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第2讲　充分条件与必要条件
考向一　充分、必要条件的判断
例1　(1)(2021·厦门一模)“x2>4”是“3x>9”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　因为x2>4 x>2或x<－2,3x>9 x>2，记A＝{x|x>2或x<－2}，B＝{x|x>2}，则B?A，所以x2>4不能推出3x>9,3x>9能推出x2>4，所以“x2>4”是“3x>9”的必要不充分条件．故选B.
(2)(2021·烟台模拟)若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，l⊥α，则“l⊥m”是“m∥α”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由l⊥α，l⊥m，得m∥α或m α，不满足充分性，由l⊥α，m∥α，得l⊥m，满足必要性，故“l⊥m”是“m∥α”的必要不充分条件．故选B.
　充分、必要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．
　1.(2021·温州模拟)已知x∈R，则“x≠0”是“x＋|x|>0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由x＋|x|>0可解得x>0，∵“x≠0”是“x>0”的必要不充分条件，故“x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件．故选B.
2．(2021·盐城一模)已知a，b都是实数，那么“a>2”是“方程x2＋y2－2x－a＝0表示圆”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　方程x2＋y2－2x－a＝0表示圆 方程(x－1)2＋y2＝a＋1表示圆 a＋1>0 a>－1.由a>2能推出a>－1，但是a>－1推不出a>2，故“a>2”是“方程x2＋y2－2x－a＝0表示圆”的充分不必要条件．
考向二　根据充分、必要条件求参数的范围
例2　(2021·漳州模拟)已知关于x的不等式(x－a)(x－3)>0成立的一个充分不必要条件是－1A．(－∞，－1] B．(－∞，0)
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
答案　D
解析　由题可知(－1,1)是不等式(x－a)(x－3)>0的解集的一个真子集．当a＝3时，不等式(x－a)(x－3)>0的解集为{x|x≠3}，此时(－1,1)?{x|x≠3}；当a>3时，不等式(x－a)(x－3)>0的解集为(－∞，3)∪(a，＋∞)，此时(－1,1)?(－∞，3)，符合题意；当a<3时，不等式(x－a)(x－3)>0的解集为(－∞，a)∪(3，＋∞)，由题意可得(－1,1)?(－∞，a)，此时1≤a<3.综上所述，a≥1.
　
1．条件、结论的相对性
充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”．要注意条件与结论间的推出方向．如“A是B的充分不必要条件”是指A B但BA；“A的充分不必要条件是B”是指B A但AB.以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆．
2．根据充分、必要条件求解参数范围的方法
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
　3.已知p：(x－m)2>3(x－m)是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－∞，－7)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－7]∪[1，＋∞)
C．(－7,1)
D．[－7,1]
答案　B
解析　由(x－m)2>3(x－m)得x3＋m，所以p：x3＋m；解x2＋3x－4<0得－4考向三　充要条件的证明与探求
例3　已知a，b，c均为实数，求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明　(1)充分性：如果ac<0，则b2－4ac>0且<0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根．
(2)必要性：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
则Δ＝b2－4ac>0，<0，所以ac<0.
由(1)(2)知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
　
1．充要条件的证明思路
(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q p，“必要性”是p q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．
(2)充要条件的证明问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可以先进行等价转换，然后加以证明．
提醒：证明时一定要注意证明的方向性，理清原命题的条件与结论，再辨清充分性与必要性的证明方向．
2．探求充要条件的两种方法
(1)等价法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
(2)非等价法：先寻找必要条件，再找充分条件，即从必要性和充分性两方面说明．
　4.(2022·邢台模拟)已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根均为整数的充要条件．
解　因为mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，所以m≠0.
又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，
所以
解得m∈.
因为两方程的根都是整数，
故其根的和与积也为整数，
所以
所以m为4的约数．
又因为m∈，
所以m＝－1或1.
当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根不是整数；
而当m＝1时，两方程的根均为整数，
所以两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.
一、单项选择题
1．(2021·湖北百校大联盟联考)若b＝10a，且a为整数，则“b能被5整除”是“a能被5整除”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　若a能被5整除，则b＝10a必能被5整除；若b能被5整除，则a＝未必能被5整除．所以“b能被5整除”是“a能被5整除”的必要不充分条件．故选B.
2．(2021·玉林模拟)设x∈R，则“x>0”是“2x>2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　若2x>2，则x>1，因为(1，＋∞)?(0，＋∞)，所以“x>0”是“2x>2”的必要不充分条件．故选B.
3．(2021·重庆一中高三月考)“(a－2)3>(b－2)3”是“lg a>lg b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　充分性：(a－2)3>(b－2)3 a－2>b－2，明显地有a>b，由于对数的真数大于0，所以无法推导出lg a>lg b，所以充分性不成立；必要性：由lg a>lg b得a>b>0，所以a－2>b－2，所以(a－2)3>(b－2)3，所以必要性成立．故选B.
