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第十一章　计数原理与概率　随机变量及其分布
第一节　分类加法原理与分步乘法原理
[复习要点]　1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
2．能正确区分“类”和“步”．
3．能利用两个原理解决一些简单的实际问题．
知识点一　分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝________ 种不同的方法．
答案：m＋n　
知识点二　分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
答案：m×n
?链/接/教/材
1．[选修2－3·P5·例3改编]书架的第1层放有10本不同的语文书，第2层放有12本不同的数学书，第3层放有10本不同的英语书，从书架中任取一本书，则不同的取法有________种．
答案：32
2．[选修2－3·P10·练习T4改编]已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法有________种．
答案：12
3．[选修2－3·P13·B组T2](1)4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是34还是43
(2)3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是35还是53
解：(1)“一件事情”是“4名学生分别参加3个运动队中的一个，每人限报一个，可以报同一个运动队”，应该是同学选运动队，所以不同报法种数是34.
(2)“一件事情”是“3个班分别从5个风景点中选择一处游览”，应该是人选风景点，故不同的选法种数是53.
?易/错/问/题
1．分类加法计数原理：分类标准必须明确；类与类之间是独立的．
从1,2,3,4,9中每次取出两个数记为a，b，则可得到logab的不同值的个数为 (　　)
A．9 B．10
C．13 D．16
答案：A　解析：显然a≠1，
若a＝2,3,4,9，b＝1时，有logab＝0,1个；
若a＝2，b＝3,4,9时，有log23，log24＝2，log29,3个；
若a＝3，b＝2,4,9时，有log32，log34，log39＝2(舍去)，2个；
若a＝4，b＝2,3,9时，有log42＝，log43，log49＝log23(舍去)，2个；
若a＝9，b＝2,3,4时，有log92，log93＝(舍去)，log94＝log32(舍去)，1个．
共有1＋3＋2＋2＋1＝9(个)．
2．分步乘法计数原理：分步的次序必须明确．
用数字2,3,4,6,8组成无重复数字的三位偶数的个数为________．
答案：48　解析：先排个位有4种方法，再排十位有4种方法，最后排百位，有3种方法，故共有4×4×3＝48(种)排法，对应48个三位偶数．
?通/性/通/法
分步乘法计数原理：步骤互相独立，互不干扰；步与步确保连续，逐步完成．
某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有________种．
答案：960　解析：按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)．
题型　分类加法计数原理
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　)
A．18个 B．16个
C．14个 D．12个
[答案]　C　[解析]　由题意可得，a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k≤8，都有a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011，
00011101,00100111,00101011，
00101101,00110011,00110101，
01000111,01001011,01001101，
01010011,01010101，共14个．
2．甲、乙、丙三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方法共有(　　)
A．4种 B．6种
C．10种 D．16种
[答案]　B
3．[2021山西太原模拟]如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左、右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠)，记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a＝9.若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有________种．
[答案]　32　[解析]　根据题意知，a，b，c的取值范围都是区间[7,14]中的8个整数，故公差d的范围是区间[－3,3]中的整数．①当公差d＝0时，有C＝8(种)；②当公差d＝±1时，b不取7和14，有2×C＝12(种)；③当公差d＝±2时，b不取7,8,13,14，有2×C＝8(种)；④当公差d＝±3时，b只能取10或11，有2×C＝4(种)．综上，共有8＋12＋8＋4＝32(种)不同的分珠计数法．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
解决计数问题常用的方法
1．枚举法
将各种情况通过树形图法、列表法一一列举出来，适用于计数种数较少的情况．
2．间接法
若计数时分类较多或无法直接计算时，可先求出没有限制条件的种数，再减去不满足条件的种数．
3．字典排序法
(1)字典排序法就是把所有的字母分为前后，先排前面的字母，前面的字母排完后再依次排后面的字母，最后的字母排完，则排列结束；
(2)利用字典排序法并结合分步乘法计数原理可以解决与排列顺序有关的计数问题，利用字典排序法还可以把这些排列不重不漏地一一列举出来．
4．模型法
通过构造图形，利用形象、直观的图形帮助分析和解决问题．
题型　分步乘法计数原理
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2020新高考Ⅰ]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
[答案]　C　[解析]　从6名同学中任选1名同学去甲场馆，有C种选法，然后从剩下的5名同学中任选2名同学去乙场馆，有C种选法，最后直接安排剩下的3名同学去丙场馆，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有CC＝60(种)．故选C.
2．对33 000分解质因数得33 000＝23×3×53×11，则33 000的正偶数因数的个数是(　　)
A．48 B．72
C．64 D．96
[答案]　A
3．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．
[答案]　18　6　[解析]　一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
利用分步乘法计数原理解题的策略
(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．
(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．
题型　两个计数原理的综合应用
角度Ⅰ.涂色问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．现用4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词(如图)涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂法种数为(　　)
A．27 B．54
C．108 D．144
[答案]　C
2．[2021河南郑州模拟]如图所示的几何体由三棱锥P－ABC与三棱柱ABC－A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有(　　)
A．6种 B．9种
C．12种 D．36种
[答案]　C　[解析]　先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，有C×C×C种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有C×C×C种情况，共有C×C×C×C×C×C＝3×2×1×2×1×1＝12(种)不同的涂法．故选C.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
涂色问题的两种解决方法
(1)对于简单的、不需要分类的涂色问题，直接选择正确的涂色顺序，按此顺序逐一找出每个区域的涂色种数，然后用分步乘法计数原理进行计算．
(2)对于较复杂的涂色问题，需要进行分类的，首先要进行分类处理，然后在每一类的涂色方案的计算上需用到分步乘法计数原理，最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求和，即得到最终涂色方法数．
角度Ⅱ.数字相关问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“开心数”．例如：32是“开心数”，因32＋33＋34不产生进位现象；23不是“开心数”，因23＋24＋25产生进位现象．那么，小于100的“开心数”的个数为　(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
[答案]　D
4．我国古代数学名著《续古摘奇算法》(杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题：如图所示，将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入3×3的方格中，使得每一行、每一列及对角线上的三个数的和都相等，我们规定：只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是(　　)
8 3 4
1 5 9
6 7 2
A.9 B．8
C．6 D．4
[答案]　B　[解析]　∵所有数的和为
＝45，＝15，
∴每一行、每一列以及对角线上的三个数的和都是15，采用列举法：492,357,816；276,951,438；294,753,618；438,951,276；816,357,492；618,753,294；672,159,834；834,159,672，共8个幻方，故选B.
5．用1,2,3,4四个数字排成三位数(数字可重复使用)，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}．
(1)写出这个数列的前11项；
(2)若an＝341，求n.
[解]　(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.
(2)比an＝341小的数有两类：
①首位是1或2：
②首位是3：
3 1 ×
3 2 ×
3 3 ×
故共有2×4×4＋1×3×4＝44(项)比341小，即n＝45.
