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2021-2022学年第二学期高二年级期末总复习
数学学科
一、期末复习指导
1.导数部分
（1）导数的基本概念和切线有关的问题
例：若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a的取值范围是（▲）
A． B． C． D．
【答案】A
（2）利用导数研究函数的性质、极值与最值
例：设，，，则的大小顺序为（▲）
A． B． C． D．
【答案】B
（3）利用导数研究函数恒成立问题
例：设函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围．
【答案】(1)的定义域为，
当时，，故在R上递减．
当时，令得，令得
综上可知：时，在上单调递减
时，在上单调递减，在单调递增
(2)当时，，所以
因为在恒成立，即在恒成立
法一：令，
令，，
所以在单调递增，又
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增
所以当时，，所以
法二：式化为
令，
则在R上恒成立，所以
令，，令
所以在单调递减，在单调递增，
所以
所以．
（4）利用导数研究函数有解问题
例：已知函数，．
(1)若在处与直线相切，求出实数、的值以及的单调区间；
(2)若，是否存在实数，当时，不等式有解？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由．
【答案】(1)，，单调递增为，单调递减为
(2)存在，的取值范围是
【解析】(1)，依题意，
，得m＝－1，n＝2，
∴，令，得－2＜x＜1，
又函数的定义域是，
∴函数的单调递增为，单调递减为．
(2)当n＝2时，，
令，得，又函数的定义域是，
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
即函数在上单调递减，
又，令，得0＜x＜e，∴在上单调递增．
当时，不等式有解，
等价于，即，得，．
∴存在m的值符合条件，且m的范围是．
（5）利用导数研究函数零点问题
例：已知函数，．
(1)若存在实数a，b，使得，求的最大值．
(2)证明：在上有且仅有3个零点．
（参考数据：，）
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
(1)解：因为，所以．
令，则，，
则
令函数，则．
易知为减函数，又，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，即的最大值为．
(2)证明：．
当时，，单调递增．
因为，，
所以在上有且仅有1个零点．
当时，令函数，则．
显然在上单调递增，
因为，，所以，．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
故．
又，，
所以，，，
则在和上单调递增，在上单调递减．
因为，所以，在上没有零点．
又，所以，在上有且仅有1个零点，
故在上有2个零点．
当时，，
所以在上单调递增，故，即在上没有零点．
综上所述，在上有且仅有3个零点．
2.排列组合部分
常用类型归纳：
（1）定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）
（2）相邻问题捆绑法
（3）相离问题插空法
（4）定序问题除序（去重复）、空位、插入法
（5）平均分组问题倍除法（去重复法）
（6）元素相同问题隔板法
（7）正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法）
（8）重排问题求幂法
（9）环（圆）排问题直排法
（10）多排问题单排法
（11）排列组合混合问题先选后排法
（12）小集团问题先整体后局部法
（13）含约束条件问题合理分类与分步法
（14）简单问题实际操作穷举法
（15）数字排序问题查字典法
（16）复杂问题分解与合成法
（17）复杂问题转化归结法（化归法）
（18）复杂分类问题表格法
（19）运算困难问题树图法
（20）不易理解问题构造模型法
3.概率与统计
（多选题）例1．（某校组织“喜迎二十大，奋进新征程”线上演讲比赛，经预选有甲、乙、丙、丁、戊五名同学进入复赛，在复赛中采用抽签法决定演讲顺序，记事件A：学生甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，B：学生乙第一个出场，则下列结论中正确的是（▲）
A．事件A中包括78种情况 B．
C． D．
【答案】BC
（多选题）例2．已知随机事件A，B发生的概率分别为，下列说法正确的有（▲）
A．若，则A，B相互独立 B．若A，B相互独立，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
例3．某地疫情防控指挥部根据当地疫情防控工作部署，安排三个部门（A，B，C）的12名工作人员下沉到该地的甲、乙、丙、丁四个村担任疫情防控志愿者，已知A部门6人，B部门3人，C部门3人．
(1)若从这12名工作人员中选出4人作为组长，求至少有2个组长来自A部门的概率；
(2)若将这12名工作人员安排到甲、乙、丙、丁四个村（假设每名工作人员安排到各个村是等可能的，且每位工作人员的选择是相互独立的），记安排到甲村的工作人员为A部门的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，期望为.
【解析】
(1)由题设，至少有2个组长来自A部门的概率.
(2)由题设，
所以，，，，，，
，
X的分布列如下：
0 1 2 3 4 5 6
X的数学期望.
二、调研卷说明
本调研总分150，时长120分钟。
难点：第8题、第12题、第16题、第22题
易错点：第2题、第7题、第10题、第15题、第21题
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