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第九章　平面解析几何
第一节　直线的倾斜角与斜率、直线方程
[复习要点]　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
知识点一　直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线 l________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴________时，规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为________．
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝________，倾斜角是90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝________.
3．直线的方向向量
若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上两点，则l的方向向量的坐标为________；若l的斜率为k，则方向向量的坐标为________．
答案：1.(1)向上方向　平行或重合　(2)[0°，180°)　2.(1)正切值　tan α　(2)　3.(x2－x1，y2－y1)　(1，k)
知识点二　直线方程的几种形式
名称 条件 方程 适用范围
点斜式 斜率k与点(x1，y1) y－y1＝k(x－x1) 不含直线x＝x1
斜截式 斜率k与直线在y轴上的截距b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
续表
名称 条件 方程 适用范围
两点式 两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)
截距式 直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 平面直角坐标系内的直线都适用
?链/接/教/材
1．[必修2·P99·练习T1改编]已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
答案：A　解析：由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.
2．[必修2·P86·练习T3改编]若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．
答案：1
3．[必修2·P100·A组T9改编]过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．
答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0
?易/错/问/题
1．斜率与倾斜角的两个易错点：斜率与倾斜角的对应关系；倾斜角的范围．
(1)当a＝3时，直线ax＋(a－3)y－1＝0的倾斜角为________．
(2)直线xcos α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是__________．
(1)答案：90°　解析：当a＝3时，直线ax＋(a－3)y－1＝0可化为3x－1＝0，其倾斜角为90°.
(2)答案：∪ 　解析：设直线的倾斜角为θ.
依题意知，斜率k＝－cos α.
∵cos α∈[－1,1]，∴k∈[－1,1]，
即tan θ∈[－1,1]．
又θ∈[0，π)，∴θ∈∪ .
2．直线方程的易错点：方程形式的变形及转化．
(1)给出下列直线方程：①x－3y＝6；②2x－3y＝0；③ax＋by＝c，其中一定能化为截距式方程的是________．
(2)过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________．
(1)答案：①　解析：x－3y＝6化为截距式方程为＋＝1；
2x－3y＝0不能化为截距式方程；
当a，b，c中有1个或2个为0时，ax＋by＝c不能化为截距式方程．
(2)答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
解析：①若直线过原点，则k＝－，
所以y＝－x，即4x＋3y＝0.
②若直线不过原点，
设直线方程为＋＝1，即x＋y＝a，
则a＝3＋(－4)＝－1，
所以直线方程为x＋y＋1＝0.
综上，所求直线方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.
?通/性/通/法
求斜率或倾斜角：函数法．
直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的变化范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案：B　解析：直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
由于α∈，
所以≤cos α≤，
因此k＝2cos α∈[1，]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]，
由于θ∈[0，π)，所以θ∈，
即倾斜角的变化范围是.
题型　直线的倾斜角与斜率
角度Ⅰ.由参数求倾斜角
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021湖北四地七校联考]已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　D　[解析]　由f＝f，知函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(0)＝f，所以a＝－b，由直线ax－by＋c＝0，知其斜率k＝＝－1，所以直线的倾斜角为，故选D.
2．已知两点A(－1,2)，B(m,3)，且实数m∈，求直线AB的倾斜角α的范围．
[解]　当m＝－1时，α＝；
当m≠－1时，
∵k＝∈(－∞，－ ]∪，
∴α∈∪.
综上知，直线AB的倾斜角α的范围是.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
斜率取值范围的两种求法
1．数形结合法
作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定．
2．函数图象法
根据正切函数图象，由倾斜角的范围求斜率范围，反之亦可．
角度Ⅱ.利用斜率公式解决动直线与线段相交
问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．已知A(1,2)，B(2,11)，若直线y＝x＋1(m≠0)与线段AB相交，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－2,0)∪[3，＋∞) B．(－∞，－1]∪(0,6]
C．[－2，－1]∪[3,6] D．[－2,0)∪(0,6]
[答案]　C
4．[2021湖南长沙第一中学月考]已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－4]∪
B．
C．∪
D．
[答案]　A　[解析]　解法一：由题意，得
kPA＝＝－4，kPB＝＝.
∵直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，
∴结合图象，可得k≥或k≤－4，
∴k的取值范围是(－∞，－4]∪.故选A.
解法二：设过点P(1,1)的直线方程为y－1＝k(x－1)，
即kx－y－k＋1＝0.
∵直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，
∴(2k＋3－k＋1)(－3k＋2－k＋1)≤0，即(k＋4)(4k－3)≥0，
解得k≥或k≤－4，
∴k的取值范围是(－∞，－4]∪.故选A.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
过定点的动直线与线段相交问题的解题策略
策略一：求得直线与线段相交的临界斜率，利用直线的倾斜角和斜率的关系求解；
直线过第二、四象限，斜率k<0，直线从x轴向y轴运动的过程中，斜率从0逐渐减小到－∞；
直线过第一、三象限，斜率k>0，直线从x轴向y轴运动的过程中，斜率从0逐渐增大到＋∞.
策略二：依据图形特征可知，线段的两个端点应在动直线上或分居直线的两侧，借助线性规划的有关知识，将线段两个端点的坐标分别代入动直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，其等号左边的代数式的乘积小于等于零．以此直接建立不等式求解．
题型　直线方程
角度Ⅰ.直线方程五种形式的应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．若A(1，－2)，B(5,6)，直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为____________．
[答案]　2x－3y＝0或x＋y－5＝0
2．经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程为____________．
[答案]　2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0
3．已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程是____________．
[答案]　x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0　[解析]　设直线l在y轴上的截距为b，
则直线l的方程是y＝x＋b，
令y＝0，则x＝－6b，
∵直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，
∴|－6b|·|b|＝3，
解得b＝±1.
∴直线l的方程是y＝x＋1或y＝x－1，
即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
4．已知点P(2,1)到直线l的距离为2，且直线l过原点，则直线l的方程是____________．
[答案]　x＝0或3x＋4y＝0　[解析]　∵直线l过原点，
∴可设直线l的方程为Ax＋By＝0(A2＋B2≠0)．
又点P(2,1)到直线l的距离为2，
∴＝2，
化简得4AB－3B2＝0，
解得B＝0或4A＝3B，
∴直线l的方程是x＝0或3x＋4y＝0.
5．[2021贵州遵义联考]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为(　　)
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y＋3 ＝0
C．x－2y－3＝0 D．x－2y＋3 ＝0
[答案]　D　[解析]　线段AB的中点为M(1,2)，kAB＝－2，
∴线段AB的垂直平分线为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.
∵AC＝BC，∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，
因此△ABC的欧拉线的方程为x－2y＋3＝0.故选D.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
求直线方程的两种常用方法
1．直接法
设出适当的直线方程形式，根据已知条件，直接写出直线方程．
2．待定系数法
先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线的方程．
[易错警示]　求直线方程
应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论直线是否过原点．
角度Ⅱ.含参直线系过定点问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．[2021黑龙江哈尔滨第六中学阶段检测]已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点，这个定点的坐标为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　D　[解析]　解法一：由a＋2b＝1，得
a＝1－2b，
∴直线ax＋3y＋b＝0的方程即(1－2b)x＋3y＋b＝0，
进一步可变形为b(1－2x)＋(x＋3y)＝0.
易得该直线经过直线1－2x＝0和x＋3y＝0的交点．
联立解得
∴直线ax＋3y＋b＝0必过定点.故选D.
解法二：比较xa＋b＋3y＝0和a＋2b－1＝0的对应系数，令＝＝，解得∴一定是方程ax＋3y＋b＝0的解，
∴即为所求定点的坐标．
故选D.
7．[2021云南保山模拟]已知坐标原点为O，过点P(2,6)作直线2mx－(4m＋n)y＋2n＝0(m，n不同时为零)的垂线，垂足为M，则|OM|的最大值为________，最小值为________．
[答案]　5＋　5－　[解析]　根据题意，直线2mx－(4m＋n)y＋2n＝0，
即m(2x－4y)－n(y－2)＝0，
令解得则直线恒过点(4,2)．
设Q(4,2)，又由MP与直线垂直，且M为垂足，则点M的轨迹是以PQ为直径的圆，其方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，所以5－≤|OM|≤5＋，即|OM|的最大值为5＋，最小值为5－.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
求含参直线系所过定点的坐标
1．直接法
求含参直线系恒过的定点时，可将直线方程转化为点斜式来找定点．
例：含参直线系mx－y－m＋3＝0可以转化为y－3＝m(x－1)，可知直线恒过点(1,3)．
2．方程法
若经过参数分离后，能将直线系方程整理成f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ为参数)的形式，则这个直线系恒过直线f(x，y)＝0和g(x，y)＝0的交点，解方程组便可求得定点坐标．
3．特殊法
取直线系中的两条特殊直线，求出其交点坐标，代入原方程验证即可．
题型　直线方程的综合运用
角度Ⅰ.与基本不等式有关的最值问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021安徽模拟]过点P(4,1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点．
(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
[解]　设直线l：＋＝1(a>0，b>0)，
因为直线l经过点P(4,1)，
所以＋＝1.