角度Ⅲ.选派与分配问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值日，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共有________种不同的排法．
[答案]　1 280　[解析]　完成一件事是安排值日表，因而需一天一天地排，用分步乘法计数原理，分步进行：
第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排的人相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1 280(种)不同的排法．
7．[2021四川广安、眉山、内江、遂宁一诊]某地环保部门召集6家企业的负责人参加座谈会，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　)
A．15 B．30
C．35 D．42
[答案]　B　[解析]　根据题意，分两类情况讨论：选出的3人中没有人来自甲企业，在其他5个企业中任选3个即可，有C＝10(种)情况；选出的3人中有人来自甲企业，则甲企业只能有1人参与，在其他5个企业中任选2个即可，有2×C＝20(种)情况．则不同的情况共有10＋20＝30(种)，故选B.
角度Ⅳ.几何图形问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
8．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成—个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 (　　)
A．48 B．18
C．24 D．36
[答案]　D　[解析]　分类讨论：第1类，对于每一条棱，都可以与两个面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；
第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．
所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．
9．[2021山东临沂模拟]如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型(每次旋转90°仍为L型图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是(　　)
A．16 B．32
C．48 D．64
[答案]　C　[解析]　每四个小方格(2×2型)中有4个“L”型图案，共有12个2×2型小方格，所以共有“L”型图案4×12＝48(个)．
提醒 完成限时跟踪检测(五十六)
第二节　排列与组合
[复习要点]　1.理解排列的概念及排列数公式，能利用公式解决一些简单的实际问题．
2．理解组合的概念及组合数公式，能利用公式解决一些简单的实际问题．
知识点一　排列与排列数
1．排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，____________________，
叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_______________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作________．
答案：1.按照一定的顺序排成一列　2.所有不同排列的个数　A
知识点二　组合与组合数
1．组合
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作________．
答案：1.合成一组　2.所有不同组合的个数　C
知识点三　排列数、组合数的公式及性质
排列数 组合数
公式 A＝__________＝________ C＝＝__________＝________
性质 (1)A＝________；(2)0！＝________ (1)C＝________；(2)C＝________；(3)C＋C＝C
备注 n，m∈N*且m≤n
答案：n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　　　
　(1)n！　(2)1　(1)1　(2)C
?链/接/教/材
1．[选修2－3·P20·练习T6改编]从4人中选出2人，安排周六、周日值班，每天一人，则不同的安排方法种数为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．12
答案：D　解析：安排周六、周日值班是有序问题，故有A＝12(种)安排方法．
2．[选修2－3·P40·A组T7改编]书架上有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，将其全部竖起排成一排：
(1)如果不使同类的书分开，一共有________种不同的排法；
(2)如果使物理书两两不相邻，一共有________种不同的排法．
答案：(1)103 680　(2)AA　解析：(1)由于同类型的书不能分开，所以可以将它们看成一个整体，相当于是3个元素的全排列．但同类书之间可以交换顺序，
所以可以分步对它们进行全排列，即共有A·A·A·A＝103 680(种)排法．
(2)可先把除物理书外的7本书进行全排列，然后把物理书插入8个空中进行全排列即可，故共有AA种排法．
?核/心/素/养
[2017浙江卷]从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)
答案：660　解析：解法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C种选法；再选3名男生，有C种选法；然后排队长、副队长位置，有A种选法．由分步乘法计数原理，知共有CCA＝480(种)选法．
有2名女生时，再选2名男生，有C种选法；然后排队长、副队长位置，有A种选法．由分步乘法计数原理，知共有CA＝180(种)选法．
所以依据分类加法计数原理知，
共有480＋180＝660(种)不同的选法．
解法二：不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，而没有女生的选法有AC种，
故至少有1名女生的选法有AC－AC＝840－180＝660(种)．
题型　排列问题
角度Ⅰ.无限制条件的排列问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021辽宁模拟]来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有(　　)
A．48种 B．64种
C．72种 D．96种
[答案]　A　[解析]　每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，只能分为：中、英；中、瑞；英、瑞．
三组中，中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，本国裁判可以互换，进场地全排列，
不同的安排方案总数有AAAA＝2×2×2×6＝48(种)．故选A.
2．[2021河南开封调研]有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法有________种．(用数字作答)
[答案]　210　[解析]　从7本不同的书中选3本送给3名同学，即从7个元素中任取3个元素的一个排列，
∴共有A＝7×6×5＝210(种)不同的送法．
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
无约束条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别限制，这一类题目相对简单，分清元素和位置即可，一般情况下涉及的“大数”是元素数，“小数”是位置数，必要时，要明确完成这件事是需要进行分类还是分步．
角度Ⅱ.有限制条件的排列问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法种数．
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻；
(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；
(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；
(8)全部排成一排，甲不站排头，乙不站排尾．
[解]　(1)从7个人中选5个人排成一排，是排列．
有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A种方法，余下4人排在后排，有A种方法，故共有A·A＝5 040(种)．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．
(3)(优先法)解法一：甲为特殊元素．先排甲，有5种方法；其余6人有A种方法，故共有5×A＝3 600(种)．
解法二：排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有A种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列，有A种方法，共有A×A＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A种方法，再将4名女生进行全排列，也有A种方法，故共有A×A＝576(种)．
(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A种方法，故共有A×A＝1 440(种)．
(6)(捆绑法)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人，有A种方法；第二步从余下5人中选3人排在甲、乙中间，有A种方法；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有A种方法．故共有A·A·A＝720(种)．
(7)(消序法)＝2 520(种)．
(8)(间接法)A－2A＋A＝3 720(种)．
位置分析法：分甲在排尾与不在排尾两类．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
1．解有“相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，再单独考虑这个整体内部各元素间的顺序．
2．解有“不相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，然后将不相邻的元素进行“插空”．
[注意]　根据具体问题判断两端元素外是否还有“空”．
4．[2021福建三明调研]将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数为(　　)
A．12 B．20
C．40 D．60
[答案]　C　[解析]　五个元素没有限制的全排列数为A，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列数A，可得这样的排列数为×2＝40.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
解定序排列问题的方法
定序问题，消序处理，即先不考虑顺序限制，整体进行排列后，再除以定序元素的全排列．
对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种数＝A.
5．10个人围坐在圆桌吃饭，共有________种坐法．
[答案]　9!
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
n个人的环形排列，共有(n－1)！种不同的排列方法．
题型　组合问题
角度Ⅰ.无限制条件的组合问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021辽宁沈阳东北育才学校模拟]某地区高考改革实行“3 ＋1＋2”模式，“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门科目，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门科目中任意选择两门科目，则一名学生的不同选科组合有(　　)
A．8种 B．12种
C．16种 D．20种
[答案]　C　[解析]　若一名学生只选物理和历史中的一门，则有CC＝12(种)组合；若一名学生物理和历史都选，则有C＝4(种)组合，因此共有12＋4＝16(种)组合．故选C.
