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6.2.1 平面向量的加法运算
导学案
【学习目标】
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的
加法运算.
3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．
【自主学习】
知识点 1 向量的加法法则
(1)三角形法则
如图所示，已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作A→B＝a，B→C＝b →，则向量AC叫
做 a 与 b ( → → →的和 或和向量)，记作 a＋b，即 a＋b＝AB＋BC＝AC.上述求两个向量和的作
图法则，叫做向量加法的三角形法则．
对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0＝0＋a＝a.
(2)平行四边形法则
→ →
如图所示，已知两个不共线向量 a，b，作OA＝a，OB＝b，则 O、A、B三点不共线，
以 OA，OB →为邻边作平行四边形，则以 O为起点的对角线上的向量OC＝a＋b，这个法
则叫做两个向量加法的平行四边形法则．
知识点 2 向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
【合作探究】
探究一 向量的加法法则
【例 1】如图，已知向量 a、b，求作向量 a＋b.
→ →
解 在平面内任取一点 O(如下图)，作OA＝a，OB＝b，以 OA、OB为邻边做 OACB，连
接 OC → → →，则OC＝OA＋OB＝a＋b.2
归纳总结：已知向量 a 与向量 b，要作出和向量 a＋b，关键是准确规范地依据平行四边形法
则作图．
【练习 1】(1)如图①所示，求作向量和 a＋b.
(2)如图②所示，求作向量和 a＋b＋c.
[ ] (1) O→解 首先作向量 A＝a →，然后作向量AB＝b O→，则向量 B＝a＋b.如图③所示．
(2) →方法一(三角形法则)：如图④所示，首先在平面内任取一点 O，作向量OA＝a，再
A→作向量 B →＝b，则得向量OB＝a b → →＋ ，然后作向量BC＝c，则向量OC＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c
即为所求．
→ →
方法二(平行四边形法则)：如图⑤所示，首先在平面内任取一点 O，作向量OA＝a，OB
＝b →，OC＝c，以 OA，OB → → →为邻边作 OADB，连接 OD，则OD＝OA＋OB＝a＋b，再以 OD，
OC为邻边作 ODEC，连接 OE → → →，则OE＝OD＋OC＝a＋b＋c 即为所求．
探究二 向量的加法运算
【例 2-1】如图，在平行四边形 ABCD中，O是 AC和 BD的交点．
(1)A→B＋A→D＝________；
(2)A→C C→＋ D＋D→O＝________；
(3)A→B＋A→D →＋CD＝________；
(4)A→C → →＋BA＋DA＝________.
(1)A→答案 C (2)A→O (3)A→D (4)0
【例 2-2】化简：
(1)B→C A→B (2)D→B C→D B→C (3)A→B D→＋ ； ＋ ＋ ； ＋ F＋C→D＋B→C →＋FA.
解 (1)B→C＋A→B A→B →＝ ＋BC A→＝ C.
(2)D→B C→D B→C B→C C→ →＋ ＋ ＝ ＋ D＋DB
(B→C C→＝ ＋ D)＋D→B → →＝BD＋DB＝0.
(3)A→B D→F C→D B→C F→A A→B B→C C→＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ D＋D→F＋F→A
→
＝AC → →＋CD＋DF＋F→A＝A→D → →＋DF＋FA＝A→F →＋FA＝0.
归纳总结：在向量的加法运算中，通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过加法
的结合律调整向量相加的顺序，可以省去画图步骤，加快解题速度.
(1) B→C A→B A→B D→F C→D B→C F→【练习 2-1】 化简：① ＋ ；② ＋ ＋ ＋ ＋ A.
(2)如图，已知 O为正六边形 ABCDEF的中心，求下列向量：
O→A O→E A→O A→① ＋ ； ② ＋ B → →； ③AE＋AB.
[分析] 根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向量的结合律，调整向量顺序相加．
[解] (1)①B→C A→B A→B B→C A→＋ ＝ ＋ ＝ C；
→ → → →
②AB＋DF＋CD＋BC＋F→A＝A→B → →＋BC＋CD＋D→F →＋FA＝A→F F→＋ A＝0.
(2)①由题图知，OAFE → → →为平行四边形，∴OA＋OE＝OF；
②由题图知，OABC为平行四边形，∴A→O →＋AB＝A→C；
③由题图知，AEDB A→E A→B A→为平行四边形，∴ ＋ ＝ D.
【练习2-1】化简：(1)A→B C→D B→C. (2)(M→ →＋ ＋ A＋BN)＋(A→C →＋CB)． (3)A→B (B→D C→A) D→＋ ＋ ＋ C.
→
解 (1)AB＋C→D →＋BC＝A→B B→C C→D →＋ ＋ ＝AD.
(2)(M→A →＋BN) → →＋(AC＋CB) (M→＝ A＋A→C) (C→B →＋ ＋BN)
M→C C→N →＝ ＋ ＝MN.
(3)A→B＋(B→D →＋CA) D→C → → → →＋ ＝AB＋BD＋DC＋CA＝0.
探究三 向量加法的应用
【例 3】用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．
[证明] → → → → → →如图，根据向量加法的三角形法则有AB＝AO＋OB，DC＝DO＋OC.
又∵A→O＝O→C，D→O＝O→B，
A→O O→ →∴ ＋ B＝DO＋O→C.
A→B →∴ ＝DC.
∴AB∥DC且 AB＝DC，即 AB与 DC平行且相等．
∴四边形 ABCD是平行四边形．
归纳总结：要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等.根据向量相等的意义，
只需证其一组对边对应的向量相等即可.此问题是纯文字叙述的问题，首先应转化为符号语
言描述.
【练习 3】在平行四边形 ABCD的对角线 BD的延长线及反向延长线上，分别取点 F，E，
使 BE＝DF(如图)，用向量的方法证明四边形 AECF也是平行四边形．
证明：A→E＝A→B → → → →＋BE，FC＝FD＋DC，
A→B D→C B→E F→又 ＝ ， ＝ D，
∴A→E＝F→C，即 AE，FC平行且相等．
故四边形 AECF是平行四边形．
探究四 向量加法的实际应用
【例 4】长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江
南岸 A点出发，以 5 3 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东 5 km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度方向间的夹角表示)．
[ ] (1) A→ →解 如图所示， D表示船速，AB表示江水速度．易知 AD⊥AB，以 AD，AB为
