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第五章　平面向量
第一节　平面向量的概念及线性运算
[复习要点]　1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．
2．掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．
3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义．
知识点一　向量的有关概念
名称 定义
向量 既有________又有________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________(或称________)
零向量 ________的向量叫做零向量，其方向是________的，零向量记作________
单位向量 长度等于________个单位的向量
平行向量 方向相同或________的________向量叫做平行向量，平行向量又叫________向量．规定：________与任一向量________
相等向量 长度________且方向________的向量
相反向量 长度________且方向________的向量
答案：大小　方向　模　向量的长度　长度为零　不确定　0　1　相反　非零　共线　零向量　平行　相等　相同　相等　相反
知识点二　向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝________；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(________)
续表
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(________)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向________；当λ＜0时，λa与a的方向________；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(______)a；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝________
答案：b＋a　b＋c　－b　相同　相反　λμ　λa＋μa　λa＋λb
知识点三　向量共线定理
1．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得________．
2．若a为非零向量，a0为其单位向量，则有a＝|a|·a0或a0＝.
答案：1.b＝λa
?链/接/教/材
1．[必修4·P78·A组T6改编]给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有正确命题的序号是(　　)
A．① B．③
C．①③ D．①②
答案：A
2．[必修4·P91·A组T4改编]若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
答案：2
3．[必修4·P90·练习T4改编]已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
答案：－
?易/错/问/题
1．向量有关概念的理解误区：相等向量；共线向量．
(1)若四边形ABCD满足＝，则四边形ABCD的形状是__________．
(2)若四边形ABCD满足＝k(k>0，且k≠1)，则四边形ABCD的形状是__________．
(1)答案：平行四边形　解析：＝表示AD∥BC且AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形．
(2)答案：梯形　解析：＝k(k>0，且k≠1)表示 AD∥BC，但AD与BC不相等，所以四边形ABCD是梯形．
2．处理向量问题的常见错误：忽视零向量；滥用结论．
(1)若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c的关系是__________．
注意：在处理向量问题时不要忽略零向量．
(2)已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|的范围是________．
注意：在一般情况下，|a＋b|＝|a|＋|b|不成立．
(1)答案：共线向量或不共线向量　解析：若b＝0，则a与c未必是共线向量；若b是非零向量，则a与c是共线向量．
(2)答案：[1,3]　解析：当a，b方向相同时，有|a＋b|＝3；当a，b方向相反时，有|a＋b|＝1；当a，b不共线时，1<|a＋b|<3.所以|a＋b|的范围是[1,3].
?通/性/通/法
有关向量的几个结论：三点共线；向量的中线公式；三角形重心的向量表示．
(1)A，B，C三点共线的充要条件是对不在直线AB上的任意一点O，存在实数t使得＝t＋________.
(2)△ABC中，D是BC的中点，则＝λ(＋)，则λ＝________.
(3)△ABC中，G为重心，则＝λ(＋)，O为平面内任意一点，则＝μ(＋＋)，则λ＝________，μ＝________.
(1)答案：(1－t)　解析：根据共线向量定理知，A，B，C三点共线的充要条件是存在实数t使得＝t，即－＝t(－)，即＝t＋(1－t).
(2)答案：　解析：由＝＋，＝＋，得
2＝(＋)＋(＋)．
∵＋＝0，∴＝(＋)．
(3)答案：　
题型　平面向量的基本概念
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．给出下列命题：
①向量是有向线段，因此可以用有向线段表示向量；
②单位向量都相等；
③若|a|＝2，|b|＝1，则a>b；
④若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑤若向量＝，则A，B，C，D四点能构成平行四边形；
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c；
⑦向量a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
⑧与非零向量a共线的单位向量为±；
⑨若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．
其中正确的是________．(只填序号)
[答案]　④⑧　[解析]　①错误：向量可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段．正确说法：向量与有向线段是两个不同的概念，向量可以用有向线段表示．
②错误：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量，即单位向量的模都为1，但是方向不确定，所以单位向量不一定都相等．
③错误：向量本身不能比较大小，向量的模可以比较大小．正确说法：若|a|＝2，|b|＝1，则|a|>|b|.
④正确：因为a＝b，所以a，b的长度相等且方向相同．又b＝c，所以b，c的长度相等且方向相同．所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
⑤错误：若向量＝，则||＝||且∥，所以直线AB与CD平行或重合，故A，B，C，D四点不一定能构成平行四边形．正确说法：已知A，B，C，D是不共线的四点，若向量＝，则A，B，C，D四点能构成平行四边形．
⑥错误：零向量与任一向量平行，故当a∥b，b∥c时，若 b＝0，则a，c不一定平行．
⑦错误：当|a|＝|b|且a∥b时，若a，b方向相反，则a与b是相反向量，即a＝－b，得不到a＝b；当向量a＝b时，a与b的模相等且方向相同，所以可以得到|a|＝|b|且 a∥b.综上，向量a＝b是|a|＝|b|且a∥b的充分不必要条件．
⑧正确：向量的方向与非零向量a的方向相同，向量的模为＝|a|＝·|a|＝1；向量－的方向与非零向量a的方向相反，向量－的模为＝|a|＝·|a|＝1.
综上，向量±是与非零向量a共线的单位向量．
⑨错误：当a＝0时，λa＝0，所以若λa＝0(λ为实数)，则 λ＝0或a＝0.
2．给出下列命题：
①零向量是唯一没有方向的向量；
②零向量的长度等于0；
③若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线．
其中错误的命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　B
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
平面向量基本概念的辨析
1．向量与有向线段
向量可以用有向线段表示，区别是有向线段位置固定，而向量可以平移．
2．零向量与单位向量
零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模都确定，但方向不确定．
3．向量与数量
向量与数量不同，向量本身不能比较大小，只可以判断是否相等，但向量的模可以比较大小．
4．相等向量与平行向量
相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．
5．向量平行与直线平行
向量平行可以在同一条直线上或者在两条平行直线上．
题型　向量的线性运算
角度Ⅰ.平面向量的线性运算与几何意义
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2020新高考Ⅱ]若D为△ABC的边AB的中点，则＝　(　　)
A．2－ B．2－
C．2＋ D．2＋
[答案]　A　[解析]　∵D为△ABC的边AB的中点，
∴＝(＋)，
∴＝2－.故选A.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
2．[多选][2021山东济宁嘉祥一中模拟]在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点，下列说法正确的是(　　)
A．＋－＝0
B．＋＋＝0
C．若＋＝，则是在上的投影向量
D．若点P是线段AD上的动点，且满足＝λ＋μ，则λμ的最大值为
[答案]　BCD　[解析]本题考查平面向量的加法、减法的几何意义，数形结合的应用．如图所示．
对选项A，＋－＝2－＝≠0，故A错误．
对选项B，＋＋＝－(＋)－(＋)－(＋)＝－－－－－－＝－－＋－＋＋＝0，故B正确．
对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量，由平面向量加法可知，＋表示的向量在∠BAC的平分线上．
因为＋＝，
所以AD为∠BAC的平分线．
又因为AD为BC的中线，
所以AD⊥BC，如图所示．
在的投影为||cos B＝||·＝||，
所以是在上的投影向量，故C正确．
对选项D，如图所示．
点P在线段AD上，即A，P，D三点共线．
因为＝λ＋μ＝λ＋2μ，
所以λ＋2μ＝1，λ∈[0,1]，μ∈.
