资源简介

三角恒等变换
【第1课时】
【学习目标】
经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义．
【学习重难点】
两角差的余弦公式．
【学习过程】
一、自主学习
知识点：两角差的余弦公式
名称 简单符号 公式 使用条件
两角差 的余弦 C（α－β） cos（α－β）＝ cos_αcos_β＋sin_αsin_β α，β为任意角
公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式．
教材解难：
（1）注意事项：不要误记为cos（α－β）＝cosα－cosβ或cos（α－β）＝cosαcosβ－sinαsinβ；同时还要注意公式的适用条件是α，β为任意角．
（2）该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法．公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如构造角β＝（α＋β）－α，β＝－等．
基础自测：
1．cos（45°－60°）等于（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：cos（45°－60°）＝cos45°cos60°＋sin45°sin60°＝×＋×＝．
答案：D
2．cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°等于（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：原式＝cos（45°－15°）＝cos30°＝．
答案：B
3．cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是（ ）
A．0
B．
C．
D．－
解析：原式＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°
＝cos（75°－15°）
＝cos60°＝．故选B．
答案：B
4．已知cosα＝，α∈，则cos＝________．
解析：因为cosα＝，α∈，
所以sinα＝＝＝．
所以cos＝cosαcos＋sinα
sin＝×＋×＝．
答案：
二、素养提升
题型一：运用公式化简求值
例1：化简求值：
（1）cos63°sin57°＋sin117°sin33°；
（2）cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ．
解析：（1）原式＝cos63°cos33°＋sin63°sin33°＝cos（63°－33°）＝cos30°＝．
（2）原式＝cos[（α＋β）－β]＝cosα．
（1）由117°＝180°－63°，57°＝90°－33°，利用诱导公式化成同角．
（2）利用公式求值．
方法归纳：
两角差的余弦公式常见题型及解法
（1）两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．
（2）含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．
（3）求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．
跟踪训练1：求值：
（1）cos15°＝________；
（2）cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝________．
解析：（1）cos15°＝cos（45°－30°）＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝．
（2）原式＝cos（75°－15°）＝cos60°＝．
答案：（1）；（2）
（1）15°＝45°－30°．
（2）利用公式求值．
题型二：给值求值问题
例2：已知sinα＝，α∈，cosβ＝－，β是第三象限角，求cos（α－β）的值．
解析：由sinα＝，α∈，得
cosα＝－
＝－＝－．
又由cosβ＝－，β是第三象限角，得
sinβ＝－
＝－＝－．
所以cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－×＋×＝－．
由sinα求cosα，由cosβ求sinβ再利用cos（α－β）公式求值．
教材反思
给值求值的解题策略
（1）利用两角差的余弦公式进行条件求值时，关键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式．
（2）常用的变角技巧有α＝（α＋β）－β，β＝（α＋β）－α，α＋β＝（2α＋β）－α，α＋β＝（α＋2β）－β，α＋β＝－等．
跟踪训练2：已知α，β∈，且sinα＝，cos（α＋β）＝－，求cosβ的值．
解析：因为α，β∈，
所以0<α＋β<π，
由cos（α＋β）＝－，
得sin（α＋β）＝，
又sinα＝，所以cosα＝，
所以cosβ＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα＝×＋×＝．
β看成是β＝（α＋β）－α，从已知条件中求出（α＋β）与α的正、余弦的值，然后运用差角的余弦公式．
题型三：由三角函数值求角
例3：已知cosα＝，cos（α＋β）＝－，且0<β<α<，求β的值．
解析：因为0<β<α<，
所以0<α＋β<π，
由cosα＝，cos（α＋β）＝－，
得sinα＝，sin（α＋β）＝，
所以cosβ＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα＝－×＋×＝．
所以β＝．