邻边作矩形 ABCD，则A→C表示船实际航行速度．
(2)在 Rt△ABC中，|A→B|＝5，
|B→C|＝5 3，
所以|A→C|＝ |A→B|2 →＋|BC|2
＝ 52＋ 5 3 2＝ 100＝10.
→
|BC|
因为 tan∠CAB＝ ＝ 3，所以∠CAB＝60°.
|A→B|
因此，船实际航行的速度大小为 10 km/h，
方向与江水速度方向间的夹角为 60°.
归纳总结：向量应用题要首先画出图形.解决的步骤是： 1 将应用问题中的量抽象成向量；
2 化归为向量问题，进行向量运算； 3 将向量问题还原为实际问题.
【练习 4】某人在静水中游泳，速度为 4 3千米/小时，他在水流速度为 4千米/小时的河中
游泳．他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
→ → → → → →
解：如图，设此人的实际速度为OD，水流速度为OA，游速为OB，则OA＋OB＝OD，
在 Rt△AOD → → → 3中，|AD|＝4 3，|OA|＝4，则|OD|＝4 2，cos∠DAO＝ .
3
→ 3
故此人沿向量OB的方向游(即逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为 )，实际前进的
3
速度大小为 4 2千米/小时．
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1．在四边形 ABCD A→中， C＝A→B＋A→D，则( )
A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形
答案 D
A→解析：由 C → →＝AB＋AD知，由 A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形．
2．下列等式不成立的是( )
A．0＋a＝a B．a＋b＝b＋a
C.A→B →＋BA＝2B→A D.A→B → →＋BC＝AC
答案 C
C A→B B→解析：对于 ，∵ 与 A方向相反，∴A→B＋B→A＝0.
3．已知向量 a 表示“向东航行 1 km”，向量 b 表示“向南航行 1 km”，则 a＋b 表示( )
A．向东南航行 2 km B．向东南航行 2 km
C．向东北航行 2 km D．向东北航行 2 km
答案 A
4．如图，在平行四边形 ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是( )
A.A→B＝C→D B→， C＝A→D
B.A→D →＋OD＝D→A
C.A→O＋O→D＝A→C →＋CD
D.A→B＋B→C → →＋CD＝DA
答案 C
5．a，b 为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且 a 与 b 方向相同
B．a，b 是共线向量且方向相反
C．a＝b
D．a，b 无论什么关系均可
答案 A
6. → →如图所示，在平行四边形 ABCD中，BC＋DC＋B→A等于( )
A.B→D B.D→B
C.B→C D.C→B
答案 C
→ → →
解析 BC＋DC＋BA＝B→C＋(D→C → →＋BA)＝BC＋0＝B→C.
7．已知 O是△ABC → → →所在平面内一点，D为 BC边的中点，且 2OA＋OB＋OC＝0，那么( )
A.A→O → → →＝OD B.AO＝2OD
C.A→O＝3O→D D 2A→O →． ＝OD
答案 A
O→B O→C 2O→解析 ∵ ＋ ＝ D，
∴2O→A＋2O→D → →＝0.∴AO＝OD.
8．如图，D、E、F分别是△ABC的边 AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是( )
A.F→D → →＋DA＋DE＝0
B.A→D B→E C→＋ ＋ F＝0
C.F→D D→E → →＋ ＋AD＝AB
D.A→D＋E→C F→D B→＋ ＝ D
答案 D
→ → → → →
解析 FD＋DA＋DE＝FA＋DE＝0，
A→D B→E C→F A→D D→ →＋ ＋ ＝ ＋ F＋FA＝0，
F→D D→E A→D F→E A→D A→D D→ →＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ B＝AB，
A→D E→C →＋ ＋FD＝A→D＋0 A→D D→＝ ＝ B≠B→D.
故选 D.
9．设 M为平行四边形 ABCD对角线的交点，O为平行四边形 ABCD所在平面内任意一点，
O→A →则 ＋OB＋O→C＋O→D等于( )21
A.O→M B．2O→M C．3O→M D．4O→M
答案 D
解析 因为点 M为平行四边形 ABCD对角线的交点，所以点 M是 AC和 BD的中点，由平
行四边形法则知O→A →＋OC＝2O→M →，OB＋O→D → → → → → →＝2OM，故OA＋OC＋OB＋OD＝4OM.
二、填空题
10 ABCD B→ →．在平行四边形 中， C＋DC＋B→A＋D→A＝________.
答案 0
→
解析 注意DC＋B→A＝0，B→C →＋DA＝0.
11．设 E是平行四边形 ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：
(1)D→E E→＋ A＝________；
(2)B→E＋A→B＋E→A＝______；
(3)D→E →＋CB＋E→C＝________；
(4)B→A → → →＋DB＋EC＋AE＝________.
答案 (1)D→A (2)0 (3)D→B (4)D→C
12．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________．
答案 20,4
解析 当 a 与 b 共线同向时，|a＋b|max＝20；当 a 与 b 共线反向时，|a＋b|min＝4.
三、解答题
13.如图所示，P，Q是△ABC的边 BC上两点，且 BP＝QC.
A→求证： B →＋AC＝A→P A→＋ Q.
证明 ∵A→P A→＝ B＋B→P，A→Q A→＝ C＋C→Q，
A→P A→Q A→B A→∴ ＋ ＝ ＋ C＋B→P →＋CQ.
又∵BP →＝QC且BP C→Q → →与 方向相反，∴BP＋CQ＝0，
A→P A→Q A→B A→C A→∴ ＋ ＝ ＋ ，即 B＋A→C＝A→P →＋AQ.
14．一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成 30°
角，求水流速度和船实际速度．
解
O→如图所示， A →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC表示船实际航行
的速度，∠AOC＝30°，|O→B|＝5..21-cn-jy.com
∵四边形 OACB为矩形，
→ →
|O→A| |AC| 5 3 |O→C| |OB|∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝10，
tan 30° sin 30°
∴水流速度大小为 5 3 km/h，船实际速度为 10 km/h.
B 组 能力提升
一、选择题
1.如图所示,在正六边形 ABCDEF中,若 AB=1,则| + + |=( )
A.1 B.2 C.3 D.2 3
解析由题,可知 = ,所以| + + |=| + + |=| |=2.故选 B.
答案 B