λμ＝λ·2μ≤2＝，
当且仅当λ＝，μ＝时取等号．所以λμ取得最大值.故D正确．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
角度Ⅱ.线性运算中的参数求值问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2021河北2月质检]在△ABC中，O为△ABC的重心．若＝λ＋μ，则λ－2μ＝(　　)
A．－ B．－1
C． D．－
[答案]　D　[解析]　如图，连接BO并延长交AC于点M，∵点O为△ABC的重心，∴M为AC的中点，
∴＝＝＝－＋＝－＋(－)＝－＋，
又知＝λ＋μ，
∴λ＝－，μ＝，∴λ－2μ＝－－2×＝－，故选D.
4．[多选]如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝λ，＝μ＋3μ，则(　　)
A．P为线段OC的中点时，μ＝
B．P为线段OC的中点时，μ＝
C．无论μ取何值，恒有λ＝
D．存在μ∈R，λ＝
[答案]　AC　[解析]　∵和共线，
∴存在实数m，
使＝m＝mμ＋3mμ，
∵＝－，＝－，
∴＝mμ＋3mμ－＝(mμ－1)＋3mμ＝－λ＋λ，
∴解得λ＝，mμ＝.故C说法正确．
当P为线段OC的中点，即m＝时，μ＝，故A说法正确．故选AC.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
向量运算归根结底是基底化运算，在同一对基底下两个向量相等，对应系数相同，这是解决参数问题的常用思路，关键是转化为相同的基底．另外，共线向量的几何意义也常用于解决有关参数现象．
角度Ⅲ.向量的三角不等式的运用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．[2021湖南师大附中月考]已知a，b为单位向量，且a⊥b，向量c满足|c－a－b|＝2，则|c|的取值范围为(　　)
A．[1,1＋ ] B．[2－，2＋ ]
C．[，2 ] D．[3－2，3＋2 ]
[答案]　B　[解析]　解法一：由向量的三角不等式，得
||c|－|a＋b||≤|c－(a＋b)|≤|c|＋|a＋b|，
∴||c|－|a＋b||≤2≤|c|＋|a＋b|.
∵a，b为单位向量，且a⊥b，
∴|a＋b|＝
＝
＝＝，
∵||c|－|≤2≤|c|＋，
解得2－≤|c|≤2＋.故选B.
解法二：如图，设＝a，＝b，＝c.
∵OA⊥OB，则a＋b＝，c－a－b＝c－(a＋b)＝－＝.
∵||＝|a|＝1，||＝|b|＝1，
∴||＝＝.
∵|c－a－b|＝2，∴||＝2，
∴点C在以D为圆心，2为半径的圆上运动．
易得|||－|||≤||≤||＋||，
∴2－≤|c|≤2＋.故选B.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
向量的三角不等式
已知两个非零向量a与b，则有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
1．向量a与b不共线
||a|－|b||<|a±b|<|a|＋|b|
2．向量a与b同向
|a＋b|＝|a|＋|b|
|a－b|＝||a|－|b||
3．向量a与b反向
|a＋b|＝||a|－|b||
|a－b|＝|a|＋|b|
题型　共线向量定理的应用
角度Ⅰ.应用共线向量定理求参数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021河南郑州模拟]如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的三等分点，点P在线段BN上且＝＋，则实数m的值为(　　)
A．1 B．
C． D．
[答案]　D　[解析]　＝＋＝＋(－)＝m＋，
设＝λ(0≤λ≤1)，
则＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，
因为＝，
所以＝(1－λ)＋λ，
则解得故选D.
2．[多选]已知正六边形ABCDEF的边长为4，动点M满足MA＝1，则下列命题中正确的是(　　)
A．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝3
B．＝2＋
C．·的最小值为－11
D．若＝s＋t，则st的最大值为
[答案]　AC　[解析]　本题考查向量的综合应用．因为＝－，＝2(＋)，所以＝＋2，所以λ＋μ＝3，故A选项正确；取AD的中点O，有＝2＝2(＋)，故B选项错误；以A为原点，以BF的垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设M(x，y)，由MA＝1，得M的轨迹方程为x2＋y2＝1，由AB＝AF＝4，∠A＝π，得B(－2，－2)，F(2，－2)，所以·＝(－2－x，－2－y)·(2－x，－2－y)＝x2－12＋y2＋4y＋4＝4y－7，由－1≤y≤1，得·∈[－11，－3]，故C选项正确；若＝s＋t，则(x，y)＝s(－2，－2)＋t(2，－2)，由x2＋y2＝1，得12(s－t)2＋4(s＋t)2＝1，即16s2＋16t2＝1＋16st≥32st，所以st≤，当且仅当s＝t＝时等号成立，故D选项错误，故选AC.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
向量共线定理含义的理解
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.在向量共线的充要条件中要注意a≠0，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
角度Ⅱ.三点共线的充要条件的应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2021河北百校联盟联考]已知在△ABC中，点D满足2＋＝0，过点D的直线l与直线AB，AC分别交于点M，N，＝λ，＝μ.若λ>0，μ>0，则λ＋μ的最小值为________．
[答案]　　[解析]　连接AD.因为2＋＝0，所以＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.因为D，M，N三点共线，所以存在x∈R，使＝x＋(1－x)，则＝xλ＋(1－x)·μ，所以xλ＋(1－x)μ＝＋，根据平面向量基本定理，得xλ＝，(1－x)μ＝，所以x＝，1－x＝，所以＋＝1，所以 λ＋μ＝(λ＋μ)·＝≥，当且仅当λ＝μ时等号成立，∴λ＋μ的最小值为.