要求β，因为0<β<所以先求cosβ，又cosβ＝cos[（α＋β）－α]再利用公式求值．
方法归纳
（1）要求角需先求这个角的三角函数值，然后根据范围得出角的值．
（2）已知一个角的正弦值（余弦值）求余弦值（正弦值）时，要根据角的范围确定其符号．
跟踪训练3：已知α，β均为锐角，且sinα＝，sinβ＝，则α－β＝________．
解析：因为α，β均为锐角，
所以cosα＝，cosβ＝．
所以cos（α－β）＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ
＝×＋×＝．
又因为sinα>sinβ，所以0<β<α<，
所以0<α－β<，故α－β＝．
答案：
由sinα，sinβ求cosα，cosβ，再利用公式先求cos（α－β）的值，再求α－β的范围，最后求α－β的值．
三、学业达标
（一）选择题
1．cos65°cos35°＋sin65°sin35°等于（ ）
A．cos100°
B．sin100°
C．
D．
解析：cos65°cos35°＋sin65°sin35°＝cos（65°－35°）＝cos30°＝．故选C．
答案：C
2．coscos＋cossin的值是（ ）
A．0
B．
C．
D．
解析：和不是特殊角，但＋＝，所以本题可利用角的互余关系转化函数名，逆用C（α－β）求值．
coscos＋cossin＝coscos＋sinsin＝cos＝cos＝．
答案：C
3．sinα＝，α∈，则cos的值为（ ）
A．－
B．－
C．－
D．－
解析：由条件可得cosα＝－，
∴cos＝cosα＋sinα
＝（cosα＋sinα）＝＝－，
故选B．
答案：B
4．设α，β都是锐角，且cosα＝，sin（α－β）＝，则cosβ等于（ ）
A．
B．－
C．或－
D．或
解析：因为α，β都是锐角，且cosα＝，
sin（α－β）＝，
所以sinα＝＝；
同理可得cos（α－β）＝，
所以cosβ＝cos[α－（α－β）]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）＝×＋×＝，故选A．
答案：A
（二）填空题
5．求值：cos15°cos105°－sin15°sin105°＝________．
解析：原式＝cos（15°＋105°）＝cos120°＝－．
答案：－
6．计算：cos555°＝________．
解析：cos555°＝cos（720°－165°）＝cos165°
＝cos（180°－15°）＝－cos15°＝－cos（45°－30°）
＝－（cos45°cos30°＋sin45°sin30°）
＝－
＝－．
答案：－
7．已知sinα＝，α∈，则cos的值为________．
解析：∵sinα＝，α∈，
∴cosα＝－＝－＝－，
∴cos＝coscosα＋sinsinα
＝×＋×＝．
答案：
（三）解答题
8．计算下列各式的值：
（1）cos56°cos26°＋sin56°sin26°；
（2）coscosθ＋sinsinθ．
解析：（1）cos56°cos26°＋sin56°sin26°
＝cos（56°－26°）＝cos30°＝．
（2）coscosθ＋sinsinθ
＝cos＝cos＝．
9．已知cos＋sinα＝，求cos的值．
解析：因为cos＋sinα＝cosα＋sinα＝，所以cosα＋sinα＝，所以cos＝cosα＋sinα＝．
尖子生题库：
10．已知cosα＝，cos（α－β）＝，且0<β<α<，求β的值．
解析：由cosα＝，0<α<，
得sinα＝＝＝，
由0<β<α<，得0<α－β<．
又因为cos（α－β）＝，
所以sin（α－β）＝＝＝．
由β＝α－（α－β）得
cosβ＝cos[α－（α－β）]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）＝×＋×＝，所以β＝．
【第2课时】
【学习目标】
能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式．
【学习重难点】
两角和与差的正弦、余弦、正切公式．
【学习过程】
一、自主学习
知识点一：两角和的余弦公式
cos（α＋β）＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，简记为C（α＋β），使用的条件为α，β为任意角．
知识点二：两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和 的正弦 S（α＋β） sin（α＋β）＝ sin_αcos_β＋cos_αsin_β α，β∈R
两角差 的正弦 S（α－β） sin（α－β）＝ sin_αcos_β－cos_αsin_β α，β∈R
公式的记忆方法
（1）理顺公式间的联系．
C（α＋β）C（α－β）S（α－β）S（α＋β）
（2）注意公式的结构特征和符号规律．
对于公式C（α－β），C（α＋β），可记为“同名相乘，符号反”．
对于公式S（α－β），S（α＋β），可记为“异名相乘，符号同”．
公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin（α＋β），
sinαcosβ－cosαsinβ＝sin（α－β），
cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos（α－β），
cosαcosβ－sinαsinβ＝cos（α＋β）．
知识点三：两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和 的正切 tan（α＋β）＝ T（α＋β） α，β，α＋β≠ kπ＋（k∈Z）
