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第四讲 平面向量的应用
专题一 平面向量在平面几何中的应用
1.向量在平面几何中常见的应用
，
（1）求线段长度或证明线段相等，用向量的模长公式：，例如证明,只要证明或.
（2）证明直线或线段平行，用向量共线定理：
（3）证明三点共线：要证明三点共线，只要证明存在实数，使得或或,即利用向量共线定理先说明共线，而后说明有一个公共点即可.
（4）证明直线或线段垂直，常用向量垂直的条件：.
例如证明,只要证明.
（5）求夹角问题，利用夹角公式：cos＝＝．
题型1 平面几何中的向量方法
例1.若且，则四边形的形状为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
练习1.已知，，，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
例2.点P是所在平面内一点，若,其中,则点P一定在（ ）
A．内部 B．边所在的直线上
C．边所在的直线上 D．边所在的直线上
例3.在正方形中，分别是的中点,求证.
例4.已知平行四边形,你能发现对角线和的长度与两条领边和的长度之间的关系吗？
专题二 平面向量在物理中的应用
1.向量在物理中的应用
（1）向量与力
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有，但是力的三要素是大小，方向和作用点，所以用向量解决力的问题，通常要把向量平移到同一作用点上.
（2）向量与速度，加速度及位移
速度，加速度及位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.
（3）向量与功，动量
力做的功是力在物体前进的方向上的力与物体位移的乘积，实质是表示力和位移的两个向量的数量积，，动量实际上是数乘向量.
题型2 平面向量在物理中的应用
例5.河水从西向东流，流速为，一轮船以的速度垂直于水流方向向北横渡，则轮船的实际航行速度为__________,航行方向为_____________.
练习2.在静水中划船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发，最终船垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向与水流方向所成角是________．
例6.作用于原点的两个力，，为使它们平衡需要增加力，则力的大小为( )
A． B． C．5 D．25
例7.已知一物体在共点力,的作用下产生位移,则这两个共点力对物体做的总功为_____________.
课后作业
1．一质点在力＝(﹣3，5)，＝(2，﹣3)的共同作用下，由点A(10，﹣5)移动到B(-4，0)，则，的合力F对该质点所做的功为（ ）
A．24 B．﹣24 C．110 D．﹣110
2．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40m/s，则鹰的飞行速度为（ ）
A． B． C． D．
3．若为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
4.设作用于一点的三个力，，处于平衡状态，若,,和的夹角为，求：（1）的大小；（2）与夹角的大小.

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