(1)因为＋＝1≥2＝，
所以ab≥16，S△AOB＝ab≥8，
当且仅当a＝8，b＝2时，等号成立，
所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，
此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.
(2)因为＋＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥9，
当且仅当a＝6，b＝3时，等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－6＝0.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
直线方程的综合问题的两大类型及解法
1．与函数相结合的问题：一般是利用直线方程所表示的x与y的关系将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．
2．与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程根的存在性及个数、不等式的性质、基本不等式等)来解决．
角度Ⅱ.参数求值问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
2．直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a>1)，当此直线在x轴、y轴上的截距和最小时，实数a的值是(　　)
A．1 B．
C．2 D．3
[答案]　D　[解析]　当x＝0时，y＝a＋3，
当y＝0时，x＝.
令t＝a＋3＋
＝5＋(a－1)＋.
因为a>1，所以a－1>0.
所以t≥5＋2＝9，
当且仅当a－1＝，即a＝3时，等号成立．
3．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0[答案]　　[解析]　直线l1可写成a(x－2)＝2(y－2)，
直线l2可写成2(x－2)＝a2(2－y)，
所以直线l1，l2恒过定点P(2,2)．
直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，
所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋.
当a＝时，四边形的面积最小．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
设直线方程的常用技巧
1．已知直线纵截距为b时，常设其方程为y＝kx＋b.
2．已知直线横截距为a时，常设其方程为x＝my＋a.
3．已知直线过点(x0，y0)，且k存在时，常设其方程为y－y0＝k(x－x0)．
[拓展]　直线系方程
(1)定点直线系方程：
过定点P(x0，y0)的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.
(2)交点直线系方程：
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1与l2相交，则过两直线交点的直线方程为λ(A1x＋B1y＋C1)＋μ(A2x＋B2y＋C2)＝0.当λ＝0时，方程表示直线l2；当μ＝0时，方程表示直线l1.
提醒 完成限时跟踪检测(四十二)
第二节　两直线的位置关系
[复习要点]　1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线的位置关系．
2．能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．
3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．
知识点一　两条直线的位置关系
1．两条直线平行
(1)对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 ________.
(2)特别地，当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为________．
2．两条直线垂直
(1)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2 ________.
(2)如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为________．
3．两条直线相交
答案：1.(1)k1＝k2　(2)平行　2.(1)k1·k2＝－1　(2)垂直
3．唯一解　无解　无穷多解
知识点二　三种距离公式
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝
?链/接/教/材
1．[必修2·P101·A组T10改编]已知P(－3，m)，Q(m,5)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
答案：1
2．[必修2·P110·B组T2改编]已知点(a,2)到直线x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________.
答案：－1±
3．[必修2·P114·A组T10改编]已知直线3x＋y－3＝0与直线6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为________．
答案：
?易/错/问/题
1．两直线位置关系的重点：平行和垂直中的参数的讨论．
(1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为(　　)
A．－ B．0
C．－或0 D．2
(2)[2021辽宁锦州模拟]若直线l1：kx＋(1－k)y－3＝0和l2：(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，则k＝________.
(1)答案：C　解析：若a≠0，则由l1∥l2 ＝，故2a＋2＝－1，即a＝－；若a＝0，l1∥l2.故选C.
(2)答案：－3或1　解析：由k(k－1)＋(1－k)(2k＋3)＝0，得k＝1或k＝－3.
2．距离问题中的易错点：平行线间的距离．
两平行直线3x－4y－1＝0与6x－8y＋18＝0间的距离是________．
答案：2　解析：两平行直线的方程分别是3x－4y－1＝0和3x－4y＋9＝0，
由两平行线间的距离公式，得
所求距离d＝＝2.
?核/心/素/养
设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
答案：5　解析：易知定点A(0,0)，B(1,3)，且无论m取何值，两直线垂直．
所以无论P与A，B重合与否，均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上)．
所以|PA|·|PB|
≤(|PA|2＋|PB|2)＝5，
当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立．
题型　两直线的关系
角度Ⅰ.应用两直线平行的充要条件求参数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[多选]已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　)
A．1 B．3
C．5 D．7
[答案]　BC　[解析]　由两直线平行，得当k－3＝0时，两直线的方程分别为y＝－1和y＝，显然两直线平行．
当k－3≠0时，由＝≠，可得k＝5.
综上，k的值是3或5.故选BC.
2．已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0平行，则2a＋3b的最小值为________．
[答案]　25　[解析]　由两直线平行可得，a(b－3)＝2b，即2b＋3a＝ab，＋＝1.又a，b为正数，所以2a＋3b＝(2a＋3b)·＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当a＝b＝5时，等号成立，所以2a＋3b的最小值为25.
角度Ⅱ.应用两直线垂直的充要条件求参数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0垂直，则ab的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．2 D．2
[答案]　B
4．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t,1)，则n的值为 (　　)
A．7 B．9
C．11 D．－7
[答案]　A　[解析]　由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，得20－2m＝0，解得m＝10.
直线4x＋10y－6＝0过点(t,1)，
所以4t＋10－6＝0，解得t＝－1.
因为点(－1,1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
两直线平行或垂直的两个关注点
1．当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑斜率存在的一般情况，也要考虑斜率不存在的特殊情况．
2．要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
[拓展]
利用直线的一般方程，判断平行或垂直
直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
ll与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0)
l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0)
l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0)
角度Ⅲ.由直线位置关系巧设直线系方程
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．已知点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P到直线l的距离d的最大值为(　　)
A．2 B．
C． D．2
[答案]　B　[解析]　由(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，得
(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，
此方程是过直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0交点的直线系方程．
解方程组
可知两直线的交点为Q(1,1)，
故直线l恒过定点Q(1,1)，如图所示，
可知d＝|PH|≤|PQ|＝，即d≤，故选B.
6．已知直线l1的方程为3x＋4y－12＝0，求l2的方程，使得：
(1)l2与l1平行，且过点(－1,3)；
(2)l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4.
[解]　(1)设l2：3x＋4y＋m＝0(m≠－12)，因为l2过点(－1，3)，将点(－1，3)代入得－3＋4×3＋m＝0，解得m＝－9，
所以l2的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)设l2：4x－3y＋n＝0，则l2与x轴交于点A，与y轴交于点B.
所以S△AOB＝＝4.
n2＝96，n＝±4，
所以l2的方程为4x－3y＋4＝0或4x－3y－4＝0.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
常见的四大直线系方程
1．平行直线系方程
(1)与直线y＝kx＋b平行的所有直线可以表示为y＝kx＋b′(b′≠b)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0平行的所有直线可以表示为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)．
2．垂直直线系方程
(1)与直线y＝kx＋b(k≠0)垂直的所有直线可以表示为y＝－x＋b′或x＝－ky＋b′；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的所有直线可以表示为Bx－Ay＋C′＝0.
3．过定点的直线系方程
过定点P(x0，y0)的所有直线可以表示为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0)，斜率存在时还可以表示为y－y0＝k(x－x0)．
4．过两直线交点的直线系方程
过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的所有直线可以表示为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数，不包括直线l2)．
题型　距离公式的应用
角度Ⅰ.三种距离的简单应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________．
[答案]　6　[解析]　以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设B(a，－2)，C(b,3)．
∵AC⊥AB，
∴ab－6＝0，ab＝6，b＝.
Rt△ABC的面积S＝·＝·
＝≥＝6(当且仅当a2＝4时，等号成立)．
2．与直线l1：3x＋4y－12＝0和直线l2：6x＋8y－9＝0等距离的直线l的方程是________．
[答案]　12x＋16y－33＝0　[解析]　解法一：直线l2：6x＋8y－9＝0可化为3x＋4y－＝0.
设与直线l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋4y＋c＝0，
则＝，
即|c＋12|＝，解得c＝－.
∴l的方程为12x＋16y－33＝0.
解法二：直线l2：6x＋8y－9＝0可化为3x＋4y－＝0.
