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第七章　不等式
第一节　不等关系与不等式
[复习要点]　1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，理解不等式的实际背景．
2．理解不等式的性质，能运用不等式的性质，比较两数的大小．
知识点一　比较两个实数的大小
(1)作差法
(2)作商法
答案：(1)>　＝　<　(2)>　＝　<
知识点二　不等式的性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 a>b ________
传递性 a>b，b>c ________
可加性 a>b ________
可乘性 ________ 注意c的符号
________
同向可加性 ________
同向同正可乘性 ________
可乘方性 a>b>0 ______(n∈N，n≥1) a，b同为正数
可开方性 a>b>0 >(n∈N，n≥2)
答案：bc　a＋c>b＋c　ac>bc　acb＋d　ac>bd>0　an>bn
?链/接/教/材
1．[必修5·P74·例1]设a0，则下列不等式中不成立的是(　　)
A．> B．>
C．|a|c>－bc D．>
答案：B　解析：由题设得a所以有< <，
所以B中式子不成立．
2．[必修5·P75·A组T3]已知x>0，求证<1＋.
证明：∵x>0，>0，
∴＋x＋1>x＋1>0，
∴2>()2>0，
∴<1＋.
?易/错/问/题
不等式性质的两个易错点：不等号的传递性；可乘性．
(1)若a＞b，b≥c，则a与c的大小关系是________．
(2)若a＞b，则ac与bc的大小关系________．
(1)答案：a＞c　解析：由a＞b，b≥c，得a＞c.
(2)答案：不确定　解析：若c＞0，则ac＞bc；若c＜0，则ac＜bc；若c＝0，则ac＝bc.
?通/性/通/法
1．比较两个数大小的方法：差值法；商值法．
(1)若ab>0，且a>b，则与的大小关系是________．
(2)1618与1816的大小关系是________.
(1)答案：<　解析：∵a>b，∴b－a<0，
又ab>0，∴－＝<0，即<.
(2)答案：1618＞1816　解析：＝＝16·162＝16·28＝8·28＝8＞1，故1618＞1816.
2．不等式性质的两个应用：确定取值范围；求最值.
(1)若－<α<β<，则α－β的取值范围为________．
(2)若实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．
(1)答案：(－π，0)　解析：因为－<α<，－<－β<，
所以－π<α－β<π.
又α<β，所以α－β<0，
所以－π<α－β<0.
(2)答案：27　解析：由3≤xy2≤8,4≤≤9，
可知x>0，y>0，且≤≤，16≤≤81，
可得2≤≤27，故的最大值是27.
题型　不等式的性质
角度Ⅰ.不等关系的判断
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[多选]若a>1>b>0，－1A．≥ B．a＋c>b
C．acb－c
[答案]　CD　[解析]　由于 <，故A错误；特殊值法：可选取a＝，b＝，c＝－，符合大前提，则a＋c2．[多选][2021山东日照五莲一中检测]已知a>b≥2，则(　　)
A．b2<3b－a B．a3＋b3>a2b＋ab2
C．ab>a＋b D．＋>＋
[答案]　BC　[解析]　本题考查利用不等式的性质比较大小．
A项，已知a>b≥2，不妨取a＝3，b＝2，则b2＝4,3b－a＝3，b2<3b－a不成立．
B项，a3＋b3－(a2b＋ab2)＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)2(a＋b)>0，故B成立；
C项，ab－a－b＝a(b－1)－b＝(b－1)＝(b－1)·>0，故C成立；
D项，＋－－＝≥0，
故D不成立．
3．设a>b>0，m>0，n>0，则，，，由小到大的顺序是____________________．
[答案]　<<<
[解析]　∵－＝＝<0，
∴<<1.
∵－＝＝<0，
∴1<<.
∴<<<.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
不等式中有关倒数和分数的性质
1．有关倒数的性质
①a>b，ab>0 <；
②a<0③a>b>0,0；
④02．有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
①真分数的性质：<；>(b－m>0)；
②假分数的性质：>；<(b－m>0)．
角度Ⅱ.待定系数法求代数式的范围
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．[2021东北三省四市联考]已知角α，β满足－<α－β<，0<α＋β<π，求3α－β的取值范围．
[解]　结合题意可知，3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，
且2(α－β)∈(－π，π)，(α＋β)∈(0，π)，
由不等式的性质可知3α－β的取值范围是(－π，2π)．
5．已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
[解]　由题意知，f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b.
设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b，
则解得
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤f(－2)≤10.
故f(－2)的取值范围为[5,10]．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
利用待定系数法求代数式的取值范围
已知M1(1)设g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；
(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；
(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．
题型　代数式的大小比较
角度Ⅰ.差值比较法
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．若a>1，b<1，则下列两式的大小关系为ab＋1________a＋b.
