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6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
导学案
【学习目标】
1.会实数与向量积的坐标表示
2.记住两个向量共线的坐标表示
3.能够应用向量共线的坐标表示解决相关问题
【自主学习】
知识点 1 平面向量数乘运算的坐标表示及中点坐标公式
(1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 ；
(2)设向量 a＝(x1，y1)，则λa＝ ．
(3)中点坐标公式：若 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
x x1＋x2＝ ，
2
线段 P1P2 的中点 P的坐标为(x，y)，则
y y1＋y2＝ .
2
知识点 2 两个向量共线的坐标表示
(1)向量 a，b 共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b .
(2)向量共线的坐标表示的推导
①设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则 a∥b a＝λb(λ∈R)．
上式若用坐标表示，可写为 a∥b ，
x1＝λx2，
即 a∥b .
y1＝λy2
②设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)＝0 时，a∥b .
综上①②，向量共线的坐标表示为 a∥b .【合作探究】
探究一 平面向量数乘运算的坐标表示
【例 1】已知 a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求 a＋b，a－b,3a＋4b 的坐标．
归纳总结：
【练习 1】已知 a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b； (2)a－3b； (3)1a 1－ b.
2 3
探究二 两个向量共线的坐标表示
【例 2】已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？平行时它们是同
向还是反向？
归纳总结：
【练习 2】已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若 c∥(2a＋b)，则λ＝ .
探究三 三点共线问题
→ → →
【例 3-1】已知OA＝(3,4)，OB＝(7,12)，OC＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线；
→ → →
【例 3-2】设向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，
当 k为何值时，A，B，C三点共线？
归纳总结：
→ →
【练习 3】如果向量AB＝i－2j，BC＝i＋mj，其中 i、 j 分别是 x轴、y轴正方向上的单位向
量，试确定实数 m的值，使 A、B、C三点共线．
探究四 待定系数法求向量
【例 4】已知 a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用 a，b 表示 c.
归纳总结：
【练习 4】已知 a＝(10，－5)，b＝(3,2)，c＝(－2,2)，试用 b，c 表示 a.
探究五 利用向量共线解决几何问题
【例 5】已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线 AC与 OB交点 P的坐标．
归纳总结：
【练习 5】如图，已知直角梯形 ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点 C作 CE⊥AB
于 E，M为 CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
课后作业
A 组 基础题
一、选择题

已知向量 a (1, 2),b (2, 2),c (m,1) ，若 c / /(2a b)，则 m =（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2.已知向量 a 2,3 ，b 3,m 且 a / /b，则m （ ）
9 9
A. －2 B. 2 C. D.
2 2

3.已知向量 a (1, 2) ，b (3, 3) ， c (1,t) ，若向量 a与向量b c共线，则实数 t
（ ）
A. 5 B. －5 C. 1 D. －1

4.已知向量 a (m,1), b (3,m 2) ，则m 3是 a / /b的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件

5.已知 a (x,3) ，b (3,1)，且 a / /b，则 x （ ）
A. 9 B. －9 C. 1 D. －1

6.已知 a 1,0 ，b 2,1 ，向量 ka b与 a 3b平行，则实数 k的值为（ ）
11 11 1 1
A. B. C. D.
7 7 3 3

7.与向量 a (3, 4) 平行的单位向量是（ ）
A. (0,1) B. (1,0)
3 , 4 C. D. (－3,－4)
5 5

8.已知 a 5, 2 ，b 4, 3 ， c x, y ，若 a 2b 3c 0 ，则 c等于（ ）
13 , 4 A. B. 1,
8
3 3 3
13 , 8 14 , 4 C. D.
3 3 3 3
9.（多选题）以 A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点 D的坐标
是（ ）
A. (2,3) B. (2,－1)
C. (4,1) D. (－2,－1)
二、填空题

10.已知向量 a （1，1）， b m， 2 ，且 a∥ a 2b ，则 m的值等于__________.

11.已知向量 a =(1，1)，b =( 1，2)，若 (a b)//(3a tb) ，则实数 t =_________.

12.已知OA 1, 3 ，OB 2, 1 ，OC k 1, k 2 ，若 A、B、C三点在同一直线
上，则 k =______.

13. 设向量 a (1，2)，b (2，3) ，若向量 a b与向量 c ( 4， 7)共线，则
。

14.已知三点 P、P1、P2在一条直线上，点 P1(0, 6) ，P2 (4,0) ，且 P1P2 2PP1 ，则点 P
的坐标为______.
三、解答题

15.已知向量 a 1,2 ，向量 b 3, 2 .

（1）求向量 a 2b的坐标；

（2 ）当 k为何值时，向量 ka b与向量 a 2b共线.

16.已知向量 a (1,3)
1
，b ( 2,1) .向量m a 2b ，n a b .2

（1）求 a ；
m n （2）求向量 ， 的坐标；

（3）判断向量m与 n是否平行，并说明理由.

17.已知向量 a 1,2 ，向量 b 3, 2 .

（1 a ）求向量 2b的坐标；

（2）当 k为何值时，向量 ka b 与向量 a 2b共线.