4．设，不共线，求证：点P，A，B共线的充要条件是：＝λ＋μ且λ＋μ＝1，λ，μ∈R.
[证明]　充分性：∵λ＋μ＝1，
∴＝λ＋μ
＝(1－μ)＋μ
＝＋μ(－)
＝＋μ.
∴－＝μ.
∴＝μ，∴，共线．
∵，有公共点A，
∴A，P，B三点共线．
必要性：若P，A，B三点共线，
则＝μ＝μ(－)．
∴－＝μ－μ.
∴＝(1－μ)＋μ.
令λ＝1－μ，则＝λ＋μ，
其中μ＋λ＝1.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
1．准确理解共线向量定理
a∥b等价于存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立．
2．共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具
解题过程中常用到结论：“P，A，B三点共线”等价于“对直线AB外任意一点O，总存在非零实数λ，使＝λ＋(1－λ)成立”．
3．含参共线问题的解法
解决含有参数的共线问题时，经常要用到平面几何的性质，构造含有参数的方程或方程组，解方程或方程组得到参数的值．
提醒 完成限时跟踪检测(二十四)
第二节　平面向量基本定理及坐标运算
[复习要点]　1.了解平面向量的基本定理及其意义．
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
知识点一　平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝________，称e1，e2为基底．若e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底；若e1，e2分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，则称这个基底为单位正交基底．
答案：不共线　λ1e1＋λ2e2
知识点二　平面向量的坐标表示
在直角坐标系内，分别取与__________________的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，________叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝________，j＝__________，0＝________.
答案：x轴、y轴正方向相同　(x，y)　(1,0)　(0,1)　(0,0)
知识点三　平面向量的坐标运算
1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝____________，a－b＝________________，λa＝________________，|a|＝.
2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝________________，
||＝________________.
答案：1.(x1＋x2，y1＋y2)　(x1－x2，y1－y2)　(λx1，λy1)
2．(x2－x1，y2－y1)　
知识点四　平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b ________；
(2)若a≠0，则与a平行的单位向量为________．
[答案]　(1)x1y2－x2y1＝0　(2)±
?链/接/教/材
1．[必修4·P101·A组T5改编]已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x的值是(　　)
A．－6 B．6
C．9 D．12
答案：B
2．[必修4·P101·A组T7改编]已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
答案：A
3．[必修4·P96·例2改编]若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，则c可用向量a，b表示为(　　)
A．a＋b B．－a－b
C．a＋b D．a－b
答案：A
?易/错/问/题
向量易忽略的两个问题：向量的夹角；单位向量．
(1)等边三角形ABC中，若＝a，＝b, 则a，b的夹角为__________．
(2)已知A(1,3)，B(4，－1)，则与向量共线的单位向量为__________．
(1)答案：120°　解析：求两向量的夹角要求两向量的起点是同一点，因此a，b的夹角为120°.
(2)答案：或　解析：由已知得＝(3，－4)，所以||＝5，因此与共线的单位向量为＝或－＝.
?核/心/素/养
如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值范围是(　　)
A．[－4,4] B．[－，]
C．[－5,5] D．[－6,6]
答案：C　解析：如图，建立平面直角坐标系，
令正三角形边长为3，
则＝i，＝－i＋j，
可得i＝，j＝＋，
由图知当P在C点时有＝j＝2＋3，
此时x＋y有最大值5；
同理点P在与C相对的下顶点时有＝－j＝－2－3，此时x＋y有最小值－5.
题型　平面向量基本定理及应用
角度Ⅰ.基底的判断
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．下面几种说法中，正确的是________．(填序号)
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
②零向量不可以作为基底中的向量；
③a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面内的所有向量；
④若e1，e2是平面α内不共线的两个向量，则e1－2e2与4e2－2e1可作为表示平面α内所有向量的一组基底；
⑤e1，e2是平面内不共线的两个向量，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；
⑥同一向量在不同基底下的表示是相同的；
⑦若e1，e2是平面α内不共线的两个向量，则对于平面α内的任意向量a，使a＝λe1＋μe2成立的实数对(λ，μ)有无穷多个．
[答案]　②⑤　[解析]　①错误：只要是不共线的一对向量就可以作为表示该平面内所有向量的基底，基底的选取并不是唯一的；
②正确：零向量和任何向量都共线，与基底的定义不符；
③错误：根据平面向量基本定理可知，e1，e2必须是不共线向量；
④错误：因为e1－2e2＝－(4e2－2e1)，所以向量e1－2e2,4e2－2e1是共线向量，不能作为表示平面α内所有向量的一组基底；
⑤正确：因为e1，e2为一组不共线向量，若λe1＋μe2＝0，即λe1＝－μe2，只有当λ＝μ＝0时，才能成立；
⑥错误：基底不同，向量的表示也不同，当基底确定后，向量的表示才是唯一的；
⑦错误：根据平面向量基本定理可知，实数对(λ，μ)应该只有唯一一对．
2．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
[答案]　B　[解析]　设a＝k1e1＋k2e2，
A项，∵(3,2)＝(k2,2k2)，
∴无解；
B项，∵(3,2)＝(－k1＋5k2,2k1－2k2)，
∴解得
故B中的e1，e2可把a表示出来．
同理，C，D项同A项，无解．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
基底的“唯一”与“不唯一”
“不唯一”：只要同一平面内两个向量不共线，就可以作为表示平面内所有向量的一组基底，对基底的选取不唯一；
“唯一”：平面内任意向量a都可被这个平面内的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
角度Ⅱ.利用已知基底表示平面向量
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
[答案]　4　[解析]　设i，j分别为水平方向和竖直方向
上的正向单位向量，则a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，根据平面向量基本定理，得λ＝－2，μ＝－，所以＝4.
4．在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．a－b
C．－a－b D．－a＋b
[答案]　C
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
平面向量基本定理的实质及应用思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
题型　向量的坐标运算
角度Ⅰ.向量的坐标运算
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，(，0)，(0，－2)，O为坐标原点，动点P满足||＝1，则|＋＋|的最小值是(　　)
A．－1 B．－1
C．＋1 D．＋1
[答案]　A
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为(　　)
A．(－8,1) B．
C． D．(8，－1)
[答案]　B　[解析]　设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝，所以
解得所以P.