2．[2021河北模拟]从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有________种不同的选法．(用数字作答)
[答案]　20　[解析]　由题意，从4个班级的学生中选出7名学生代表，每一个班级中至少有一名代表，相当于7个球排成一排，然后插3块隔板把他们分成4份，即中间6个空位中选3个插板，分成四份，共有C＝20(种)不同的选法．
3．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)
[答案]　1 560　[解析]　根据排列数定义，由题意得A＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．
角度Ⅱ.有限制条件的组合问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．[2018全国卷Ⅰ]从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)
[答案]　16　[解析]　解法一：按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有CC种，有2位女生参加有CC种．故共有CC＋CC＝2×6＋4＝16(种)．
解法二：间接法．从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故共有C－C＝20－4＝16(种)．
5．某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？
[解]　(1)561种　(2)5 984种 (3)2 100种　(4)2 555种 (5)6 090种
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
解答有限制条件的组合应用题的基本方法
解答有限制条件的组合应用题的基本方法有“直接法”和“间接法”(排除法)．
1．直接法
用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则，优先安排特殊元素的选取，再安排其他元素的选取．
2．间接法
选择间接法的原则是“正难则反”，若正面问题的分类较多、较复杂或计算量较大时，可以考虑从反面问题入手，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此，此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．
题型　排列组合的综合问题
角度Ⅰ.均匀分组问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021江西南昌模拟]已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的．现用编号为1,2,3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为(　　)
A．12 B．24
C．36 D．48
[答案]　D　[解析]　如图所示的三棱锥中，设6条棱为a，b，c，d，e，f，
分析可得a与d，b与f，c与e不能分到同一组，分2步进行分析：①将6种化工产品分成3组，其中a与d，b与f，c与e不能分到同一组，有－3×2－1＝8(种)分组方法；②将分好的三组全排列，对应3个仓库，有A＝6(种)情况，则不同的安全存放的种数有8×6＝48(种)，故选D.
2．[2020全国卷Ⅱ，理]4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
[答案]　36　[解析]　此题分两步完成：第一步，将4名同学分成3组，有C种分法；第二步，将所分3组进行排列，有A种排法．所以不同的安排方法共有CA＝36(种)．
角度Ⅱ.部分均匀分组问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．现有10个人分成4组，有2个2人组，2个3人组，则不同的分组方法有________种．
[答案]　6 300　[解析]　·＝6 300.
角度Ⅲ.不等分组问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
[答案]　360　[解析]　将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；
第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；
第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法．
根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60(种)取法．
再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6(种)分法，
故共有60×6＝360(种)不同的分法．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
解决分组分配问题的三种策略
1．整体均分
解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．
2．部分均分
解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
3．不等分组
只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
角度Ⅳ.相同元素的分配——隔板分割法
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．[多选][2021山东日照一中期末]将四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中，不允许有空盒子的放法的种数为(　　)
A．CCCC B．CA
C．CCA D．18
[答案]　BC　[解析]　根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个球，有两种解法．
(1)分两步进行分析：①先将四个不同的小球分成3组，有C种方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A种放法．故没有空盒的放法有CA种．
(2)分两步进行分析：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的盒子中，有CC种情况；②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个盒子中，有A种放法．故没有空盒的放法有CCA种．
6．10个相同的小球，放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个球，有多少种不同的放法？
[解]　只需把10个小球隔成3段，每一段代表不同盒子放入球的个数，10个球有9个空隙，选2个空隙作为隔板，这样把10个小球分为3段，故有C＝36(种)分法．
[探究]　x1＋x2＋x3＝10，x1，x2，x3∈N*，则此方程不同解的个数有多少组？
[解]　此题完全类比10个相同小球放入3个不同的盒子中，x1，x2，x3代表3个盒子放入球的个数．
因此，共有C＝36(种)．故此方程不同解的个数有36组．
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
隔板法是排列组合的一种解题应用模型，是将“实际分配问题”或较复杂的重复排列问题转化为“球板模型”的一种重要方式．其中用球代表相同元素，用板所隔出的几个部分代表相应的分配集合，也就是“球”，通过隔板的不同插入方式，得到不同的分配结果．
角度Ⅴ.环形涂色问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
7．如图，环形区域分为5部分，现有4种颜色可供选择，要求相邻的区域涂不同的颜色(这4种颜色也可以不全用)，则有多少种不同的涂色方法？
[解]　涂色方法设计：先从“Ⅰ号”着色，顺时针依次着色，要求下一个区域与上一个区域颜色不同．
这样涂色到“Ⅴ号”区域有4×34种方法，这样可能会发生“Ⅰ号”和“Ⅴ号”颜色相同的情形，需要减去此种情形．
把“Ⅰ号”和“Ⅴ号”合并为一个“Ⅰ号”区域，再按上面的规则涂色有4×33种，这样涂色方法有(4×34－4×33)种，
依次类推，这样涂色方法有：
4×34－[4×33－(4×32－4×3)]＝4×34－4×33＋4×32－4×3＝240(种)．
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
环形涂色问题中的计算方法属于试错现象，然后再消去错误计算，以此类推直到最后两块区域的涂色，这种计算方法非常值得学习．
角度Ⅵ.不对号入座问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
8．[2021云南昆明模拟]现有6人坐成一排，任选其中3人相互调整座位(这3人中任何一人都不能坐回原来的位置)，其余3人座位不变，则不同的调整方案的种数有 (　　)
A．30 B．40
C．60 D．90
[答案]　B　[解析]　根据题意，分2步进行分析：①从6人中选出3人，相互调整座位，有C＝20(种)选法；②记选出相互调整座位的3人分别为A，B，C，则A有2种坐法，B，C只有1种坐法，A，B，C相互调整座位有2种情况，则不同的调整方案有20×2＝40(种)，故选B.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
n个人和n个座位，都不对号入座共有n！－C(n－1)！＋C(n－2)！－C(n－3)！＋…＋(－1)nC0！种不同的入座方法．
提醒 完成限时跟踪检测(五十七)
第三节　二项式定理
[复习要点]　1.能利用计数原理证明二项式定理．
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
知识点一　二项式定理
1．二项式定理
公式(a＋b)n＝________________________________叫做二项式定理．
2．二项展开式的通项
Tk＋1＝________为展开式的第 ________项．
3．二项式系数
二项展开式中各项的系数________(k∈{0,1，…，n})叫做二项式系数．
答案：1.Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
2．Can－kbk　k＋1　3.C
知识点二　二项式系数的性质
答案：C　k<　k>　　Cn　　　Cn或Cn　2n　C＋C＋C＋…＝2n－1
?链/接/教/材
1．[选修2－3·P37·A组T5(2)改编]8的展开式中常数项为________，是第________项．
答案：　5
2．[选修2－3·P35·练习T1(2)改编]化简：C＋C＋…＋C＝________.
答案：22n－1
3．(1)[选修2－3·P40·A组T9]用二项式定理证明5555＋9能被8整除．
(2)[选修2－3·P40·A组T9改编]用二项式定理求8910除以88的余数．
(1)证明：∵5555＋9＝(56－1)55＋9
＝5655－C·5654＋…＋C·56－1＋9
＝5655－C·5654＋…＋C·56＋8，
5655－C·5654＋…＋C·56＋8中各项都能被8整除，
因此5555＋9也能被8整除．
(2)解：8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋C888＋…＋C88＋1，
由于除1外的各项均能被88整除，故8910除以88的余数为1.