两角差 的正切 tan（α－β）＝ T（α－β） α，β，α－β≠ kπ＋（k∈Z）
公式T（α±β）的结构特征和符号规律
（1）公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．
（2）
　
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
教材解难：
1．教材P217思考
能．例如把－β代入β由C（α－β）可求出C（α＋β）．
2．教材P219思考
成立．方法一：sin＝sin＝cos或cos＝cos＝sin．
方法二：由于sin＝sincosα－cossinα
＝（cosα－sinα），
cos＝coscosα－sinsinα＝（cosα－sinα），
故sin＝cos．
基础自测：
1．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于（ ）
A．0
B．
C．
D．1
解析：sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin（15°＋75°）＝sin90°＝1．
答案：D
2．设α∈，若sinα＝，则cos＝（ ）
A．
B．
C．－
D．－
解析：易得cosα＝，则cos
＝＝．
答案：B
3．已知tanα＝4，tanβ＝3，则tan（α＋β）＝（ ）
A．
B．－
C．
D．－
解析：tan（α＋β）＝＝＝－．
答案：B
4．已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin（α＋β）＝________．
解析：由sinα＋cosβ＝1与cosα＋sinβ＝0分别平方相加得
sin2α＋2sinαcosβ＋cos2β＋cos2α＋2cosαsinβ＋sin2β＝1，
即2＋2sinαcosβ＋2cosαsinβ＝1，
所以sin（α＋β）＝－．
答案：－
二、素养提升
题型一：给角求值[教材P219例4]
例1：利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）sin72°cos42°－cos72°sin42°；
（2）cos20°cos70°－sin20°sin70°；
（3）．
解析：（1）由公式S（α－β），得
sin72°cos42°－cos72°sin42°
＝sin（72°－42°）＝sin30°＝．
（2）由公式C（α＋β），得
cos20°cos70°－sin20°sin70°
＝cos（20°＋70°）＝cos90°＝0．
（3）由公式T（α＋β）及tan45°＝1，得
＝
＝tan（45°＋15°）＝tan60°＝．
和、差角公式把α±β的三角函数式转化成了α，β的三角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简．
教材反思
解决给角求值问题的方法
（1）对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
（2）一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
跟踪训练1：求值：（1）cos105°；
（2）；
（3）．
解析：（1）cos105°＝cos（60°＋45°）
＝cos60°cos45°－sin60°sin45°
＝×－×＝．
（2）＝
＝
＝＝＝．
（3）＝＝tan45°＝1．
（1）105°＝60°＋45°
（2）找到31°、91°、29°之间的联系利用公式化简求值．
题型二：给值求值
例2：已知<β<α<，cos（α－β）＝，sin（α＋β）＝－，求cos2α与cos2β的值．
解析：因为<β<α<，
所以0<α－β<，π<α＋β<．
所以sin（α－β）＝＝＝，
cos（α＋β）＝－＝－＝－．
所以cos2α＝cos[（α＋β）＋（α－β）]＝cos（α＋β）cos（α－β）－sin（α＋β）sin（α－β）
＝×－×＝－，cos2β＝cos[（α＋β）－（α－β）]
＝cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）＝×＋×＝－．
1．正确判断α－β，α＋β的范围是求解前提．
2．巧妙利用角的变换方法，是求解此类题目常用方法．
方法归纳
给值（式）求值的策略
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
跟踪训练2：本例条件变为：<β<α<，sin（α－β）＝，sin（α＋β）＝－，求sin2β的值．
解析：因为<β<α<，所以0<α－β<，π<α＋β<π．
所以cos（α－β）＝，cos（α＋β）＝－，
sin2β＝sin[（α＋β）－（α－β）]＝sin（α＋β）cos（α－β）－cos（α＋β）sin（α－β）
＝×－×＝0．
（1）由已知求出α－β、α＋β的范围．
（2）2β＝（α＋β）－（α－β）．
（3）利用公式求值．
题型三：给值求角
例3：已知cosα＝，sin（α＋β）＝，0<α<，0<β<，求角β的值．
解析：因为0<α<，cosα＝，所以sinα＝．
又因为0<β<，所以0<α＋β<π．
因为sin（α＋β）＝所以sinβ＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα
＝×－×＝．
又因为0<β<，所以β＝．
（1）已知α的范围及cosα，求sinα．
（2）求α＋β的范围及sin（α＋β），求cos（α＋β）．
（3）利用sinβ＝sin[（α＋β）－α]，求值．
方法归纳