3．已知正△ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是________．
[答案]　　[解析]　建立平面直角坐标系如图所示，
则B(－，0)，C(，0)，A(0,3)，则点P的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝1.设P(x，y)，M(x0，y0)，则x＝2x0－，y＝2y0，代入圆的方程得2＋2＝，所以点M的轨迹方程为2＋2＝，它表示以为圆心，以为半径的圆，所以||max＝＋＝，所以||＝.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
求解向量坐标运算问题的一般思路
1．向量问题坐标化
向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
2．巧借方程思想求坐标
向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
3．妙用待定系数法求系数
利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．
角度Ⅱ.利用共线向量坐标表示求参数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是(　　)
A．24 B．8
C． D．
[答案]　B
5．设向量＝(1，－2)，＝(2m，－1)，＝(－2n,0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为(　　)
A．－3 B．－2
C．2 D．3
[答案]　A　[解析]　由题意易知，∥，
其中＝－＝(2m－1,1)，
＝－＝(－2n－1,2)，
所以(2m－1)×2＝1×(－2n－1)，
得2m＋1＋2n＝1,2m＋1＋2n≥2，
所以2m＋n＋1≤2－2，即m＋n≤－3.
6．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．
(1)[解]　＝t1＋t2
＝t1(0,2)＋t2(4,4)
＝(4t2,2t1＋4t2)．
点M在第二或第三象限
解得t2<0且t1＋2t2≠0.
故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.
(2)[证明]　当t1＝1时，由(1)知，＝(4t2,4t2＋2)．
因为＝－＝(4,4)，
＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，
所以A，B，M三点共线．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
证明向量共线(或平行)的主要方法和已知两向量共线求参数值的依据
(1)对于向量a(a≠0)，b，若存在实数λ，使得b＝λa，则向量a，b共线．
(2)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1y2－x2y1＝0 a∥b.
(3)对于向量a，b，则|a·b|＝|a|·|b| a与b共线．
若已知向量共线求参数的值，则可由已知条件与上述依据的对应性，通过解方程求解．
角度Ⅲ.共线向量的等和线问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
7．如图所示，已知矩形OABC中，OA＝2，OC＝1，D在OA的延长线上，且AD＝1，若点P在△BCD中(包括边界)，且＝α＋β，则α＋β的取值范围为________．
[答案]　　[解析]　解法一：以OD，OC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图．
则O(0,0)，A(2,0)，B(2,1)，C(0,1)，D(3,0)，
设P(x，y)，
∴＝(x，y)，＝(0,1)，＝(2,0)．
∵＝α＋β，
∴(x，y)＝α(0,1)＋β(2,0)＝(β，α)，
∴x＝β，y＝α，∴α＋β＝x＋y.
令z＝x＋y，
∵点P在△BCD中(包括边界)，
由图可知，z＝x＋y在D点处取得最大值，在C点处取得最小值1.
∴α＋β的取值范围为.
解法二：如图，在OA上截取OE，使得OE＝OA，
连接CE，则＝α＋β＝α＋β.
过点P作CE的平行线l.
∵点O和直线l在直线CE的异侧，
∴系数和为正数，且l离CE越远，α＋β越大．
当点P运动到点C时，α＋β＝1，
此时为最小值；
当点P运动至点D时，α＋β＝＝＝，此时为最大值．
∴α＋β的取值范围为.
8．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．
[答案]　2　[解析]　连接AB，由图可知，点C在AB的右侧运动，也就是点O和过点C与AB平行的直线l在AB的异侧，则直线l离AB越远，系数和越大，当直线l和圆弧相切时，系数和最大，(x＋y)max＝.
因为l⊥OC1，l∥AB，所以AB⊥OC1.
因为OA＝OB＝1，∠AOB＝120°，
所以∠OAD＝30°，
所以OD＝OAsin 30°＝.
所以＝2.
即(x＋y)max＝＝2.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
等和线在平面向量中的应用
1．适用题型
在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和的取值，可使用等和线法．
2．理论基础
如图，A，B，C是不共线的三点，M是平面内任意一点，连接AM，交直线BC于点P，过M作BC的平行线l，则对于l上的任意一点N，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝.
因为N在与BC平行的动直线上，P在定直线BC上，也可以巧记为“动上静下”．
3．等和线
直线BC以及与直线BC平行的直线l称为等和线．
4．特点
若直线l与点A在直线BC的异侧，则l离BC越远，系数和越大，且系数和为正数；若直线l与点A在直线BC的同侧，则l离BC越远，系数和越小，且系数和为负数．
题型　坐标法在平面向量的应用
角度Ⅰ.借助网格建系
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λμ＝________.
[答案]　－3　[解析]　建立如图所示的平面直角坐标系
xAy，则＝(2，－2)，＝(1,2)，＝(1,0)．
由题意可知，(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，
即解得
所以λμ＝－3.
角度Ⅱ.借助垂直关系建系
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
2．[2021四川德阳三校联考]在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，I是△ABC的内心，若＝m＋n(m，n∈R)，则＝(　　)
A． B．
C．2 D．
[答案]　B　[解析]　设BC的中点为D，以D为原点，BC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示．
∵AB＝5，BD＝BC＝3，∴AD＝4.
∵△ABC是等腰三角形，
∴内心I在线段AD上．
设内切圆的半径为r，则tan∠IBD＝，
∴tan∠ABC＝＝＝.
又∵tan∠ABC＝＝，
∴＝，解得r＝或r＝－6(舍)．
∴I.
又∵B(－3,0)，A(0,4)，C(3,0)，
∴＝，＝(3,4)，＝(6,0)．
∵＝m＋n，
∴解得∴＝.故选B.
角度Ⅲ.利用已知圆的圆心建系
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[多选]在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2AD＝2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的半圆分别交BA及其延长线于点M，N，点P在上运动(如图所示)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则2λ－5μ的取值可以是(　　)
A．－2 B．2
C．－2 D．2
[答案]　ACD　[解析]　由于AB⊥AD，故以AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
∵AB＝BC＝2AD＝2，E，F分别为BC，CD的中点，
∴A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,1)，E(2,1)，F.
∵点P在上运动，圆的半径为1，
∴设P(cos α，sin α)(0≤α≤π)．
∴＝(cos α，sin α)，＝(2,1)，＝.
∵＝λ＋μ，
∴(cos α，sin α)＝λ(2,1)＋μ＝，
∴解得
∴2λ－5μ＝2cos α－2sin α＝2sin.
∵0≤α≤π，∴≤α＋≤，
∴－2≤2sin≤2.