?易/错/问/题
二项式系数与项的系数的区别．
(1)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为________．
(2)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.
(1)答案：29　解析：因为展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10.根据二项式系数和的相关公式，得奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.
(2)答案：3　解析：解法一：直接将(a＋x)(1＋x)4展开得x5＋(a＋4)x4＋(6＋4a)·x3＋(4＋6a)x2＋(1＋4a)x＋a，由题意得1＋(6＋4a)＋(1＋4a)＝32，解得a＝3.
解法二：(1＋x)4展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，由题意可知，a(C＋C)＋C＋C＋C＝32，解得a＝3.
?通/性/通/法
1．赋值法求系数和问题．
若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________．
答案：8　解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0；令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝16.故a0＋a2＋a4＝8.
2．通项公式：Tr＋1＝Can－rbr.
7的展开式中x5的系数是________．(用数字填写答案)
答案：35　解析：Tr＋1＝C(x3)7－rr＝C·x21－4r，令21－4r＝5，得r＝4，因此x5的系数为C＝35.
题型　展开式中的特定项(或系数)
角度Ⅰ.二项展开式中求特定项(或系数)
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2020全国卷Ⅰ](x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
[答案]　C　[解析]　因为(x＋y)5＝x(x＋y)5＋(x＋y)5，(x＋y)5的通项为Cx5－ryr(r＝0,1,2,3,4,5)，所以x(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＝10，·(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＝5.所以(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为10＋5＝15.故选C.
2．[多选]已知二项式n(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则下列说法正确的是(　　)
A．所有项的系数之和为1
B．所有项的系数之和为－1
C．含x3的项的系数为240
D．含x3的项的系数为－240
[答案]　AC　[解析]　二项展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(2x)n－rr，
由题意，可得C∶C＝2∶5，解得n＝6.
所以Tr＋1＝C(2x)n－rr＝C26－r(－1)rx6－r，
令6－r＝3，解得r＝2，
所以含x3的项的系数为
C26－2×(－1)2＝240.
在二项展开式中，令x＝1，可知所有项的系数之和为(2－1)6＝1.
故选AC.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
求展开式中的特定项(或系数)的方法
求展开式中的特定项，主要考查(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr的运用，一般需要借助方程的思想求未知数r，再将r的值代回通项公式求解，注意r的取值范围(r＝0,1,2，…，n)．
求第m项，此时令r＋1＝m，即r＝m－1，代回通项公式求解；
求常数项，即这项不含变量，令通项中变量的幂指数为0，建立方程求解；
求有理项，令通项中变量的幂指数为整数，建立方程求解．
求特定项的系数及相关参数值，可依据上述方法求解．
角度Ⅱ.几个多项式积的展开式的特定项(或系数)
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2021湖北荆、荆、襄、宜四地七校联考]已知(x＋1)·5的展开式中，常数项为－40，则a的值为(　　)
A．2 B．－2
C．±2 D．4
[答案]　C　[解析]　5的展开式的通项为Tr＋1＝C·(ax)5－r·r＝(－1)r·a5－r·C·x5－2r.取5－2r＝－1，得r＝3；取5－2r＝0，得r＝(舍去)．
∴(x＋1)·5的展开式中常数项为(－1)3·a2·C＝－40，得a＝±2.故选C.
4．[2017全国卷Ⅲ](x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．－80 B．－40
C．40 D．80
[答案]　C　[解析]　因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C·22＝－40，
x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C·23＝80.
所以x3y3的系数为80－40＝40.
故选C.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解．但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．熟练运用目标转化法是解决此类题的关键．
角度Ⅲ.几个多项式和的展开式中特定项(或系数)问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展开式中，含x2项的系数是(　　)
A．10 B．15
C．20 D．25
[答案]　C　[解析]　(1＋x)2中含x2的项为Cx2，
(1＋x)3中含x2的项为Cx2，
(1＋x)4中含x2的项为Cx2，
(1＋x)5中含x2的项为Cx2，
则含x2项的系数为C＋C＋C＋C＝20.故选C.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
对于几个多项式和的展开式中的特定项(或系数)问题，只需依据二项展开式的通项公式，从每一个多项式中分别得到特定的项，再求和即可．如本题，只需找到(1＋x)n(n＝2,3,4,5)的展开式中含x2的项，即可得解．
角度Ⅳ.三项展开式中特定项(或系数)问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．60
[答案]　C　[解析]　由二项展开式通项易知，
Tr＋1＝C(x2＋x)5－ryr，
令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，
对于二项式(x2＋x)3，
Tt＋1＝C(x2)3－t·xt＝Cx6－t，
令t＝1，所以x5y2的系数为CC＝30，故选C.
7．[2021福建龙岩模拟]4的展开式中，常数项为　(　　)
A．－1 B．1
C．－47 D．49
[答案]　B
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
(a＋b＋c)n展开式中特定项的求解方法
因式分解法—将三项式利用因式分解变为两个二项式，然后再用二项式定理求解问题．
逐层展开法—将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解问题．
组合知识法—把(a＋b＋c)n看成n个(a＋b＋c)的积，利用组合知识分析项的构成，则展开式中含有ambrCn－m－r的系数为C·C.
题型　二项式系数及最值
角度Ⅰ.二项展开式系数的最值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[多选][2021山东日照检测]8展开式中系数最大的项为(　　)
A．第2项 B．第3项
C．第4项 D．第5项
[答案]　BC　[解析]　8展开式的通项Tr＋1＝C·()8－r·r
＝r·C·x，其展开式的各项系数依次为1,4,7,7，，，，，，
所以展开式中系数最大的项是第3项和第4项．
2．已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，求2n的展开式中：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项．
[解]　由题意，知22n－2n＝992，
即(2n－32)(2n＋31)＝0.
∴2n＝32，解得n＝5.
(1)由二项式系数的性质，知10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T6＝C·(2x)5·5＝－8 064.
(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大，
∵Tr＋1＝C·(2x)10－r·r
＝(－1)rC·210－r·x10－2r，
∴
得即
解得≤r≤.
∵r∈Z，∴r＝3，故系数的绝对值最大的是第4项，
T4＝－C·27·x4＝－15 360x4.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
1．二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即可得所求．
2．二项式系数的最值问题
求展开式中的二项式系数的最大值，如果二项式的幂指数n是偶数，中间项是第项，其二项式系数Cn最大；如果二项式的幂指数n是奇数，中间项有两项，即为第项和第项，它们的二项式系数Cn和Cn相等且最大．
角度Ⅱ.赋值法求系数和
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2021名师原创]已知－C(2－x)＋C(2－x)2－C(2－x)3＋…＋C(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则a1＋a2＋a3＋…＋a99的值是(　　)
A．－1 B．－2
C．299－1 D．
[答案]　B　[解析]　记f(x)＝1－C(2－x)＋C(2－x)2－C(2－x)3＋…＋C(2－x)100－1＝[1－(2－x)]100－1＝(x－1)100－1，
即(x－1)100－1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝－1.令x＝0，得a0＝0，
又易知a100＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝－2.
