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福鼎一中高一年段数学培优教材第一讲 函数的性质
基本性质：
函数图像的对称性
奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意，都有成立；偶函数的图像关于轴对称，对于任意，都有成立。
原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线对称。 若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线对称。
若函数满足，则的图像就关于直线对称；若函数满足，则的图像就关于点对称。
互对称知识：函数的图像关于直线对称。
2．函数的单调性
函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）
特别提示：函数的图像和单调区间。
3．函数的周期性
对于函数，若存在一个非零常数，使得当为定义域中的每一个值时，都有成立，则称是周期函数，称为该函数的一个周期。若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。
若是的周期，那么也是它的周期。
若是周期为的函数，则是周期为的周期函数。
若函数的图像关于直线对称，则是周期为的函数。
若函数满足，则是周期为的函数。
4．高斯函数
对于任意实数，我们记不超过的最大整数为，通常称函数为取整函数。又称高斯函数。又记，则函数称为小数部分函数，它表示的是的小数部分。
高斯函数的常用性质：
对任意 （2） 对任意，函数的值域为
（3） 高斯函数是一个不减函数，即对于任意
（4） 若，后一个式子表明是周期为1的函数。
（5） 若 （6） 若
二、综合应用
例1：设是R上的奇函数，求的值。
例2：设都是定义在R上的奇函数，在区间上的最大值为5，求上的最小值。
例3：已知______________
例4：设均为实数，试求当变化时，函数的最小值。
例5：解方程：（1） （2）
例6：已知定义在R上的函数满足，当，；
求证：为奇函数； （2）求在上的最值；（3）当不等式恒成立，求实数的取值范围。
例7：证明：对于一切大于1的自然数，恒有
例8：设是定义在Z上的一个实值函数，满足，求证：是周期为4的周期函数。
例9：给定实数，定义为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的序号是 （ ）
例10：求方程的实根个数。
强化训练：
1. 已知（a、b为实数），且，求的值。
2. 若方程有唯一解，求a的所有取值。
3. 已知函数定义在非负整数集上，且对任意正整数x，都有。若，求的值。
4. 函数定义在实数集R上，且对一切实数x满足等式设的一个根是，记中的根的个数是N，求N的最小值。
5. 若函数的图像关于直线对称，且关于点对称，求证是周期函数。
6. 求数列的最小项，其中
7. 已知的解集为，解不等式
8. 设是定义在上的增函数，对任意，满足。
（1）求证：①当
（2）若，解不等式
9. 已知，求满足的的值。
10. 求和：
参考答案：
例1：周期为4，
例2：记，则为奇函数。在上的最小值为-1.
例3：在上为增函数，
例4：，换元后研究函数的单调性
当时；当时
例5：（1）构造，利用单调性得：
构造递增函数，利用解得：
例6：（2） （3）
例7：构造，证明是递增数列，故
例8：令得
例9：④
例10： （1）当时，代入原方程解得 （2）当时（矛盾） （3）当时 （4）当时
强化训练：
3
401
略
最小项为
时；时

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