[答案]　<　[解析]　(ab＋1)－(a＋b)＝1－a－b＋ab＝(1－a)(1－b)，∵a>1，b<1，∴1－a<0,1－b>0，∴(1－a)(1－b)<0，∴ab＋12．[2021福建厦门模拟]已知a>b>0，x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，则(　　)
A．xC．z[答案]　A　[解析]　解法一：由题意，令a＝2，b＝1，
则x＝2＋e，y＝1＋2e2，z＝1＋2e，
显然有1＋2e2>1＋2e>2＋e，即x解法二：a>b>0时，ea>eb，
∴aea>aeb>beb，
∴b＋aea>b＋aeb>b＋beb，∴y>z.
∵z－x＝(b－a)＋(a－b)eb＝(a－b)(eb－1)>0，
∴z>x.∴x方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
差值比较法
1．原理
设a，b∈R，则a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a2．步骤
作差并变形 判断差与0的大小 得结论．
[注意]　利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形．
当两个代数式正负不确定且为多项式形式时，常用作差法比较大小．
角度Ⅱ.商值比较法
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小．
[解]　＝aa－b·bb－a＝a－b，
当a>b>0时，>1，a－b>0，
则a－b>1，于是aabb>abba；
当b>a>0时，0<<1，a－b<0，
则a－b>1，于是aabb>abba.
故当a>0，b>0，且a≠b时，aabb>abba.
4．已知a，b，c都为正实数，试比较aabbcc与abc的大小．
[解]　不妨设：a≥b≥c，则＝abc＝a·b·c＋＝·，由a≥b≥c知，，都不小于1，≥0，≥0，故上式≥1，从而aabbcc≥abc.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
商值比较法
1．原理
设a>0，b>0，则>1 a>b；＝1 a＝b；<1 a2．步骤
作商并变形 判断商与1的大小 得结论．
[注意]　作商时各式的符号应相同，如果a，b均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反．变形方法有分母(或分子)有理化，指、对数恒等变形等．
一般幂的形式的代数式比较大小，常采用商值比较法．
角度Ⅲ.单调性法比较大小关系
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．[2019全国卷Ⅱ]若a>b，则(　　)
A．ln(a－b)>0 B．3a<3b
C．a3－b3>0 D．|a|>|b|
[答案]　C　[解析]　解法一：不妨设a＝－1，b＝－2，则a>b，可验证A，B，D错误，只有C正确．
解法二：由a>b，得a－b>0，但a－b>1不一定成立，则ln(a－b)>0 不一定成立，故A不一定成立．
因为y＝3x在R上是增函数，当a>b时，3a>3b，故B不成立．
因为y＝x3在R上是增函数，当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C成立．
因为当a＝3，b＝－6时，a>b，但|a|<|b|，所以D不一定成立．故选C.
6．[多选][2021山东一模]对于实数a，b，m，下列说法正确的是(　　)
A．若am2>bm2，则a>b
B．若a>b，则a|a|>b|b|
C．若a>b>0且|ln a|＝|ln b|，则2a＋b∈(2，＋∞)
D．若b>a>0，m>0，则>
[答案]　ABD　[解析]　本题考查根据不等式性质判断大小、利用作差法比较大小．对实数a，b，m.
∵am2>bm2，∴m2>0，
∴a>b，A正确．
∵a>b，分三种情况，
当a>0>b时，a|a|>0>b|b|；
当0>a>b时，a|a|＝－a2>－b2＝b|b|；
当a>b>0时，a|a|＝a2>b2＝b|b|，
∴a|a|>b|b|成立，B正确．
若a>b>0且|ln a|＝|ln b|，
∴＝a，且a>1.
∴2a＋b＝2a＋.
设f(a)＝2a＋(a>1)，
∵f′(a)＝2－>0，
∴f(a)在区间(1，＋∞)上单调递增，
∴f(a)>3，即2a＋b∈(3，＋∞)，C错误．
∵b>a>0，m>0，
∴－＝＝＝>0，D正确．
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
1．利用函数性质比较数式的大小，得到函数的单调区间是问题求解的关键，解题时，指数、对数、三角函数单调性的运用是解题的主要形式．
2．通过对称性、周期性，可以将比较大小的数式转化到同一个单调区间，有利于其大小比较．
3．导数工具的应用，拓宽了这类问题的命题形式和解题难度，值得我们关注和重视．
角度Ⅳ.中间量和特殊值法比较大小
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
7．已知a＝log23，b＝log0.20.3，c＝e－1，则a，b，c的大小关系是　(　　)
A．cC．b[答案]　B　[解析]　a＝log23>log22＝1；log0.28．[2017山东卷]若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)
A．a＋＜＜log2(a＋b)
B．＜log2(a＋b)＜a＋
C．a＋＜log2(a＋b)＜
D．log2(a＋b)＜a＋＜
[答案]　B　[解析]　解法一：∵a＞b＞0，ab＝1，
∴log2(a＋b)＞log2(2)＝1.