4．[多选][2021山东泰安模拟]若(1－2x)2 009＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 009x2 009(x∈R)，则(　　)
A．a0＝1
B．a1＋a3＋a5＋…＋a2 009＝
C．a0＋a2＋a4＋…＋a2 008＝
D．＋＋＋…＋＝－1
[答案]　ACD　[解析]　由题意，当x＝0时，a0＝12 009＝1；当x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 009＝(－1)2 009＝－1；当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…－a2 009＝32 009；当x＝时，a0＋a1×＋a2×2＋…＋a2 009×2 009＝0，所以a1＋a3＋a5＋…＋a2 009＝－，a0＋a2＋a4＋…＋a2 008＝，＋＋…＋＝－a0＝－1.故选ACD.
5．[2021湖北黄冈期末]设(1－ax)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018，若a1＋2a2＋3a3＋…＋2 018a2 018＝2 018a(a≠0)，则实数a＝________.
[答案]　2　[解析]　已知(1－ax)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018，
两边同时对x求导，得
2 018(1－ax)2 017(－a)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 018a2 018x2 017，
令x＝1，得－2 018a(1－a)2 017＝a1＋2a2＋3a3＋…＋2 018a2 018＝2 018a，
又a≠0，所以(1－a)2 017＝－1，
即1－a＝－1，故a＝2.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中：
(1)各项系数之和为f(1)．
(2)奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝.
(3)偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
题型　二项式定理的应用
角度Ⅰ.应用二项式定理解决近似计算问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．求0.9986的近似值，使误差小于0.001.
[解]　0.9986＝(1－0.002)6＝1＋C(－0.002)＋C(－0.002)2＋…＋C(－0.002)6.
∵T3＝C(－0.002)2＝15×0.0022＝0.000 06<0.001，
且第3项以后的项的绝对值都远小于0.001，
∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计，
∴0.9986＝(1－0.002)6≈1－6×0.002＝0.988.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，当x的绝对值与1相比很小时，x2，x3，…，xn等项的绝对值都很小，在精确度允许的范围内可以忽略不计，所以可用近似计算公式(1＋x)n≈1＋nx解决近似计算问题．在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求来确定展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可使用更精确的公式(1＋x)n≈1＋nx＋x2来计算．
角度Ⅱ.应用二项式定理解决整除问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
2．[2021湖南湘潭模拟]中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a＝b(mod m)．若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a＝b(mod 10)，则b的值可以是(　　)
A．2 011 B．2 012
C．2 013 D．2 014
[答案]　A　[解析]　∵a＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C1010－C109＋…－C10＋1，
∴被10除得的余数为1，而2 011被10除得的余数是1，故选A.
3．32 019除以100的余数为________．
[答案]　67　[解析]　32 019＝3·32 018＝3·91 009＝3·(10－1)1 009
＝3(C101 009－…－C·102)＋3(C·10－1)．A可被100整除，B＝3×10 089＝30 267.易知32 019被100除得的余数为67.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
应用二项式定理解决整除问题的方法
用二项式定理处理整除问题，需要构造一个与题目有关的二项式，通常把被除数的幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只需考虑后面(或者前面)的一项或两项即可．
[注意]　在解决问题时要注意余数的范围，a＝c·r＋b(b为余数，b∈[0，r)，r是除数)，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换为正数．
角度Ⅲ.应用二项式定理证明不等式
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．用二项式定理证明2n>2n＋1(n≥3，n∈N*)．
[证明]　当n≥3，n∈N*时，
2n＝(1＋1)n＝C＋C＋…＋C＋C≥C＋C＋C＋C＝2n＋2>2n＋1，∴不等式成立．
5．求证：对一切n∈N*，都有2≤n<3.
[证明]　∵n＝C＋C·＋C·2＋C·3＋…＋C·n＝1＋1＋·＋··＋…＋··
·…·，
∴2≤n<2＋＋＋…＋
<2＋＋＋…＋
＝2＋＋＋…＋＝3－<3，
当且仅当n＝1时，n＝2；
当n≥2时，2综上，对一切n∈N*，都有2≤n<3.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
应用二项式定理证明有关的不等式的方法
(1)用二项式定理证明不等式时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，有时需要构造二项式，再结合不等式证明的方法进行论证；
(2)证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结论不构成影响的若干项可以去掉．
提醒 完成限时跟踪检测(五十八)
第四节　随机事件的概率与事件间的关系
[复习要点]　1.了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．
2．了解两个互斥事件的概率加法公式．
知识点一　频率和概率
1．事件的分类
2．频率和概率
(1)在相同的条件S下重复n次实验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的________nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝________为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的________稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
答案：1.一定会　一定不会　可能发生也可能不　2.(1)次数　　(2)频率fn(A)
知识点二　事件的关系与运算
名称 定义 符号表示
包含关系 若事件A________，则事件B________，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) ________(或________)
相等关系 若B A，且________，则称事件A与事件B相等 ________
并事件(和事件) 若某事件发生______________，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) ________(或________)
交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当__________________________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) ________(或________)
互斥事件 若A∩B为________事件，则事件A与事件B互斥 A∩B＝
对立事件 若A∩B为________事件，A∪B为________事件，则称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝ 且A∪B＝Ω
答案：发生　一定发生　B A　A B　A B　A＝B　当且仅当事件A发生或事件B发生　A∪B　A＋B　事件A发生且事件B发生　A∩B　AB　不可能　不可能　必然
知识点三　概率的几个基本性质
1．概率的取值范围：________.
2．必然事件的概率为________．
3．不可能事件的概率为________．
4．概率的加法公式
若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ ________.
5．对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝________，P(A)＝________.
答案：1.0≤P(A)≤1　2.1　3.0　4.P(A)＋P(B)　5.1　1－P(B)
?链/接/教/材
1．[必修3·P123·A组T1改编]下列结论正确的是(　　)
A．若A，B事件互斥，则P(A)＋P(B)<1
B．若A，B事件对立，则P(AB)＝0
C．对任意事件A，B，P(AB)D．对任意事件A，B，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
答案：B　解析：互斥事件包含对立事件，
所以P(A)＋P(B)≤1，所以A不正确；
因为A，B对立，所以A，B不可能同时发生，故P(AB)＝0，B正确；
若A＝B，则P(AB)＝P(A)＝P(B)，所以C不正确；
若A，B可能同时发生，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，
所以D不正确．
2．(1)[必修3·P121·练习T4]一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是 (　　)
A．至少有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
(2)[必修3·P134·B组T2]假设有5个条件很类似的女孩，把她们分别记为A，C，J，K，S.她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因此5人中仅有三人被录用．如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率：
①女孩K得到一个职位；
②女孩K和S各自得到一个职位；
③女孩K或S得到一个职位．
(1)答案：B　解析：A选项与已知事件的交事件为“恰好有一次中靶”，不符合题意；B选项与已知事件的交事件为不可能事件，符合题意；C选项与已知事件的交事件为“恰好有一次中靶”，不符合题意；D选项与已知事件的交事件为“两次都不中靶”，不符合题意．
(2)解：5人中有3人被录用，共有：ACJ，ACK，ACS，AJK，AJS，AKS，CJK，CJS，CKS，JKS,10种结果，
由古典概型知：
①女孩K得到一个职位的概率为P1＝＝.