18.已知OA 1,1 ,OB 3, 1 ,OC a,b .
（1）若 A，B，C三点共线，求 a，b的关系；

（2）若 AC 2AB ,求点 C的坐标.
B 组 能力提升
一、选择题

1.已知平面直角坐标系内的两个向量 a (1, 2),b (m,3m 2) ,且平面内的任一向量 c都可

以唯一表示成 c a b ( , 为实数),则实数 m的取值范围是( )
A. (－∞,2) B. (2,+∞)
C. (－∞, +∞) D. (－∞,2)∪(2,+∞)
2.在△ABC中，D是线段 AB上靠近 B的三等分点，E是线段 AC的中点，BE与 CD交于 F

点若 AF aAB bAC，则 a、b的值分别为（ ）
1
A. , 1 1 , 1 1 1 1 1B. C. , D. ,
2 4 4 2 3 5 2 3
2 1
3.已知向量m (a, -1), n (2 b -1,3)(a 0, b 0)，若m / / n则 的最小值为a b
A. 12 B. 10 2 3
C. 15 D. 8 4 3

4.已知向量 a (2, tan ) ，b (1, 1) .且 a / /b ，则 tan （ ）
4
1
A. 2 B.－3 C. 3 D.
3

a 1

5.向量 , tana

,b (cosa,1)

，且 a / /b，则 cos

( )
3 2
1
A. 2 B.
3 3
1
C. D. 2 2
3 3

6.对任意平面向量 AB (x, y)，把 AB绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量

AP (x cos y sin , x sin y cos ) ，叫做把点 B绕点 A逆时针方向旋转 角得到点

P.若平面内点 A，B的坐标分别为 A( 3,0) ，B(0,1)，把点 B绕点 A顺时针方向旋转 后3
得到点 P，则点 P的坐标为（ ）
A. ( 3,1) B. (0,－2)
C. ( 3,2) D. (2 3,0)

7.（多选题）已知向量OA 1, 3 ，OB 2,1 ，OC t 3,t 8 ，若点 A，B，C
能构成三角形，则实数 t可以为（ ）
1
A.－2 B. C. 1 D. －1
2
二、填空题

8.已知向量 a,b是平面内的一组基底，若m xa yb，则称有序实数对 (x, y) 为向量m在

基底 a,b下的坐标.给定一个平面向量 p，已知 p在基底 a,b下的坐标为(1,2)，那么 p在基

底 a b， a b下的坐标为______.

9.已知 a (3 1) cos ) 4sin 2cos ， ，b (sin ， ，且 a∥b ，则 ＝ ．5cos 3sin

10.设OA (1, 2) ，OB (a, 1) ，OC ( b,0) ，a 0，b 0，O为坐标原点，若 A、
1 1
B、C三点共线，则 的最小值是_______．
a b

11.已知 a ( 1,1)，b (2, 1) ， c (1, 2) ，若 a b c，则 __________．
三、解答题

12.已知向量 a (sin ,1) ，b (cos , 3)，且 a//b，其中 0, 2
（1）求 的值；
（2）若 sin( )
3 π
，0 ，求 cos 的值.
5 2
C 组 挑战压轴题
一、选择题

1. x 已知关于 的方程ax2 bx c 0，其中 a
,b ,c 都是非零向量，且 a,b 不共线，则该方程
的解的情况是（ ）
A. 至少有一个解 B. 至多有一个解
C. 至多有两个解 D. 可能有无数个解
二、填空题
2.如图，在平面四边形 ABCD中， CBA CAD 90 ， ACD 30 ， AB BC，点

E在线段 BC上，且 BC 3BE，若 AC AD AE( , R)，则 的值为_______.
1
3.如图，在等腰梯形 ABCD中， AB / /CD， AD DC CB AB，F是 BC的中点，
2
点 P在以 A为圆心，AD为半径的圆弧 DE上变动，E为圆弧 DE与 AB的交点，若

AP ED AF ，其中 ， R，则 2 的取值范围是______.
三、解答题

4.如图所示，在△ABO中，OC=
1OA，OD 1 OB，AD与 BC相交于点 M．设 ，
3 2 OA a

OB b．

（1）试用向量 a，b表示OM ；
（2）在线段 AC上取点 E，在线段 BD上取点 F，使 EF过点 M．
1
设OE OA，OF OB，其中 , R．当 EF与 AD重合时， 1， ，此时2
1 + 2 5；