∵＝＝a－1·2－a，
令f(a)＝a－1·2－a，
又∵b＝，a＞b＞0，∴a＞，解得a＞1.
∴f′(a)＝－a－2·2－a－a－1·2－a·ln 2＝－a－2·2－a·(1＋aln 2)＜0，
∴f(a)在(1，＋∞)上单调递减．
∴f(a)＜f(1)，即＜.
∵a＋＝a＋a＝2a>a＋b>log2(a＋b)，
∴解法二：∵a＞b＞0，ab＝1，
∴取a＝2，b＝，
此时a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log25－1≈1.3，
∴＜log2(a＋b)＜a＋.故选B.
9．[2021江西南昌二中月考]若a>1,0A．loga2 020>logb2 020
B．logbaC．(c－b)ca>(c－b)ba
D．(a－c)ac>(a－c)ab
[答案]　D　[解析]　∵a>1,0∴logab<0，loga2 020>0，
∴logb2 020＝∵0>logab>logac，∴<，
∴logba∵ca∴(c－b)ca>(c－b)ba，∴C正确；
∵ac0，
∴(a－c)ac<(a－c)ab，
∴D错误．故选D.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
中间量法比较大小的思路
利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数、式灵活选择中间变量，指数式比较大小，一般选取1和指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取0和1作为中间值，其实质就是根据对数函数f(x)＝logax的单调性判断其与f(1)，f(a)的大小．
题型　不等式与函数知识的综合
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021江西重点中学联考]定义在(－1,1)上的函数f(x)－f(y)＝f，当x∈(－1,0)时，f(x)>0.若P＝f＋f，Q＝f，R＝f(0)，则P，Q，R的大小关系为(　　)
A．R>Q>P B．R>P>Q
C．P>R>Q D．Q>P>R
[答案]　B　[解析]　取x＝y＝0，
则f(0)－f(0)＝f(0)，所以f(0)＝0.
设－1所以f>0，
所以f(x)>f(y)，
所以函数f(x)在(－1,1)上为减函数．
由f(x)－f(y)＝f，得
f(x)＝f(y)＋f，
取y＝，＝，则x＝，
所以P＝f＋f＝f.
因为0<<，所以f(0)>f>f，
所以R>P>Q.
2．[多选]若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)>k>1，其中一定正确的结论的是(　　)
A．f>0 B．f(k)>k2
C．f> D．f<
[答案]　ACD　[解析]　令g(x)＝f(x)－kx，
则g′(x)＝f′(x)－k，
∵f′(x)>k，∴g′(x)>0，
∴g(x)在R上是增函数，
∵k>1，∴0<<1，
∴g＝f－1>g(0)＝f(0)＝－1，
∴f>0，∴A正确；
∵g(k)＝f(k)－k2>g(1)＝f(1)－k，f(1)和k的大小关系不确定，
∴B不一定正确；
由k>1知>0，g＝f－>g(0)＝－1，
∴f>－1＝，∴C正确；
由k>1知<0，g＝f－∴f<－1＝，
∴D正确．故一定正确的是ACD.
提醒 完成限时跟踪检测(三十二)
第二节　一元二次不等式及其解法
[复习要点]　1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
3．会解一元二次不等式．
知识点一　一元二次不等式的解法
1．将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数________零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．
2．计算相应的________．
3．当________时，求出相应的一元二次方程的根．
4．利用二次函数的图象与x轴的________确定一元二次不等式的解集．
答案：1.大于　2.判别式　3.Δ≥0　4.交点
知识点二　三个二次之间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有_______实根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ________ ________ ________
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ________ ________ ________
答案：两相异　两相等　没有　{x|x>x2或x?链/接/教/材
1．[必修5·P80·A组T4]设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：D　解析：易知A＝(1,3)，
B＝，
∴A∩B＝.故选D.
2．[必修5·P104·B组T3]若关于x的不等式－x2＋2x>mx的解集为{x|0答案：1　解析：原不等式可化为x2＋2(m－2)x<0，
由题意，得x＝0与x＝2即为方程x2＋2(m－2)x＝0的两根，所以－2(m－2)＝2，解得m＝1.
?易/错/问/题
1．二次不等式的系数的讨论．
(1)不等式x(1－2x)＞0的解集是________．
(2)不等式(ax－1)(x－2)＜0(a≤0)的解集是________．
(1)答案：　解析：由不等式x(1－2x)＞0，得不等式x(2x－1)＜0，解得0＜x＜.