∵＝－，
∴与直线l1：3x＋4y－12＝0和直线l2：6x＋8y－9＝0等距离的直线l的方程是3x＋4y－＝0，
即12x＋16y－33＝0.
3．已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点距离为2的直线l的方程；
(2)求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
[解]　(1)过点P的直线l与原点距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，可见，
过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为
y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知得＝2，解得k＝.
此时l的方程为3x－4y－10＝0.
综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．
由l⊥OP，得klkOP＝－1.
所以kl＝－＝2.
由直线方程的点斜式，得
y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
即直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O距离最大的直线，最大距离为＝.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
1．解决动点到两定点距离相等的问题时，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所连线段的垂直平分线上，从而使计算简便．
2．求点与直线上动点距离的最值时，一般不用两点间距离公式，而是转化为点线距离．
3．直线Ax＋By＋C0＝0与两平行直线Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0的距离相等，等价于C1，C0，C2成等差数列．
4．若两定点P，Q到某直线的距离相等，则该直线过线段PQ的中点或该直线与直线PQ平行．
角度Ⅱ.三角形面积公式
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,5)，则△ABC的面积是________．
[答案]　5　[解析]　解法一：∵A(1,1)，B(4,2)，C(3,5)，
∴＝(3,1)，＝(2,4)．
∴△ABC的面积S△ABC＝×|3×4－1×2|＝5.
解法二：易得直线AB的方程为＝，即x－3y＋2＝0，
∴点C到直线AB的距离为＝.
∵|AB|＝＝，
∴△ABC的面积S△ABC
＝××＝5.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
三角形面积公式的坐标化形式
在△ABC中，已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则△ABC面积的坐标表示为S△ABC＝|x1y2－x2y1|.
证明：不妨取A(0,0)，则直线AB的方程为y1x－x1y＝0，
∴点C到直线AB的距离为d＝.
又|AB|＝，
∴S△ABC＝|AB|·d
＝·
＝|x1y2－x2y1|.
题型　对称问题
角度Ⅰ.点关于点对称问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．已知直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，则直线l的一般式方程为 (　　)
A．3x－y＋5＝0 B．3x＋y＋1＝0
C．x－3y＋7＝0 D．x＋3y－5＝0
[答案]　B　[解析]　设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，
由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0，4－y0)，并且满足
即
解得
因此直线l的方程为
y－2＝(x＋1)，
即3x＋y＋1＝0.
2．[2021豫南豫北精英对抗赛]直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为(　　)
A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x－3y－12＝0
[答案]　B　[解析]　由ax＋y＋3a－1＝0可得a(x＋3)＋y－1＝0，令可得∴N(－3,1)．设直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)．
则＝，
解得c＝12或c＝－6(舍去)．
∴所求直线方程为2x＋3y＋12＝0，故选B.
角度Ⅱ.点关于直线对称问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
[答案]　6x－y－6＝0　[解析]　设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，
则反射光线所在直线过点M′，
所以
解得
又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为y－0＝·(x－1)，即6x－y－6＝0.
4．[2021豫北六校联考]已知点P在直线l：3x－y－1＝0上，A(4,1)，B(0,4)，则||PA|－|PB||最大时点P的坐标为________．
[答案]　(2,5)　[解析]　设点B(0,4)关于直线l的对称点为B′(x0，y0)，
则有
解得即B′(3,3)，
∴直线AB′的方程为2x＋y－9＝0，
易知当点P与B′，A共线时，||PA|－|PB||最大．
由得
∴P(2,5)，
即||PA|－|PB||取最大值时点P的坐标为(2,5)．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
关于特殊直线对称的点的坐标
1．A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)．
2．B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)．
3．C(a，b)关于直线y＝x＋m的对称点为C′(b－m，a＋m)．
4．D(a，b)关于直线y＝－x＋m的对称点为D′(m－b，－a＋m)．
5．E(a，b)关于直线x＝m的对称点为E′(2m－a，b)．
6．F(a，b)关于直线y＝n的对称点为F′(a,2n－b)．
角度Ⅲ.直线关于直线对称问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
[解]　在直线m上任取一点，
如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，则
解得∴M′.
设直线m与直线l的交点为N，则
由得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式，得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
直线中的对称问题
1．中心对称问题的两种类型及求解方法
(1)点关于点对称：若点M(x1，y1)和N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．
(2)直线关于点的对称：
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②在已知直线上取一点，利用中点坐标公式求出它关于已知点的对称点的坐标，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
2．轴对称问题的两种类型及求解方法
(1)点关于直线对称：若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
(2)直线关于直线对称：有两种情况，一是已知直线与对称轴相交，二是已知直线与对称轴平行．一般转化为点关于直线对称来解决．
角度Ⅳ.对称问题的应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．如图，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________．
[答案]　(4，＋∞)　[解析]　从特殊位置考虑．如图，
因为点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，所以kA1F＝4.
又点E(－1,0)关于直线AC: y＝x＋2的对称点为E1(－2,1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，所以kFD>kA1F，即kFD∈(4，＋∞)．
7．如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)
A．3 B．6
C．2 D．2
[答案]　C
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
对称问题的应用中，常有折线段距离和的最值现象，把折线段通过对称转化为直线段，这是常规思路．光线的反射问题，也常通过对称转化为直线传播．
提醒 完成限时跟踪检测(四十三)
第三节　圆的方程
[复习要点]　1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．
2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
知识点一　圆的定义、方程
1．圆的定义
2.圆的一般方程的特点
(1)x2和y2的系数相等且大于0，含x2的项和含y2的项用加号连接；
(2)没有含xy的二次项；
(3)A＝C≠0且B＝0是二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的____________．
答案：1.定点　定长　(a，b)　r　2.(3)必要不充分条件
知识点二　点与圆的位置关系
1．理论依据
________与________的距离与半径的大小关系．
2．三个结论
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，d为圆心到点M的距离．
(1)________________ 点在圆上 d＝r；
(2)________________ 点在圆外 d>r；
(3)________________ 点在圆内 d答案：1.点　圆心　2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2　(2)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2　(3)(x0－a)2＋(y0－b)2?链/接/教/材
1．[必修2·P107·例5改编]圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)
A．－ B．－
C． D．2
答案：A　解析：由圆的方程可知圆心为(1,4)．由点到直线的距离公式可得 ＝1，解得a＝－，故选A.
2．[必修2·P124·A组T3]已知圆C的圆心在直线l：x－2y－1＝0上，并且经过原点和A(2,1)，则圆C的标准方程为____________．
答案：2＋2＝　解析：解法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题设，得解得
所以，所求圆的标准方程是2＋2＝.
解法二：联立线段OA的垂直平分线的方程y＝－2x＋与方程x－2y－1＝0，得圆心C的坐标为，
半径r＝|OC|＝＝，
所以圆的标准方程为2＋2＝.
?易/错/问/题
圆的一般方程：注意表示圆的条件．
(1)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．
(2)圆x2＋y2－2ax＋4y＋a＝0的半径为2，则a＝________.
(1)答案：　解析：∵方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，
∴a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，
解得－2(2)答案：0或1　解析：由题意可知，
＝＝2，
解得a＝0或1，
经检验都满足题意，所以a＝0或1.
?通/性/通/法
1．求圆的标准方程：几何法．
经过三点A(4,0)，B(0,2)，C(1,3)的圆的方程为__________．
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5　解析：因为kBC·kAC＝·＝－1，所以AC⊥BC，所以△ABC是直角三角形，AB是斜边，
所以所求圆的圆心坐标为(2,1)，半径r＝|AB|＝＝，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
2．求圆的一般方程：待定系数法．
过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(　　)
A．2 B．8
C．4 D．10
答案：C　解析：设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
解得
所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0，
令x＝0，得y2＋4y－20＝0，设M(0，y1)，N(0，y2)，则y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，所以|MN|＝|y1－y2|＝＝4.故选C.
题型　求圆的方程
角度Ⅰ.圆的方程满足的条件
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[多选]若k∈，方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圆，则k的取值为(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
[答案]　BCD　[解析]　方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圆的条件为(k－1)2＋(2k)2－4k>0，即5k2－6k＋1>0，解得k>1或k<，故选BCD.
2．[2021山西太原模拟]两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A．
B．∪(1，＋∞)
C．
D．∪[1，＋∞)
[答案]　A
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，可以通过配方变形成“标准”形式后，观察等号右边是否大于零，若大于零，则表示圆；若不大于零，则不表示圆．
角度Ⅱ.运用几何法求圆的方程
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2021豫北名校联考]圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　)
A．(x－)2＋(y－1)2＝4
B．(x－)2＋(y－)2＝4
C．x2＋(y－2)2＝4
D．(x－1)2＋(y－)2＝4
[答案]　D　[解析]　设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(a，b)，
则有解得
从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.故选D.
