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2021-2022学年北师大版七年级数学下册期末复习综合练习题（附答案）
一．选择题
1．下列计算中，正确的是（　　）
A．（a+3）2＝a2+9 B．a8÷a4＝a2
C．2（a﹣b）＝2a﹣b D．a2+a2＝2a2
2．下面四幅图是摄影爱好者抢拍的一组照片．从对称美的角度看，拍得最成功的是（　　）
A． B． C． D．
3．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．图（1）是边长为（a+b）的正方形，将图（1）中的阴影部分拼成图（2）的形状，由此能验证的式子是（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab
C．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab D．（a﹣b）2+2ab＝a2+b2
5．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．下列事件为必然事件的是（　　）
A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球
B．三角形的内角和为180°
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上
7．如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，EB＝CF，∠A＝∠D，添加以下条件之一，仍不能证明△ABC≌△DEF的是（　　）
A．∠E＝∠ABC B．AB＝DE C．AB∥DE D．DF∥AC
8．已知实数a、b满足a+b＝2，ab＝，则a﹣b＝（　　）
A．1 B．﹣ C．±1 D．±
9．“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽2个、红枣粽4个、腊肉粽3个、白米粽2个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取一个，选到甜粽的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（　　）
A．62° B．56° C．28° D．72°
11．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（　　）
A．8 B．11 C．16 D．17
12．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
13．等腰三角形的一个角是80°，则它的另外两个角的度数是　 　．
14．在一个不透明的口袋里装有除颜色不同外，其余都相同的4个红球和若干个绿球，袋中的球已被搅匀，若从中任意取出一个小球为绿球的概率是，则口袋里绿球个数是 　 　个．
15．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为 　 　．
16．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝9，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N．分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，点F在AC边上，AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为　 　．
17．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝　 　．
18．如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB面积为y，如果y与x的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的面积为　 　．
三．解答题
19．先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a）﹣1，其中a＝．
20．先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（3x+5y），其中x＝，y＝﹣1．
21．如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点，连接DE并延长，交BC于点M，∠DAC的平分线交DM于点F．
求证：AF＝CM．
23．密码锁有三个转轮，每个转轮上有十个数字：0，1，2，…9．小黄同学是9月份中旬出生，用生日“月份+日期”设置密码：9××
小张同学要破解其密码：
（1）第一个转轮设置的数字是9，第二个转轮设置的数字可能是　 　．
（2）请你帮小张同学列举出所有可能的密码，并求密码数能被3整除的概率；
（3）小张同学是6月份出生，根据（1）（2）的规律，请你推算用小张生日设置的密码的所有可能个数．
24．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP＝AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
25．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）
例2等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．
（1）请你解答以上的变式题．
（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
26．如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．
（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP＝　 　；（直接写结果）
（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC＝α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；
（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）
参考答案
一．选择题
1．解：A选项，原式＝a2+6a+9，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝a4，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝2a﹣2b，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝2a2，故该选项符合题意；
故选：D．
2．解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：B．
4．解：根据图形可得：
∵AB＝，
∴S阴影＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab．
故选：B．
5．解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵AC＝6，AD＝2，
∴BD＝CD＝4，故选：C．
6．解：A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球是不可能事件；
B．三角形的内角和为180°是必然事件；
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告是随机事件；
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上是随机事件；故选：B．
7．解：A．添加∠E＝∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故A选项不符合题意．
B．添加DE＝AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故B选项符合题意；
C．添加AB∥DE，可得∠E＝∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项不符合题意；
D．添加DF∥AC，可得∠DFE＝∠ACB，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项不符合题意；故选：B．