4．(2022·济宁模拟)已知f(x)是R上的奇函数，则“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　∵函数f(x)是R上的奇函数，∴若x1＋x2＝0，则x1＝－x2，则f(x1)＝f(－x2)＝－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)＝0成立，即充分性成立；若f(x)＝0，满足f(x)是R上的奇函数，当x1＝x2＝2时，f(x1)＝f(x2)＝0，此时满足f(x1)＋f(x2)＝0，但x1＋x2＝4≠0，即必要性不成立．故“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充分不必要条件．
5．(2022·山东淄博摸底)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　|a－3b|＝|3a＋b| (a－3b)2＝(3a＋b)2 a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0 a⊥b，因此“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充要条件．
6．(2021·泰安模拟)已知p：x≥a，q：|x＋2a|<3，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
答案　A
解析　因为q：|x＋2a|<3，所以q：－2a－37．(2021·镇江模拟)“sinα＝”是“sinα＝cosα”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　D
解析　由sinα＝，可得α＝＋2kπ，k∈Z或α＝＋2kπ，k∈Z，当α＝＋2kπ，k∈Z时，sinα≠cosα，即充分性不成立；反之，当sinα＝cosα时，其中α可为，此时sinα＝－，即必要性不成立，所以“sinα＝”是“sinα＝cosα”的既不充分也不必要条件．故选D.
8．(2021·衡水中学质检)若“x>1”是“不等式2x>a－x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)
A．(3，＋∞) B．(－∞，3)
C．(4，＋∞) D．(－∞，4)
答案　A
解析　若2x>a－x，即2x＋x>a，设f(x)＝2x＋x，则函数f(x)为增函数．由题意知，不等式2x＋x>a成立，即f(x)>a成立能得到x>1，反之不成立．因为当x>1时，f(x)>3，所以a>3.
9．(2021·重庆市第七中学模拟)“a>－2”是“函数f(x)＝2x2＋4ax＋19在(2，＋∞)上为增函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　函数f(x)＝2x2＋4ax＋19的图象的对称轴为直线x＝－a，若函数f(x)＝2x2＋4ax＋19在(2，＋∞)上为增函数，则－a≤2，所以a≥－2，所以“a>－2”是“函数f(x)＝2x2＋4ax＋19在(2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．故选A.
10．(2021·浙江杭州高级中学模拟)设A＝{(x，y)|y＝kx}，B＝{(x，y)|y＝}，则“－1≤k≤1”是“A∩B≠ ”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　因为A∩B≠ ，所以y＝kx与y＝有交点，即方程kx＝在有解，所以k＝＝＝，所以0≤k≤1，故“－1≤k≤1”是“A∩B≠ ”的必要不充分条件．故选B.
二、多项选择题
11．(2021·辽宁实验中学高三二模)下列四个选项中，q是p的充分必要条件的是(　　)
A．p：q：
B．p：q：
C．p：q：
D．p：q：
答案　ABC
解析　对于A，由a＝0，b＝0，可得a＋b＝0，ab＝0，反之也成立，∴q是p的充分必要条件；对于B，由a＝1，b＝1，可得a＋b＝2，ab＝1，反之也成立，∴q是p的充分必要条件；对于C，由a>0，b>0，可得a＋b>0，ab>0，反之也成立，∴q是p的充分必要条件；对于D，由a>1，b>1，可得a＋b>2，ab>1，反之不成立，例如取a＝6，b＝，∴q是p的必要不充分条件．故选ABC.
12．(2021·山东德州模拟)下列叙述中正确的是(　　)
A．“a>1”是“<1”的充分不必要条件
B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C．“a<1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D．若a，b，c∈R且a＞0，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0”
答案　ACD
解析　a>1 <1，<1 a>1，∴“a>1”是“<1”的充分不必要条件，A正确；当b＝0时，若a>c成立，而ab2＝0＝cb2，充分性不成立，B错误；令f(x)＝x2＋x＋a，方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根，则f(0)<0，则有a<0，∴“a<1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，C正确；当a>0时，ax2＋bx＋c≥0可以推出b2－4ac≤0，而b2－4ac≤0也可以推出ax2＋bx＋c≥0，D正确．故选ACD.
三、填空题
13．(2021·珠海市第二中学模拟)《墨子·经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也．”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的________(选填“充分条件”“必要条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)．
答案　必要条件
解析　由“小故，有之不必然，无之必不然”，知“小故”是导致某个结果出现的几个条件中的一个或一部分条件，故“小故”指的是逻辑中的必要条件．
14．(2021·昆明诊断)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________.
答案　[0,3]
解析　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．∵x∈P是x∈S的必要条件，∴S P，∴解得0≤m≤3.故m的取值范围为[0,3]．
15．(2021·青岛二中检测)直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
答案　－1解析　直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于<，解得－116．(2022·湖北襄阳测试)已知p：实数m满足3a0)，q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________.
答案　
解析　由2－m>m－1>0，得1四、解答题
17．(2021·重庆模拟)已知p：解　记A＝，B＝{x|x(x－3)<0}＝{x|0若p是q的充分不必要条件，则A?B.
注意到B＝{x|0①若A＝ ，即≥，解得m≤0，此时A?B，符合题意；
②若A≠ ，即<，解得m>0，要使A?B，应有或
解得0综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3)．
18．已知关于x的方程ax2＋2x＋1＝0，求这个方程至少有一个负实根的充要条件．
解　(1)当a＝0时，为一元一次方程，其根为x＝－，符合题目要求；
(2)当a≠0时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1.
又设方程ax2＋2x＋1＝0的两根为x1，x2，
则由根与系数的关系得x1＋x2＝－，
x1x2＝.
①方程ax2＋2x＋1＝0有一个负实根的充要条件是得a<0.
②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负实根的充要条件是得0综上，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.

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