(2)答案：当a＜0时，；当a＝0时，{x|x＞2}　解析：当a＜0时，不等式(ax－1)(x－2)＜0可化为(x－2)>0，解得x>2或x<；当a＝0时，不等式(ax－1)(x－2)＜0可化为x－2＞0，解得x＞2.
2．求不等式中参数值的两个方法：判别式；根与系数的关系．
(1)若关于x的不等式ax2＋x－1≤0的解集为R，则常数a的取值范围是________．
(2)若关于x的不等式ax2＋3x＋c≥0的解集为[1,2]，则a＝________，c＝________.
(1)答案：　解析：由题意，得 解得a≤－.
(2)答案：－1　－2　解析：由题意，得方程ax2＋3x＋c＝0的两根为x1＝1，x2＝2，由根与系数的关系，得1＋2＝－，1×2＝，解得a＝－1，c＝－2.
?通/性/通/法
一元二次不等式的应用：不等式在R上恒成立．
(1)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．
(2)函数f(x)＝ln(3x2＋ax＋1)的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
(1)答案：(0,8)　解析：∵x2－ax＋2a>0在R上恒成立，∴Δ＝a2－4×2a<0，解得0(2)答案：(－2，2)　解析：依题意，知3x2＋ax＋1>0对任意实数x恒成立，所以Δ＝a2－4×3×1<0，解得－2题型　二次不等式和高次不等式的解法
角度Ⅰ.不含参的二次不等式的解法
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021河南濮阳模拟]已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|α0)，则不等式cx2＋bx＋a<0的解集是　(　　)
A．
B．∪
C．(α，β)
D．(－∞，α)∪(β，＋∞)
[答案]　B　[解析]　不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|α0)，则α，β是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，且a<0，∴α＋β＝－，αβ＝.不等式 cx2＋bx＋a<0化为x2＋x＋1>0，∴αβx2－(α＋β)x＋1>0，化为(αx－1)(βx－1)>0，又0<α<β，∴>>0，∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集为
，故选B.
2．解下列不等式：
(1)19x－3x2≥6；
(2)8x－1≤16x2；
(3)0[解]　(1)原不等式可化为3x2－19x＋6≤0，因为函数 y＝3x2－19x＋6的图象开口向上且与x轴有两个交点和(6,0)，所以原不等式的解集为.
(2)8x－1≤16x2 16x2－8x＋1≥0 (4x－1)2≥0，所以对于任意的x∈R，原不等式都成立，所以原不等式的解集为R.
(3)原不等式等价于 利用数轴(如图)可知，原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2解/题/感/悟(小提示，大智慧)
1．熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不等式求解的基础，可结合一元二次方程及判别式或二次函数的图象来记忆求解．
2．解一元二次不等式的步骤：
(1)把二次项系数化为正数；
(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法；
(3)利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
角度Ⅱ.含参二次不等式的解法
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0(a∈R)．
[解]　原不等式可化为(ax－1)(x－2)<0.
(1)当a>0时，原不等式可以化为a(x－2)<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)·<0.
因为方程(x－2)＝0的两个根分别是2，，
所以当0则原不等式的解集是；
当a＝时，原不等式的解集是 ；
当a>时，<2，则原不等式的解集是.
(2)当a＝0时，原不等式为－(x－2)<0，解得x>2，即原不等式的解集是{x|x>2}．
(3)当a<0时，原不等式可以化为a(x－2)<0，
根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)>0，
由于<2，故原不等式的解集是
.
综上所述，
当a<0时，不等式的解集为
；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>2}；
当0；
当a＝时，不等式的解集为 ；
当a>时，不等式的解集为
.
4．解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0(k∈R)．
[解]　①当k＝0时，不等式的解为x＞0.