2.如图所示,点 O是正六边形 ABCDEF 的中心,则OA OC OE ( )

A. 0 B.0 C. AE D. EA
答案：A

解析：∵OA OC OB,OB OE ,∴OA OC OE OB OE 0 ,故选 A.

3.若在△ABC中, AB a,BC b ,且 a b 1, a b 2 ,则△ABC的形状是( )
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
答案：D

解析：如图,∵ a b AB BC AC , AB BC 1, AC 2 ,∴△ABC为等腰直角三角形.
二、填空题
4.化简:( + )+( + )+ = .
答案
解析：( + )+( + )+ =( + )+ +( + )
= + + = +( + )= +0= .
5.如图,在△ABC中,D,E分别是 AB,AC上的点,F为线段 DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,
连接 CD,那么(在横线上只填一个向量):
(1) + = ;
(2) + = ;
(3) + + = .
答案
解析：如图,因为四边形 DFCB为平行四边形,由向量加法的运算法则得:
(1) + = + = .
(2) + = + = .
(3) + + = + + = .
6．已知点 G是△ABC → → →的重心，则GA＋GB＋GC＝___________________.
答案 0
解析 如图所示，连接 AG并延长交 BC于 E点，点 E为 BC的中点，延长 AE到 D点，使
GE＝ED，
→ → → →
则GB＋GC＝GD，GD＋G→A＝0，
∴G→A G→B →＋ ＋GC＝0.