1 1 2
当 EF与 BC重合时， ， 1，此时 5；
3
1 2
能否由此得出一般结论：不论 E，F在线段 AC，BD上如何变动，等式 5恒成立，

请说明理由．6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
导学案
【学习目标】
1.会实数与向量积的坐标表示
2.记住两个向量共线的坐标表示
3.能够应用向量共线的坐标表示解决相关问题
【自主学习】
知识点 1 平面向量数乘运算的坐标表示及中点坐标公式
(1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标；
(2)设向量 a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)．
(3)中点坐标公式：若 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
x x1＋x2＝ ，
2
线段 P1P2 的中点 P的坐标为(x，y)，则
y y1＋y2＝ .
2
知识点 2 两个向量共线的坐标表示
(1)向量 a，b 共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b x1y2－x2y1＝0.
(2)向量共线的坐标表示的推导
①设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则 a∥b a＝λb(λ∈R)．
上式若用坐标表示，可写为 a∥b (x1，y1)＝λ(x2，y2)，
x1＝λx2，
即 a∥b x1y2－x2y1＝0.
y1＝λy2
②设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)＝0 时，a∥b x1y2－x2y1＝0.
综上①②，向量共线的坐标表示为 a∥b x1y2－x2y1＝0.【合作探究】
探究一 平面向量数乘运算的坐标表示
【例 1】已知 a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求 a＋b，a－b,3a＋4b 的坐标．
解 a＋b＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)，
a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5, －3)，
3a＋4b＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)
＝(－6,19).
归纳总结：
1 相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程 组 .
2 进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来.一般地，已知有向线段两端点
的坐标，应先求出向量的坐标.求点 P的坐标时，可以转化为求以坐标原点为起点，点 P为
终点的向量的坐标.
【练习 1】已知 a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)1a 1－ b.
2 3
解 (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)
＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．
(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)
＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．
(3)1a 1 1－ b＝ (－1,2) 1－ (2,1)
2 3 2 3
1
－ ，1 2 1 7 2， － ，
＝ 2 － 3 3 ＝ 6 3 .
探究二 两个向量共线的坐标表示
【例 2】已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？平行时它们是同
向还是反向？
[分析] 先计算出 ka＋b 与 a－3b 的坐标，然后利用向量共线的坐标表示即可求 k，再根据
符号确定方向．
[解] 因为 a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
又(ka＋b)∥(a－3b)，
故－4(k－3)＝10(2k＋2) 1，即 k＝－ .
3
10 4
－ ，
这时 ka＋b＝ 3 3 ，且 a－3b 1 1与－ a＋b 的对应坐标异号，故当 k＝－ 时，ka＋
3 3
b 与 a－3b 平行，并且是反向的．
归纳总结：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量 a，b 共
线．对条件的理解有两方面的含义：由 x1y2－x2y1＝0，可判定 a，b 共线；反之，若 a，b 共
线，则 x1y2－x2y1＝0.
【练习 2】已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若 c∥(2a＋b)，则λ＝ .
1
答案 .
2
解析：2a＋b＝(4,2)，因为 c∥(2a＋b)，
所以 4λ＝2，得λ 1＝ .
2
探究三 三点共线问题
O→A (3,4) O→B (7,12) O→【例 3-1】已知 ＝ ， ＝ ， C＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线；
[ ] (1) A→B O→B O→A (4,8) A→C O→C O→ → →解 证明：∵ ＝ － ＝ ， ＝ － A＝(6,12)．∴4×12－8×6＝0，即AB与AC
共线．
A→B →又∵ 与AC有公共点 A，∴A，B，C三点共线．
→
【例 3-2】设向量OA＝(k,12) → →，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，
当 k为何值时，A，B，C三点共线？
[ ] A→B →解 ∵ ＝OB－O→A＝(4－k，－7) A→C O→C →， ＝ －OA＝(10－k，k－12)，
∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.
解得 k＝－2 或 k＝11.
归纳总结：一般地，把三点共线问题转化成向量共线问题，而向量共线常用的判断方法有两
种：一是直接用A→B＝λA→C；二是利用坐标运算.
→ →
【练习 3】如果向量AB＝i－2j，BC＝i＋mj，其中 i、 j 分别是 x轴、y轴正方向上的单位向
量，试确定实数 m的值，使 A、B、C三点共线．
解：依题意知 i＝(1,0)，j＝(0,1)，
则A→B＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，B→C＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)．
A→B →∵ 、BC共线，
∴1×m－(－2)×1＝0，∴m＝－2.
即当 m＝－2 时，A、B、C三点共线．
探究四 待定系数法求向量
【例 4】已知 a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用 a，b 表示 c.
解 设 c＝xa＋yb，
则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)
＝(－2x＋3y,3x＋y)，
10＝－2x＋3y，
∴
－4＝3x＋y，
解得 x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.
归纳总结：待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用方
程或方程组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常用方法．
【练习 4】已知 a＝(10，－5)，b＝(3,2)，c＝(－2,2)，试用 b，c 表示 a.
解 设 a＝λb＋μc (λ，μ∈R)．
则(10，－5)＝λ(3,2)＋μ(－2,2)
＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ)．
λ＝1，
10＝3λ－2μ， 7
∴ 解得
－5＝2λ＋2μ， μ
7 ∴a＝b－ c.
＝－ ，
2 2
探究五 利用向量共线解决几何问题
【例 5】已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线 AC与 OB交点 P的坐标．
[解] 设点 P(x，y) →，则OP＝(x，y) →，OB＝(4,4)，
P B O O→ →∵ 、 、 三点共线，∴ P∥OB.
∴4x－4y＝0.
又A→P＝O→P－O→A＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)，
A→C O→C →＝ －OA＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
∵P、A、C → →三点共线，∴AP∥AC，
∴6(x－4)＋2y＝0.
4x－4y＝0， x＝3，
由 得
6 x－4 ＋2y＝0， y＝3.
∴点 P的坐标为(3,3)．
归纳总结：
1 向量共线在几何中的应用可分为两个方面：①已知两向量共线，求点或向量的坐标；②
证明或判断三点共线、直线平行.
2 解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两
向量无公共点确定直线平行.
【练习 5】如图，已知直角梯形 ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点 C作 CE⊥AB
于 E，M为 CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
证明：如图，以 E为原点，AB所在直线为 x轴，EC所在直线为 y轴建立平面直角坐
|A→标系，令 D| →＝1，则|DC|＝1，|A→B|＝2.
∵CE⊥AB，且 AD＝DC，
∴四边形 AECD为正方形．
∴可求得各点坐标分别为 E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1，0)．
(1)∵E→D＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
B→C＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)．
∴E→D＝B→C → →，∴ED∥BC，即 DE∥BC.
(2)如图，连接 MB，MD，
M EC M(0 1∵ 为 的中点，∴ ， )，
2
∴M→D＝(－1,1)－(0 1 1， )＝(－1， )，
2 2
M→B＝(1,0)－(0 1， )＝(1 1，－ )．
2 2
∴M→D M→B → →＝－ ，∴MD∥MB.
又 MD与 MB有公共点 M，∴D，M，B三点共线.
课后作业
A 组 基础题
一、选择题