②当k＞0时，若Δ＝4－4k2＞0，
即0＜k＜1时，不等式的解为
＜x＜；
若Δ≤0，即k≥1时，不等式无解．
③当k＜0时，若Δ＝4－4k2＞0，
即－1＜k＜0时，
不等式的解为x＜
或x＞；
若Δ＜0，即k＜－1时，不等式的解集为R；
若Δ＝0，即k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}．
综上所述，当k≥1时，不等式的解集为 ；
当0＜k＜1时，不等式的解集为
；
当k＝0时，不等式的解集为{x|x＞0}；
当－1＜k＜0时，不等式的解集为
；
当k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}；
当k＜－1时，不等式的解集为R.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
对于含参二次不等式，应注意参数出现的位置．二次项系数出现参数，需要讨论系数和零的大小；如果可以通过因式分解法求得两个根，根里面含参，那么就需要对根的大小关系进行讨论；如不能因式分解求根，则需要对判别式进行讨论．总之我们一定要关注参数出现的位置，往往既要讨论二次项系数，同时还需要讨论根的大小！
角度Ⅲ.分式不等式或高次不等式的解法
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．不等式≤0的解集为(　　)
A．
B．
C．∪[1，＋∞)
D．∪[1，＋∞)
[答案]　A　[解析]　不等式≤0 －方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
1．分式不等式的转化途径
解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式．
(1)>0 f(x)g(x)>0；
(2)<0 f(x)g(x)<0；
(3)≥0
(4)≤0
2．“穿针引线法”解一元高次不等式
如果分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般使用数轴标根法(亦称穿针引线法)求解．画出符号波浪线，特点是：
(1)最右端的区间符号为正；
(2)从右至左符号正负交替，并关注因子的指数奇偶的变化，从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，注意应遵循“奇穿偶切”原则．如(x－1)2(x－2)(x－3)>0在数轴上标根穿线时，点1处的线过而不穿．
6．不等式>0的解集是________________．
[答案]　{x|－22}
[解析]　>0
>0
(x－2)(x＋2)(x＋1)>0，
∴原不等式对应的方程(x－2)(x＋2)·(x＋1)＝0的根为2，－2，－1，
在数轴上标根并穿线，如图所示．
由穿针引线法，得不等式>0的解集是
{x|－22}．
题型　二次不等式的恒成立问题
角度Ⅰ.在R上的恒成立问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[－2,2]
C．(－2,2] D．(－∞，－2)
[答案]　C
2．[2021河南豫西南五校联考]已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　　)
A．[0,1]
B．(0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
[答案]　A　[解析]　当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，其恒成立；
当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，
只需解得0综上，k的取值范围是0≤k≤1.故选A.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
不等式在实数范围内恒成立的求解方法
(1)不等式ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是：
①当a＝0时，b＝0，c≥0；
②当a≠0时，
　
(2)不等式ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是：
①当a＝0时，b＝0，c≤0；
②当a≠0时，
　
角度Ⅱ.在给定区间内恒成立求参数问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．已知f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，则实数m的取值范围是________．
[答案]　　[解析]　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
只需mx2－mx＋m<6在x∈[1,3]上恒成立，
又因为x2－x＋1＝2＋>0，
所以m<.
令y＝＝.
因为t＝2＋在[1,3]上是增函数，
所以y＝在[1,3]上是减函数．
因此函数的最小值ymin＝.
所以m的取值范围是.
4．[2021内蒙古包头联考]若关于x的不等式x3－3x2－ax＋a＋2≤0在(－∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3] B．[－3，＋∞)
C．(－∞，3] D．[3，＋∞)
[答案]　A　[解析]　关于x的不等式x3－3x2－ax＋a＋2≤0在(－∞，1]上恒成立，
等价于a(x－1)≥x3－3x2＋2＝(x－1)(x2－2x－2)在(－∞，1]上恒成立．
当x＝1时，0≤0成立；
当x<1时，x－1<0，
则a≤x2－2x－2，
因为y＝x2－2x－2＝(x－1)2－3>－3在x<1时恒成立，所以a≤－3.
综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－3]．故选A.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
一元二次不等式在给定区间上恒成立的求解方法
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(1)当a<0时，f(x)<0在x∈[α，β]上恒成立 或或Δ<0.
f(x)>0在x∈[α，β]上恒成立
(2)当a>0时，
f(x)<0在x∈[α，β]上恒成立
f(x)>0在x∈[α，β]上恒成立 或或Δ<0.
[提示]　在求解一元二次不等式时，一定要注意二次项系数的正、负及等号对解集的影响．
角度Ⅲ.给定参数范围内恒成立，求x的范围
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．[2021江西八校联考]若对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(1,2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
[答案]　B
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
转换主元法解给定参数范围问题
解给定参数范围的不等式恒成立问题，若在分离参数时会遇到讨论的情况，或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值难以求出，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围列式求解．
题型　一元二次方程根的分布问题
角度Ⅰ.由根的限制条件求参数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021安徽黄山模拟]若函数f(x)＝4x－m·2x＋m＋3有两个不同的零点x1，x2，且x1∈(0,1)，x2∈(2，＋∞)，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－∞，－2)
B．(－∞，－2)∪(6，＋∞)
C．(7，＋∞)
D．(－∞，－3)
[答案]　C　[解析]　设t＝2x，则t>0，则函数f(t)＝t2－mt＋m＋3有两个不同的零点t1，t2，且t1∈(1,2)，t2∈(4，＋∞)，∴即 解得m>7.故选C.