7.已知向量 a,b的夹角为 60 , a 2, b 1 ,则 a 2b ___________.
答案： 2 3
2 2 2
解析： a 2b a 4a b 4 b 4 4 2 1 cos60 4 12 ,所以 a 2b 12 2 3 .
三、解答题
8.已知| |=|a|=3,| |=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.
解如图所示,因为| |=| |=3,∠AOB=60°,所以四边形OACB为菱形,连接OC,AB,则OC⊥AB,
设垂足为 D.因为∠AOB=60°,所以 AB=| |=3.
所以在 Rt△AOD中,OD=3 32 .
所以|a+b|=| |=3 32 ×2=3 3.
9. O → → →设 是△ABC内任一点，D，E，F分别为 AB，BC，CA的中点．证明：OA＋OB＋OC＝
O→D＋O→E →＋OF.
证明
O→A O→D D→A O→B O→ →如图所示，因为 ＝ ＋ ， ＝ E＋EB，
O→C O→＝ F＋F→C，
→ → → → → → → → →
所以OA＋OB＋OC＝OD＋OE＋OF＋DA＋EB＋FC.
因为 D，E，F分别为各边的中点，
D→A E→B F→C 1(B→A → →所以 ＋ ＋ ＝ ＋CB＋AC)＝0.
2
O→ →所以 A＋OB → → → →＋OC＝OD＋OE＋OF.
10.在四川 5·12大地震后，一架救援直升飞机从 A地沿北偏东 60°方向飞行了 40 km到 B地，
再由 B地沿正北方向飞行 40 km 到达 C地，求此时直升飞机与 A地的相对位置．
解
→ → → → →
如图所示，设AB、BC分别是直升飞机两次位移，则AC表示两次位移的合位移，即AC＝AB＋
B→C，
Rt ABD |D→B| 20 km |A→在 △ 中， ＝ ， D|＝20 3 km，
在 Rt△ACD中，
|A→C| →＝ |AD|2＋|D→C|2＝40 3 km，
∠CAD＝60°，即此时直升飞机位于 A地北偏东 30°，且距离 A地 40 3 km处．6.2.1 平面向量的加法运算
导学案
【学习目标】
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的
加法运算.
3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．
【自主学习】
知识点 1 向量的加法法则
(1)三角形法则
→ →
如图所示，已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作AB＝a，BC＝b，则向量A→C叫
做 a 与 b 的和(或和向量)，记作 a＋b，即 a＋b＝A→B＋B→C A→＝ C.上述求两个向量和的作
图法则，叫做向量加法的三角形法则．
对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0＝0＋a＝a.
(2)平行四边形法则
如图所示，已知两个不共线向量 a，b，作O→A＝a，O→B＝b，则 O、A、B三点不共线，
→
以 ， 为邻边作 ，则以 O为起点的对角线上的向量OC＝a＋b，
这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则．
知识点 2 向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
【合作探究】
探究一 向量的加法法则
【例 1】如图，已知向量 a、b，求作向量 a＋b.
归纳总结：
【练习 1】(1)如图①所示，求作向量和 a＋b.
(2)如图②所示，求作向量和 a＋b＋c.
探究二 向量的加法运算
【例 2-1】如图，在平行四边形 ABCD中，O是 AC和 BD的交点．
(1)A→B A→＋ D＝________；
(2)A→C＋C→D →＋DO＝________；
(3)A→B＋A→D C→＋ D＝________；
(4)A→C → →＋BA＋DA＝________.
【例 2-2】化简：
(1)B→C A→＋ B； (2)D→B＋C→D＋B→C (3)A→B →； ＋DF → → →＋CD＋BC＋FA.
归纳总结：
(1) B→C A→B A→B D→F C→【练习 2-1】 化简：① ＋ ；② ＋ ＋ D＋B→C →＋FA.
(2)如图，已知 O为正六边形 ABCDEF的中心，求下列向量：
→ → → → → →
①OA＋OE； ②AO＋AB； ③AE＋AB.
(1)A→B C→D B→C. (2)(M→ → → →【练习2-1】化简： ＋ ＋ A＋BN)＋(AC＋CB)． (3)A→B＋(B→D C→＋ A) →＋DC.
探究三 向量加法的应用
【例 3】用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．
归纳总结：
【练习 3】在平行四边形 ABCD的对角线 BD的延长线及反向延长线上，分别取点 F，E，
使 BE＝DF(如图)，用向量的方法证明四边形 AECF也是平行四边形．
探究四 向量加法的实际应用
【例 4】长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江
南岸 A点出发，以 5 3 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东 5 km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度方向间的夹角表示)．