已知向量 a (1, 2),b (2, 2),c (m,1) ，若 c / /(2a b)，则 m =（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
答案及解析：C
【分析】

根据向量的坐标运算，求得 2a b (4, 2)，再结合 c / /(2a b)，即可求解.

【详解】由题意，向量 a (1, 2),b (2, 2),c (m,1) ，可得 2a b (4, 2)，
m 1
因为 c / /(2a b)，可得 ，解得m 2 .
4 2
故选：C.

2.已知向量 a 2,3 ，b 3,m 且 a / /b，则m （ ）
9 9
A. －2 B. 2 C. D.
2 2
答案及解析：C
【分析】
由向量平行的坐标公式，即可求得.

【详解】 a / /b， a ( 2,3)，b (3,m)，
9 2m 9 0，解得m ，
2
故选：C.

3.已知向量 a (1, 2) ，b (3, 3) ， c (1,t) ，若向量 a与向量b c共线，则实数 t
（ ）
A. 5 B. －5 C. 1 D. －1
答案及解析：B
【分析】

根据向量的加法运算，求得b c的坐标，由向量共线的坐标公式，即可容易求得结果.
【详解】因为b c 4, t 3 ，又 a与向量b c共线
故可得 t 3 8，解得 t 5 .
故选：B.

4. 已知向量 a (m,1), b (3,m 2) ，则m 3是 a / /b的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
答案及解析：A
【分析】

向量 a (m,1)，b (3,m 2) ，a / /b，则3 m（m 2），即m2 2m 3 0 ，m 3或
者-1，判断出即可．

【详解】解：向量 a (m,1)，b (3,m 2) ，

a / /b，则3 m（m 2），即m2 2m 3 0 ，
m 3或者-1，
所以m 3是m 3或者m 1的充分不必要条件，
故选：A．

5.已知 a (x,3) ，b (3,1)，且 a / /b，则 x （ ）
A. 9 B. －9 C. 1 D. －1
答案及解析：A
【分析】
利用向量共线定理，得到9 x 0，即可求解，得到答案．

【详解】由题意，向量 a (x,3) ，b (3,1)，因为向量 a / /b，所以9 x 0，解得 x 9 .
故选 A．

6.已知 a 1,0 ，b 2,1 ，向量 ka b与 a 3b平行，则实数 k的值为（ ）
11 11 1 1
A. B. C. D.
7 7 3 3
答案及解析：C
【分析】
利用向量共线的坐标形式可求实数 k的值.

【详解】 ka b k 1,0 2,1 k 2, 1 ，即 k 2, 1 7,3 ，
k 1
k 2 7
,
3
∴ .
1 3 1
3
故选：C.

7.与向量 a (3, 4) 平行的单位向量是（ ）
A. (0,1) B. (1,0)
3 , 4 C. D. (－3,－4)
5 5
答案及解析：C
【分析】
a
由 a0 计算即可得出答案.
a


a
【详解】与向量 a平行的一个单位向量 a0 ，a

a 32 42 5 ，

a a 3 4 所以 0 ,a 5 5
.

故选：C

8.已知 a 5, 2 ，b 4, 3 ， c x, y ，若 a 2b 3c 0 ，则 c等于（ ）
13 , 4 8 A. B. 1,
3 3 3
13 , 8 14 , 4 C. 3 3
D.
3 3
答案及解析：A
【分析】
根据向量的坐标运算法则,依据题意列出等式求解.