解决给值（式）求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是（0，π）或（π，2π）时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值．
跟踪训练3　已知tan（α－β）＝，tanβ＝－，α，β∈（0，π），求2α－β的值．
解析：tanα＝tan[（α－β）＋β]
＝
＝＝．
又因为α∈（0，π），而tanα>0，所以α∈．
tan（2α－β）＝tan[α＋（α－β）]＝＝＝1．
因为tanβ＝－，β∈（0，π），所以β∈，
所以α－β∈（－π，0）．
由tan（α－β）＝>0，得α－β∈，
所以2α－β∈（－π，0）．
又tan（2α－β）＝1，
所以2α－β＝－．
（1）先求tanα＝tan[（α－β）＋β]
（2）再求tan（2α－β）＝tan[α＋（α－β）]
（3）由已知求2α－β的范围，最后求值
易错易误：忽略条件中隐含的角的范围而致错
例：已知tan2α＋6tanα＋7＝0，tan2β＋6tanβ＋7＝0，α，β∈（0，π），且α≠β，求α＋β的值．
错解：由题意知tanα，tanβ是方程x2＋6x＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：
∴tan（α＋β）＝＝＝1．
∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π，
∴α＋β＝或α＋β＝π．
错因分析：由①②知tanα<0，tanβ<0．角α，β都是钝角，上述解法忽视了这一隐含条件．
正解：由易知
tanα<0，tanβ<0．∵α，β∈（0，π）
∴<α<π，<β<π．∴π<α＋β<2π．
又∵tan（α＋β）＝1，∴α＋β＝π．
点评：在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其他知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大．解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误．
三、学业达标
（一）选择题
1．sin105°的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：sin105°＝sin（45°＋60°）＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝×＋×＝．
答案：D
2．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝（ ）
A．－
B．
C．－
D．
解析：原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin（20°＋10°）＝．
答案：D
3．若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin＝（ ）
A．－
B．
C．－
D．
解析：因为cosα＝－，α是第三象限的角，所以sinα＝－，由两角和的正弦公式可得sin＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×＝－．
答案：A
4．若＝，则tan＝（ ）
A．－2
B．2
C．－
D．
解析：因为＝，所以＝，
因为＝
＝－tan＝，
所以tan＝－．
答案：C
（二）填空题
5．已知cos＝，则cosα＝________．
解析：由于0<α－<，
cos＝，
所以sin＝．
所以cosα＝cos
＝coscos－sinsin
＝×－×＝．
答案：
6．若tanα＝3，则tan＝________．
解析：因为tanα＝3，所以tan＝＝＝－2．
答案：－2
7．已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin（α＋β）＝________．
解析：∵sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1　①，cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0　②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2（sinαcosβ＋cosαsinβ）＝1，∴sin（α＋β）＝－．
答案：－
（三）解答题
8．求下列各式的值．
（1）sin347°cos148°＋sin77°cos58°；
（2）sin＋cos；
（3）tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°．
解析：（1）原式＝sin（360°－13°）·cos（180°－32°）＋sin（90°－13°）cos（90°－32°）
＝sin13°cos32°＋cos13°sin32°
＝sin（13°＋32°）
＝sin45°＝．
（2）原式＝2
＝2
＝2sin＝2sin＝．
（3）∵tan60°＝＝，
∴tan23°＋tan37°＝－tan23°tan37°，
∴tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°＝．
9．已知△ABC，若sin（A＋B）＝，cosB＝－，求cosA的值．
解析：∵cosB＝－，∴∴sinB＝＝，
cos（A＋B）＝－＝－，
∴cosA＝cos[（A＋B）－B]
＝cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB
＝×＋×＝．
尖子生题库：
10．已知tanα＝，sinβ＝，且α，β为锐角，求α＋2β的值．
解析：∵tanα＝<1且α为锐角，
∴0<α<．