则2λ－5μ的取值范围是[－2，2]．
故选ACD.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
只有巧建系才能妙法解题
坐标是向量代数化的媒介，而坐标的获得又要借助于直角坐标系，对于某些平面向量问题，若能建立适当的直角坐标系，往往能很快实现问题的转化．常见的建系方法如下：
(1)利用图形中现成的垂直关系
若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这两条直线建立坐标系．
(2)利用图形中的对称关系
图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如：等腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身对称性建系．建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限．
(3)三角形中有唯一一个特殊角(30°，45°，60°等)时，有以下两种建系方法
　
(4)圆(或半圆、扇形)与其他图形的综合图形通常以圆心为坐标原点建系．
(5)所给向量中任意两向量之间的夹角为特殊角，将所给向量平移为共起点，以该起点为坐标原点建系．
提醒 完成限时跟踪检测(二十五)
第三节　平面向量的数量积及应用举例
[复习要点]　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
2．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
3．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
4．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
5．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
知识点一　数量积的有关概念
1．平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则________ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝________，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝____________.
(2)模：|a|＝＝________.
(3)夹角：cos θ＝＝ .
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 ________.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤·.
答案：1.(2)|a||b|cos θ　|a||b|cos θ　2.(1)x1x2＋y1y2
(2)　(4)x1x2＋y1y2＝0
知识点二　数量积满足的运算律
已知向量a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
(1)a·b＝________.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝________.
(3)(a＋b)·c＝________.
答案：(1)b·a　(2)a·(λb)　(3)a·c＋b·c
知识点三　向量在几何中的应用
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)．
(1)证明线线平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b a＝λb ____________(b≠0)．
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：
a⊥b a·b＝0 ____________.
(3)平面几何中夹角与线段长度的计算：
①cos?a，b?＝＝____________；
②|AB|＝||＝＝____________.
答案：(1)x1y2－x2y1＝0　(2)x1x2＋y1y2＝0　
(3)①　②
?链/接/教/材
1．[必修4·P108·A组T6改编]已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝________.
答案：6
2．[必修4·P106·练习T3改编]已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
答案：－2
3．[必修4·P105·例4改编]已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.
答案：12
?易/错/问/题
与平面向量的数量积有关的易错点：投影；向量夹角；运算律．
下列说法正确的有________个．
①向量b在向量a方向上的投影是向量；
②若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角；
③(a·b)·c＝a·(b·c)；
④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.
答案：0　解析：①向量b在a方向上的投影是数量，为|b|cos θ，它可以为正，可以为负，也可以为0；
②a·b＞0与a和b的夹角为锐角不等价，a·b＞0还包含a和b同向的情形，同样a·b＜0不仅包含a和b的夹角为钝角，还包含a和b反向的情形；
③由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等，故数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)；
④a·b＝0 |a||b|cos θ＝0 |a|＝0或|b|＝0或cos θ＝0，因此，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b.
?核/心/素/养
用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到的重力为G，两绳受到的拉力分别是F1，F2，夹角为θ，如图所示．
(1)求其中一根绳受到拉力|F1|与|G|的关系，用数学观点分析|F1|的大小与夹角θ的关系；
(2)求|F1|的最小值；
(3)如果每根绳的最大承受拉力为|G|，求θ的取值范围．
解：(1)由力的平衡，得F1＋F2＋G＝0，
设F1，F2的合力为F，则F＝－G，
∴F1＋F2＝F且|F1|＝|F2|，|F|＝|G|，
解直角三角形，得cos ＝＝，
∴|F1|＝，θ∈[0°，180°]，
由于函数y＝cos x在x∈[0°，180°]上为减函数，
∴当θ逐渐增大时，cos 逐渐减小，则逐渐增大，
∴当θ增大时，|F1|也增大．
(2)由上述可知，当θ＝0°时，|F1|有最小值为.
(3)依题意，≤|F1|<|G|，
∴≤<1，即由于y＝cos x在[0°，180°]上为减函数，
∴0°≤<60°，即θ∈[0°，120°)．
故θ的取值范围为[0,120°)．
题型　平面向量数量积的概念及运算
角度Ⅰ.数量积的概念及运算的辨析
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[多选]对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中不正确的是 (　　)
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
[答案]　ACD　[解析]　对于A，因为当两个向量都是非零向量时，也可以有数量积为零，所以A错误；
对于B，当实数λ≠0，且向量a是非零向量时，λa是非零向量，所以B是正确的；
对于C，因为由a2＝b2说明两个向量的模相等，但是不一定共线，所以C错误；
对于D，因为数量积不满足消去律，所以D错误．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
　
角度Ⅱ.数量积的三种运算方法
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
2．[多选]在平行四边形ABCD中，∠DAB＝120°，|AB|＝2，|AD|＝1，若E为线段AB的中点，则(　　)
A．·＝ B．·＝
C．·＝－ D．·＝－
[答案]　BD　[解析]　解法一：∵平行四边形ABCD中，∠DAB＝120°，|AB|＝2，|AD|＝1，E为线段AB的中点，∴·＝(－)·(＋)＝·(＋)＝2－2－·＝×22－12－×2×1×cos 120°＝，·＝·(－)＝－2＋·－2＝－×22＋×2×1×cos 120°－12＝－.故选BD.
解法二：以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
∵∠DAB＝120°，|AB|＝2，|AD|＝1，
∴B(1，)，A(0,0)，D(－1,0)，C(0，)，
∵E为线段AB的中点，
∴E.
∴＝(0，)，＝，＝(－2，－)，
∴·＝×0＋×＝，
·＝×(－2)＋×(－)＝－.故选BD.
3．[2019全国卷Ⅱ]已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)
A．－3 B．－2
C．2 D．3
[答案]　C　[解析]　∵＝－＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，||＝1，∴＝1，∴t＝3，∴＝(1,0)，∴·＝2×1＋3×0＝2.故选C.
4．[多选]已知扇形OAB的半径为1，圆心角为90°，P是弧AB上的动点，则·(－)的取值可以是(　　)
A．－1 B．0
C．－ D．
[答案]　ABD　[解析]　建立如图所示的平面直角坐标系，
则＝(1,0)，＝(0,1)，＝(cos θ，sin θ)，θ∈，从而·(－)＝sin θ－cos θ＝sin，∵θ∈，∴θ－∈，从而 sin∈[－1,1]．满足条件的有ABD.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
1．定义法求平面向量的数量积
方法依据：a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是两个向量a，b的夹角．
适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角．
2．基底法求平面向量的数量积
方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解．
适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线向量作为基底，采用“基底法”求解．
3．坐标法求平面向量的数量积
方法依据：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
适用范围：(1)已知或可求两个向量的坐标；
(2)已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积．
题型　平面向量数量积的应用
角度Ⅰ.平面向量的夹角
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2020全国卷Ⅲ，理]已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
[答案]　D　[解析]　本题考查平面向量的数量积及夹角．∵|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，
∴a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝19.