4．[2021豫西五校联考]在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(　　)
A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16
[答案]　B　[解析]　解法一：由题意可得圆心(0,1)到直线x－by＋2b＋1＝0的距离d＝＝≤＝，当且仅当x＝±1时，等号成立．所以半径最大的圆的半径r＝，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，故选B.
解法二：由直线x－by＋2b＋1＝0可得该直线过定点A(－1，2)，设圆心为B(0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，
则rmax＝|AB|＝
＝，
所以半径最大的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，故选B.
5．[2019浙江卷]已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.
[答案]　－2　　[解析]　根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0,3)，
则AB＝＝2，
AC＝＝，
BC＝|m－3|.
∵直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A，
∴∠BAC＝90°，
∴AB2＋AC2＝BC2.
即20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2，
解得m＝－2.
因此r＝AC＝＝.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
确定圆心位置的技巧
在求圆的标准方程时，应尽量利用圆的几何性质去确定圆心，这样可以大大减少计算量．一般可利用的圆心的几何性质如下：
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任意一条弦的垂直平分线上；
(3)圆心在圆的任一直径上，且为直径的中点；
(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
角度Ⅲ.运用待定系数法求圆的方程
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．[2021福建漳州八校期末联考]已知圆心在直线x－2y－3＝0上，且圆经过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则该圆的方程为________________．
[答案]　x2＋y2＋2x＋4y－5＝0[或(x＋1)2＋(y＋2)2＝10]
[解析]　解法一：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)，又知该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即＝
，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
解法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题意，得
解得
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
解法三：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则圆心坐标为.
由题意，得
解得
故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
7．[2020全国卷Ⅱ，文，理]若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　B　[解析]　因为过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，所以可设圆心坐标为(a，a)(a>0)，且圆的半径r＝a，所以圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.将点(2,1)的坐标代入圆的方程，得(2－a)2＋(1－a)2＝a2，得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)．故点(1,1)到直线2x－y－3＝0的距离为＝，点(5,5)到直线2x－y－3＝0的距离为＝，故选B.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
求圆的方程的两种方法
1．直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
2．待定系数法
(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
题型　与圆有关的轨迹问题
角度Ⅰ.与两定点张角为直角
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021贵州贵阳模拟]已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点A(2,3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为____________．
[答案]　2＋(y－2)2＝
[解析]　解法一：设P(x，y)，由题意知，圆心C(1,1)．
因为P点是过点A的弦的中点，
所以⊥.
又因为＝(2－x,3－y)，＝(1－x,1－y)．
所以(2－x)·(1－x)＋(3－y)·(1－y)＝0.
所以P点的轨迹方程为2＋(y－2)2＝.
解法二：由已知得，PA⊥PC，
所以由圆的性质知，点P在以AC为直径的圆上，圆心C(1,1)，而AC的中点坐标为，
|AC|＝＝，
所以半径为.
所求动点P的轨迹方程为2＋(y－2)2＝.
角度Ⅱ.与两定点距离之比为定值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
2．[2021福建清流一中模拟]已知直线l：x－y＋a＝0，M(－2,0)，N(－1,0)，动点Q满足＝，动点Q的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，且满足·＝0(其中O为坐标原点)，求a的值．
[解]　(1)设点Q(x，y)，依题意知，
＝＝，
整理，得x2＋y2＝2，
∴曲线C的方程为x2＋y2＝2.
(2)若满足·＝0，则OA⊥OB，
即△AOB为等腰直角三角形，
则圆心O到直线l：x－y＋a＝0的距离d＝r＝1，即d＝＝1，解得a＝±.
3．[多选][2021山东肥城一中月考]在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足＝.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是(　　)
A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝9
B．在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得＝
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|
[答案]　BC　[解析]设点P(x，y)，则＝＝，化简整理得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，故A错误；根据圆的对称性可知，当D(－6,0)，E(－12,0)时，＝，故B正确；cos∠APO＝，cos∠BPO＝，要证PO为∠APB的平分线，
只需证明cos∠APO＝cos∠BPO，即证
＝，化简整理得|PO|2＝2|AP|2－8，又|PO|2＝x2＋y2,2|AP|2－8＝2x2＋8x＋2y2＝(x2＋8x＋y2)＋(x2＋y2)＝x2＋y2，得证，故C正确；设M(x0，y0)，
由|MO|＝2|MA|可得＝2，整理得3x＋3y＋16x0＋16＝0，而点M在圆上，故满足x＋y＋8x0＝0，联立解得x0＝2，y0无实数解，故点M不存在，故D错误．
角度Ⅲ.相关点法(代入法)求动点轨迹
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．[2019上海春]以(a1,0)，(a2,0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y轴正半轴分别交于(0，y1)，(0，y2)，且满足ln y1＋ln y2＝0，则点的轨迹是(　　)
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
[答案]　A　[解析]　设两圆半径分别为r1，r2，
则r1＝|1－a1|＝ y＝1－2a1，同理：y＝1－2a2.
又因为ln y1＋ln y2＝0，
所以y1y2＝1，
则(1－2a1)(1－2a2)＝1，
即2a1a2＝a1＋a2 ＋＝2.
设则x＋y＝2，故点的轨迹是直线．故选A.
5．已知圆O：x2＋y2＝1，点A(－1,0)，点B(1,0)．点P是圆O上异于A，B的动点．
(1)证明：kAP·kBP是定值；
(2)过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足2＝－，求点M的轨迹方程C；
(3)证明：kAM·kBM是定值．
(1)[证明]　由已知，直线AP，BP的斜率存在，且AB是圆O的直径，所以AP⊥BP，所以kAP·kBP＝－1是定值．
(2)[解]　设P(m，n)，M(x，y)，
则Q(m,0)，
＝(0，－n)，＝(x－m，y－n)，
因为2＝－，
所以2(0，－n)＝－(x－m，y－n)，
即即①
因为点P在圆O上，
所以m2＋n2＝1，②
将①代入②得，x2＋＝1，又点P异于A，B，所以x≠±1，
即点M的轨迹方程C为x2＋＝1(x≠±1)．
(3)[证明]　由已知，直线AM，BM斜率存在，
kAM＝，kBM＝，
由(2)知x2－1＝－，
所以kAM·kBM＝·＝＝－9，
即kAM·kBM是定值．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
求与圆有关的轨迹问题的方法
1．直接法
直接根据题设给定的条件列出方程．
2．定义法
根据圆、直线的定义列方程．
3．几何法
利用圆的几何性质列方程．
4．代入法
找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式，从而得出方程．
题型　与圆有关的最值问题
角度Ⅰ.动点在圆上的最值问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2020江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，已知P，A，B是圆C：x2＋2＝36上的两个动点，满足PA＝PB，则△PAB面积的最大值是________．
[答案]　10　[解析]　∵PA＝PB，CA＝CB，
∴CP⊥AB，∴kAB＝－＝，
设AB：y＝x＋m，即x－y＋m＝0，
∵AB与⊙C相交，
∴<6，即<12，∴－∵圆心C到直线AB的距离d2＝，
∴|AB|＝2
＝，
又∵点P到直线AB的距离d1＝，
∴S△PAB＝|AB|·d1
＝··
＝，
令f(m)＝2，
则f′(m)＝(1－2m)2＋·(2m＋3)
＝＋
＝(289－4m2)，
令f′(m)＝0，则m＝－或m＝－或m＝.
列表如下：
m －
f′(m) ＋ 0 －
f(m) ? 极大值 ?
m －
f′(m) 0 ＋ 0 －
f(m) 极小值 ? 极大值 ?
由表得f，f是极大值．
当m＝－时，S△PAB＝；
当m＝时，S△PAB＝10.
∴△PAB面积的最大值为10.
2．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
[解]　(1)(斜率型)
原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，
此时＝，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
(2)(截距型)
解法一：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
解法二：设圆的参数方程为
(0≤θ≤2π)，
则y－x＝sin θ－cos θ－2
＝sin－2，
当θ＝时，y－x取最大值为－2，
当θ＝时，y－x取最小值为－－2.