【详解】由题知: a 5, 2 ,b 4, 3 , c x, y ,

因为 a 2b 3c 0 ,
x 13
5 8 3x 0 3
所以 ,
2 6 3y 0 y 4
3
13 4
故 c ， 3 3
,

故选:A.
9.（多选题）以 A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点 D的坐标
是（ ）
A. (2,3) B. (2,－1)
C. (4,1) D. (－2,－1)
答案及解析：ACD
【分析】
设D x, y 再根据向量相等分类讨论可得；
x 3 1 x 4【详解】解：设D x, y ，若 AB CD，则 1,

1 x 3, y 2 ，即 解得 ，
y 2 1

y 1
即D 4,1 ；
x 3 1 x 2
若 AB DC，则 1, 1 3 x, 2 y ，即 解得 ，即D 2,3 ；
y 2 1

y 3
x 2 x 2若 AD CB，则 2, 2 x, y

1 ，即 解得 ，即D 2, 1 ；
y 1 2

y 1
故选：ACD
二、填空题

10.已知向量 a （1，1）， b m， 2 ，且 a∥ a 2b ，则 m的值等于__________.
答案及解析：－2
【分析】

计算 a 2b，由向量共线的坐标运算可者m．

【详解】由题意 a 2b (1 2m, 3) ，因为 a∥ a 2b ，所以1 2m 3，解得m 2．
故答案为： 2 ．

11.已知向量 a =(1，1)，b =( 1，2)，若 (a b)//(3a tb) ，则实数 t =_________.
答案及解析：－3
【分析】

先根据向量的坐标运算法则，计算出 a b和3a tb，然后根据向量平行的坐标公式列式计
算出 t .

【详解】 a =(1，1)，b =( 1，2)，

a b (2, 1) ，3a tb (3 t,3 2t) ，

又 (a b)//(3a tb) ，
2 (3 2t) 1 (3 t) t 3 .
故答案为： 3 .

12.已知OA 1, 3 ，OB 2, 1 ，OC k 1, k 2 ，若 A、B、C三点在同一直线
上，则 k =______.
答案及解析：1
【分析】
利用向量共线的性质列方程即可得出．

【详解】 AB OB OA (1,2) ，

AC OC OA (k ,k 1) ．
A、 B、C三点共线，
2k (k 1) 0 ，解得 k 1．
故答案为：1．

13. 设向量 a (1，2)，b (2 3) ， ，若向量 a b与向量 c ( 4， 7)共线，则
。
答案及解析：2
【分析】

由题意首先求得向量 a b ，然后结合向量平行的充分必要条件可得 的值.

【详解】 a b = ( , 2 ） (2,3) ( 2, 2 3），
由向量共线的充分必要条件有： ( 2) 7 (2 3) 4 2 .
故答案为 2．

14.已知三点 P、P1、P2在一条直线上，点 P1(0, 6) ，P2 (4,0) ，且 P1P2 2PP1 ，则点 P
的坐标为______.
答案及解析： (2, 3)；
【分析】
先设点 P(x, y) ，再结合向量相等的坐标表示求解即可.
【详解】解：设点 P(x, y) ，
由 P1(0, 6)， P2 (4,0) ，

则 P1P2 (4,6)， PP1 ( x, 6 y)，

又 P1P2 2PP1 ，
4 2 ( x) x 2
则 ，解得 ，
6 2 ( 6 y)

y 3
即 P(2, 3) ，
故答案为： (2, 3) .
三、解答题

15.已知向量 a 1,2 ，向量 b 3, 2 .

（1 ）求向量 a 2b的坐标；

（2）当 k 为何值时，向量 ka b与向量 a 2b共线.
1
答案及解析：（1） 7, 2 （2） k
2

试题分析：（1 ）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出 ka b的坐标，根据向量共线与坐
标的关系列方程解出 k;
试题解析：
a

（1） 2b 1,2 2 3,2 7, 2

（2） ka b k 1,2 3,2 k 3,2k 2 ，
a

2b 1,2 2 3,2 7, 2

∵ ka b与 a 2b共线，
∴7 2k 2 2 k 3
1
∴ k
2

16.已知向量 a (1,3)
1
，b ( 2,1) .向量m a 2b ，n a b .2

（1）求 a ；

（2）求向量m，n的坐标；
（3）判断向量m n 与 是否平行，并说明理由.

答案及解析：（1） a 10 ；（2）m (5,1) n 5 1， ,

；（3）向量m与 n平行；
2 2

【详解】（1）由 a (1,3)，得 a 12 32 10 ；

（2） m a 2b (1,3) 2( 2,1) (5,1) ，

n 1 a b 1 (1,3) ( 2,1) 5 1 ,

2 2
；
2 2

（3）m (5,1)
5 1
2

2n ，
2 2

所以向量m与 n平行.

17.已知向量 a 1,2 ，向量 b 3, 2 .

