．
∵f＝0，即0＝Atan，
∴＋φ＝kπ，k∈Z，
∴φ＝－＋kπ，k∈Z，
又|φ|<，∴令k＝1，得φ＝.
由f(0)＝1，得Atan ＝1，∴A＝1，
∴f(x)＝tan，∴f＝.
6．[2021安徽亳州一中月考]函数y＝tan在一个周期内的图象是(　　)
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
正切型函数图象中与最小正周期T有关的一些结论
(1)相邻的两个对称中心的距离为；
(2)相邻的两条渐近线的距离为T；
(3)相邻的对称中心和渐近线间的距离为；
(4)对称中心间的距离为T，k∈N*.
题型　常见的三角函数图象变换
角度Ⅰ.三角函数的图象变换
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[多选][2021山东威海模拟]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)，将y＝f(x)的图象上所有点向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数y＝g(x)的图象．若g(x)为偶函数，且最小正周期为，则(　　)
A．y＝f(x)的图象关于点对称
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)＝g在上有且仅有3个解
D．g(x)在上有且仅有3个极大值点
[答案]　AC　[解析]　本题考查正弦型函数、余弦型函数的周期、对称中心、奇偶性、单调性、极值点．
将y＝f(x)的图象上所有点向左平移个单位长度后，得到的函数图象的解析式为y＝sin，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的后，得到的函数图象的解析式为y＝sin，
所以g(x)＝sin.
因为g(x)的最小正周期为，
所以＝，解得ω＝2.
所以g(x)＝sin.
又因为g(x)为偶函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，
所以φ＝＋kπ，k∈Z.
因为0<φ<π，所以φ＝.
所以g(x)＝sin＝cos 4x，
f(x)＝sin.
对于A，因为f＝sin＝sin 0＝0，
所以y＝f(x)的图象关于点对称，故A正确．
对于B，因为x∈时，2x＋∈.
因为y＝sin x在上不是单调递增的，
所以f(x)在上不是单调递增的，故B错误．
对于C，g＝cos 2x，f(x)＝sin，
画出f(x)，g在上的图象如图所示，
从图中可以看出，f(x)，g在上的图象有三个交点，所以f(x)＝g在上有且仅有3个解，故C正确．
对于D，令cos 4x＝1可得4x＝2kπ，k∈Z，
即x＝，k∈Z.
当k＝1时，x＝∈；
当k＝2时，x＝π∈；
当k＝3时，x＝ ，不符合题意．
故g(x)在上有且仅有2个极大值点，故D错误．
2．[多选]定义运算：＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的可能取值是(　　)
A． B．
C．－ D．－
[答案]　BC　[解析]　由题意，得函数f(x)＝
＝cos ωx－sin ωx＝2cos(ω>0)，
∴f(x)的图象向左平移个单位，
所得图象对应的函数为g(x)＝2cos
＝2cos，
又函数g(x)为偶函数，
∴＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝－，k∈Z，
当k＝1时，ω＝，当k＝－1时，ω＝－，故选BC.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
三角函数图象的变换规律
(1)必须化为同名三角函数的形式．
(2)观察系数的不同，反映伸缩变化，横坐标(或纵坐标)伸长(或缩短)为原来的ω(A)倍，则把原解析式中的x(或y)替换为x.
(3)常数项的不同，则反映平移变化，图象向左(或向右)平移a个单位，则把原解析式中的x用x＋a(或x－a)替换掉．
角度Ⅱ.诱导公式在三角函数图象变换中的应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2017全国卷Ⅰ]已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
[答案]　D　[解析]　∵C2：y＝sin
＝sin＝cos2x＋
＝cos.