又∵sinβ＝<＝且β为锐角．∴0<β<，
∴0<α＋2β<．①
由sinβ＝，β为锐角，得cosβ＝，∴tanβ＝．
∴tan（α＋β）＝＝＝．
∴tan（α＋2β）＝＝＝1．②
由①②可得α＋2β＝．
【第3课时】
【学习过程】
一、自主学习
二倍角的正弦、余弦、正切公式
最新课程标准：二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
1．二倍角公式
记法 公式 推导
S2α sin2α＝2sin_αcos_α S（α＋β）S2α
C2α cos2α＝cos2α－sin2α C（α＋β）C2α
cos2α＝1－2sin2α cos2α＝2cos2α－1 利用cos2α＋sin2α＝1 消去sin2α或cos2α
T2α tan2α＝ T（α＋β）T2α
细解“倍角公式”
（1）要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．
（2）倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍……这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
（3）注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．
2．二倍角公式的变形
（1）升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α；
1－cos2α＝2sin2α．
（2）降幂公式：cos2α＝；
sin2α＝．
教材解难：
（1）对于S2α和C2α，α∈R，但是在使用T2α时，要保证分母1－tan2α≠0且tanα有意义，即α≠kπ＋且α≠kπ－且α≠kπ＋（k∈Z）．当α＝kπ＋及α＝kπ－（k∈Z）时，tan2α的值不存在；当α＝kπ＋（k∈Z）时，tanα的值不存在，故不能用二倍角公式求tan2α，此时可以利用诱导公式直接求tan2α．
（2）一般情况下，sin2α≠2sinα，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα．
（3）倍角公式的逆用更能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用，如sin3αcos3α＝sin6α．
基础自测：
1．已知cosα＝－，则cos2α等于（ ）
A．
B．－
C．
D．－
解析：cos2α＝2cos2α－1＝－．
答案：B
2．sin15°cos15°的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：原式＝×2sin15°cos15°＝×sin30°＝．
答案：B
3．计算1－2sin222．5°的结果等于（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：1－2sin222．5°＝cos45°＝．
答案：B
4．已知α为第三象限角，cosα＝－，则tan2α＝________．
解析：因为α为第三象限角，cosα＝－，
所以sinα＝－＝－，
tanα＝，tan2α＝＝＝－．
答案：－
二、素养提升
题型一：给值求值[教材P221例5]
例1：已知sin2α＝，<α<，求sin4α，cos4α，tan4α的值．
解析：由<α<，得<2α<π．
又sin2α＝，
所以cos2α＝－＝－．
于是sin4α＝sin[2×（2α）]
＝2sin2αcos2α
＝2××＝－；
cos4α＝cos[2×（2α）]＝1－2sin22α＝1－2×2＝；
tan4α＝＝－×＝－．
已知条件给出了2α的正弦函数值．由于4α是2α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式．
教材反思
三角函数求值问题的一般思路
（1）一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
（2）注意几种公式的灵活应用，如：
①sin2x＝cos＝cos＝2cos2－x－1＝1－2sin2；
②cos2x＝sin＝sin
＝2sincos．
跟踪训练1：（1）已知α∈，sinα＝，则sin2α＝________，cos2α＝____________，tan2α＝____________；
（2）已知sin＝，0解析：（1）因为α∈，sinα＝，
所以cosα＝－，
所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，
cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，
tan2α＝＝－，故填－，，－．
（2）因为x∈，所以－x∈，
又因为sin＝，所以cos＝，
所以cos2x＝sin＝2sincos
＝2××＝．
（1）由sinα求cosα，再利用二倍角公式求值．
（2）由sin，求cos．利用二倍角求sin，再利用诱导公式求值．
题型二：二倍角的正用、逆用
例2：（1）若sinα＝，则cos2α＝（ ）
A．
B．
C．－
D．－
（2）计算：cos20°cos40°cos80°＝________．
（3）计算：＝________．
解析：（1）cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝．
（2）原式＝
＝
＝＝＝．
（3）原式＝＝＝2．
答案：（1）B；（2）；（3）2
（1）cos2α＝1－2sin2α．
（2）构造二倍角的正弦公式，分子视为1，分子分母同时乘以2sin20°．
（3）运用二倍角的正切化简求值．
