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集合间的基本关系
【学习目标】
1．理解子集、真子集概念以及集合相等并且能够区分集合间的包含关系与元素与集合的属于关系。
2．掌握用数学符号语言以及V图语言表示集合间的基本关系。
【重点难点】
重点：集合间基本关系。
难点：类比实数间的关系研究集合间的关系。
【知识梳理】
【学习过程】
一、子集
1．情境与问题：如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？
结论：
2．探究新知
问题：大家来仔细观察下面的例子，你能发现集合间的关系吗？
（1）A={1，3}，B={1，3，5，6}；
3．深化认知
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作：AB（或BA），读作“A包含于B”或者“B包含A”。
4．请同学们想一想与表达的含义相同吗？请举例说明
5．尝试与发现
（1）根据子集的定义判断，如果A={1，2，3}，那么AA吗？
（2）你认为可以规定空集必是任意一个集合的子集吗？为什么？
根据（1）（2）问题回答并想一想你能得到怎样的结论。
（1）
（2）
二、真子集
1．情境与问题
前面的情境与问题中的两个集合满足，但是，只要班级中有男同学，那么S中就有元素不属于F，那和是什么关系呢？
2．深化认知
一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属A，那么集合A称为集合B的真子集，记作(或)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)
如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图
根据子集和真子集的定义可知：
（1）对于集合A，B，C，如果，，则A与C是什么关系？
（2）对于集合A，B，C，如果，，则A与C是什么关系？
你能用维恩图来理解这些性质吗？
图示为：
【小试牛刀】
1．写出集合A={6，7，8}的所有子集和真子集
2．已知区间和，且，求实数a的取值范围
三、集合的相等和子集的关系
1．情境与问题：已知，这两个集合的元素有什么关系？吗？吗？你能由此总结出集合相等与子集的关系吗？
2．深化认知
一般地，由集合相等以及子集的定义可知：
（1）如果且，则；
（2）如果，则且．
3．写出下列每对集合之间的关系：
（1）
（2）
（3）
（4），
解：（1） （2） （3） （4）
【自主探究】
填写下表，回答后面的问题：
集合 元素个数 所有子集 子集个数
1
2
3
4
你能找出“元素个数”与“子集个数”之间的规律吗？
如果一个集合中有个元素，你能用表示这个集合子集的个数吗？
【反思小结】
回顾本节课，你有什么收获？
【课后巩固】
作业：教材P14 练习B
答案：
一、子集
结论：集合F中的每一个元素都是集合S中的元素。
2．探究新知
问题：大家来仔细观察下面的例子，你能发现集合间的关系吗？
（1）A={1，3}，B={1，3，5，6}；
集合A中的每一个元素都是集合B中的元素
4．请同学们想一想与表达的含义相同吗？请举例说明
例{1，3}A，3∈A，说明前者是集合之间的关系，后者是元素与集合间的关系。
5．尝试与发现
（1）根据子集的定义判断，如果A={1，2，3}，那么吗？
（2）你认为可以规定空集必是任意一个集合的子集吗？为什么？
根据（1）（2）问题回答并想一想你能得到怎样的结论。
（1）成立，结论：任意集合A都是它自身的子集，即
（2）因为空集不包含任何元素，所以我们规定：空集是任意一个集合A的子集，即
二、真子集
根据子集和真子集的定义可知：
（1）对于集合A，B，C，如果，，则A与C是什么关系？
（2）对于集合A，B，C，如果，，则A与C是什么关系？
你能用维恩图来理解这些性质吗？
图示为：
【小试牛刀】
1．写出集合A={6，7，8}的所有子集和真子集
解：（1）写出元素个数为0的子集，即；
（2）写出元素个数为1的子集，即{6},{7},{8}；
（3）写出元素个数为2的子集，即{6，7},{6，8},{7，8}
（4）写出元素个数为3的子集，即{6，7，8}
解集合A的所有子集是：,{6},{7},{8},{6，7},{6，8},{7，8},{6，7，8}
在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集
2．已知区间和，且，求实数a的取值范围
解：因为集合B的元素都是集合A的元素，因此可用数轴表示它们的关系，如图1-1-5所示从而可知
三、集合的相等和子集的关系
1．情境与问题：已知，这两个集合的元素有什么关系？吗？吗？你能由此总结出集合相等与子集的关系吗？
且，可得
3．写出下列每对集合之间的关系：
（1）
（2）
（3）
（4），
解：（1） （2） （3） （4）
【自主探究】
填写下表，回答后面的问题：
集合 元素个数 所有子集 子集个数
1 2
2 4
3 8
4 16
你能找出“元素个数”与“子集个数”之间的规律吗？
如果一个集合中有个元素，你能用表示这个集合子集的个数吗？
当元素个数为个时，子集个数为个
【反思小结】
回顾本节课，你有什么收获？
可从以下四方面分别回答：1．子集 2．真子集 3．集合相等与子集的关系 4．性质及子集个数
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