(3)(距离型)
解法一：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为
＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，
x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
解法二：由(2)中的参数方程，可得
x2＋y2＝(2＋cos θ)2＋(sin θ)2＝7＋4cos θ，从而得最大值为7＋4，最小值为7－4.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
求解与圆有关的最值问题的方法
借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题或转化为线性规划问题；
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题；
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
角度Ⅱ.长度面积的最值问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．
[答案]　2
4．[2018全国卷Ⅲ]直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3 ] D．[2，3 ]
[答案]　A　[解析]　设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，
则圆心C(2,0)，r＝，
所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2，
可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.
由已知条件可得AB＝2，
所以△ABP面积的最大值为AB·dmax＝6，
△ABP面积的最小值为AB·dmin＝2.
综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．故选A.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
有关圆上动点的最值，总是转化为圆心与定直线的距离，或者与圆心有关的距离的计算．
(1)圆外动点与圆上动点间的距离，需先将圆外动点临时理解为定点，从而转化为与圆心距离和半径的关系．
(2)圆上动点与定直线的距离问题，总要转化为圆心与直线间的距离．
角度Ⅲ.函数关系求最值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．[2021河北名校联盟模拟]已知点P为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一点，A(0，－6)，B(4,0)，则|＋|的最大值为 (　　)
A．＋2 B．＋4
C．2＋4 D．2＋2
[答案]　C　[解析]　取AB的中点为D(2，－3)，则＋＝2，|＋|＝2||，||的最大值为圆心C(1，2)到D(2，－3)的距离d再加半径r.又d＝＝，∴d＋r＝＋2，∴2||的最大值为2＋4.故选C.
6．过点P(－1,1)作圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2＝1(t∈R)的切线，切点分别为A，B，则·的最小值为(　　)
A． B．
C． D．2－3
[答案]　C
角度Ⅳ.阿波罗尼斯圆的应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
7．[2021湖北武汉部分重点中学联考]阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ>0，且λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A，B(1,1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　C　[解析]　(1)当点M在x轴上时，点M的坐标为(－1,0)或(1,0)．
若点M的坐标为(－1,0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋＝1＋；
若点M的坐标为(1,0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋＝4.
(2)当点M不在x轴上时，
取点K(－2,0)，连接OM，MK，
因为|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，
所以＝＝2.
因为∠MOK＝∠AOM，
所以△MOK∽△AOM，
则＝＝2，
所以|MK|＝2|MA|，
则2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|.
易知|MB|＋|MK|≥|BK|，
可知|MB|＋|MK|的最小值为|BK|的长．
因为B(1,1)，K(－2,0)，
所以(2|MA|＋|MB|)min＝|BK|
＝＝.
综上，易知2|MA|＋|MB|的最小值为.故选C.
提醒 完成限时跟踪检测(四十四)
第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系
[复习要点]　1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系．
2．能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
4．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
知识点一　直线与圆的位置关系
1．三种位置关系：________、________、________.
2．两种研究方法
3．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
答案：1.相交　相切　相离　2.(1)相交　相切　相离　(2)相交　2　相切　相离
知识点二　圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
相离 外切 相交 内切 内含
图形
量的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|?链/接/教/材
1．[必修2·P128·练习T4改编]若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是________．
答案：[－3,1]
2．[必修2·P133·A组T9改编]圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
答案：2
3．[必修2·P144·B组T6]已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.
(1)求证：直线l恒过定点；
(2)判断直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度．
(1)证明：直线l的方程(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，经整理得(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0.
由于m的任意性，
于是有
解此方程组，得
即直线l恒过定点D(3,1)．
(2)解：因为直线l恒经过圆C内一点D，
所以当直线l经过圆心C时被截得的弦最长，它是圆的直径；
当直线l垂直于CD时，被截得的弦最短．
由C(1,2)，D(3,1)可知，直线CD的斜率kCD＝－，
所以当直线l被圆C截得弦最短时，直线l的斜率为2，
于是有－＝2，解得m＝－.
此时直线l的方程为y－1＝2(x－3)，
即2x－y－5＝0.
又|CD|＝＝，
所以最短弦长为2＝4.
直线l被圆C截得的弦最短时m的值是－，最短长度是4.
?易/错/问/题
1．圆的切线：忽略垂直于x轴的切线．
过点(2,3)作圆x2＋y2＝4的切线，则切线方程为________．
答案：5x－12y＋26＝0或x－2＝0　解析：当切线斜率不存在时，可得切线方程为x－2＝0；
当切线斜率存在时，设切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，
由圆心到切线的距离等于半径，得
＝2，解得k＝，
所以切线方程为y－3＝(x－2)，
即5x－12y＋26＝0.
综上可知，切线方程为5x－12y＋26＝0或x－2＝0.
2．两圆相切：内切、外切的讨论．
若两圆x2＋y2＝1与(x－a)2＋(y＋a)2＝4(a>0)相切，则a＝________.
答案：或　解析：两圆的圆心距为a，半径分别为r1＝1，r2＝2.
当两圆内切时， a＝2－1＝1，
得a＝；
当两圆外切时， a＝2＋1＝3，
得a＝.
?通/性/通/法
1．圆的弦长问题：几何法．
直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于
________．
答案：2　解析：由题意可知，圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离为＝1，
则|AB|＝2＝2.
2．圆的切线方程问题：代数法或数形结合法．
过点P(－1,0)作圆(x－1)2＋y2＝1的切线，则切线方程是________．
答案：y＝±(x＋1)　解析：由题意可知，过点P(－1,0)的圆的切线的倾斜角为30°或150°，
所以切线方程为y＝±(x＋1)．
题型　直线与圆的位置关系
角度Ⅰ.直线与圆位置关系的确定
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021河北衡水中学调研考试]已知向量a＝(2cos α，2sin α)，b＝(3cos β，3sin β)，若a与b的夹角为120°，则直线6xcos α－6ysin α＋1＝0与圆(x－cos β)2＋(y＋sin β)2＝1的位置关系是(　　)
A．相交且不过圆心 B．相交且过圆心
C．相切 D．相离
[答案]　A　[解析]　由题意可得a·b
＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝|a|·|b|×cos 120°＝2×3×＝－3，所以圆心(cos β，－sin β)到直线6xcos α－6ysin α＋1＝0的距离d＝
＝＝<1.故直线与圆的位置关系是相交且不过圆心，故选A.
2．[多选]关于命题“若点(a，b)在圆x2＋y2＝1内，则直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相离”，下列说法正确的是(　　)
A．原命题为假命题
B．逆命题为“若直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相离，则点(a，b)在圆x2＋y2＝1内”，是真命题
C．否命题为“若点(a，b)在圆x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相交”，是真命题
D．逆否命题为“若直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相交或相切，则点(a，b)在圆x2＋y2＝1内或圆x2＋y2＝1上”，是真命题
[答案]　AB　[解析]当a＝b＝0时，点(a，b)在圆x2＋y2＝1内，但此时直线ax＋by＋1＝0不存在，所以原命题是假命题，A正确；原命题的逆命题为“若直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相离，则点(a，b)在圆x2＋y2＝1内”，此时由直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相离得>1，即a2＋b2<1，则点(a，b)在圆x2＋y2＝1内，即逆命题为真命题，B正确；原命题的否命题为“若点(a，b)在圆x2＋y2＝1外或在圆x2＋y2＝1上，则直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切或相交”，C错误；原命题的逆否命题的真假性与原命题相同，都为假命题，D错误．综上所述，故选AB.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
判断直线与圆的位置关系一般有几何法和代数法两种方法．代数法具有一般性，但是计算量较大，能用几何法，尽量不要用代数法．
角度Ⅱ.利用直线和圆的位置关系求参数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．若直线y＝x＋b与曲线x＝恰有一个公共点，则b的取值范围是(　　)
A．(－1,1] B．{－}
C．{±} D．(－1,1]∪{－}
[答案]　D　[解析]　由x＝，知曲线表示半圆(如图)，
让直线y＝x＋b在图形中运动，可知当－1当直线与半圆相切时，也与半圆只有一个公共点，
此时＝1，求得b＝(舍去)或b＝－.
4．[2021河北石家庄质检]已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1,2)的直线l与圆C相交于A，B两点，当∠ACB最小时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为(　　)
A．2 B．3
C.4 D．5
[答案]　B　[解析]　圆的方程配方，得(x＋1)2＋(y－a)2＝1＋a2，
圆心为C(－1，a)，当弦AB最短时，∠ACB最小，此时圆心C与定点(1,2)的连线和直线2x－y＝0垂直，所以×2＝－1，解得a＝3.