8．解：∵a+b＝2，ab＝，
∴（a+b）2＝4＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝1，
∴a﹣b＝±1，故选：C．
9．解：由题意可得：粽子总数为11个，其中6个为甜粽，
所以选到甜粽的概率为：，故选：D．
10．解：如图，标注字母，
由题意可得：∠BAC＝90°，∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝62°，
∵EF∥AD，
∴∠2＝∠DAC＝62°，
故选：A．
11．解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE
＝AC+CE+BE
＝AC+BC
＝5+6
＝11．
故选：B．
12．解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故①正确
∵∠DOF＝∠AOE，
∴∠DFO＝∠EAO＝90°，
∴BD⊥EC，故②正确，
∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，
∴AM＝AN，
∴FA平分∠EFB，
∴∠AFE＝45°，故④正确，
若③成立，则∠EAF＝∠BAF，
∵∠AFE＝∠AFB，
∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由题意知，AB不一定等于AD，
所以AF不一定平分∠CAD，故③错误，
故选：C．
二．填空题
13．解：①当这个角是底角时，另外两个角是：80°，20°；
②当这个角是顶角时，另外两个角是：50°，50°．
故答案为：80°，20°或50°，50°．
14．解：设袋中的绿球个数为x个，
∴＝，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，
∴袋中绿球的个数2个；
故答案为：2．
15．解：如图，
∵∠B＝30°，∠DCB＝65°，
∴∠DFB＝∠B+∠DCB＝30°+65°＝95°，
∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，
故答案为：140°．
16．解：∵AB＝5，AC＝8，AF＝AB，
∴FC＝AC﹣AF＝8﹣5＝3，
由作图方法可得：AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△AFD中
，
∴△ABD≌△AFD（SAS），
∴BD＝DF，
∴△DFC的周长为：DF+FC+DC＝BD+DC+FC＝BC+FC＝9+3＝12．
故答案为：12．
17．解：如图，延长CB交l1于点D，
∵AB＝BC，∠C＝30°，
∴∠C＝∠4＝30°，
∵l1∥l2，∠1＝80°，
∴∠1＝∠3＝80°，
∵∠C+∠3+∠2+∠4＝180°，即30°+80°+∠2+30°＝180°，
∴∠2＝40°．
故答案为：40°．
18．解：从图象②和已知可知：AB＝4，BC＝10﹣4＝6，
所以矩形ABCD的面积是4×6＝24，
故答案为：24．
三．解答题
19．解：原式＝a2+2a+1+a﹣a2﹣1
＝3a．
当a＝时，
原式＝3．
20．解：原式＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2﹣6xy﹣10y2
＝6xy，
当x＝，y＝﹣1时，原式＝6××（﹣1）＝6﹣6．
21．证明一：∵∠A＝∠1，
∴AE∥BF，
∴∠2＝∠E．
∵CE∥DF，
∴∠2＝∠F，
∴∠E＝∠F．
证明二：∵CE∥DF，
∴∠ACE＝∠D，
∵∠A＝∠1，
∴180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣∠D﹣∠1，
又∵∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠A，∠F＝180°﹣∠D﹣∠1，
∴∠E＝∠F．
22．证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠DAC＝∠B+∠C＝2∠C，
∵AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF＝∠DAC＝∠C，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△AEF和△CEM中，
，
∴△AEF≌△CEM（ASA），
∴AF＝CM．
23．解：（1）∵小黄同学是9月份中旬出生
∴第一个转轮设置的数字是9，第二个转轮设置的数字可能是1，2；
故答案为1或2；
（2）所有可能的密码是：911，912，913，914，915，916，917，918，919，920；
能被3整除的有912，915，918，；
密码数能被3整除的概率．
（3）小张同学是6月份出生，6月份只有30天，
∴第一个转轮设置的数字是6，第二个转轮设置的数字可能是0，1，2，3；第三个转轮设置的数字可能是0，1，2，…9（第二个转轮设置的数字是0时，第三个转轮的数字不能是0；第二个转轮设置的数字是3时，第三个转轮的数字只能是0；
∴一共有9+10+10+1＝30，
∴小张生日设置的密码的所有可能个数为30种．（也可以直接根据6月份只有30天，有30个不同的数字，得出设置的密码的所有可能个数为30种）
24．解：BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点．
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BPD+∠PBD＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠AQP+∠ABQ＝90°．
∵∠ABQ＝∠PBD，
∴∠BPD＝∠AQP．
∵∠BPD＝∠APQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴AP＝AQ．
25．解：（1）若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝50°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×80°＝20°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝80°；
故∠B＝50°或20°或80°；
（2）分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B＝（）°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．
当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．
26．解：（1）设AP的长是x，则BP＝2a﹣x，
∴S△APC+S△PBD＝x x+（2a﹣x） （2a﹣x）
＝x2﹣ax+a2，
当x＝﹣＝﹣＝a时△APC与△PBD的面积之和取最小值，
故答案为：a；
（2）α的大小不会随点P的移动而变化，
理由：∵△APC是等边三角形，
∴PA＝PC，∠APC＝60°，
∵△BDP是等边三角形，
∴PB＝PD，∠BPD＝60°，
∴∠APC＝∠BPD，
∴∠APD＝∠CPB，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD＝∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP＝120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP＝120°，
∴∠AQC＝180°﹣120°＝60°；
（3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°．
理由：∵△APC是等边三角形，
∴PA＝PC，∠APC＝60°，
∵△BDP是等边三角形，
∴PB＝PD，∠BPD＝60°，
∴∠APC＝∠BPD，
∴∠APD＝∠CPB，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD＝∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP＝120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP＝120°，
∴∠AQC＝180°﹣120°＝60°．

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