方法归纳
应用二倍角公式化简（求值）的策略
（1）化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
（2）公式逆用：主要形式有2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝sin2α，cosα＝，cos2α－sin2α＝cos2α，＝tan2α．
跟踪训练2：求下列各式的值．
（1）sincos；
（2）1－2sin2750°；
（3）；
（4）coscos．
解析：（1）原式＝＝＝．
（2）原式＝cos（2×750°）＝cos1500°
＝cos（4×360°＋60°）
＝cos60°＝．
（3）原式＝tan（2×150°）＝tan300°＝tan（360°－60°）
＝－tan60°＝－．
（4）原式＝
＝＝＝＝．
利用二倍角公式求值，注意二倍角是相对的，例如是的二倍，π是的二倍．
题型三：简单的化简证明
例3：（1）已知＝，则tanα＋等于（ ）
A．－8
B．8
C．
D．－
（2）求证：cos2（A＋B）－sin2（A－B）＝cos2Acos2B．
解析：（1）＝＝cosα－sinα＝ （cosα－sinα）2＝ sinαcosα＝－，所以tanα＋＝＋＝＝－8．
（2）左边＝－
＝
＝（cos2Acos2B－sin2Asin2B＋cos2Acos2B＋sin2Asin2B）
＝cos2Acos2B＝右边，所以等式成立．
答案：（1）A；（2）见解析
（1）利用二倍角的余弦、两角和的正弦展开，再由切化弦化简求值．
（2）可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差公式转化为右边形式．
方法归纳
三角函数式的化简与证明
（1）化简三角函数式的要求：①能求出值的尽量求出；②使三角函数的种类与项数尽量少；③次数尽量低．
（2）证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．
跟踪训练3：化简：
（1），
其中α∈；
（2）－，其中θ∈（0，π）．
解析：（1）∵α∈，∴cosα>0，∈，
∴cos<0．
故原式＝＝＝＝＝－cos．
（2）原式＝
－
＝－
＝－．
①当θ∈时，∈，cos≥sin，此时原式＝sin＋cos－cos＋sin＝2sin．
②当θ∈时，∈，cos利用二倍角公式及变形公式化简，同时注意角的范围．
方法技巧：合理配凑、巧用倍角公式求解
求coscoscoscoscos的值．
分析：添加“sin”及系数2，创造条件，注意重复使用倍角公式．
解析：原式＝－coscoscoscoscos
＝
＝＝＝＝＝．
点评：本题体现了对二倍角的巧用，通过分子、分母同乘以24sin后，出现了“多米诺”链接效应，连续逆用二倍角正弦公式后获得结果，具体计算时要注意“2”的方幂，不要数错．一般地，sin2nα＝2·sin2n－1αcos2n－1α cosαcos2αcos22α…cos2n－1α＝．
三、学业达标
（一）选择题
1．已知sinα＝，cosα＝，则sin2α等于（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：sin2α＝2sinαcosα＝．
答案：D
2．计算2sin2105°－1的结果等于（ ）
A．－
B．－
C．
D．
解析：2sin2105°－1＝－cos210°＝cos30°＝．
答案：D
3．已知sinα＝3cosα，那么tan2α的值为（ ）
A．2
B．－2
C．
D．－
解析：因为sinα＝3cosα，所以tanα＝3，所以tan2α＝＝＝－．
答案：D
4．已知α∈（0，π），且sinα＋cosα＝，则cos2α的值为（ ）
A．±
B．
C．－
D．－
解析：因为sinα＋cosα＝，α∈（0，π），
所以1＋2sinαcosα＝，
所以sin2α＝－，且sinα>0，cosα<0，
所以cosα－sinα＝－＝－，
所以cos2α＝（cosα－sinα）（cosα＋sinα）＝－．故选C．
答案：C
（二）填空题
5．等于________．
解析：原式＝＝＝．
答案：
6．已知sin＋cos＝，那么sinθ＝________，cos2θ＝________．
解析：∵sin＋cos＝，
∴2＝，
即1＋2sincos＝，∴sinθ＝，
∴cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×2＝．
答案：；
7．已知sin＝，则cos＝________．
解析：cos＝cos＝2cos2－1＝2sin2－1＝－．
答案：－
（三）解答题
8．求下列各式的值．
（1）2cos2－1；
（2）；
（3）coscos；
（4）coscoscos．
解析：（1）2cos2－1＝cos＝cos＝．
（2）＝＝tan60°＝．
（3）coscos＝cossin＝sin＝．
（4）coscoscos
＝cos··
＝
＝
＝＝＝－．
9．化简：（1）－；
（2）．
解析：（1）原式＝
＝＝tan2θ
（2）原式＝
＝
＝＝
＝1
尖子生题库：
10．证明：＝tanθ．
证明：证法一：左边＝
＝
＝＝
＝＝tanθ＝右边．
∴原式成立．
证法二：左边＝
＝＝
＝tanθ＝右边．
∴原式成立．
证法三：左边＝
＝
＝
＝
＝＝tanθ＝右边．
∴原式成立．
【第4课时】
一、自主学习
简单的三角恒等变换
最新课程标准：能运用公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）．
知识点一：半角公式
巧记“半角公式”
无理半角常戴帽，象限确定帽前号；
数1余弦加减连，角小值大用加号．
