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第二讲 平面向量数乘运算与数量积
专题一 平面向量的数乘运算
探究一：已知非零向量，作出和，它们的长度和方向分别是怎样的？
1.向量的数乘运算的定义
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫作向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，与的方向相同；
当时，与的方向相反；
当时，.
由向量的数乘的定义可知：
①
②
③
2.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量，，以及任意实数恒有.
题型1 向量的数乘运算
例1.设是非零向量，，是非零实数，则下列结论中正确的是（ ）
A．与的方向相同 B．与的方向相反
C．与的方向相同 D．
例2. 化简：
（1）； （2）；
例3.设平行四边形的两条对角线与交于点，，，则向量（ ）
A． B． C． D．
练习1.在中，是上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
探究：已知非零向量，作出向量，，，，你能发现这些向量与原向量的位置关系吗？
3.向量共线定理
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
题型2 向量共线定理的应用
例4.判断下列各小题中的向量，是否共线（其中，是两个非零不共线向量）.
；
；
.
例5.已知是两个不共线的向量，
(1)如果，,,求证：三点共线.
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
专题二 平面向量的数量积
1.两向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)特例：①当θ＝0时，向量a与b同向；
②当θ＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b；
③当θ＝π时，向量a与b反向．
2．向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即.
规定:零向量与任一向量的数量积为0．
题型1 向量数量积的运算
例6.已知向量，满足，，与夹角为，那么等于（ ）
A． B． C． D．2
练习2.已知|a|＝10，|b|＝12，且，则a与b的夹角为(　　)
A．60° B．120° C．135° D．150°
3．投影向量
如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影(project)，叫做向量a在向量b上的投影向量．
如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．
4．向量数量积的几何意义
向量数量积a·b等于b的长度与向量a在向量b上的投影的乘积
（其中称为向量a在向量b上的投影，也可以表示为）
题型2 投影向量的运用
例7.已知|a|＝3，|b|＝5，a与b的夹角为45°，则向量a在向量b方向上的投影为________．
练习3.已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，则a在b上的投影向量为______．
4．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos.
(2)a⊥b a·b＝0．
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
5．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
题型3 向量数量积性质的综合运用
例8.已知|a|＝1，|b|＝.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|；
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角．
练习4.已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|.
课后作业
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
2．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为(　　)
A. B.
C．3 D．5
3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．12
4．已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝2，若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝________．

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