又|a＋b|＝＝＝7，
∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝.故选D.
2．[多选][2021山东滕州一中月考]若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的值可能为(　　)
A．－1 B．1
C． D．2
[答案]　AB　[解析]　本题考查向量的数量积、向量的模的最大值．因为a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，所以a·b－c·(a＋b)＋c2≤0.所以 c·(a＋b)≥1，
而|a＋b－c|＝
＝
＝≤＝1，
所以选项C，D不正确，故选AB.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
求两向量夹角的方法
(1)一般是利用夹角公式：cos θ＝.
(2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．
角度Ⅱ.有关平面向量模的问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．设平面向量ai (i＝1,2,3)满足|ai|＝1，且a1·a2＝0，则|a1＋a2|＝________，|a1＋a2＋a3|的最大值为________．
[答案]　　＋1　[解析]　∵|ai|＝1，且a1·a2＝0，∴|a1＋a2|＝.
当a3与a1＋a2共线且方向相同时，|a1＋a2＋a3|最大，
∴|a1＋a2＋a3|max＝|a1＋a2|＋|a3|＝＋1.
4．[2021江西南昌NCS项目模拟]已知平面向量a，b，a＝(2cos α，2sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a·b>0，若对任意的实数λ，|a－λb|的最小值为，则此时|a－b|＝(　　)
A．1 B．2
C． D．
[答案]　D　[解析]　由题意，得|a－λb|
＝
＝
＝，
因为a·b>0，所以cos(α－β)>0，
由题意可知，当λ＝2cos(α－β)时，|a－λb|取得最小值，即|a－λb|min＝＝，
解得cos(α－β)＝，
此时|a－b|＝
＝＝，故选D.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
求向量的模或其范围的方法
(1)定义法：|a|＝＝，|a±b|＝＝.
(2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝.
(3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解．
[提示]　(1)求形如ma＋nb的向量的模，可通过平方，转化为数量的运算．
(2)用定义法和坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合的思想，常用三角不等式进行最值的求解．
角度Ⅲ.平面向量的垂直问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．[2020全国卷Ⅱ，文]已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)
A．a＋2b B．2a＋b
C．a－2b D．2a－b
[答案]　D　[解析]　本题考查向量的数量积．由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝，b2＝|b|2＝1.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0，故A错；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B错；
对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0，故C错；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b，故选D.
6．[2021山东济南校级模拟]已知向量||＝3，||＝2，＝m＋n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为(　　)
A． B．
C．6 D．4
[答案]　A　[解析]　∵向量||＝3，||＝2，＝m＋n，与的夹角为60°，
∴·＝3×2×cos 60°＝3，
∴·＝(－)·(m＋n)＝(m－n)·－m||2＋n||2＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，∴＝，故选A.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
利用数量积解决垂直问题，经常出现的两类问题
(1)垂直关系的证明，利用坐标法或者直接转化为基底间的数量积的计算．
(2)利用垂直关系求参数，关键是令数量积为0，转化为参数的方程，进而求解参数．
题型　数量积的综合应用
角度Ⅰ.数量积的范围最值问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2020天津卷]如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________．
[答案]　　　[解析]　本题考查平面向量的线性运算以及数量积．
由题意·＝||||·cos∠BAD＝||×3×＝－，所以||＝1.又||＝6, ＝λ，所以λ＝.以B为坐标原点， BC所在直线为x轴，垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系，由题可得A，D，不妨设M(t,0)(0≤t≤5)，则N(t＋1,0)，＝，＝，所以·＝·＋2＝t2－4t＋＝(t－2)2＋≥，所以当t＝2时，·取最小值为.
2．[2019浙江卷]已知正方形ABCD的边长为1，当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6 |的最小值是________，最大值是________．
[答案]　0　　[解析]　如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则＝(1,0)，＝(0,1)．
设a＝λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6＝λ1＋λ2－λ3－λ4＋λ5(＋)＋λ6(－)＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)．故|a|＝.
∵λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1，
∴当λ1－λ3＋λ5－λ6＝0，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最小值0.
考虑到λ5－λ6，λ5＋λ6有相关性，要确保所求模最大，只需使|λ1－λ3＋λ5－λ6|，|λ2－λ4＋λ5＋λ6|尽可能取到最大值，即当λ1－λ3＋λ5－λ6＝2，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝4时可取到最大值，
∴|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最大值为＝2.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
应用数量积计算有关取值范围问题，常常通过坐标法转化为函数，通过函数求最值，而有一部分数量积的最值问题也常常转化为几何意义来求解．
角度Ⅱ.向量在平面几何中的应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．已知O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，且·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)
A．重心　外心　垂心 B．重心　外心　内心
C．外心　重心　垂心 D．外心　重心　内心
注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心．
[答案]　C　[解析]　由||＝||＝||，知O为△ABC的外心；
由＋＋＝0，知N为△ABC的重心；
因为·＝·，
所以(－)·＝0，
所以·＝0，
所以⊥，即CA⊥PB，
同理AP⊥BC，CP⊥AB，
所以P为△ABC的垂心．
4．如图，AB是半圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·等于(　　)
A．13 B．7
C．5 D．3
[答案]　C
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
1．平面向量在平面几何中数量积的三种求法
(1)利用定义求解．
(2)利用向量的坐标运算求解．
(3)利用向量数量积的几何意义求解．
2．向量的数量积在平面几何应用中的解题策略
(1)利用运算律结合图形先化简再运算．
(2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补)．
角度Ⅲ.向量在解析几何中的应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．如图所示，直线x＝2与双曲线C：－y2＝1的渐近线交于E1，E2两点．记＝e1，＝e2，任取双曲线C上的点P，若＝ae1＋be2(a，b∈R)，则ab＝(　　)
A． B．1
C． D．
[答案]　A　[解析]　由题意知，
E1(2,1)，E2(2，－1)，
∴e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)，
故＝ae1＋be2＝(2a＋2b，a－b)．
又点P在双曲线上，
∴－(a－b)2＝1，
整理可得，4ab＝1，∴ab＝.
6．[2021上海徐汇区模拟]已知圆M：x2＋(y－1)2＝1，圆N：x2＋(y＋1)2＝1.直线l1，l2分别过圆心M，N，且l1与圆M相交于A，B两点，l2与圆N相交于C，D两点，点P是椭圆＋＝1上任意一点，则·＋·的最小值为________．
[答案]　8　[解析]　由题意可得，M(0,1)，N(0，－1)，rM＝rN＝1，·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝2－1，
·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝2－1.