（1）求向量 a 2b的坐标；

（2）当 k 为何值时，向量 ka b与向量 a 2b共线.
1
答案及解析（1） 7, 2 （2） k
2

试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出 ka b的坐标，根据向量共线与坐
标的关系列方程解出 k;
试题解析：

（1） a 2b 1,2 2 3,2 7, 2

（2） ka b k 1,2 3,2 k 3,2k 2 ，

a 2b 1,2 2 3,2 7, 2
ka b a

∵ 与 2b共线，
∴7 2k 2 2 k 3
k 1∴
2

18.已知OA 1,1 ,OB 3, 1 ,OC a,b .
（1）若 A，B，C三点共线，求 a，b的关系；

（2）若 AC 2AB ,求点 C的坐标.
答案及解析（1）a+b=2；（2）(5,-3).
【分析】

（1）求出 AB和 AC的坐标，然后根据两向量共线的等价条件可得所求关系式．（2）求出

AC, AB的坐标，根据 AC 2AB得到关于 a,b的方程组，解方程组可得所求点的坐标．

【详解】由题意知， AB OB OA 2, 2 ， AC OC OA a 1,b 1 ．
（1）∵ A,B,C三点共线，

∴ AB∥ AC，∴ 2 b 1 2 a 1 0 ，
∴ a b 2．

(2)∵ AC 2AB，
∴ a 1,b 1 2 2, 2 4, 4 ，
a 1 4 a 5
∴ ，解得 ，
b 1 4

b 3
∴点C的坐标为 5, 3 ．
B 组 能力提升
一、选择题

1.已知平面直角坐标系内的两个向量 a (1, 2),b (m,3m 2) ,且平面内的任一向量 c都可

以唯一表示成 c a b ( , 为实数),则实数 m的取值范围是( )
A. (－∞,2) B. (2,+∞)
C. (－∞, +∞) D. (－∞,2)∪(2,+∞)
答案及解析：D
【分析】

根据平面向量基本定理只需 a,b不共线即可.
r r r
【详解】由题意得,平面内的任一向量 c都可以唯一表示成 c a b ( , 为实数),

则 a,b一定不共线,所以1 (3m 2) 2 m ,解得m 2 ,
所以 m的取值范围是 ( , 2) (2, ) .
故选：D.
2.在△ABC中，D是线段 AB上靠近 B的三等分点，E是线段 AC的中点，BE与 CD交于 F

点若 AF aAB bAC，则 a、b的值分别为（ ）
1 , 1 1 1 1 1 1 1A. B. , C. , D. ,
2 4 4 2 3 5 2 3
答案及解析：A
【分析】
取 AD的中点为G，连接GE，可证 F 是 BE 的中点，
从而根据平面向量的线性运算计算可得.
【详解】解：取 AD的中点为G，
连接GE，由已知得GE//CD，
所以DF //EG，又因为D是GB的中点，
1 1 AF AB AE AB 1 1 1 所以 F 是 BE 的中点，所以 2 2 AC2 AB AC 2 4
a 1 b 1所以 ，
2 4
故选： A
2 1
3.已知向量m (a, -1), n (2 b -1,3)(a 0, b 0)，若m / / n则 的最小值为a b
A. 12 B. 10 2 3
C. 15 D. 8 4 3
答案及解析：D
【分析】

因为m || n，所以 3a+2b=1,再利用基本不等式求最小值.

【详解】因为m || n，
所以 3a+2b=1,
2 1 = 2 1 4b 3a所以 （ ）(3a+2b)=8+ 8 2 12 8 4 3 .
a b a b a b
当且仅当 a 3 3 ,b 3 1 时取到最小值.
6 4

4.已知向量 a (2, tan ) ，b (1, 1) .且 a / /b ，则 tan （ ）
4
1
A. 2 B.－3 C. 3 D.
3
答案及解析：B
【分析】

通过 a / /b 得到 tan 2，再利用和差公式得到答案.
r
【详解】向量 a (2, tan ) ，b (1, 1) .且 a / /b tan 2
tan tan
tan 4 3
4 1 tan tan
4
故答案为 B
1
5.向量a , tana
,b (cosa,1)
3
，且 a / /b，则 cos 2
( )

1
A. 2 B.
3 3
1
C. D. 2 2
3 3
答案及解析：C
【分析】

先根据 a / /b求出 sin 的值，再利用诱导公式化简 cos 即得解.
2

【详解】因为 a / /b，
1
所以 tan cos 1 sin 0, cos 0，
3 3 cos
所以 sin = 1 .
3
cos = 1所以 sin .
2 3
故选：C

6.对任意平面向量 AB (x, y)，把 AB绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量

AP (x cos y sin , x sin y cos ) ，叫做把点 B绕点 A逆时针方向旋转 角得到点

P.若平面内点 A，B的坐标分别为 A( 3,0) ，B(0,1)，把点 B绕点 A顺时针方向旋转 后
3
得到点 P，则点 P的坐标为（ ）
A. ( 3,1) B. (0,－2) C. ( 3,2) D.
(2 3,0)
答案及解析：C
【分析】

先求出 AP (0, 2)，再求点 P 的坐标得解.