“角小值大用加号”即y＝1＋cosα（α是锐角）是减函数，角小值大，因此用“＋”号，而y＝1－cosα为增函数，角大值大，因此用“－”号．
知识点二：辅助角公式
asinx＋bcosx＝·sin（x＋φ），其中tanφ＝．
1．辅助角公式
形式上是asinα＋bcosα（ab≠0）的三角函数式，通过三角恒等变换可写成sin（a＋φ）的形式，其中tanφ＝，此公式称为辅助角公式．其中φ可通过tanφ＝以及点（a，b）所在的象限来确定．
2．辅助角公式的特殊情况
sinα±cosα＝sin；sinα±cosα＝2sin；
cosα±sinα＝2sin．
教材解难：
1．有了半角公式，只需知道cosα的值及相关的角的范围便可求的正弦、余弦、正切的值．
2．对于S和C，α∈R，但是使用T时，要保证α≠（2k＋1）π（k∈Z）．
3．半角公式根号前符号的确定规律如下：
（1）当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符号．
α sin cos tan
第一象限 第一、三象限 ＋，－ ＋，－ ＋
第二象限 第一、三象限 ＋，－ ＋，－ ＋
第三象限 第二、四象限 ＋，－ －，＋ －
第四象限 第二、四象限 ＋，－ －，＋ －
（2）当给出角α的范围（即某一区间）时，可先求的范围，再根据的范围来确定各三角函数值的符号．
（3）若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号．
基础自测：
1．若cosα＝，且α∈（0，π），则cos的值为（ ）
A．
B．－
C．±
D．±
解析：因为α∈（0，π），所以∈．
所以cos＝＝＝．
答案：A
2．下列各式中，值为的是（ ）
A．sin15°cos15°
B．cos2－sin2
C．
D．
解析：选项A中，原式＝sin30°＝；选项B中，原式＝cos＝；选项C中，原式＝×＝tan60°＝；选项D中，原式＝cos30°＝．故选B．
答案：B
3．化简cosx＋sinx等于（ ）
A．2cos
B．2cos
C．2cos
D．2cos
解析：cosx＋sinx＝2＝2
＝2cos．
答案：B
4．若3sinx－cosx＝2sin（x＋φ），φ∈（－π，π），则φ＝________．
解析：∵3sinx－cosx
＝2＝2sin，
因φ∈（－π，π），∴φ＝－．
答案：－
二、素养提升
题型一：半角公式的应用[经典例题]
例1：已知sinα＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值．
解析：∵π<α<，sinα＝－，
∴cosα＝－，且<<，
∴sin＝＝，
cos＝－＝－，
tan＝＝－2．
利用半角公式求值．
方法归纳
解决给值求值问题的思路方法
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：
（1）先化简已知或所求式子；
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）；
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值
跟踪训练1：（1）求值：sin＝________；cos＝________．
解析：（1）sin＝
＝＝；
cos＝＝＝
．
答案：；
由sin>0，所以．
由cos>0，则cos＝．
（2）＋2的化简结果是________．
解析：原式＝＋2＝2|cos4|＋2|sin4|＝－2cos4－2sin4．
答案：－2cos4－2sin4
半角是相对的，4是8的半角，利用公式化简．
题型二：三角恒等式的证明
例2：若π<α<，证明：＋＝－cos；
证明：左边＝＋
＝＋
因为π<α<，所以<<，所以sin>0>cos．
所以左边＝＋
＝＋＝－cos＝
右边．所以原等式成立．
等式左边复杂，应从左边入手，利用公式化简，同时注意α的范围．
方法归纳：
三角恒等式证明的思路
通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一．
跟踪训练2：求证：＝sin2α．
证明：方法一：左边＝
＝＝＝cosαsincos
＝sinαcosα＝sin2α＝右边．所以原式成立．
方法二：左边＝＝cos2α·＝cos2αtanα＝cosαsinα＝sin2α＝右边．
所以原式成立．
左边复杂，从左边入手化简，先切化弦再利用倍角、半角公式化简．
题型三：三角恒等变换与三角函数的综合[教材P227例9]
例3：求下列函数的周期，最大值和最小值：
（1）y＝sinx＋cosx；
（2）y＝3sinx＋4cosx．
解析：（1）y＝sinx＋cosx＝2
＝2＝2sin．
因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为－2．
（2）设3sinx＋4cosx＝Asin（x＋φ），则
3sinx＋4cosx＝Asinxcosφ＋Acosxsinφ．
于是Acosφ＝3，Asinφ＝4，
于是A2cos2φ＋A2sin2φ＝25，
所以A2＝25．
取A＝5，则cosφ＝，sinφ＝，
由y＝5sin（x＋φ）可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为－5．
便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是y＝Asin（x＋φ），利用和角公式将其展开，可化为y＝asinx＋bcosx的形式．反之，利用和（差）角公式，可将y＝asinx＋bcosx转化为y＝Asin（x＋φ）的形式；进而就可以求得其周期和最值了．
教材反思