5．[2021辽宁六校协作体联考]已知圆O：x2＋y2＝1，若直线y＝kx＋2上总存在点P，使得过点P的圆O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是____________．
[答案]　(－∞，－1]∪[1，＋∞)
[解析]　∵圆心O为(0,0)，半径r＝1，设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，∴|PO|＝r＝，∴圆心O到直线y＝kx＋2的距离d≤，即≤，解得k≥1或k≤－1.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
直线与圆的位置关系
最简洁的处理方法是通过圆心到直线的距离跟半径的关系进行比较，运算量比较小．一般情况下，直线和圆的关系总是通过弦心距、半径跟弦长的关系来解决．
题型　圆的切线与切点弦问题
角度Ⅰ.求圆的切线方程
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[多选]过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(　　)
A．x＝－2 B．x＝2
C．4x－3y＋4＝0 D．4x＋3y－4＝0
[答案]　BC　[解析]　易知点P(2,4)不在圆上，当切线的斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝＝＝1，解得k＝，故所求切线方程为x－y＋4－2×＝0，即4x－3y＋4＝0；当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝2，此时圆心到直线的距离等于半径，符合题意．综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
2．[多选]已知圆M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1，直线l：y＝kx，下列命题中为真命题的是(　　)
A．对任意实数k与θ，直线l和圆M相切
B．对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点
C．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切
D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切
[答案]　BD　[解析]　由题意，得圆心坐标为(－cos θ，sin θ)，圆的半径为1，所以圆心到直线l的距离d＝＝＝|sin(θ＋φ)|，其中sin φ＝，cos φ＝，所以直线l与圆M有公共点，且对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切，故选BD.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
圆的切线方程的求法
1．几何法
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
2．代数法
设切线方程为y－y0＝k(x一x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求出k.
3．[2021河南名校联考]过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
[答案]　A　[解析]　解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵A，B在圆上，∴过A，B两点的切线方程分别为(x1－1)(x－1)＋y1y＝1，(x2－1)(x－1)＋y2y＝1.
又∵点(3,1)在两条切线上，
∴2(x1－1)＋y1＝1，
2(x2－1)＋y2＝1，
∴A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标都是方程2(x－1)＋y＝1的解，
∴直线AB的方程为2x＋y－3＝0，故选A.
解法二：如图，设P(3,1)，圆心为C，连接PC，
由题易知，其中一个切点为A(1,1)，圆心C(1,0)，AB⊥PC.
又∵kPC＝＝，∴kAB＝－2，
∴直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.故选A.
解法三：如图，设P(3,1)，圆心C(1,0)，
易得P，A，C，B四点共圆，且PC为圆的直径，连接AC，BC，
∴四边形PACB的外接圆方程为(x－2)2＋2＝，①
又圆C：(x－1)2＋y2＝1，②
①－②，得2x＋y－3＝0，即为直线AB的方程，故选A.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
圆的切线和切点弦的求法
(1)过圆x2＋y2＝r2(r>0)上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2 ＝r2(r>0)上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
(3)过圆x2＋y2＝r2(r>0)外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2；
(4)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点P(x0，y0)引圆的一条切线，切点为T，则切线长为|PT|＝；
(5)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)外一点P(x0，y0)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
(6)若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长d＝.
角度Ⅱ.弦长问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．已知直线l：x＋y－6＝0，过直线l上一点P作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB面积的最小值为________，此时四边形PAOB外接圆的方程为________________．
[答案]　2　2＋2＝
[解析]　圆x2＋y2＝4的半径为2，圆心为(0,0)，由切线性质可知，OA⊥AP，∴AP＝，∴S△OAP＝OA·AP＝.又△OAP≌△OBP，∴S四边形PAOB＝2S△OAP＝2.故当OP取得最小值时，S四边形PAOB取得最小值．OP的最小值为点O到直线l的距离，即＝3.则S四边形PAOB取得最小值为
2＝2.此时四边形PAOB外接圆直径为OP＝3.∵OP⊥直线l，∴直线OP的方程为x－y＝0.联立解得即P(3,3)，∴OP的中点为，∴四边形PAOB外接圆的方程为2＋2＝.
5．[多选][2021山东德州模拟]直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为　(　　)
A．6 B．8
C．12 D．16
[答案]　BC　[解析]　因为直线y＝kx－1过定点(0，－1)，故圆C的圆心(－3,3)到直线y＝kx－1的距离的最大值为＝5.又圆C的半径为6，故弦长AB的最小值为2＝2.
又当直线y＝kx－1过圆心时弦长AB取最大值为直径12，故AB长度的取值范围为[2，12]．结合各选项，故选BC.
6．[2021四川成都模拟]已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·的值是(　　)
A．－ B．
C．－ D．0
[答案]　A
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
求圆的弦长问题：理解性质，会用结论
(1)垂直于弦的直径平分这条弦；
(2)圆心与弦的中点的连线垂直于这条弦；
(3)d2＋2＝r2，其中r为圆的半径，d为圆心到弦的距离，l为弦长；
(4)在研究与弦的中点有关的问题时，注意运用“平方差法”，例如在圆x2＋y2＝r2(r>0)中，设弦的两个端点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，中点为(x0，y0)，由得k＝＝－＝－.
题型　圆与圆的位置关系
角度Ⅰ.判断圆与圆的位置关系
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2016山东卷]已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
[答案]　B　[解析]　由题知，圆M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，
所以2＝2，解得a＝2.
圆M、圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，故两圆相交．
2．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为(　　)
A． B．
C． D．2
[答案]　C　[解析]　由圆C1与圆C2相外切，可得＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，根据基本(均值)不等式可知，ab≤2＝，
当且仅当a＝b时，等号成立．故选C.
3．[多选]已知两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝(　　)
A．±2 B．±2
C．0 D．以上均有可能
[答案]　BC　[解析]　由题意，知两圆的圆心坐标分别为(0,0)，(－4，a)，半径分别为1,5.若两圆外切，
则＝5＋1，解得a＝±2；
若两圆内切，
则＝5－1，
解得a＝0.
综上可得，a的值为±2或0.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
判断两圆的位置关系，一般使用几何法，即利用圆心距和两圆半径之差、两圆半径之和的大小关系来判断．
角度Ⅱ.相交圆的公共弦问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
(1)[证明]　圆C1的圆心为C1(1,3)，半径r1＝，圆C2的圆心为C2(5,6)，半径r2＝4，
两圆的圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，
∴|r1－r2|∴圆C1和圆C2相交．
(2)[解]　圆C1和圆C2的方程左右两边分别相减，得4x＋3y－23＝0.
∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，
圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3，
故公共弦长为2＝2.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
求两圆相交的公共弦长
若两圆相交，则公共弦长|AB|有两种求解方法：
1．几何法
利用两圆方程求出公共弦所在的直线方程，再利用勾股定理求出公共弦长，|AB|＝2.
其中弦心距d可由点(圆心)到直线(公共弦所在的直线)的距离公式求得．
2．代数法
联立两圆方程，求出A，B两点的坐标，利用两点间距离公式求解．
角度Ⅲ.利用圆与圆的位置关系求参数
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．[2021河南郑州外国语中学调研]已知圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－b)2＝1只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．9
[答案]　D　[解析]　由题意可知，圆C1的圆心为(－2a,0)，半径为2，圆C2的圆心为(0，b)，半径为1，
因为两圆只有一条公切线，
所以两圆内切，
所以＝2－1，
即4a2＋b2＝1.
所以＋＝(4a2＋b2)
＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝时，等号成立，
所以＋的最小值为9.故选D.
6．[2021四川南充模拟]若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
[答案]　4
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
1．根据圆与圆之间的位置关系，转化到圆心距与半径的等量关系，从而得到参数间的关系，进而求最值．
2．判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系．
(1)外离 两圆有4条公切线；
(2)外切 两圆有3条公切线；
(3)相交 两圆有2条公切线；
(4)内切 两圆有1条公切线；
(5)内含 两圆无公切线．
提醒 完成限时跟踪检测(四十五)
第五节　椭圆
第1课时　椭圆的定义、标准方程及几何性质
[复习要点]　1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．
2．掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
3．了解椭圆的简单应用．
4．理解数形结合的思想．
知识点一　椭圆的概念
在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若________，则集合P为椭圆；
(2)若________，则集合P为线段；
(3)若________，则集合P为空集．
答案：椭圆　焦点　焦距　(1)a>c　(2)a＝c　(3)a知识点二　椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
性质 范围 ______≤x≤____________≤y≤______ －b≤x≤b－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为________；短轴B1B2的长为________
焦距 |F1F2|＝________
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
离心率 e＝∈________
a，b，c的关系 c2＝________
答案：－a　a　－b　b　2a　2b　2c　(0,1)　a2－b2
?链/接/教/材
1．[选修2－1·P40·例1改编]若F1(－3,0)，F2(3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程为________．
答案：＋＝1
2．[选修2－1·P49·A组T6改编]设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．
答案：－1
3．[选修2－1·P49·A组T7]如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
解：连接AQ，由题意知，Q是线段AP的垂直平分线上的一点，
则|QP|＝|QA|，
又因为|OQ|＋|QA|＝|OQ|＋|QP|＝|OP|＝r，且|OQ|＋|QA|>|OA|，
所以由椭圆的定义知，点Q的轨迹是以O，A为焦点的椭圆．
?易/错/问/题
1．椭圆的定义：条件的理解．
(1)动点P到两定点M(0，－2)，N(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是________．
(2)已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．
(1)答案：线段MN　解析：因为|PM|＋|PN|＝|MN|＝4，所以点P的轨迹是一条线段．
(2)答案：8　解析：由椭圆的定义，知△ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，所以△ABC的周长是4×2＝8.
