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第一章 三角函数
§1　周期变化
最新课标 了解周期性的概念和几何意义．
[教材要点]
要点　周期函数
1．一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足________，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．
2．如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个________数，那么这个________数就称作函数y＝f(x)的最小正周期．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)周期函数的周期有无数个．(　　)
(2)若函数f(x)＝x2满足f(－3＋6)＝f(－3)，则它是以6为周期的函数．(　　)
(3)钟表的分针每小时转一圈，它的变化是周期变化．(　　)
(4)函数f(x)＝(－1)[x]不是周期函数．(　　)
2．下列现象是周期现象的是(　　)
①日出日落　②潮汐　③海啸　④地震
A．①② B．①②③
C．①②④ D．③④
3．如果今天是星期六，那么16天后的那一天是(　　)
A．星期一 B．星期三
C．星期四 D．星期五
4．已知函数f(x)是周期为5的奇函数，则f(2 020)＝________．
题型一　周期性的判断——自主完成
1．下列函数图象中，不具有周期性的是(　　)
2．下列图象中，是不是周期变化，如果是，写出它的周期，如果不是，请说明理由．
(1)
(2)
(3)
(4)
方法归纳
一些变化是不是周期变化，其判断的依据是周期变化的特征，即每次都以相同的间隔出现，而且变化是无差别的重复出现．
题型二　利用周期性求函数值——师生共研
例1　已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于(　　)
A．－2 B．2
C．－98 D．98
变式探究1　本例中的条件“f(x＋4)＝f(x)”改为“f(x＋2)＝－f(x)”，其它条件不变，结果如何呢？
变式探究2　本例中的条件“f(x＋4)＝f(x)”改为“f(x＋2)＝”，其它条件不变，结果如何呢？
变式探究3　本例中的条件“f(x＋4)＝f(x)”改为“f(x＋2)＝－”，其它条件不变，结果如何呢？
方法归纳
判断函数周期性的三个常用结论
(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2a是它的一个周期．
(2)f(x＋a)＝(a≠0)，则函数f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
(3)f(x＋a)＝－(a≠0)，则函数f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
题型三　利用函数的周期性求函数解析式——师生共研
例2　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；
(2)若f(x)＝(0方法归纳
(1)遇到周期问题，要学会区间转移，将未知区间中的x加减整周期，转化到已知区间，再将含x式子代入已知函数．
(2)遇到周期性＋奇偶性综合问题，可根据条件，求出一个周期上的函数关系．
跟踪训练　函数f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝3x－1，求f(x)在[4，5]上的解析式．
课时作业1　周期变化
[练基础]
1．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1)上的图象，则f(2 020)＋f(2 021)＝(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
2．f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝(　　)
A．－5 B．－
C． D．5
3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3，f(x)＝x，则f(5.5)＝(　　)
A．5.5 B．－5.5
C．－2.5 D．2.5
4．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集为(　　)
A．(1，3) B．(－1，1)
C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)
5．设f(x)是定义在R上的以5为周期的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________．
6．如图是一单摆，摆球从点B到点O，再到点C用时1.6 s(不计阻力).若从摆球在点B处开始计时，经过1 min后，请估计摆球相对于点O的位置．
[提能力]
7．[多选题]给出定义：若m－A．y＝f(x)的定义域是R，值域是
B．点(k，0)是y＝f(x)的图象的对称中心，k∈Z
C．函数y＝f(x)的周期为1
D．函数y＝f(x)在上是增函数
8．设f(x)是定义在R上周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝a∈R，若f＝f，则f(5a)的值是________．
9．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式．
[战疑难]
10．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f(x＋T)＝T·f(x)，则称函数y＝f(x)是“似周期函数”，非零常数T为函数y＝f(x)的“似周期”．现有下面三个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”y＝f(x)的“似周期”为－1，那么它是周期为2的周期函数；
②函数f(x)＝x是“似周期函数”；
③函数f(x)＝2－x是“似周期函数”；
其中是真命题的有________(填满足条件的序号).
第一章　三角函数
§1　周期变化
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
1．f(x＋T)＝f(x)　2.最小的正　最小正
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：显然日出日落和潮汐是周期现象．故选A.
答案：A
3．解析：因为16＝7×2＋2，而今天是星期六，所以16天后的那一天是星期一．
答案：A
4．解析：由题意知f(2 020)＝f(5×404)＝f(0)＝0.
答案：0
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：C中，x∈[－2，2]之间的图象在前后都没有重复出现．
答案：C
2．解析：(1)是周期变化，周期为π.
(2)是周期变化，周期为π.
(3)不是周期变化，因为每段的端点不一致，不是重复出现．
(4)是周期变化，周期为1.
题型二
例1　解析：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数，
∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)．
又∵f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(－1)＝－f(1)
而当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，∴f(1)＝2×12＝2，
∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A.
答案：A
变式探究1　解析：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的函数．
(下同例1)．
变式探究2　解析：∵f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝＝＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的函数．
(下同例1)．
变式探究3　解析：∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝－＝－＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的函数．
(下同例1)．
题型三
例2　解析：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)，
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x).
故f(x＋2)＝－f(x)，
从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即f(x)是周期为4的周期函数．
(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数有f(0)＝0，x∈[－1，0)时，－x∈(0，1]，f(x)＝－f(－x)＝－，
故x∈[－1，0]时，f(x)＝－，
x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1，0)
f(x)＝f(x＋4)＝－
从而x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－.
跟踪训练　解析：当x∈[4，5]时，则x－4∈[0，1]，∴f(x－4)＝3x－4－1，又函数f(x)的周期为2，∴f(x－4)＝f(x)＝3x－4－1，故f(x)＝3x－4－1，x∈[4，5].

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