函数的解析式的次数可以降低，项数可以减少时，要先化简解析式成y＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式再研究其图象及性质．
跟踪训练3：已知函数f（x）＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x，x∈R，
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的值域．
解析：（1）f（x）＝＋sin2x＋＝2＋sin2x＋cos2x＝2sin＋2，
所以最小正周期T＝＝π，因为－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，f（x）为单调递增函数，
所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z．
（2）由（1）知f（x）＝2＋2sin，由于－≤x≤，所以2x＋∈，
所以sin∈，所以f（x）∈[1，4]，所以f（x）在区间上的值域为[1，4]．
利用二倍角公式，降幂公式化简函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式，再利用性质求解．
思想方法：构建三角函数模型，解决实际问题
例：如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．
分析：解答本题可设∠PAB＝θ并用θ表示PR，PQ．根据S矩形PQCR＝PQ·PR列出关于θ的函数式，求最大值、最小值．
解析：如图，连接AP，设∠PAB＝θ（0°≤θ≤90°），延长RP交AB于M，
则AM＝90cosθ，MP＝90sinθ．
所以PQ＝MB＝100－90cosθ，
PR＝MR－MP＝100－90sinθ．
所以S矩形PQCR＝PQ·PR
＝（100－90cosθ）（100－90sinθ）
＝10000－9000（sinθ＋cosθ）＋8100sinθcosθ．
令t＝sinθ＋cosθ（1≤t≤），则sinθcosθ＝．
所以S矩形PQCR＝10000－9000t＋8100·＝2＋950．
故当t＝时，S矩形PQCR有最小值950m2；当t＝时，
S矩形PQCR有最大值（14050－9000）m2．
点评：此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，以有利于表示所需线段，其次要确定角的范围．
三、学业达标
（一）选择题
1．已知cosα＝，α∈，则sin等于（ ）
A．－
B．
C．
D．－
解析：因为α∈，所以∈，
所以sin＝＝＝．
答案：B
2．若sin2α＝，且α∈，则cosα－sinα的值为（ ）
A．
B．
C．－
D．－
解析：因为α∈，所以cosα答案：C
3．设a＝cos6°－sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝，则有（ ）
A．cB．aC．aD．b解析：由已知可得a＝sin24°，b＝sin26°，c＝sin25°，所以a答案：C
4．若α∈，则－等于（ ）
A．cosα－sinα
B．cosα＋sinα
C．－cosα＋sinα
D．－cosα－sinα
解析：因为α∈，所以sinα≤0，cosα>0，
则－＝－
＝|cosα|－|sinα|＝cosα－（－sinα）＝cosα＋sinα．
答案：B
（二）填空题
5．若cos22°＝a，则sin11°＝________，cos11°＝________．
解析：cos22°＝2cos211°－1＝1－2sin211°，
所以cos11°＝＝．
sin11°＝＝．
答案：；
6．已知cosα＝－，且180°<α<270°，则tan＝________．
解析：因为180°<α<270°，所以90°<<135°，所以tan<0，所以tan＝－＝－＝－2．
答案：－2
7．若α，β∈，cos＝，sin＝－，则cos（α＋β）的值等于________．
解析：∵α，β∈，cos＝，sin＝－，∴α－＝±，－β＝－．
∴2α－β＝±，α－2β＝－．
α＋β＝（2α－β）－（α－2β）＝0或（0舍去）．
∴cos（α＋β）＝－．
答案：－
（三）解答题
8．化简：．
解析：方法一：
原式＝
＝（复角化单角，进一步切化弦）
＝＝1（使用平方差公式）．
方法二：原式＝（利用－α与＋α的互余关系）
＝＝（逆用二倍角的正弦公式）
＝＝1．
9．求证：－2cos（α＋β）＝．
证明：∵sin（2α＋β）－2cos（α＋β）sinα
＝sin[（α＋β）＋α]－2cos（α＋β）sinα
＝sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα－2cos（α＋β）sinα
＝sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα
＝sin[（α＋β）－α]＝sinβ，
两边同除以sinα得－2cos（α＋β）＝．
尖子生题库：
10．已知函数f（x）＝sin2x＋sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在区间上的最大值为，求m的最小值．
解析：（1）f（x）＝－cos2x＋sin2x
＝sin＋．
所以f（x）的最小正周期为T＝＝π．
（2）由（1）知f（x）＝sin＋．
由题意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－．
要使得f（x）在上的最大值为，
即sin在上的最大值为1．
所以2m－≥，即m≥．
所以m的最小值为．

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