2．设a∈R，关于x的一元二次方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0有两实根x1，x2，且0[解]　设函数f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2，其图象开口向上．
由题意知，
即
解得
∴－2∴a的取值范围为(－2，－1)∪(3,4)．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实根为x1，x2，且x1≤x2，k为常数，则一元二次方程根和k的分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下若干定理．
定理1：x1(即一个根小于k，一个根大于k) af(k)<0.
　　
定理2：k(即两根都大于k)
　　
定理3：x1≤x2(即两根都小于k)
　　
角度Ⅱ.二次方程在实数范围内有解求参数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是____________．
[答案]　
4．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是(　　)
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
[答案]　B
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
一元二次不等式在实数范围内有解的求解方法
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在实数范围内有解 或
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在实数范围内有解 或
角度Ⅲ.二次不等式在区间内有解求参数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．若关于x的不等式2x2－8x－4－a>0在[1,4]上有解，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)
C．(－12，＋∞) D．(－∞，－12)
[答案]　A　[解析]　令函数f(x)＝2x2－8x－4－a，其图象开口向上，且对称轴x＝－＝2在区间[1,4]内，
∴只需在区间[1,4]的端点处的函数值f(1)，f(4)中的最大值大于0，即可保证不等式2x2－8x－4－a>0在区间[1,4]上有解．
又∵2－1<4－2，
∴只需f(4)>0即可，
∴2×42－8×4－4－a>0，∴a<－4，
即a的取值范围为(－∞，－4)，故选A.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
在区间内有解，可以参变分离为a>f(x)或af(x)min或a角度Ⅳ.二次不等式有整数解求参数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．[2021广东梅州模拟]关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为　(　　)
A．(5,6] B．(5,6)
C．(2,3] D．(2,3)
[答案]　A　[解析]　关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0可化为(x－m)(x－2)<0，∵该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{x|27．若关于x的不等式(2x－1)2[解]　不等式(2x－1)2∵不等式(2x－1)2∴解得0∴不等式的解集为∵<<，
∴不等式(2x－1)2∴3<≤4，解得∴实数a的取值范围为.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
本例7中，要使关于x的不等式(2x－1)2提醒 完成限时跟踪检测(三十三)
第三节　基本不等式及其应用
[复习要点]　1.了解基本不等式的证明过程．
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
知识点一　重要不等式
a2＋b2≥________(a，b∈R)(当且仅当________时，等号成立)．
答案：2ab　a＝b
知识点二　基本不等式≤
1．基本不等式成立的条件：________.
2．等号成立的条件：当且仅当________时，等号成立．
3．其中叫做正数a，b的________，叫做正数a，b的________．
答案：1.a>0，b>0　2.a＝b　3.算术平均数　几何平均数
知识点三　利用基本不等式求最大、最小值问题
1．如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当________时，x＋y有最小值2.
(简记：“积定和最小”)
2．如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy有最大值.
(简记：“和定积最大”)
答案：1.x＝y
?链/接/教/材
1．[必修5·P99·例1(2)改编]若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为(　　)
A．9 B．18
C．36 D．81
答案：A
2．[必修5·P100·练习T1改编]设a>0，则9a＋的最小值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
答案：C
3．[必修5·P101·B组T2]如图，树顶A离地面a m，树上另一点B离地面b m，在离地面c m的C处看此树，离此树多远时看A，B的视角最大？
解：如图，过C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，
设∠BCD＝α，∠ACB＝β，CD＝x，
在△BCD中，tan α＝.
在△ACD中，tan(α＋β)＝.
则tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
＝≤
＝.
当且仅当x＝，
即x＝时，tan β取得最大值，从而看A，B的视角也最大．
?易/错/问/题
1．基本不等式的两个易错点：忽视不等式成立的条件；忽视等号成立的条件．
(1)已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
(2)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为________．
(1)答案：36　解析：∵x>0，a>0，
∴f(x)＝4x＋≥2＝4，
当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．
又∵f(x)在x＝3时取得最小值，
∴a＝4×32＝36.
(2)答案：5　解析：y＝sin x＋≥2＝4，
当sin x＝时，sin x＝±2，显然取不到等号．
事实上，设t＝sin x，x∈，则t∈(0,1]，易知y＝t＋在(0,1]上为减函数，故当t＝1时，y取得最小值5.