【详解】因为 A( 3,0) ， B(0,1)，所以 AB ( 3,1)，

因为 ，
3

所以 AP (0, 2)，
所以点 P的坐标为 ( 3, 2) .
故选：C

7.（多选题）已知向量OA 1, 3 ，OB 2,1 ，OC t 3,t 8 ，若点 A，B，C
能构成三角形，则实数 t可以为（ ）
1
A.－2 B. C. 1 D. －1
2
答案及解析：ABD
【分析】

若点 A，B，C能构成三角形，故 A，B，C三点不共线，即向量 AB,BC不共线，计算两个
向量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解

【详解】若点 A，B，C能构成三角形，故 A，B，C三点不共线，则向量 AB,BC不共线，

由于向量OA 1, 3 ，OB 2,1 ，OC t 3,t 8 ，

故 AB OB OA ( 3,4)， BC OC OB (t 5, t 9)
若 A，B，C三点不共线，则 3(t 9) 4(t 5) 0 t 1
故选：ABD
二、填空题

8.已知向量 a,b是平面内的一组基底，若m xa yb，则称有序实数对 (x, y) 为向量m在

基底 a,b下的坐标.给定一个平面向量 p，已知 p在基底 a,b下的坐标为(1,2)，那么 p在基

底 a b， a b下的坐标为______.
1 3
答案及解析： ,
2 2
【分析】

由题可知 p a 2b，若将 a b，a b作为基底，则设 p m(a b) n(a b) ，然后展
m n 1
开化简得， p (m n)a (n m)b，从而得 ，解出m,n的值就得到所求的坐
n m 2
标

【详解】解：由 p在基底 a,b下的坐标为 (1, 2)，得 p a 2b，

设 p在基底 a b，a b下的坐标为 (m,n)，则 p m(a b) n(a b)

所以 p (m n)a (n m)b
m n 1
所以
n m 2

m
1

2
解得 ，
n 3
2
1 3
所以 p在基底 a b， a b下的坐标为 ,2 2
，

1 3
故答案为： ,2 2

9.已知 a

(3 ，1) ，b (sin ， cos )
4sin 2cos
，且 a∥b ，则 ＝ ．5cos 3sin
5
答案及解析：
7

【详解】因为 a (3 ，1) ，b (sin ， cos )由a∥b 知，
属于 ，
4sin 2cos 12cos 2cos 10 5
．
5cos 3sin 5cos 9cos 14 7

10.设OA (1, 2) ，OB (a, 1) ，OC ( b,0) ，a 0，b 0，O为坐标原点，若 A、
1 1
B、C三点共线，则 的最小值是_______．
a b
答案及解析：3 2 2
【分析】
根据 A,B,C三点共线求得 a,b的的关系式，利用基本不等式求得所求表达式的最小值.

【详解】依题意 AB a 1,1 ,AC b 1,2 ，由于 A,B,C三点共线，所以
a 1 2 b 1 1，化简得 2a b 1，故
1 1 1 1 b 2a
2a b 3 a b 3 2
b 2a
3 2 2 ，当且仅当
a b a b a b
b 2a
2，即 a 1 ,b 2 1时，取得最小值a b 3 2 22

11.已知 a ( 1,1)，b (2, 1) ， c (1, 2) ，若 a b c，则 __________．
答案及解析：-3
a

b c 由 可知
1，1 2， 1 1，2 2 ， 2
2 1
3 1 ，解得 ，
2 1 5 5

3

三、解答题

12.已知向量 a (sin ,1) ，b (cos , 3)，且 a//b，其中 0,
2
（1）求 的值；
π
（2）若 sin( ) 3 ，0 ，求 cos 的值.
5 2
π 4 3 3
答案及解析：（1） （2）
6 10
【分析】
（1）根据向量平行坐标表示列方程，再根据同角三角函数关系以及特殊角三角函数值求结
果；

（2）根据同角三角函数平方关系以及角的范围得 cos
π
，再利用两角和余弦公式得
6
结果.

【详解】（1）∵ a (sin ,1) ，b (cos , 3)，且 a//b
∴ 3 sin cos 0 ，即 tan 3 ，
3
π π∵ 0, ，∴ ，
2 6
π π
（2）∵0 ， ，
2 6
π π π∴ .
6 6 3
sin π 3∵ ，
6 5
cos π 1 sin2 π 4∴ .
6 6 5

cos π π π π π π cos 6 6
cos cos sin sin
6 6 6 6
3 4 1 3 4 3 3

2 5 2 5 10
C 组 挑战压轴题
一、选择题

1. x 已知关于 的方程ax2 bx c 0，其中 a,b ,c

都是非零向量，且 a ,b 不共线，则该方程
的解的情况是（ ）
A. 至少有一个解 B. 至多有一个解
C. 至多有两个解 D. 可能有无数个解
答案及解析：B
【分析】

根据平面向量基本定理可知 c a b , R ，从而将方程整理为

2 x
2 0
x a x b 0，由 a,b 不共线可得 ，从而可知方程组至多有一个解，
x 0
从而得到结果.