2．椭圆的标准方程：关注焦点的位置．
已知椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝________.
答案：4或8　解析：由 得2?核/心/素/养
已知点P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若S△MPF1＝λS△MF1F2－S△MPF2成立，则λ的值为(　　)
A． B．
C． D．2
答案：D　解析：设内切圆的半径为r，
因为S△MPF1＝λS△MF1F2－S△MPF2，
所以S△MPF1＋S△MPF2＝λS△MF1F2.
由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，
所以ar＝λcr，c＝，
所以λ＝＝2.
题型　椭圆的定义与应用
角度Ⅰ.应用椭圆的定义进行转化
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.
[答案]　12　[解析]　解法一：根据已知条件画出图形，如图．设MN的中点为P，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，连接PF1，PF2.显然PF1是△MAN的中位线，PF2是△MBN的中位线，
∴|AN|＋|BN|＝2|PF1|＋2|PF2|＝2(|PF1|＋|PF2|)＝2×6＝12.
解法二：由椭圆方程知椭圆C的左焦点为F1(－，0)，右焦点为F2(，0)，则M(m，n)关于F1的对称点的坐标为A(－2－m，－n)，关于F2的对称点的坐标为B(2－m，－n)，设MN的中点坐标为(x，y)，所以N(2x－m,2y－n)，所以|AN|＋|BN|＝＋
＝2×[
＋]，因为点(x，y)在椭圆C上，故由椭圆定义可知
|AN|＋|BN|＝2×6＝12.
2．[2021河北衡水中学调研]设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________．
[答案]　－5　[解析]　由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|.
∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时，等号成立，又|MF2|＝＝5,2a＝10，
∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，
即|PM|－|PF1|的最小值为－5.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
直接应用椭圆的定义，把点到一个焦点的距离，转化为到另一个焦点的距离，这样有利于求解一部分最值问题，同样的方法也会出现于双曲线和抛物线中．
角度Ⅱ.焦点三角形问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
[答案]　3
4．[多选][2021海南模拟]设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0A．|AF|＋|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C．当m＝时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为
[答案]　ACD　[解析]　设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，
∵|AF|＋|BF|为定值6，|AB|的取值范围是(0,6)，∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；不妨设点A在y轴左侧，将y＝代入椭圆方程，解得A，B，又∵F(，0)，∴·＝·＋2＝0，∴△ABF为直角三角形，C正确；不妨设点A在y轴左侧，将y＝1代入椭圆方程，解得A(－，1)，B(，1)，∴S△ABF＝×2×1＝，D正确．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
椭圆中“焦点三角形”的有关性质
椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”．一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立关于|AF1|＋|AF2|，|AF1|2＋|AF2|2，|AF1||AF2|之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题．
性质1：|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a.
拓展：△AF1F2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝2a＋2c，△ABF2的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a.
性质2：4c2＝|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·
|AF2|cos θ.
性质3：当A为短轴的端点时，∠F1AF2最大．
推导过程：由性质2得cos θ＝
＝
＝＝－1.
∵|AF1||AF2|≤2＝a2，当且仅当|AF1|＝|AF2|，即点A是短轴端点时，等号成立，
∴cos θ＝－1≥－1.
又∵y＝cos x在(0，π)上单调递减，
∴当A为短轴的端点时，∠F1AF2最大．
性质4：设∠F1AF2＝θ，则S△AF1F2＝|AF1||AF2|·sin θ＝b2tan ＝c|yA|，当|yA|＝b，即A为短轴的端点时，△AF1F2的面积最大，最大值为bc.
题型　椭圆的标准方程及应用
角度Ⅰ.定义法求椭圆的轨迹方程
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝1
[答案]　D　[解析]　设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝8<16，
∴动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，则a＝8，c＝4.∴b2＝48，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
2．[2021北京海淀区模拟]过点A(2,0)，且与圆x2＋4x＋y2－32＝0相内切的动圆的圆心轨迹方程为________．
[答案]　＋＝1　[解析]　将圆x2＋4x＋y2－32＝0的方程变形为(x＋2)2＋y2＝36，
其圆心为B(－2,0)，半径为6.
设动圆的圆心坐标为M(x，y)，
∵动圆与已知圆相内切，
设切点为C，且动圆过点A，
∴|MB|＋|MA|＝|MB|＋|MC|＝|BC|＝6>4.
根据椭圆的定义，知点M的轨迹是以点B(－2,0)和A(2,0)为焦点的椭圆，其中2a＝6,2c＝4，
∴a＝3，c＝2，∴b2＝a2－c2＝5，
∴所求动圆的圆心的轨迹方程为＋＝1.
角度Ⅱ.椭圆的方程及特征量的求解
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[多选]已知点P在以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆上．若过点P作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦点F1，与椭圆的另一个交点为A.若△PF2A的面积为12(F2为椭圆的另一个焦点)，则椭圆的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[答案]　CD　[解析]　当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．不妨设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，易得|AP|＝，由△PF2A的面积为12，得××2c＝12，即＝6，联立解得所以椭圆的方程为＋＝1.当椭圆的焦点在y轴上时，同理可求得椭圆的方程为＋＝1.故选CD.
4．[多选][2021山东德州一模]1970年4月24日，我国成功发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上运行时，其运行速度是变化的，速度的变化遵循面积守恒定律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c，则下列结论正确的是(　　)
A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]
B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
[答案]　ABD　[解析]　根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；当卫星在左半椭圆弧运行时，对应的面积更大，根据面积守恒定律可知运行速度更慢，所需时间更长，B正确；＝＝－1，比值越大，则离心率e越小，椭圆轨道越圆，C错误；根据面积守恒定律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确．
角度Ⅲ.巧设椭圆系方程
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．[2021四川成都模拟]与椭圆＋＝1有相同离心率且经过点(2，－)的椭圆方程为____________．
[答案]　＋＝1或＋＝1
[解析]　若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＋＝t(t>0)，
将点(2，－)代入，得t＝＋＝2.
故所求方程为＋＝1；
若焦点在y轴上，设方程为＋＝λ(λ>0)，
将点(2，－)代入，得λ＝，
故所求方程为＋＝1.
综上，所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
6．过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
[答案]　＋＝1　[解析]　解法一：椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义，知
2a＝
＋，
解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
解法二：设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，
将点(，－)的坐标代入可得＋＝1，
解得k＝5或k＝21(舍去)，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
(1)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆方程可设为＋＝1(λ＞－b2)．
(2)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)共离心率的椭圆方程可设为＋＝λ(λ＞0)或＋＝λ(λ＞0)．
题型　椭圆的几何性质
角度Ⅰ.求离心率的值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2018全国卷Ⅱ]已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　D　[解析]　如图，作PB⊥x轴于点B.
由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，
由∠F1F2P＝120°，
可得|PB|＝，|BF2|＝1，
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
tan∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝.故选D.
2．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　A　[解析]　由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y＝k(x＋a)，当x＝－c时，y＝k(a－c)，当x＝0时，y＝ka，所以M(－c，k(a－c))，E(0，ka)．如图，设OE的中点为N，则N，由于B，M，N三点共线，所以kBN＝kBM，即＝，所以＝，即a＝3c，所以e＝.故选A.