2．应用基本不等式的技巧：凑；拆．
(1)已知0(2)若x>1，则x＋的最小值为________．
(1)答案：　解析：由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时，等号成立．
(2)答案：5　解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5，当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立．
?核/心/素/养
某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．
答案：8　解析：年平均利润为＝－x－＋18＝－＋18，
因为x＋≥2＝10，
所以＝18－≤18－10＝8，
当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立．
题型　利用基本不等式求最值
角度Ⅰ.利用基本不等式求最值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2020江苏卷]已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．
[答案]　　[解析]　由5x2y2＋y4＝1，知y≠0，
∴x2＝，∴x2＋y2＝＋y2＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，即y2＝，x2＝时取等号．故x2＋y2的最小值为.
2．[2020天津卷]已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．
[答案]　4　[解析]　本题考查基本不等式的应用．由已知得，＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当＝且ab＝1，即或时取等号，故＋＋的最小值为4.
3．[多选][2021山东潍坊高密模拟]设正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，则(　　)
A．a2a9的最大值为10
B．a2＋a9的最大值为2
C．＋的最大值为
D．a＋a的最小值为200
[答案]　ABD　[解析]　本题考查利用基本不等式求最值．
因为正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，
所以(a2＋a9)2＝2a2a9＋20，即a＋a＝20.
A．a2a9≤＝＝10，当且仅当a2＝a9＝时，等号成立，故A选项正确；
B．由于2≤＝10，所以a2＋a9≤2，当且仅当a2＝a9＝时，等号成立，故B选项正确；
C．＋＝＝≥＝＝，当且仅当a2＝a9＝时，等号成立，
所以＋的最小值为，故C选项错误；
D．结合A的结论，有a＋a＝(a＋a)2－2a·a＝400－a·a≥400－2×102＝200，
当且仅当a2＝a9＝时，等号成立，故D选项正确．
方/法/总/结
利用对勾函数的性质求函数的最值
函数y＝ax＋(a>0，b>0)叫“对勾函数”，其图象如下：
适用范围：求形如y＝sin x＋，y＝x2＋的函数最值．
角度Ⅱ.配凑法求最值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．[2021安徽江南十校联考]已知实数x满足logx>1，则函数y＝8x＋的最大值为(　　)
A．－4 B．8
C．4 D．0
[答案]　D　[解析]　由logx>1得05．已知0[答案]　　[解析]　因为0所以0<5x<2,2－5x>0，
则f(x)＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)≤2＝，
当且仅当5x＝2－5x，即x＝时，等号成立，此时f(x)取得最大值.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
当拼凑和为定值或积为定值时，经常会遇到系数不匹配，或者常数项不匹配的现象，通过加减常数或者乘除系数的形式构造出满足要求的定值现象．
角度Ⅲ.常数代换法求最值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．[2021福建龙岩模拟]已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y的最小值为(　　)
A．3 B．5
C．7 D．9
[答案]　C　[解析]　∵x>0，y>0，且＋＝，
∴x＋1＋y＝2(x＋1＋y)
＝2
≥2＝8，
当且仅当＝，即x＝3，y＝4时，等号成立，
∴x＋y≥7，故x＋y的最小值为7，故选C.
7．[2021湖南长沙模拟]如图，在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1.设M是底面ABC内一点，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是三棱锥M－PAB、三棱锥M－PBC、三棱锥M－PCA的体积．若f(M)＝，且＋≥8恒成立，则正实数a的最小值为________．
[答案]　1　[解析]　∵PA，PB，PC两两垂直，
且PA＝3，PB＝2，PC＝1，
∴V三棱锥P－ABC＝××3×2×1＝1＝＋x＋y.
∴x＋y＝，则2x＋2y＝1.
∵a>0，∴＋＝(2x＋2y)＝2＋2a＋＋≥2＋2a＋4≥8
，
解得a≥1，∴正实数a的最小值为1.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
当出现条件代数式为常数的时候，常常巧用这个常数，借助代数式的结构特点，将常数代换，从而构造出积为定值的形式，为应用基本不等式求最值创造条件．
角度Ⅳ.换元法求最值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
8．[2021河南平顶山模拟]若对于任意x>0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　A　[解析]　由x>0，＝，
令t＝x＋，则t≥2＝2，
当且仅当x＝1时，t取得最小值2.
取得最大值，所以对于任意的x>0，不等式≤a恒成立，则a≥.
9．已知x>，求函数y＝的最小值．
[解]　设4x－5＝t，∵x>，∴t>0.
∴y＝＝＝t＋＋3≥2＋3＝5.
当且仅当t＝1，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，ymin＝5.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
求分式型函数的最值
角度Ⅴ.利用两次基本不等式求最值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
10．若a，b>0，则的最大值为________．
[答案]　　[解析]　原式＝≤＝
＝≤.
当且仅当
即时取得最大值．
11．已知a>b>0，那么a2＋的最小值为________．
[答案]　4
题型　不等式的证明
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2017全国卷Ⅱ]已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
[证明]　(1)(a＋b)(a5＋b5)
＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)
＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)
＝2＋，
所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.
