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*5　一元二次方程的根与系数的关系
知识点 1　利用根与系数的关系求代数式的值
1.若x1,x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根,则x1+x2的值是 (　　)
A.-10 B.10 C.-16 D.16
2.一元二次方程x2-2x=0的两根分别为x1和x2,则x1x2等于 (　　)
A.-2 B.1 C.2 D.0
3.下列方程中,两根之和是正数的是 (　　)
A.3x2+x-1=0 B.x2-x+2=0
C.3x2-5x+1=0 D.2x2-5=0
知识点 2　利用根与系数的关系求方程的根及待定字母的值
4.[教材习题2.8第3题变式题] 若关于x的方程x2-2x+m=0的一个根为-1,则另一个根为(　　)
A.-3 B.-1 C.1 D.3
5.若关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为 (　　)
A.2 B.0 C.1 D.2或0
6.一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实数根分别为x1,x2,若x1+x2=1,则方程的两根为　　　　.
7.若关于x的一元二次方程x2+(k-2)x+k2=0的两根互为倒数,则k=　　　　.
8.已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为-3和1,则方程bx2+cx+a=0的两根为(　　)
A.-和1 B.和1
C.和-1 D.-和-1
9.甲、乙两名同学同时解一道二次项系数是1的一元二次方程,甲因把一次项系数看错了,解得方程的两根为-3和5,乙把常数项看错了,解得方程的两根为2和2,则原方程是 (　　)
A.x2+4x-15=0 B.x2-4x-15=0
C.x2+4x+15=0 D.x2-4x+15=0
10.已知一元二次方程x2-4x-3=0的两根为m,n,则m2-mn+n2=　　　　.
11.关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12,则m=　　　　.
12.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若+=-1,求k的值.
13.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根.
(1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值;
(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的长,求这个三角形的周长.
答案
1.A　
2.D　
3.C　 选项A,因为Δ=12-4×3×(-1)=13>0,所以该方程有两个不相等的实数根,易知两根之和为-,选项A不符合题意;选项B,因为Δ=(-1)2-4×1×2=-7<0,所以该方程没有实数根,选项B不符合题意;选项C,因为Δ=(-5)2-4×3×1=13>0,所以该方程有两个不相等的实数根,易知两根之和为,选项C符合题意;选项D,因为Δ=02-4×2×(-5)=40>0,所以该方程有两个不相等的实数根,易知两根之和为0,选项D不符合题意.故选C.
4.D　 设方程的另一个根为x1,则x1+(-1)=2,解得x1=3.故选D.
5.B　 由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=-(a2-2a),又互为相反数的两数之和为0,所以-(a2-2a)=0,解得a=0或a=2.当a=2时,原方程为x2+1=0,无解;当a=0时,原方程为x2-1=0,符合题意,故a=0.
6.-1和2　 根据题意得x1+x2=-m=1,所以m=-1,所以原方程可化为x2-x-2=0.因式分解得(x+1)(x-2)=0,于是得x+1=0或x-2=0,解得x1=-1,x2=2.
7.-1　 设方程的两根分别为x1,x2,
因为x1x2=k2,两根互为倒数,
所以k2=1,解得k=1或k=-1.
因为方程有两个实数根,所以Δ≥0.
当k=1时,Δ<0,故舍去,故k的值为-1.
8.B　 因为-=-3+1=-2,=-3×1=-3,所以b=2a,c=-3a,所以bx2+cx+a=0可化为2x2-3x+1=0.因为2x2-3x+1=(2x-1)(x-1)=0,所以bx2+cx+a=0的两根为1和.故选B.
9.B　 设原方程为x2+bx+c=0.因为甲把一次项系数看错了,解得方程的两根为-3和5,所以-3×5=c,即c=-15.因为乙把常数项看错了,解得方程的两根为2和2,所以2+2=-b,即b=-4,所以原方程为x2-4x-15=0.故选B.
10.25　 因为方程x2-4x-3=0的两根为m,n,所以m+n=4,mn=-3,所以m2-mn+n2=(m+n)2-3mn=42+9=25.
11.-2　 设x1,x2是一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根,
∴Δ=-4m≥0,∴m≤0.
∵x1+x2=-2m,x1x2=m2+m,
∴+=(x1+x2)2-2x1x2=4m2-2m2-2m=2m2-2m=12,
解得m1=3,m2=-2.
又∵m≤0,∴m=-2.
12.解:(1)因为关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根,所以Δ=b2-4ac=(2k+3)2-4k2>0,解得k>-.
(2)因为x1,x2是方程x2+(2k+3)x+k2=0的两个实数根,所以x1+x2=-2k-3,x1x2=k2,所以+===-1,解得k1=3,k2=-1.经检验,k1=3,k2=-1都是原分式方程的根.又因为k>-,所以k=3.
13.解:(1)因为x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根,
所以x1+x2=2(m+1),x1x2=m2+5,
所以(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=m2+5-2(m+1)+1=28,
解得m1=-4,m2=6.
当m=-4时,原方程无解,舍去,所以m=6.
(2)①当7为底边长时,此时方程x2-2(m+1)x+m2+5=0有两个相等的实数根,
所以Δ=4(m+1)2-4(m2+5)=0,
解得m=2,
所以方程变为x2-6x+9=0,
解得x1=x2=3.
因为3+3<7,
所以不能构成三角形.
②当7为腰长时,设x1=7,
代入方程得49-14(m+1)+m2+5=0,
解得m1=10,m2=4.
当m=10时,方程变为x2-22x+105=0,
解得x1=7,x2=15.
因为7+7<15,
所以不能构成三角形;
当m=4时,方程变为x2-10x+21=0,
解得x1=3,x2=7.
因为3+7>7,所以能构成三角形.
此时三角形的周长=7+7+3=17.
即这个三角形的周长为17.

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