②女孩K和S各自得到一个职位的概率为P2＝.
③女孩K或S得到一个职位的概率为P3＝.
?易/错/问/题
概率的基本概念：事件的概念；频率与概率的关系．
(1)抛掷骰子一次，出现的点数可能是1,2,3,4,5,6，设事件A表示出现的点数是偶数或不小于5，则A＝________.
(2)某射手在同一条件下进行射击，结果如下：
射击次数 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数 8 19 44 92 178 455
这个射手射击一次，击中靶心的概率约是__________．
(1)答案：{2,4,5,6}　解析：出现偶数有2,4,6，不小于5有5,6，
所以事件A＝{2,4,5,6}．
(2)答案：0.90　解析：击中靶心的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.92，0.89,0.91，易知击中靶心的频率在0.90附近摆动，
故P(A)≈0.90.
?核/心/素/养
口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为 (　　)
A．0.45 B．0.67
C．0.64 D．0.32
答案：D　解析：设“摸出一个红球”为事件A，“摸出一个白球”为事件B，“摸出一个黑球”为事件C，显然事件A，B，C都互斥，且C与A＋B对立．
因为P(A)＝＝0.45，P(B)＝0.23，
所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.45＋0.23＝0.68，
P(C)＝1－P(A＋B)＝1－0.68＝0.32.
题型　随机事件概念
角度Ⅰ.随机事件的频率与概率
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 (　　)
A．134石 B．169石
C．338石 D．1 365石
[答案]　B　[解析]　依题意，这批米内夹谷约为×1 534≈169(石)．
2．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
[解]　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由题中表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20，则r＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100，
所以Y的所有可能值为900,300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由题中表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
1．计算简单随机事件频率或概率的解题思路
(1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数．
(2)由频率公式得所求，由频率估计概率．
2．求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点
求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数．
角度Ⅱ.互斥事件、对立事件的判断
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．从一堆产品(其中正品与次品均多于两件)中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是(　　)
A．恰好有一件次品与全是次品
B．至少有一件次品与全是次品
C．至少有一件次品与全是正品
D．至少有一件正品与至少有一件次品
[答案]　C
4．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
[答案]　D
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
多角度辨析互斥事件与对立事件
1．从概率和的角度来看
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，如果事件A，B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)≤1；
对立事件是不可能同时发生，但必有一个发生的两个事件，有P(A)＋P()＝P(A＋)＝1.
2．从事件发生的角度来看
在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，不可能同时发生；
两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生．
3．从所描述的对象来看
互斥事件描述的是两个或多个事件之间的关系；
对立事件描述的是两个事件之间的关系．
[注意]　两事件对立，必定互斥；但两事件互斥，未必对立．对立事件是互斥事件的一个特例．
题型　随机事件的概率
角度Ⅰ.互斥事件的概率
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2018全国卷Ⅲ]若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
[答案]　B　[解析]　由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B.
2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)
A． B．
C． D．1
[答案]　C　[解析]　设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.
角度Ⅱ.对立事件的概率
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏至少输入两次密码才能够成功开机的概率是 (　　)
A． B．
C． D．
[答案]　B　[解析]　小敏输入一次密码能够成功开机的概率是＝，
由对立事件的概率公式得所求概率为P＝1－＝.
4．[2021江苏扬州模拟]某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示.
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数(人) x 30 25 y 10
结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
[解]　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
角度Ⅲ.复杂随机事件的概率
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．[2020北京卷]某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
方案一,200人,400人,300人,100人
方案二,350人,250人,150人,250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
(2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
(3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0.假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1.试比较p0与p1的大小．(结论不要求证明)
[解]　(1)估计该校男生支持方案一的概率P1＝＝，
该校女生支持方案一的概率P2＝＝.
(2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，这3人中恰有2人支持方案一有两种情况：①2名男生都支持方案一，女生不支持，概率为2×＝；②2名男生中只有1名男生支持方案一，女生支持方案一，概率为C×××＝.
则估计这3人中恰有2人支持方案一的概率P＝＋＝.
(3)p0>p1.
理由：估计该校学生男生、女生人数的整体比例为600∶400＝3∶2，男生对方案二的支持率高于女生．而一年级男生、女生人数的比例为500∶300＝5∶3，高于整体比值，一年级对方案二的支持率高于平均值，所以除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值p1小于该校学生支持方案二的概率估计值p0.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
复杂事件的概率求法
1．直接法
将所求复杂事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件的概率加法公式计算．
2．间接法
先求复杂事件的对立事件的概率，再用对立事件的概率公式P(A)＝1－P()求解，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法一般会比较简便．
提醒 完成限时跟踪检测(五十九)
第五节　古典概型
[复习要点]　1.理解古典概型及其概率计算公式．
2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
知识点一　基本事件的特点
1．任何两个基本事件是________的．
2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成________的和．
答案：1.互斥　2.基本事件
知识点二　古典概型
1．具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件________．
(2)每个基本事件出现的可能性________．
2．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是________；如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝________.
3．古典概型的概率公式
P(A)＝______________________.
答案：1.(1)只有有限个　(2)相等　2.　　3.
?链/接/教/材
1．[必修3·P134·A组T5改编]从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：D　解析：从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：
基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P＝＝.故选D.
2．[必修3·P133·练习T4(1)改编]同时抛掷两枚骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是(　　)
A． B．
C． D．
答案：C　解析：同时抛掷两枚骰子，基本事件总数为36，记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A，则事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共4个，故P(A)＝＝.
?易/错/问/题
古典概型：基本事件的计数．
一个盒子里装有标号为1,2，…，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率：
(1)标签的选取是无放回的；
(2)标签的选取是有放回的．
解：(1)从5张标签中无放回地选取两张标签，
其结果有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，共10种不同结果，
其中数字为相邻整数的有{1,2}，{2,3}，{3,4}，{4,5}，共4种结果，
故其概率为P＝＝.
(2)标签的选取是有放回的，其结果共有5×5＝25(种)，
其数字为相邻整数的有{1,2}，{2,1}，{2,3}，{3,2}，{3,4}，{4,3}，{4,5}，{5,4}，共8种结果，故其概率为P＝.
?核/心/素/养
红、黑两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，记事件A为：每对同字的棋子中，均为红棋子在前，则事件A发生的概率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：B　解析：6枚棋子排成一列，基本事件的总数为n＝A＝720，
事件包含的基本事件：先从6个位置中选出2个排车，
因为红车在前，所以有C种排法，
同理，再从剩下的4个位置中选2个排马，红马在前有C种排法；
最后的两个位置排炮，红炮在前有C种排法．故共有CCC＝90(种)排法．
由古典概型的概率公式，得P(A)＝＝.