∵P为椭圆＋＝1上的点，
∴设点P为(x，y)，
∴·＋·＝2＋2－2＝2(x2＋y2)＝＋8.
由题意可知－3≤x≤3，∴8≤＋8≤18.
故·＋·的最小值为8.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
向量在解析几何中的两个作用
1．载体作用
向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义和运算脱去“向量外衣”，进而解决有关距离、夹角、轨迹和最值的问题．
2．工具作用
利用解析几何中的线平行、点共线及夹角和长度等问题的向量表示，快捷地解决问题．
角度Ⅳ.平面向量创新应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
7．[2021福建漳州一中月考]已知非零向量a，b，满足|a|＝2|b|，若函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx＋1在R上存在极值，则a和b夹角的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　B　[解析]　由题意可知，f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b，∵f(x)在R上存在极值，∴f′(x)＝0在R上有两个不等实数根，∴Δ＝|a|2－4a·b>0.设a与b的夹角为θ，则有|a|2－4|a||b|·cos θ>0，∴|a|>4|b|cos θ，又知|a|＝2|b|，∴cos θ<＝＝，又知θ∈[0，π]，∴θ∈，即a与b夹角的取值范围为，故选B.
8．设S是一些向量的集合，a∈S，如果a的长度不小于S中其余所有向量之和的长度，那么称a是S中的一个长向量．对于S＝{a1，a2，…，an}，n>2，已知S中的每一个向量都为长向量，证明：a1＋a2＋…＋an＝0.
[证明]　设m＝a1＋a2＋…＋an，
则|ai|≥|m－ai|，
可得a≥(m －ai)2＝m2－2m·ai＋a，m·(m－2ai)≤0.
若m≠0，设m·(m－2a1)≤0，…，m·(m－2an)≤0，
相加，得m·(nm－2m)≤0，
(n－2)m2≤0，
由于n>2，因此，m＝0.
即a1＋a2＋…＋an＝0.
提醒 完成限时跟踪检测(二十六)
第四节　数系的扩充与复数的引入
[复习要点]　1.理解复数的概念．
2．理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示法及其几何意义．
4．能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示．
5．能进行复数代数形式的四则运算．
6．了解两个具体复数相加、相减的几何意义．
知识点一　复数的有关概念
1．复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的________和________．若________，则a＋bi为实数，若________，则a＋bi为虚数，若________，则a＋bi为纯虚数．
2．复数相等
a＋bi＝c＋di ________(a，b，c，d∈R)．
3．共轭复数
a＋bi与c＋di共轭 a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
4．复数的模
复数z＝a＋bi在复平面中的对应向量为向量，向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作________或________，即|z|＝|a＋bi|＝r＝________(r≥0，r∈R)．
答案：1.实部　虚部　b＝0　b≠0　a＝0，b≠0　2.a＝c且b＝d　4.|z|　|a＋bi|　
知识点二　复数的几何意义
1．复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
2．复数z＝a＋bi一一对应平面向量＝(a，b)(a，b∈R)．
知识点三　复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝________；
(4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
答案：(1)(a＋c)＋(b＋d)i　(2)(a－c)＋(b－d)i　(3)(ac－bd)＋(ad＋bc)i
?链/接/教/材
1．[选修2－2·P111·练习T3改编]＝(　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
答案：D　解析：＝＝＝2－i.故选D.
2．[选修2－2·P106·A组T2，T5](1)实数m取什么值时，复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i是
①实数；②虚数；③纯虚数．
(2)实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2－5m－14)i的点
①位于第四象限；②位于第一、三象限；③位于直线y＝x上．
解：(1)①当m2－3m＝0，即m＝0或m＝3时，所给复数是实数．
②当m2－3m≠0，即m≠0且m≠3时，所给复数是虚数．
③当即m＝2时，所给复数是纯虚数．
(2)①当即－2②当或即m<－2或37时，复数z对应的点位于第一、三象限．
③当m2－8m＋15＝m2－5m－14，
即m＝时，复数z对应的点位于直线y＝x上．
?易/错/问/题
复数有关概念的误区：纯虚数；虚部；共轭复数．
(1)已知复数z＝m2－1＋(m－1)i是纯虚数，则实数m＝__________.
(2)复数3－2i的虚部为__________．
(3)复数2＋3i的共轭复数是__________．
(1)答案：－1　解析：(1)由m2－1＝0且m－1≠0，得m＝－1.
(2)答案：虚部为－2.
(3)答案：复数2＋3i的共轭复数是2－3i.
?通/性/通/法
掌握复数代数运算中常用的几个结论．
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝____________；＝____________；＝____________.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝__________，n∈N*.
答案：(1)±2i　i　－i　(2)0
题型　复数的有关概念
角度Ⅰ.实部与虚部
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2020全国卷Ⅲ，理]复数的虚部是(　　)
A．－ B．－
C． D．
[答案]　D　[解析]　本题考查复数的概念及乘除运算．因为＝＝＋i，所以复数的虚部是.故选D.
2．[多选]欧拉公式exi＝cos x＋isin x(其中i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是(　　)
[答案]　BCD
3．[2021江苏模拟]设复数z＝2 018＋2 019，其中i为虚数单位，则的虚部是________，|z|＝________.
[答案]　1　　[解析]　∵＝＝－i，＝＝i，∴z＝2 018＋2 019＝(－i)2 018＋i2 019＝i2＋i3＝－1－i，∴＝－1＋i，则的虚部为1，|z|＝.
角度Ⅱ.复数的分类
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．[2017天津卷]已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．
[答案]　－2　[解析]　∵＝
＝
＝－i为实数，
∴－＝0，∴a＝－2.
5．[2021河北唐山模拟]若z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)
A．－2 B．2
C．3 D．－3
[答案]　D　[解析]　∵z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，∴解得m＝－3，故选D.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
复数的分类问题
1．将复数(非标准形式)化为a＋bi(a，b∈R)的形式，
实数 b＝0
纯虚数 a＝0，b≠0
非纯虚数 a≠0，b≠0
2.为实数(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则
＝(c，d≠0)；a与c或b与d同时为0.
3．(a＋bi)(c＋di)为实数(a，b，c，d∈R)
＝－(c，d≠0)；a与c或b与d同时为0.
