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福鼎一中高一年段数学培优教材第二讲 二次函数
基础知识：
二次函数的解析式
（1）一般式：
（2）顶点式：，顶点为
（3）两根式：
（4）三点式：
2．二次函数的图像和性质
（1）的图像是一条抛物线，顶点坐标是，对称轴方程为，开口与有关。
（2）单调性：当时，在上为减函数，在上为增函数；时相反。
（3）奇偶性：当时，为偶函数；若对恒成立，则为的对称轴。
（4）最值：当时，的最值为，当时，的最值可从中选取；当时，的最值可从中选取。常依轴与区间的位置分类讨论。
3．三个二次之间的关联及根的分布理论：
二次方程的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。
综合应用：
例1：已知二次函数的图像经过三点，求的解析式。
例2：已知，若时，恒成立，求的取值范围。
例3：集合，，若，求实数的取值范围。
例4：设满足条件：（1）当时，，（2）当， （3）在R上的最小值为0。①求的解析式；②求最大的使得存在，只要就有。
例5：求实数的取值范围，使得对于任意实数和任意实数，恒有。
例6：已知函数，方程的两根是，又若，试比较的大小。
例7：设,方程的两个根满足，（1）当时，证明；（2）设的图像关于直线对称，证明
强化训练：
二次函数满足，且又两个实根，则等于（ ）
A . 0 B 3 C. 6 D. 12
2．已知，并且是方程的两根，则实数的大小关系可能是（ ）
3．已知函数上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ）
4．设函数，若则的值的符号是________________
5．已知对于一切实数都成立，则______
6．已知的值域是R，则实数的取值范围是______________________
7．函数的递增区间为，则实数的值是______________
8．设实数满足，则实数_____________________
9．若函数在区间上的最大值为，最小值为，求区间。
10．设,方程的两个根，若，设的对称轴为，求证
11．已知，求的最小值的表达式，并求的最大值。
12．是否存在二次函数，同时满足： （1）； （2）对于一切都有？若存在，写出满足条件的函数的解析式；若不存在，说明理由。
13．设,当时，，求证：适合的最小实数A的值为8。
14．若，求证：方程，（1）有两个异号实根；（2）正根必小于，负根必大于
参考答案：
例1：
例2： ； 其中
例3：，
例4：（1）由①②得：；
（2）结合图像可以知道：为方程的两根，从而
例5：设，原不等式化为：恒成立
记，则 ，
，
例6：提示：
例7：方法同例6，本题使97年全国高考理可题。
强化训练：
1．C 2. A 3. C 4. 正 5. 6. 7. 8.
9．分析对称轴：（1）， （2）无解
（3）
10．构造可以推出结论。
11．同例2解法
12．
13．
，所以A的最小值为8
14．略

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