2．已知a，b，c∈R，求证：
a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．
[证明]　∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2，
∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，
即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
又a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2，
c2a2＋a2b2≥2a2bc，
∴2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2(ab2c＋abc2＋a2bc)，
即a2b2＋b2c2＋c2a2≥ab2c＋abc2＋a2bc＝abc(a＋b＋c)．
∴a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
证明不等式的方法
证明不等式时，可依据待求证式两端的式子结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证．
先局部运用基本不等式，然后利用不等式的性质，通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明方法在证明轮换对称不等式时具有一定的普遍性．
题型　已知不等式恒成立求参数范围
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
[答案]　B　[解析]　(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(x>0，y>0，a>0)，
当且仅当y＝x时等号成立，
所以(x＋y)的最小值为(＋1)2，于是(＋1)2≥9恒成立，所以a≥4，故选B.
2．[多选]当0A．±2 B．±1
C．－4 D．4
[答案]　ABD
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
1．已知不等式恒成立求参数范围的一般方法是分离参数法，且有a>f(x)恒成立 a>f(x)max，a2．求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性．
题型　基本不等式与其他专题的综合
角度Ⅰ.与三角函数知识的结合
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2016江苏卷]在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________．
[答案]　8　[解析]　由sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bsin C，
得sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin B·sin C，
两边同时除以cos Bcos C，得
tan B＋tan C＝2tan Btan C，
令tan B＋tan C＝2tan Btan C＝m，
因为△ABC是锐角三角形，
所以2tan Btan C>2，
则tan Btan C>1，m>2.
又在三角形中，有tan Atan Btan C
＝－tan(B＋C)tan Btan C
＝－·m＝
＝m－2＋＋4
≥2＋4＝8，
当且仅当m－2＝，即m＝4时等号成立，
故tan Atan Btan C的最小值为8.
[探究]　若已知条件不变，则tan A＋tan B＋tan C的最小值为________．
答案：8　[解析]　在锐角△ABC中，
恒有tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan Btan C．
所以tan A＋tan B＋tan C的最小值为8.
2．[2021河南安阳模拟]已知θ∈，若θ满足不等式sin3θ－cos3θ≥ln，则θ的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　A　[解析]　∵sin3θ－cos3θ≥ln，∴sin3θ－cos3θ≥ln＝ln cos θ－ln sin θ，即sin3θ＋ln sin θ≥cos3θ＋ln cos θ，则sin θ>0且cos θ>0，∵θ∈，∴θ≠0且θ≠，∴θ∈.设f(x)＝x3＋ln x，x>0，则不等式sin3θ＋ln sin θ≥cos3θ＋ln cos θ等价于f(sin θ)≥f(cos θ)恒成立．f′(x)＝3x2＋，则当x>0时，f′(x)>0恒成立，故f(x)在定义域上为增函数，则f(sin θ)≥f(cos θ)等价于sin θ≥cos θ恒成立．∵θ∈，∴≥1，即tan θ≥1，∴≤θ<，即θ的取值范围是，故选A.
角度Ⅱ.与函数方程的结合
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2021晋冀鲁豫名校期末]已知函数f(x)＝x2ex，若a>0，b>0，p＝f，q＝f，r＝f(ab)，则下列关系式中正确的是(　　)
A．q≤r≤p B．q≤p≤r
C．r≤p≤q D．r≤q≤p
[答案]　D　[解析]　∵a>0，b>0，∴－2＝－＝≥0，∴≥2.又≥，∴2≥ab.∴≥2≥ab.又∵函数f(x)＝x2ex在区间(0，＋∞)上单调递增，∴f(ab)≤f≤f，即r≤q≤p.
4．[2021湖北鄂东南联考]方程(x2 018＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2 016)＝2 018x2 017的实数解的个数为________．
[答案]　1　[解析]　由题意知x>0，∴(x2 018＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2 016)≥ 2×(2＋2＋…＋2)＝2 018x2 017，当且仅当x＝1时等号成立，因此实数解的个数为1.
角度Ⅲ.与实际应用问题相结合
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)
A．80元 B．120元
C．160元 D．240元
[答案]　C
6．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
[解]　(1)设所用时间为t，
则t＝(h)，y＝×2×＋14×，
x∈[50,100]．
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是
y＝＋x，x∈[50,100]，
即y＝＋x，x∈[50,100]．
(2)y＝＋x≥26，
当且仅当＝x，即x＝18时等号成立．
故当x＝18时，这次行车的总费用最低，最低费用为26元．
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
有关函数最值的实际问题的解题技巧
1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
3．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
提醒 完成限时跟踪检测(三十四)