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第一讲 平面向量的概念与加减运算
专题一 平面向量的概念
1.向量的实际背景与概念
（1）向量的实际背景
物理中，质点A到A’的位移表示从起点到终点相对位置的变化，与具体的路线无关，既有大小又有方向；速度是表示物体运动快慢的量，既有大小又有方向；力也是这样.这样的量在物理学中称为矢量.
向量的概念
在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫作向量，而把只有大小没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量.
向量与数量的区别
数量是一个代数量，可以比较大小，物理学中称为标量，向量不能比较大小，物理学中称为矢量.
题型1 向量的概念
例1. 下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功，其中不是向量的有（ ）
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
练习1.以下选项都是向量的为（ ）
A. 加速度、海拔 B.质量、摩擦力 C.面积、体积 D.重力、速度
练习2.下列说法正确的是（ ）
向量可以比较大小 B.坐标平面上的轴和轴都是向量
C.向量就是有向线段 D.体积、面积和时间都不是向量
2.向量的几何表示
（1）有向线段：具有方向的线段叫作有向线段.通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向，以A为起点、B为终点的有向线段记作.
线段的长度也叫作有向线段的长度，记作.
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.
（2）向量的几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
（3）向量的字母表示：向量可以用字母表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示，如，.
（4）向量的模：向量的大小称为向量的长度（或称模），记作.
(任意向量的模都是非负数，即，所以向量的模可以比较大小.)
（5）两个特殊向量：
①零向量：长度为0的向量叫作零向量，记作0，它的方向是任意的.
②单位向量：长度等于1个单位长度的向量,叫作单位向量.
题型2 向量的几何表示
例2.下列说法正确的有___________.
①向量的长度与向量的长度相等；
②有向线段就是向量,向量就是有向线段；
③向量的大小与方向有关；
④向量的模可以比较大小.
例3.下列命题不正确的是（ ）
A.零向量的方向是任意的
B.单位向量的方向是任意的
C.零向量的模为0
D.起点为原点的所有单位向量，终点构成单位圆
3.相等向量与共线向量
（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫作相等向量.用有向线段表示的向量与相等，记作.所有的零向量都相等
（2）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量平行，记作.我们规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量，都有.
（3）共线向量：任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.
题型3 相等向量与共线向量
例4.下列说法正确的是（ ）
A.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
B.长度相等的向量叫作相等向量
C.共线向量（均为非零向量）是在一条直线上的向量
D.向量与向量平行，则与的方向相同或相反
练习4.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.零向量与任一向量平行
B.方向相反的两个非零向量不一定共线
C.零向量的长度为0
D.方向相反的两个非零向量必不相等
例5.如图所示，的三边均不相等，分别是边的中点.
（1）写出与共线的向量；
（2）写出与长度相等的向量；
（3）写出与相等的向量
专题二 平面向量加减运算
1.向量的加法运算
探究二：如图，某人从北京到武汉再到重庆，则两次行程的位移可用哪个向量表示？从这里可以得到什么结论？
1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫作向量的加法
①两个向量的和仍是向量
②规定：
2.向量加法的三角形法则
已知两个非零向量,求.
在平面内任取一点A,作，，连接AC
则
3.向量加法的平行四边形法则
还有其他方法求吗？
作，连接CD
则
4.向量加法的三角形法则与平行四边形法则的区别
三角形法则 平行四边形法则
两向量的位置关系 两向量共线或不共线都可以 只适用于两向量不共线
两向量起点、终点的特点 （首尾相接） （共起点）
2.向量加法的运算律
结论：交换律： 结合律：
题型1 向量的加法运算
例1.在平行四边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
练习1.在四边形中， ，则四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形
题型2 向量加法的运算律
例2.
例3.（多选）如图，在平行四边形中，下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.向量的减法运算
1.相反向量：与向量长度相等，方向相反的向量，叫作的相反向量，记作.
2.相反向量的性质：
①零向量的相反向量仍是零向量．
②任一向量与其相反向量的和是零向量，即.
③如果向量互为相反向量，那么,，．
3.向量减法的定义：向量加上的相反向量，叫作与的差，即
4.向量减法的三角形法则与平行四边形法则
题型3 向量的减法运算
例4.下列运算中正确的是（ ）
B.
C. D.
例5.平行四边形中，,，，若，求.
课后作业
1．设是两个平面向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若四边形是矩形，则下列说法不正确的是（ ）
A．与共线 B．与共线
C．与模相等，方向相反 D．与模相等
3．下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．如图，已知正方形的边长等于单位长度1，，，，试着写出向量.
（1）；
（2），并求出它的模.
5．如图，设是边长为1的正六边形的中心，写出图中与向量相等的向量________________.（写出两个即可）

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