题型　简单古典概型的概率问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2020全国卷Ⅰ，文]设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　A　[解析]　在A，B，C，D，O中任取3点，有ABC，ABD，ABO，ACD，ACO，ADO，BCD，BCO，BDO，CDO，共10种选取方法．如图，当取到的3点为AOC或BOD时，3点共线，故取到的3点共线的概率P＝＝，故选A.
2. [2019全国卷Ⅰ]我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　A　[解析]　在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n＝26＝64，恰有3个阳爻的基本事件数为C＝20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P＝＝.故选A.
3．[2020江苏卷]将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________．
[答案]　　[解析]　抛掷一颗骰子2次，所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，……，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个，其中点数之和为5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4个，故所求概率P＝＝.
4．若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率，先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：
7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636
6947　1417　4698　0371　6233　2616　8045
6011　3661　9597　7424　7610　4281
根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________．
[答案]　0.4
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
古典概型中基本事件的探求方法
列举法：适用于基本事件个数较少且易一一列举出来的试验；
列表法(坐标法)：适用于从多个元素中选定两个元素的试验；
树形图法：适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探究；
排列组合法：求较复杂试验中基本事件的个数时，可利用排列与组合的知识．
题型　复杂古典概型的概率问题
角度Ⅰ.与组合有关的古典概型
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2019江苏卷]从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．
[答案]　　[解析]　解法一：设3名男同学分别为A，B，C,2名女同学分别为a，b，则所有等可能事件分别为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件分别为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个，故所求概率为.
解法二：同解法一，得所有等可能事件共10个，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件分别为AB，AC，BC，共3个，
故所求概率为1－＝.
2．[多选][2021山东泰安肥城适应性训练]某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中任选3门进行学习．现有甲、乙、丙三人，若同学甲必选物理，则下列结论正确的是(　　)
A．甲的不同的选法种数为10
B．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件
C．乙同学在选物理的条件下选化学的概率是
D．乙、丙两名同学都选物理的概率是
[答案]　AD　[解析]A选项：由于甲必选物理，故只需从剩下5门课中选2门即可，有C＝10(种)选法，故A正确；B选项：甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故B错误；C选项：由于乙同学先选了物理，则乙同学选化学的概率是＝，故C错误；D选项：因为乙、丙两名同学各自选物理的概率都为＝，所以乙、丙两名同学都选物理的概率是×＝，故D正确．
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
无放回抽取和有放回抽取
1．无放回抽取
计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．
2．有放回抽取
应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b1)，(b1，a1)不是同一个基本事件．
解题的关键是要清楚无论是“无放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．
角度Ⅱ.与排列有关的古典概型
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的概率为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　C　[解析]　所有的排法有A＝24(种)，
若甲、丙之间恰好为乙，则有AA种排法；
若甲、丙之间恰好为丁，则有A种排法，
故所求的概率为P＝＝＝.
4．[2021广东东莞模拟]现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　B　[解析]　基本事件总数n＝·A＝6，乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数m＝CC·A＝2，∴乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率P＝＝＝.故选B.
角度Ⅲ.复杂古典概型的应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率．
[解]　(1)由题意，参加集训的男生、女生各有6名．
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.
(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C.
则P(B)＝＝，P(C)＝＝.由互斥事件的概率加法公式，得
P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，故所求事件的概率为.
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
1．求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．
2．注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用．
题型　古典概型与其他知识的交汇问题
角度Ⅰ.古典概型与函数知识的结合
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2021湖南益阳、湘潭调研]已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　C　[解析]　若函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数，则a2－2<0，又a∈{－2，0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1满足题意，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是.
2．[2021辽宁大连模拟]已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)A． B．
C． D．
[答案]　B　[解析]　设h(x)＝，
则h′(x)＝<0，故h(x)＝ax单调递减，
所以0又＋＝a＋＝，
解得a＝，则数列＝n，
其前n项和Sn＝1－n，
因为1－n>，
所以n>6，故P＝＝.
角度Ⅱ.古典概型与统计知识的结合
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
商品　顾客人数　　　 甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
[解]　(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.
(3)与(1)同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
角度Ⅲ.古典概型与解析几何的结合
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　C
5．曲线C的方程为＋＝1，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，记事件A为“方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)＝________.
[答案]　
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
解决与古典概型交汇命题的关注点
解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．
提醒 完成限时跟踪检测(六十)
第六节　离散型随机变量及其分布列
[复习要点]　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列．
2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．
知识点一　离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为________，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为____________．
答案：随机变量　离散型随机变量
知识点二　离散型随机变量的分布列及性质
1．概念：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的________，简称为X的________，有时为了表达简单，也用等式______________表示X的分布列．
2．离散型随机变量的分布列的性质
(1)________________；
(2)________________．
答案：1.概率分布列　分布列　P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n
2．(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)　(2)pi＝1
知识点三　常见离散型随机变量的分布列
1．两点分布
若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
X 0 1
P 1－p p
其中p＝________称为成功概率．
2．超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝____________，且____________，称分布列为超几何分布列.
X 0 1 … m
P ________ ________ … ________
答案：1.P(X＝1)　2.min{M，n}　n≤N，M≤N，n，M，N∈N*　　　
?链/接/教/材
1．[选修2－3·P77·A组T1改编]设随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P p
则p为(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
2．[选修2－3·P49·A组T1改编]有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．
答案：0,1,2,3
?易/错/问/题
离散型随机变量的分布列易错点：随机变量的取值不全；分布列的概率之和不为1.
下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的是________．
①
X 0 1 2
P 0.3 0.4 0.5
②
X 0 1 2
P 0.3 0.8 －0.1
③
X 1 2 3
P 0.3 0.5 0.2
④
X 0 1 2
P
答案：③　解析：利用离散型随机变量的分布列的性质可排除①，②，④.
?核/心/素/养
甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按行驶里程数R(单位：公里)可分为三类车型：A：80≤R<150，B：150≤R<250，C：R≥250.甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如表：
若甲、乙都选C类车型的概率为.
(1)求p，q的值；
(2)求甲、乙选择不同车型的概率；
(3)某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如表：
车型 A B C
补贴金额(万元/辆) 3 4 5
记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列．
解：(1)由题意可知，
解得p＝，q＝.
(2)设“甲、乙选择不同车型”为事件A，
则P(A)＝＋×＋×＝，
所以甲、乙选择不同车型的概率是.
(3)X的可能取值为7,8,9,10.
P(X＝7)＝×＝，
P(X＝8)＝×＋×＝，
P(X＝9)＝×＋×＝，
P(X＝10)＝×＝.
