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2013年高考广东省理科数学模拟题
一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设全集，，，则图中阴
影部分表示的集合为
. . . .
2．在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C为线段AB的
中点，则点C对应的复数是
（A）4+8i (B)8+2i （C）2+4i (D)4+i
3.设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首
项，2为公比的等比数列，则（ ）
A．1033 B．1034 C．2057 D．2058
４.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）
Ａ．８０Ｂ．６４Ｃ．Ｄ．１０２
５.在中,分别为角的对边，如果,,
那么角等于（ ） A. B. C. D.
６．对任意非零实数，，若的运算原理如右图程序框图所示，
则的值是( )
A．0 B． C． D．9
７．在抛物线y=x2+ax-5(a??≠?0)上取横坐标为x1=4,x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则
（A） (-2,-9) （B）(0,-5) (C) (2,-9) （D）(1,6)
８．一电子玩具可以向左、右、上、下四个方向运动，第次只能运动一个长度单位，向左、右、上、下四个方向运动一次分别闪红、黄、蓝、紫色灯一次，电子玩具从原点（０，０）到（８，６）按最短路径运动，上述彩灯闪烁的结果有（ ） A．3003种 B.14种 C.2162160种 D.28种
二、填空题
9．如果随机变量ξ～N (),且P（）=0.4，则P（）= .
10.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；没送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润是
11.已知双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，则 .
12.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是
13.若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=______.(用数字作答)
14．。如图，是圆的切线，为切点，是圆的割线．
若，则______．
15．已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为____________
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题共13分）已知函数（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知，求证：
17．（本小题满分13分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准
（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
5
6
7
8
P
0．4
a
b
0．1
且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 、5、3、3、8、5、5、6、3、4、6 、3、4、7、5、3、4、8、5、3、8、3、 4、3、4、4、7、5、6、7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．
（III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：（1）产品的“性价比”=；（2）“性价比”大的产品更具可购买性．
18.(本小题满分14分) 如图, 在四面体ABOC中，OC⊥OA, OC⊥OB,∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1.
(Ⅰ) 设P为AC的中点.证明：在AB上存在一点Q,使PQ⊥OA,并计算=的值；
(Ⅱ) 求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.
19．）已知椭圆（常数），点是上的动点，是右顶点，定点的坐标为。⑴ 若与重合，求的焦点坐标；⑵ 若，求的最大值与最小值；⑶ 若的最小值为，求的取值范围。
20. （本小题满分14分）设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列．（1）证明：为等比数列；（2）设，求数列的前项和．
21.（本小题满分14分）已知a，b为常数，且a≠0，函数（e=2.71828…是自然对数的底数）.（I） 求实数b的值；（II）求函数f（x）的单调区间；（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设全集，，，
则图中阴影部分表示的集合为
. . . .
2．在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是
（A）4+8i (B)8+2i （C）2+4i (D)4+i
3.设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ） A．1033 B．1034
４.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（　　） .
Ａ．８０　　Ｂ．６４　Ｃ．　Ｄ．１０２
５.在中,分别为角的对边，如果,,那么角等于（ ）
A. B. C. D.
６．对任意非零实数，，若的运算原理如右图程序框图所示，则的值是( C )
A．0 B． C． D．9
７．在抛物线y=x2+ax-5(a??≠?0)上取横坐标为x1=4,x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则
（A） (-2,-9) （B）(0,-5) (C) (2,-9) （D）(1,6)
11、【命题意图】本小题考查函数的导数、切线、抛物线与圆的相关知识，考查代数基本运算能力，以及综合运用知识解决问题的能力。属于较难题。
【解析】由已知，抛物线经过(－4,11－4a)和(2,2a－1)两点，过这两点的割线斜率为
k＝＝a－2
于是，平行于该割线的直线方程为y＝(a－2)x＋b
该直线与圆相切，所以
该直线又与抛物线相切，于是(a－2)x＋b＝x2＋ax－5有等根
即x2＋2x－5－b＝0的△＝0 ( b＝－6代入，注意到a≠0，得a＝4
所以抛物线方程为y＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9
顶点坐标为(－2，－9)
【答案】A
８．一电子玩具可以向左、右、上、下四个方向运动，第次只能运动一个长度单位，向左、右、上、下四个方向运动一次分别闪红、黄、蓝、紫色灯一次，电子玩具从原点（０，０）到（８，６）按最短路径运动，上述彩灯闪烁的结果有（ ）
A．3003种 B.14种 C.2162160种 D.28种
二、填空题
9．如果随机变量ξ～N (),且P（）=0.4，则P（）= .
