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§ 6.6.2柱、锥、台的体积
（专题课：等积变换求三棱锥的体积）
北师大（2019）必修2
总的原则
对于三棱锥的体积问题，可以任选一面作底面，然后求出已知该底面对应的高．转换原则是换底高易求或底面放在已知几何体的某一面上.
使用的原则
利用等积法不仅可以求三棱锥 的体积，还可以求点到平面的距离及直线与平面所成的角。
环节一
组合背景下
1.以直三棱柱为背景利用等积法直接求体积
1.直三棱柱 ，各侧棱和底面的边长均为a，点D是CC1上任意一点，连接A1B,BD,A1D,AD，则三棱锥 的体积为
(解析)等积变换易求高，D到面A1BA距离为底面正三角形的高，则
2.如图所示，已知三棱柱 的所有棱长均为1， 底面ABC，则三棱锥B1―ABC1的体积为()

[解析]三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，三棱锥 的高为，底面积为，故其体积为x x =，
1.如图，正方体ABCD- A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为__________．
2.正方体（长方体）中合理选择底面易求三棱锥的体积
[解析1] 三棱锥D1 -EDF的体积即为三棱锥F- DD1E的体积．因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCD- A1B1C1D1中△DD1E的面积为定值，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VF -DDE＝× ×1＝.
E点移到A点，F点移到C点，则V D -EDF＝V D-DAC= VF -DDE＝× ×1＝.
点评
把握正方体的特征，合理选择底面易求高，解析1中注意到△EDD1的面积为定值，F到面 △EDD1的距离为1使问题简单化，解析2中利用点的特殊性对点进行移动转化特殊四面体的体积
正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则三棱锥B—AEF的体积为是______
×× ×1=

在棱长为1的正方体中，E是棱BC上的一点，则三棱锥D1-B1C1E的体积等于　
在棱长为2的正方体中，E、F分别为DD1、DB的中点．则三棱锥C-B1EF的体积为　
[解析]由题设可知CF⊥平面BDB1D1，CF⊥平面 即CF为高 ,， = , B1E2

即
正方体的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是　 (　　 )　　　　
(A)　AC⊥BE　　 (B)EF//平面ABCD
(C)三棱锥A-BEF的体积为定值　　　　　　　　　　　　　　　
(D) AEF, BEF面积相等　　　　
[解析]可证AC⊥平面DDBB.从而 故A正确，由 //平面ABCD，可知EF//平面ABCD B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥 的高， 三棱锥A-BCF的体积为 为定值，C正确D错误选D.
3.四棱锥中合理选择底面易求三棱锥的体积
1.四棱锥 中，PM上底面ABCD，底面ABCD是矩形， ，点E为棱CD上一点，则三棱锥 的体积为
[解析]
2.在四棱锥 分别为侧棱，VB,VD的中点，则四面体 的体积与四棱锥 的体积之比为( )
A.1:6 B.1:5 C .1:4 D .1:3
[解析]由题意可得 /平面 ，所以 故选C.

3.如图，正四棱锥 的底面是边长 高 E为侧棱PC的中点，求三棱锥B-CED的体积
连接EM(M为OC中点)

由于 面ABCD，易证 且

故三凌锥 的高为

底面积
故有

环节二
折叠背景下
1.将边长为L的正方形ABCD沿对角线AC折起，使 为正三角形，则三棱锥 C D的体积为 ()

[解析]如图取AC的中点O，连接BO，DO，由题意， 因为AABD为正三角形，
选D，
2.如图，将边长为 的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得 则三棱锥 BCD的体积为( )

解析 如图所示，图1中，连接AC与BD相交于点O，

则

图2中， 是等边三角形，

三棱锥 的体积 故选A.
环节三
最值背景下
1.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上运动(不与A，B重合)，PA⊥平面ABC，若AB=2，二面角 等于 则三棱锥 体积的最大值为 .

因为C在半圆上，AB为直径，所以 因为 所以 又因 所以 所以 ，所以二面角 的平面角为∠PCA=60°,

设AC的长度为 则在直角三角形ABC中， 同理可得 所以三棱锥P-ABC体积

则

令 动(0< a<4) ,

当 时，

f(a) 单调递增；

当 时， f(a) 单调递减，所以当 时，f(a)取最大值 即
2.在棱长为1的正方体 中.P为棱 的中点，Q为正方形 内一动点(含边界)，则Q点落在棱 上某点处时，三棱锥 的体积最大，指出此点位置
环节四
点到面距离背景下
1.在直三棱柱 中， 则点A到平面ABC的距离为()
B. C
[解析]由于三棱柱是直三棱柱，
设点A到平面A1BC的距离为d，由体积相等得

，代入计算得

2.在棱长为1的正方体. 中，E、F分别为棱 的中点，G为棱 上的一点，且 则点G到平面 的距离为 .
设h为G到平面D=FF的距离.图
环节五
线面角背景下
1.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　 ).
[解析] AA1⊥底面 为PA与平面 所成角，又：平面 //平面A1B1C1，∠APA1为PA与平面ABC成角


解得： ，又P为底面正三角形的中心，

在Rt-AA1P中， ∠APA1正切为，故角为.

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