所以X的分布列为
X 7 8 9 10
P
题型　离散型随机变量的分布列的性质
角度Ⅰ.利用分布列求随机事件的概率
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，…，则P(2A． B．
C． D．
[答案]　A　[解析]　P(22．若随机变量X的概率分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(XA．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
[答案]　C
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，依据互斥事件的概率加法公式，将所求范围内的随机变量对应的概率相加即可．
角度Ⅱ.离散型分布列的计算问题
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[多选][2020新高考Ⅰ]信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1,2，…，n，且P(X＝i)＝pi>0(i＝1，2，…，n)，i＝1，定义X的信息熵H(X)＝－ilog2pi.(　　)
A．若n＝1，则H(X)＝0
B．若n＝2，则H(X)随着pi的增大而增大
C．若pi＝(i＝1,2，…，n)，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n＝2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2，…，m，且P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)，则H(X)≤H(Y)
[答案]　AC　[解析]　H(X)＝－ilog2pi，当n＝1时，p1＝1，H(X)＝－p1log2p1＝0，故A正确．
当n＝2时，0解法一：令f(p)＝－plog2p－(1－p)·
log2(1－p)，
由f(p)＝f(1－p)，知f(p)的图象关于直线p＝对称，则在(0,1)上总能找到两个不同的值，使得对应的H(X)相等，故B错误．
解法二：设f(p)＝－[plog2p＋(1－p)log2(1－p)]，则f′(p)＝－＝log2，
当00；
当p>时，f′(p)<0，故B错误．
当pi＝时，
H(X)＝－log2
＝－×n×log2＝log2n，
则H(X)随n的增大而增大，故C正确．
当n＝2m时，Y＝1,2，…，m，P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)，pi>0，pj>0，则
H(X)＝－(p1log2p1＋p2log2p2＋…＋p2mlog2p2m)，
H(Y)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋(p2＋p2m－1)log2(p2＋p2m－1)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)]＝－[p1log2(p1＋p2m)＋p2log2(p2＋p2m－1)＋…＋p2mlog2(p2m＋p1)]，
则H(X)－H(Y)＝p1log2＋p2log2＋…＋p2m·log2＝p1log2＋p2log2＋…＋p2mlog2>0，
所以H(X)>H(Y)，故D错误．故选AC.
4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝ak(其中k＝1,2,3)，则a的值为(　　)
A．1 B．
C． D．
[答案]　D
解/题/感/悟(小提示，大智慧)
利用分布列的概率之和为1可求得参数的值，此时要注意验证，保证每个概率的值均为非负数．
题型　求离散型随机变量的分布列
角度Ⅰ.简单随机变量的分布列
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列是________．
[答案]　
ξ 0 1
P
[解析]　若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝.
若两条棱平行，则它们的距离为1或，
其中距离为的共有6对，
故P(ξ＝)＝＝，
于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，
所以随机变量ξ的分布列是
ξ 0 1
P
2.设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；
(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；
(3)求随机变量ξ＝X2的分布列．
[解]　(1)Y＝2X＋1的分布列为
Y 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)η＝|X－1|的分布列为
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
(3)ξ＝X2的分布列为
ξ 0 1 4 9 16
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
角度Ⅱ.两点分布
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．设离散型随机变量X服从两点分布，若P(X＝0)＝，则P(X＝1)＝________.
[答案]　　[解析]　由两点分布的性质知，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝1－＝.
4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝(　　)
A．0 B．
C． D．
[答案]　C　[解析]　由已知，得X的所有可能取值为0,1，且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝.
角度Ⅲ.实际问题中变量的分布列与应用
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
5．[2019全国卷Ⅰ]为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列．
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；
②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
(1)[解]　X的所有可能取值为－1,0,1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，
P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
P(X＝1)＝α(1－β)．
所以X的分布列为
X －1 0 1
P (1－α)β αβ＋(1－α)(1－β) α(1－β)
(2)①[证明]　由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，
因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，
故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，
即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．
又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列．
②[解]　由①可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0
＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝p1.
由于p8＝1，故p1＝，
所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)
＝p1＝.
p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
6．[2020江苏卷]甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn.
(1)求p1，q1和p2，q2；
(2)求2pn＋qn与2pn－1＋qn－1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示)．
[解]　(1)p1＝·＝，q1＝·＝，p2＝··p1＋··q1＋0·(1－p1－q1)
＝p1＋q1＝，
q2＝··p1＋·q1＋··(1－p1－q1)
＝－q1＋＝.
(2)当n≥2时，
pn＝··pn－1＋··qn－1＋0·(1－pn－1－qn－1)
＝pn－1＋qn－1，　①
qn＝··pn－1＋·qn－1＋··(1－pn－1－qn－1)＝－qn－1＋，　②
2×①＋②，得2pn＋qn＝pn－1＋qn－1－qn－1＋＝(2pn－1＋qn－1)＋.
从而2pn＋qn－1＝(2pn－1＋qn－1－1)，又2p1＋q1－1＝，
所以2pn＋qn＝1＋n－1
＝1＋n，n∈N*.　③
由②，有qn－＝－，又q1－＝，
所以qn＝n－1＋，n∈N*.
由③，有pn＝
＝n＋n＋，n∈N*.故1－pn－qn＝n－n＋，n∈N*.
Xn的概率分布为
Xn 0 1 2
P 1－pn－qn qn pn
则E(Xn)＝0×(1－pn－qn)＋1×qn＋2×pn＝1＋n，n∈N*.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
离散型随机变量分布列的求解步骤
1．明取值
明确随机变量的可能取值有哪些，及每一个取值所表示的意义．
2．求概率
要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．
3．画表格
按规范要求形式写出分布列．
4．做检验
利用分布列的性质检验分布列是否正确．
题型　超几何分布
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[多选]某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格，则下列选项正确的是(　　)
A．答对0题和答对3题的概率相同，都为
B．答对1题的概率为
C．答对2题的概率为
D．合格的概率为
[答案]　CD　[解析]设此人答对题目的个数为ξ，则ξ＝0,1,2,3，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，答对0题和答对3题的概率相同，都为，故A错误；答对1题的概率为，故B错误；答对2题的概率为，故C正确；合格的概率P＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝，故D正确．故选CD.
2．在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．
[解]　(1)①所选5人中有1人为A1且不包含B1，即再从余下8人中选4人即可，选择方式有C＝＝70(种)，总选择方式共有C＝＝252(种)，故接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率P＝＝.
(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)
超几何分布列的求解步骤
(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．
(2)算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数N，M，n，k的含义．
(3)列分布列：把求得的概率值通过表格表示出来．
(4)超几何分布的期望：E(X)＝n·；
方差：D(X)＝n· .
提醒 完成限时跟踪检测(六十一)
第七节　n次独立重复试验与二项分布
[复习要点]　1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．
2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．
知识点一　条件概率及其性质
1．定义
设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生条件下，事件B发生的条件概率．
2．性质
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
知识点二　事件的相互独立
1．定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝________，则称事件A与事件B相互独立．
2．性质：若事件A与B相互独立，则A与B，与B，A与也都相互独立，P(B|A)＝________，P(A|B)＝________.
答案：1.P(A)P(B)　2.P(B)　P(A)
知识点三　独立重复试验与二项分布
1．独立重复试

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