当与(a＋bi)(c＋di)为纯虚数时，可以转化为与(a＋bi)(－d＋ci)为非零实数的情况．
角度Ⅲ.共轭复数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．[2021湖南岳阳模拟]已知a，b∈R，(a－i)i＝b－2i，则a＋bi的共轭复数为(　　)
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
[答案]　A　[解析]　由(a－i)i＝1＋ai＝b－2i，得∴a＋bi＝－2＋i，其共轭复数为－2－i.故选A.
7．[2021湖南湘潭模拟]已知复数z＝－－1，则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(　　)
A．(－1，－1) B．(－1,1)
C．(1,2) D．(1，－2)
[答案]　A　[解析]　z＝－－1＝－1＋i，＝－1－i，则在复平面内，对应点的坐标为(－1，－1)．故选A.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
共轭复数的性质
(1)z＝ z为实数
(2)z＋＝0(且z≠0) z为纯虚数
(3)|z|＝||
(4)z·＝|z|2＝||2
角度Ⅳ.复数相等
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
8．[2017浙江卷]已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.
[答案]　5　2　[解析]　(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.由(a＋bi)2＝3＋4i，得解得a2＝4，b2＝1.所以a2＋b2＝5，ab＝2.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
(1)利用复数相等时，要将等号两边都化为标准代数形式．
(2)复数z＝a＋bi＝0(a，b∈R) a＝0，b＝0.
(3)两个复数如果不全是实数，不能比较大小，只能说相等或不相等．
题型　复数的几何意义
角度Ⅰ.复数的几何意义
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2019全国卷Ⅰ]设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
[答案]　C　[解析]　由已知条件，可得z＝x＋yi.
∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1，
∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
2．[多选][2021山东济南模拟]已知复数z＝1＋cos 2θ＋isin 2θ，其中i为虚数单位，下列说法正确的是(　　)
A．复数z在复平面上对应的点可能在第二象限
B．z可能为实数
C．|z|＝2cos θ
D．的实部为
[答案]　BCD　[解析]　本题考查复数的概念、模的计算，复数的运算和几何意义以及三角恒等变换公式的应用．因为－<θ<，所以－π<2θ<π，所以－1＝
＝
＝，
的实部是＝，故D选项正确．故选BCD.
3．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
[答案]　1　[解析]　由条件，得＝(3，－4)，
＝(－1,2)，＝(1，－1)，
根据＝λ＋μ，得
(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
∴解得∴λ＋μ＝1.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
(1)复数z、复平面上的点Z及向量间的相互联系：z＝a＋bi(a，b∈R)
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题简单化．
角度Ⅱ.复数的模
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．
[答案]　2π　[解析]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z－i|≤，得|x＋(y－1)i|≤，
所以≤，
所以x2＋(y－1)2≤2，
所以z在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，
以为半径的圆及其内部，它的面积为2π.
5．[多选][2021福建泉州适应性测试]欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位，x∈R，e为自然对数的底数)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是(　　)
A．eπi＋1＝0
B．|eix|＝1
C．cos x＝
D．e12i在复平面内对应的点位于第二象限
[答案]　AB　[解析]　本题考查新定义、复数的模及几何意义．eπi＋1＝cos π＋isin π＋1＝0，A正确；|eix|＝|cos x＋isin x|＝cos2x＋sin2x＝1，B正确；eix＝cos x＋isin x，e－ix＝cos(－x)＋isin(－x)＝cos x－isin x，两式相加得cos x＝，C错误；依题可知eix表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos x，sin x)，故e12i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos 12，sin 12)，显然该点位于第四象限，D错误．故选AB.
题型　复数的运算
角度Ⅰ.复数的四则运算
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2020全国卷Ⅰ，理]若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　　)
A．0 B．1
C． D．2
[答案]　D　[解析]　本题考查复数的基本运算．因为z＝1＋i，所以z2＝(1＋i)2＝2i.所以z2－2z＝2i－(2＋2i)＝－2，所以|z2－2z|＝2，故选D.
2．已知i是虚数单位，2 020＋6＝________.
[答案]　－2　[解析]　原式＝1 010＋6＝1 010＋i6＝i4×252＋2＋i4＋2＝i2＋i2＝－2.
3．已知i为虚数单位，复数z＝，求z·的值．
[解]　由题意可知，|z|＝＝＝，
所以z·＝|z|2＝2＝.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
复数运算技巧
1．充分观察题中的数字特征
＝＝i.
2．充分利用复数模、共轭复数的运算性质
z·＝|z|2＝||2＝|z2|＝a2＋b2.
3．利用一些基本结论简化计算
(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i；
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，
i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
角度Ⅱ.一元二次方程在复数范围内的解以及复数的高次幂
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．已知复数z满足z2＋z＋1＝0，则z＝________，z2 019＝________.
[答案]　－±i　1　[解析]　∵z2＋z＋1＝2＋＝0，
∴2＝－＝2，
∴z＝－±i.
∵(z2＋z＋1)(z－1)＝z3－1＝0，
∴z3＝1，∴z2 019＝z3×673＝1673＝1.
5．方程x2－6x＋25＝0的一个根是(　　)
A．－3－4i B．3＋4i
C．－4＋3i D．4－3i
[答案]　B　[解析]　∵x2－6x＋25＝(x－3)2＋16＝0，
∴(x－3)2＝－16＝(±4i)2，
∴x－3＝±4i，∴x＝3±4i.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
在复数范围内，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c∈R)的判别式Δ<0时，该方程有两个虚根，且它们互为共轭复数．
角度Ⅲ.复数与三角、向量知识的交汇
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．已知i为虚数单位，复数z1＝cos 15°＋isin 15°，复数z2＝cos 45°＋isin 45°，则z1·z2＝____________.
[答案]　＋i　[解析]　由题可知，z1·z2＝(cos 15°＋isin 15°)(cos 45°＋isin 45°)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋isin 60°＝＋i.
7．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数为(　　)
A．＋i B．＋i
C．＋i D．＋i
[答案]　B　[解析]　复数1＋i对应的向量为＝(1,1)，如图所示，
顺时针旋转后得向量，所以以x轴为始边，以OB所在的射线为终边的角∠xOB＝－＝－，所以点B的横坐标为xB＝cos＝×＝.
纵坐标yB＝sin＝－sin
＝－×＝－，
所以＝，
对应的复数为＋i.
8．若复数(1－i)(cos θ＋isin θ)在复平面内对应的点在第二象限，则实数θ的取值范围是_____________________．
[答案]　，k∈Z　[解析]　复数(1－i)(cos θ＋isin θ)＝(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i，
若该复数在第二象限内，则由单位圆中的三角函数线可判断出θ的取值范围是，k∈Z.
提醒 完成限时跟踪检测(二十七)

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