3．[2021河南洛阳期末检测]已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，O为坐标原点，且(＋)·＝0，||＝2||，则该椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　C　[解析]　∵(＋)·＝0，∴(＋ )·(－)＝0，
∴2＝，即||＝||＝c，易得⊥.在Rt△PF1F2中，||＝2||，设||＝m，则||＝2m，由||2＋||2＝||2，得4c2＝5m2，∴2c＝m.又||＋||＝2a＝3m，所以离心率e＝＝＝，故选C.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
求离心率的方法
1．直接求出a，c
利用离心率公式e＝求解．
2．由a与b的关系求离心率
利用变形公式e＝＝＝＝.
3．由椭圆的定义求离心率
e＝＝，其中2a是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和，2c是焦距，从而可与焦点三角形联系起来．
4．构造a，c的齐次式
在离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a，c的齐次关系式，从而求得e.
角度Ⅱ.求离心率的范围
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．[2021湖南师大附中模拟]设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足·＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．[－1,1)
[答案]　A　[解析]　设椭圆左焦点为F′，连接AF′，BF′.由椭圆的对称性可知，四边形AFBF′为平行四边形，又·＝0，即FA⊥FB，故平行四边形AFBF′为矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c.
设|AF′|＝n，|AF|＝m，
则在Rt△AF′F中，m＋n＝2a，m2＋n2＝4c2，①
得mn＝2b2，②
①÷②，得＋＝，
令＝t，得t＋＝.
又由|FB|≤|FA|≤2|FB|，得1≤≤2，则＝t∈[1,2]，
∴t＋＝∈，
又＝＝，则可得≤e≤，
即离心率的取值范围是.故选A.
5．[2021湖南长沙联考]已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为________．
[答案]　(－1,1)　[解析]　由＝，得＝，
又由正弦定理，得
＝，
所以＝，
即|PF1|＝·|PF2|.
又由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝.
因为|PF2|是△PF1F2的一条边，
所以有a－c<0 e2＋2e－1>0(0故e的取值范围为(－1,1)．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
求离心率取值范围的方法
(1)如果a，b，c中有一个为定值，通常转化为求未知两个量中某个量的取值范围，进而结合a2＝b2＋c2确定e的取值范围．
(2)如果a，b，c均未确定，则常采用构造a，c的齐次不等式的方法求解．
[注意]　求椭圆离心率的取值范围时，要注意椭圆离心率自身的范围e∈(0,1)．
角度Ⅲ.椭圆中的最值与范围问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．[2021广东七校联考]已知点P为椭圆＋＝1上的动点，EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一直径，则·的最大值和最小值分别是(　　)
A．16,12－4 B．17,13－4
C．19,12－4 D．20,13－4
[答案]　C　[解析]　∵EF是圆N的直径，
∴|NE|＝|NF|＝1，且＝－，则·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝2－1，设P(x0，y0)，则有＋＝1，即x＝16－y，又N(0,1)，∴||2＝x＋(y0－1)2＝－(y0＋3)2＋20，
又∵y0∈[－2，2]，
∴当y0＝－3时，||2取得最大值20，则(·)max＝20－1＝19.当y0＝2时，||2取得最小值13－4，则(·)min＝12－4.
综上，·的最大值和最小值分别为19,12－4，故选C.
7．[2021河北衡水中学调研]已知A，B是椭圆＋＝1(a>b>0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若椭圆的离心率为，则|k1|＋|k2|的最小值为(　　)
A．1 B．
C． D．
[答案]　A　[解析]　设M(t，s)，N(t，－s)，t∈[0，a)，s∈(0，b]，A(－a,0)，B(a,0)，则k1＝，k2＝－.
|k1|＋|k2|＝＋
≥2
＝2，
当且仅当＝－，即t＝0时，等号成立，此时s＝b.
∴|k1|＋|k2|的最小值为.
∵椭圆的离心率为，∴＝.
∴a＝2b，∴|k1|＋|k2|的最小值为1.
故选A.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
椭圆中“顶点三角形”的定义及性质
提醒 完成限时跟踪检测(四十六)
第2课时　直线与椭圆的位置关系
[复习要点]　1.能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程解的问题，会利用根与系数的关系及判别式解决问题．
2．通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想．
知识点一　椭圆的参数方程
椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为_________________________．
答案：(θ为参数)
知识点二　点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)和椭圆＋＝1(a>b>0)的关系：
(1)P(x0，y0)在椭圆内 ________.
(2)P(x0，y0)在椭圆上 ________.
(3)P(x0，y0)在椭圆外 ________.
答案：(1)＋<1　(2)＋＝1　(3)＋>1
知识点三　焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的三角形PF1F2称做焦点三角形(如图)，∠F1PF2＝θ.
S△PF1F2＝________＝________.
答案：r1r2sin θ　c|y0|
知识点四　直线与椭圆位置关系的判断
联立得
(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0，
该一元二次方程的判别式为Δ.
Δ>0 有________交点 相交；
Δ＝0 有________交点 相切；
Δ<0 ________交点 相离．
[答案]　两个　一个　无
知识点五　椭圆的弦长
AB为椭圆的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．
(1)弦长l＝|x1－x2|＝|y1－y2|.
(2)kAB＝－.
(3)直线AB的方程：y－y0＝－(x－x0)．
(4)直线AB的垂直平分线方程：y－y0＝(x－x0)．
?链/接/教/材
1．[选修2－1·P49·A组T5改编]从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1.又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，|F1A|＝＋，则椭圆的方程为________．
答案：＋＝1　解析：依题意，得
a＋c＝＋，A(a,0)，B(0，b)，
P，
所以kAB＝－，kPO＝－，
依题意得－＝－，
所以b＝c，即a＝c，
于是可解得a＝，c＝，
故椭圆的方程为＋＝1.
2．(1)[选修2－1·P49·A组T6]已知点P是椭圆＋＝1上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________________．
(2)[选修2－1·P49·A组T9改编]人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为r1，r2，则卫星轨道的离心率为________．
答案：(1)，，，　(2)
解析：(1)设P(x0，y0)，
由题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，
所以|F1F2|＝2.
于是S＝·|F1F2|·|y0|＝1，
解得y0＝±1，
代入椭圆方程得x0＝±.
由椭圆的对称性知，点P的坐标为，，，.
(2)设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c，
则有
解得
故所求卫星轨道的离心率为
e＝.
?通/性/通/法
1．焦点三角形问题：定义的应用转化．
若椭圆＋＝1上的点P与椭圆两焦点F1，F2的连线互相垂直，则△F1PF2的面积为________．
答案：3　解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n.
椭圆的长轴长为2a＝4，焦距为2c＝2，
因为PF1⊥PF2，所以m＋n＝4且m2＋n2＝4，
解得mn＝6，
所以△F1PF2的面积为mn＝3.
2．直线与椭圆的位置关系：代数法．
直线y＝x＋k与椭圆x2＋＝1只有一个公共点，则k＝________.
答案：－或　解析：将y＝x＋k代入x2＋＝1中，
消去y，得5x2＋2kx＋k2－4＝0.
因为直线与椭圆只有一个公共点，
所以Δ＝(2k)2－4×5(k2－4)＝0，解得k＝－或.
3．中点弦的有关问题：点差法的应用．
若椭圆＋＝1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是(　　)
A．x－2y＝0 B．x＋2y－4＝0
C．2x＋3y－12＝0 D．x＋2y－8＝0
答案：D　解析：设这条弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，
则
两式相减再变形，得＋k＝0.
又弦的中点为(4,2)，∴k＝－.
∴这条弦所在的直线方程为
y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.
?核/心/素/养
已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)内有一点M(2,1)，过M的两条直线l1，l2分别与椭圆E交于A，C和B，D两点，且满足＝λ，＝λ(其中λ>0，且λ≠1)，若λ变化时直线AB的斜率总为－，则椭圆E的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：D　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
由＝λ，
可得(2－x1,1－y1)＝λ(x3－2，y3－1)，
据此可得：
同理，
则
所以2[(y1＋y2)＋λ(y3＋y4)]＝(x1＋x2)＋λ(x3＋x4)，①
将点A，B的坐标代入椭圆方程作差，可得＝－×，
即－＝－× a2(y1＋y2)＝2b2(x1＋x2)，
同理，a2(y3＋y4)＝2b2(x3＋x4)，
代入①式可得＝1 e＝.
题型　应用根与系数的关系解决直线与椭圆相交问题
角度Ⅰ.相交弦长的计算问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．如图所示，已知椭圆G：＋y2＝1，与x轴不重合的直线 l经过左焦点F1，且与椭圆G相交于A，B两点，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆G相交于C，D两点．
(1)若直线l的斜率为1，求直线OM的斜率．
(2)是否存在直线l，使得|AM|2＝|CM||DM|成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明

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