【详解】由平面向量基本定理可得： c a b , R

则方程 a x2 bx c 0可变为： ax2 bx a

b 0
x2 a

即： x b 0
a
x2 0
,b不共线
x 0
可知方程组可能无解，也可能有一个解
a

x2

方程 bx c 0至多有一个解
本题正确选项： B
二、填空题
2.如图，在平面四边形 ABCD中， CBA CAD 90 ， ACD 30 ， AB BC，点

E在线段 BC上，且 BC 3BE，若 AC AD AE( , R)，则 的值为_______.
答案及解析： 3
【分析】

根据题意要求 的值，则要求出 AC AD AE中 , 的值，故考虑以点 B为原点，

建立直角坐标系，然后按照两向量相等，则对应坐标相等，进而可求解.
【详解】解:如图建立直角坐标系：
设 AB BC t，
则 A t,0 ，C 0, t ，
t
点 E在线段 BC上，且 BC 3BE，所以 E(0, ) ，3
因为在 Rt ADC中， AC 2t， ACD 30 ，
所以 AD 6 t，
3
由题知 Rt ABC，是等腰三角形.
所以 DAF 45 ，
所以DF AF 3 t，
3
3 3 D 1 t, t ，
3 3
3 3 t
AC t ,t AD ， t , t ， AE t, ，
3 3 3



若 AC AD AE( , R)，

则 (t, t)
3
t, 3 t t, t 3 3
，
3
3
1 3 3 3
，解得 ，2
，
3 2
1


3 3

所以 3 .

故答案为： 3 .
1
3.如图，在等腰梯形 ABCD中， AB / /CD， AD DC CB AB，F是 BC的中点，
2
点 P在以 A为圆心，AD为半径的圆弧 DE上变动，E为圆弧 DE与 AB的交点，若

AP ED AF ，其中 ， R，则 2 的取值范围是______.
答案及解析：[0，2]
【分析】
建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，根据向量相等列方程组求出 、 ，利用辅助角
公式化简，再利用正弦函数性质可求得结论．
【详解】建立平面直角坐标系如图所示，
则 A(0,0) E(1,0) D(1 3， ， ， ) ，
2 2
B(2,0) 3 3 7 3，C( ， ) ， F ( ， ) ；
2 2 4 4
设 P(cos ， sin )(0 60 ) ，

由 AP ED AF ，
(cos ， sin )
1
( 3， )
2 2
(7 3， ) ，
4 4
cos 1 7 ①，
2 4
sin 3 3 ②，
2 4
1 7 3
由①②解得 cos sin ，
4 12
1 cos 3 sin ，
2 6
2 2( 1 cos 7 3 sin ) ( 1 cos 3 sin ) 4 3 sin ，
4 12 2 6 3
[0 3， 60 ]时， sin [0 ， ]，
2
4 3 sin [0， 2]．
3
故答案为： [0 ， 2]．
三、解答题
1 OC= OA OD 1

4.如图所示，在△ABO中， ， OB，AD与 BC相交于点 M．设 ，
3 2 OA a

OB b．

（1）试用向量 a，b表示OM ；

（2）在线段 AC上取点 E，在线段 BD上取点 F，使 EF过点 M．设OE OA，OF OB，
1 2
其中 , R 1．当 EF与 AD重合时， 1， ，此时 + 5；当 EF与 BC重合
2
1 1 2
时， ， 1，此时 5；能否由此得出一般结论：不论 E，F在线段 AC，BD
3
1 2
上如何变动，等式 5恒成立，请说明理由．

1 2
答案及解析：（1）OM a b；（2）能得出结论，理由详见解析.
5 5
【分析】
OM 1 a

（ 1 ） 设 AM MD ， CM MB ， 可 得 b 1 2 1 ，

OM 1 a

b 1 2
3 m n 1 1 ，联立可解得 ， ；5 5

OM OE OF

（2）设 EM MF ，可得 ，又OE OA，OF OB，故1

OM 1 2

a b a ，即 b a
b ，即得解
1 1 5 5 1 1

【详解】（1）设OM ma nb m R,n R ，由 A，D，B三点共线，

可知存在 （ R ，且 a 1）使得 AM MD，

则OM OA OD OM ，又OD 1 OB，
2
1
所以OM a b 1 2 1 ，
m 1
1
∴ ，即m 2n 1①，
n
2 1
由 B，C，M三点共线，

可知存在 （ R ，且 1）使得CM MB，
则OM OC OB OM 1，又OC OA，3

OM 1 a

所以 b3 1 1 ，
m 1 4 1
∴ 即3m n 1②
n
1
1 2
由①②得m ，n ，故OM 1 a 2 b ．
5 5 5 5
（2）能得出结论．
理由：由于 E，M，F三点共线，

则存在实数 （ R ，且 1），使得 EM MF ，

OM OE OF于是 ，
1

又OE OA，OF OB，

OM OA OB a

所以 b，
1 1 1
1 2
所以 a b

a b ，
5 5 1 1
1
5 1 1 2
从而 ，所以消去 得 5．
2
5 1

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