归纳总结：
【练习 4】某人在静水中游泳，速度为 4 3千米/小时，他在水流速度为 4千米/小时的河中
游泳．他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1 ABCD A→C A→B A→．在四边形 中， ＝ ＋ D，则( )
A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形
2．下列等式不成立的是( )
A．0＋a＝a B．a＋b＝b＋a
C.A→B＋B→A＝2B→A D.A→B →＋BC＝A→C
3．已知向量 a 表示“向东航行 1 km”，向量 b 表示“向南航行 1 km”，则 a＋b 表示( )
A．向东南航行 2 km B．向东南航行 2 km
C．向东北航行 2 km D．向东北航行 2 km
4．如图，在平行四边形 ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是( )
A.A→B＝C→D B→， C＝A→D
B.A→D → →＋OD＝DA
C.A→O O→D A→＋ ＝ C＋C→D
D.A→B B→C C→D D→＋ ＋ ＝ A
5．a，b 为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且 a 与 b 方向相同
B．a，b 是共线向量且方向相反
C．a＝b
D．a，b 无论什么关系均可
6.如图所示，在平行四边形 ABCD中，B→C＋D→C →＋BA等于( )
A.B→D B.D→B
C.B→C D.C→B
7．已知 O是△ABC D BC 2O→ →所在平面内一点， 为 边的中点，且 A＋OB＋O→C＝0，那么( )
A.A→O O→D B.A→＝ O＝2O→D
C.A→O＝3O→D D → →．2AO＝OD
8．如图，D、E、F分别是△ABC的边 AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是( )
A.F→D D→＋ A＋D→E＝0
B.A→D＋B→E →＋CF＝0
C.F→D D→E A→ →＋ ＋ D＝AB
D.A→D → → →＋EC＋FD＝BD
9．设 M为平行四边形 ABCD对角线的交点，O为平行四边形 ABCD所在平面内任意一点，
则O→A O→B O→C O→＋ ＋ ＋ D等于( )21
A.O→M B．2O→M C．3O→M D．4O→M
二、填空题
10 →．在平行四边形 ABCD中，BC＋D→C B→＋ A＋D→A＝________.
11．设 E是平行四边形 ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：
(1)D→E E→＋ A＝________；
(2)B→E → →＋AB＋EA＝______；
(3)D→E → →＋CB＋EC＝________；
(4)B→A＋D→B →＋EC＋A→E＝________.
12．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________．
三、解答题
13.如图所示，P，Q是△ABC的边 BC上两点，且 BP＝QC.
求证：A→B →＋AC＝A→P →＋AQ.
14．一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成 30°
角，求水流速度和船实际速度．
B 组 能力提升
一、选择题
1.如图所示,在正六边形 ABCDEF中,若 AB=1,则| + + |=( )
A.1 B.2 C.3 D.2 3

2.如图所示,点 O是正六边形 ABCDEF 的中心,则OA OC OE ( )

A. 0 B.0 C. AE D. EA

3.若在△ABC中, AB a,BC b ,且 a b 1, a b 2 ,则△ABC的形状是( )
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
二、填空题
4.化简:( + )+( + )+ = .
5.如图,在△ABC中,D,E分别是 AB,AC上的点,F为线段 DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,
连接 CD,那么(在横线上只填一个向量):
(1) + = ;
(2) + = ;
(3) + + = .
6 → → →．已知点 G是△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝___________________.

7.已知向量 a,b的夹角为 60 , a 2, b 1 ,则 a 2b ___________.
三、解答题
8.已知| |=|a|=3,| |=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.
9. 设 O是△ABC内任一点，D，E，F分别为 AB，BC，CA的中点．
→
证明：OA O→B →＋ ＋OC＝O→D＋O→E＋O→F.
10.在四川 5·12大地震后，一架救援直升飞机从 A地沿北偏东 60°方向飞行了 40 km到 B地，
再由 B地沿正北方向飞行 40 km 到达 C地，求此时直升飞机与 A地的相对位置．

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