根据三角函数图象变换的规律，可得D正确．
4．[多选][2021海南模拟]要得到函数y＝2sin的图象，只需把函数y＝2cos的图象(　　)
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
[答案]　CD　[解析]　由题意知，y＝2sin＝2cos 2x.所以把函数y＝2cos的图象向左平移个单位，可得y＝2cos＝2cos 2x，由于已知函数周期为π，故向右平移个单位也符合题意，选CD.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
由函数y1＝cos(ω1x＋φ1)的图象经过变换得到y2＝sin(ω2x＋φ2)的图象的过程(ω1>0，ω2>0)：首先利用诱导公式cos x＝sin或sin x＝cos将异名三角函数化为同名三角函数，然后利用同名三角函数的图象变换求解即可．
当变换前后的两个三角函数解析式中的A或ω符号不同时，需利用诱导公式化为同号，再进行图象变换．
角度Ⅲ.由图象的变换求参数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．[2021河北石家庄质检]若ω>0，函数y＝cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　B　[解析]　y＝cos向右平移个单位长度可得y＝cos
＝cos
＝sin
＝sin.
因为函数y＝cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sin ωx的图象重合，
所以ωx＋－＝ωx＋2kπ(k∈Z)，
解得ω＝－6k，
又ω>0，所以当k＝0时，ω取最小值为，故选B.
6．[2021江西赣州第四中学月考]将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g(x)的图象．若g(x1)g(x2)＝9，且x1，x2∈[－2π，2π]，则2x2－x1的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　C　[解析]　由题意，得g(x)的解析式为g(x)＝2sin＋1.
若g(x1)g(x2)＝9，且x1，x2∈[－2π，2π]，
则g(x1)＝g(x2)＝3，则2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z，由x1，x2∈[－2π，2π]，
得x1，x2∈.
当x1＝－，x2＝时，2x2－x1的值最大，且最大值为.
题型　三角函数图象的综合应用
角度Ⅰ.三角函数图象变换与性质的综合
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[多选][2021山东预测]若将函数f(x)＝cos的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．g(x)的最小正周期为π
B．g(x)在区间上单调递减
C．直线x＝不是函数g(x)图象的对称轴
D．g(x)在上的最小值为－
[答案]　ACD　[解析]　本题考查三角函数图象的变换，余弦型函数的周期性、单调性、对称轴和最值．
根据题意可得，g(x)＝cos＝cos，g(x)的最小正周期为π，选项A正确；当x∈时，2x＋∈，故g(x)在上有增有减，选项B错误；g＝0，故直线x＝不是g(x)图象的对称轴，选项C正确；当x∈时，2x＋∈，当2x＋＝，即x＝时，g(x)取得最小值 －，选项D正确．
2．[2020天津卷]已知函数f(x)＝sin.给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f是f(x)的最大值；
③把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是(　　)
A．① B．①③
C．②③ D．①②③
[答案]　B　[解析]　本题考查三角函数的性质和图象的平移变换．对于①，f(x)的最小正周期T＝＝2π，故①正确；对于②，因为f＝sin＝≠1，所以f不是f(x)的最大值，故②错误；对于③，把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，故③正确．故选B.
3．[多选]将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则(　　)
A．g(x)在上的最小值为－
B．g(x)在上的最小值为－1
C．g(x)在上的最大值为
D．g(x)在上的最大值为1
[答案]　AD　[解析]　由题可知，
g(x)＝sin＝sin，
∵0≤x≤，
∴≤2x＋≤，
∴g(x)＝sin∈，
即g(x)max＝1，g(x)min＝－，
故选AD.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
三角函数图象变换中对称关系的变化
角度Ⅱ.三角函数图象的判断
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4. [2021北京丰台一中期末]如图，在平面直角坐标系xOy中，角α(0≤α≤π)的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为A.将射线OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，过点B作x轴的垂线，垂足为点Q.记线段BQ的长为y，则函数y＝f(α)的图象大致是(　　)
5．函数y＝，x∈(－π，π)的图象大致为(　　)
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
利用函数解析式判断图象的方法有两种思路
(1)由解析式分析函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等．
(2)通过特殊值法，代入特殊值去伪存真．
角度Ⅲ.判断图象的交点个数问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．[2016江苏卷]定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________．
[答案]　7　[解析]　在同一平面直角坐标系中作出y＝sin 2x与y＝cos x在区间[0,3π]上的图象(如图)

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