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第八章 成对数据的统计分析
8.2 一元线性回归模型及其应用
学案
一、学习目标
1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义.
2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件.
3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.
二、基础梳理
1.一元线性回归模型：将称为Y关于x的一元线性回归模型. 其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与之间的随机误差.
2.经验回归方程：将称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计.
3.误差分析：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.
4.用比较模型的拟合效果：用来比较两个模型的拟合效果，的计算公式为. 越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.
三、巩固练习
1.某大型汽车销售店销售某品牌A型汽车，已知该型汽车的价格与月销售量之间有如下关系：
价格x/（万元/辆） 25 23.5 22 20.5
月销售量y/辆 30 33 36 39
若A型汽车的月销售量y与价格x之间的关系满足线性回归方程，则A型汽车价格降到19万元/辆时，月销售量大约是( )
A.39辆 B.42辆 C.45辆 D.50辆
2.已知x，y之间的一组数据如下表：
x 2 3 4 5 6
y 3 4 6 8 9
对于表中数据，根据最小二乘法的思想得拟合程度最好的直线是( )
A. B. C. D.
3.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得经验回归直线方程，表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为( )
零件数x 10 20 30 40 50
加工时间y（min） 62 75 81 89
A.75 B.62 C.68 D.81
4.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如下表：
记忆力x 6 8 10 12
判断力y 2 3 5 6
根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程中的值为0.7，则记忆力为14的学生的判断力约为( )
A.7 B.7.5 C.8 D.8.5
5.某种产品的广告费支出x（万元）与销售额y（万元）之间有如表所示的线性相关关系，y与x的经验回归方程为，当广告支出5万元时，残差为( )
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
A.10 B.20 C.30 D.40
6.有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是( )
A.残差平方和变小
B.相关系数r变小
C.决定系数变小
D.解释变量x与响应变量y的线性相关程度变弱
7.某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：
年号x 1 2 3 4 5
年生产利润y （单位：千万元） 0.7 0.8 1 1.1 1.4
预测第8年该国企的生产利润为( )
参考公式及数据：，，，.
A.1.88千万元 B.2.2l千万元 C.1.85千万元 D.2.34千万元
8.经市场调查，某款热销品的销售量y（万件）与广告费用x（万元）之间满足回归直线方程.若样本点中心为，则当销售量为52.5万件时，可估计投入的广告费用为_________________万元.
9.某市农科所对冬季昼夜温差x（单位：℃）与某新品种大豆发芽数y（单位：粒）之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月4日内每天的昼夜温差与实验室每天每100粒种子中的发芽数，得到如下数据：
12月1日 12月2日 12月3日 12月4日
温差x/℃ 11 13 12 8
发芽数y/粒 26 32 26 17
根据表中12月1日至12月3日的数据，求得y关于x的回归直线方程中的，则_________.若用12月4日的数据对求得的回归直线方程进行检验，用求得的回归直线方程计算发芽数，若与实际发芽数y的差的绝对值不超过2，则认为得到的回归直线方程是可靠的，否则，是不可靠的.则以上求得的回归直线方程是___________（填“可靠”或“不可靠”）的.
10.某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据，如下表所示.（残差=观测值-预测值）
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 m
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为.据此计算出在样本处的残差为-0.15，则表中m的值为__________.
11.某知名中学高三年级甲班班主任近期对班上每位同学的成绩作相关分析时，得到某同学的某些成绩数据如下：
第一次考试 第二次考试 第三次考试 第四次考试
数学总分 118 119 121 122
总分年级排名 133 127 121 119
（1）求总分年级排名关于数学总分的经验回归方程.（必要时用分数表示）
（2）若该同学想在下次测试时考入年级前100名，预测该同学下次测试的数学成绩至少应考多少分？（取整数）
附：经验回归方程中，，.
12.某电视厂家准备在“五一”举行促销活动，现在根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出.广告费支出x（单位：万元）和销售量y（单位：万台）的数据如下：
年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
广告费支出x 1 2 4 6 11 13 19
销售量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4
（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的经验回归方程.
（2）若用模型拟合y与x的关系，可得经验回归方程，经计算线性回归模型和该模型的分别约为0.75和0.88，请用说明选择哪个回归模型更好.
（3）已知利润z（单位：万元）与x，y的关系为.根据（2）的结果回答：当广告费时，销售量及利润的预测值是多少？（精确到0.01）
参考数据：，.
参考公式：经验回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由表中数据可求得，，代入线性回归方程，得，所以.将代入线性回归方程，得，即月销售量大约为42辆.故选B.
2.答案：C
解析：由表格中数据可知，，，，通过计算可知经验回归方程为，故选C.
3.答案：C
解析：设表中模糊看不清的数据为m，由表中数据得，，将，代入经验回归方程，得.故选C.
4.答案：B
解析：因为，，代入中，得，所以经验回归方程为，把代入，得.故选B.
5.答案：A
解析：因为y与x的经验回归方程为，所以当时，.
由表格知当广告支出5万元时，销售额为60万元，所以残差为.故选A.
6.答案：A
解析：从散点图分析可知，只有D点偏离直线，去掉D点，解释变量x与响应变量y的线性相关程度变强，相关系数r变大，决定系数变大，残差平方和变小，故选A.
7.答案：C
解析：由题可得，，所以，，所以年生产利润关于年号的经验回归方程为，当时，，故选C.
8.答案：70
解析：依题意，将代入回归直线方程，得，解得，所以回归直线方程为.令，得.
9.答案：3；可靠
解析：由题意得，，因为回归直线一定过点，所以，所以，因为，所以12月4日的发芽数的估计值为，又，所以求得的回归直线方程可靠.
10.答案：4.5
解析：由在样本处的残差为，可得，则，解得.
由题表可知，产量x的平均数为，由经验回归方程为过点，可得，则，
解得.
11.解析：（1）因为，
，所以，
所以，所以.
（2）因为，所以，解得.
因为数学成绩要取整，所以该同学下次测试的数学成绩至少应考128分，才能考入年级前100名.
12.解析：（1）由题意得，，，，
，
，
关于x的经验回归方程为.
（2）因为越接近于1，模型的拟合效果越好，所以选用回归模型更好.
（3）当广告费时，销售量y的预测值（万台），
故利润z的预测值（万元）.

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