【答案】0.1
【解析】解析：如果随机变量ξ～N (),且P（）=0.4，
P（）=，
∴， ∴P（）=。
10.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；没送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润是
【解析】设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则
利润函数z＝450x＋350y
画出可行域如图，当目标函数经过A(7,5)时，利润z最大
为4900元
【答案】C
11.已知双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，则 .
答案：3。
12.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是
解:因为对任意x恒成立，所以
13.若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答)31
14．。如图，是圆的切线，为切点，是圆的割线．若，则______．
答案：。
15．11．已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为____________
【解析】圆方程为，∴，∴距离最小值为。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题共13分）已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知，求证：
解析：
（2）
17．（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准
（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
5
6
7
8
P
0．4
a
b
0．1
且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 、5、3、3、8、5、5、6、3、4、6 、3、4、7、5、3、4、8、5、3、8、3、 4、3、4、4、7、5、6、7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．
（III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：（1）产品的“性价比”=；
（2）“性价比”大的产品更具可购买性．
解：（I）因为
又由X1的概率分布列得
由
（II）由已知得，样本的频率分布表如下：
3
4
5
6
7
8
0．3
0．2
0．2
0．1
0．1
0．1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：
3
4
5
6
7
8
P
0．3
0．2
0．2
0．1
0．1
0．1
所以
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.
（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为
因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为
据此，乙厂的产品更具可购买性。
18.(本小题满分14分) 如图, 在四面体ABOC中，OC⊥OA, OC⊥OB,∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1.
(Ⅰ) 设P为AC的中点.证明：在AB上存在一点Q,使PQ⊥OA,并计算=的值；
(Ⅱ) 求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.
19．）已知椭圆（常数），点是上的动点，是右顶点，定点的坐标为。⑴ 若与重合，求的焦点坐标；⑵ 若，求的最大值与最小值；⑶ 若的最小值为，求的取值范围。
解：⑴ ，椭圆方程为，
∴ 左、右焦点坐标为。
⑵ ，椭圆方程为，设，则
∴ 时； 时。
⑶ 设动点，则
∵ 当时，取最小值，且，∴ 且
解得。
20. （本小题满分14分）设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列．（1）证明：为等比数列；（2）设，求数列的前项和．
20．解：（Ⅰ）将直线y=x的倾斜角记为 ，则有tan = ，sin =．…………．1分
设Cn的圆心为（，0），则由题意知= sin = ，得 = 2 ； …………．3分
同理，依题意知 ………………5分
将 = 2代入，解得 rn+1=3rn．故{ rn }为公比q=3的等比数列． ………………7分
（Ⅱ）由于r1=1，q=3，故rn=3n-1，从而 =n·，………………9分
记Sn=，则有 Sn=1+2·3-1+3·3-2+………+n·． ①
=1·3-1+2·3-2+………+（n-1） ·+n·． ② ………………11分
①-②，得 =1+3-1 +3-2+………+-n· ………………………12分
=- n·= –（n+）· ………………………………13分
Sn= – （n+）·． ………………………………14分
21.（本小题满分14分）已知a，b为常数，且a≠0，函数（e=2.71828…是自然对数的底数）.（I） 求实数b的值；（II）求函数f（x）的单调区间；（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m

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