资源简介

第3讲　全称量词与存在量词
考向一　全称量词命题、存在量词命题真假的判断
例1　(1)(2021·贵阳调研)下列命题中的假命题是(　　)
A． x∈R，x2≥0
B． x∈R,2x－1>0
C． x∈R，lg x<1
D． x∈R，sinx＋cosx＝2
答案　D
解析　A显然是真命题；由指数函数的性质知2x－1>0恒成立，所以B是真命题；当0(2)(多选)(2022·江西师大附中月考)下列命题为假命题的是(　　)
A． x∈R，ln (x2＋1)<0
B． x>2,2x>x2
C． α，β∈R，sin(α－β)＝sinα－sinβ
D． x∈(0，π)，sinx>cosx
答案　ABD
解析　∵x2＋1≥1，∴ln (x2＋1)≥0，故A是假命题；当x＝3时，23<32，故B是假命题；当α＝β＝0时，sin(α－β)＝sinα－sinβ，故C是真命题；当x＝∈(0，π)时，sinx＝，cosx＝，sinx　判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路
　1.(多选)下列命题中是真命题的有(　　)
A． x∈R,3x－1>0
B． x∈N*，(x－1)2>0
C． x∈R，lg x<1
D． x∈R，tanx＝2
答案　ACD
解析　由指数函数的性质知，A是真命题；当x＝1∈N*时，(x－1)2＝0，故B是假命题；当x＝时，lg x＝－1<1，故C是真命题；正切函数y＝tanx的值域为R，故 x∈R，tanx＝2，D是真命题．
2．(多选)(2021·厦门外国语学校期中)有如下命题，其中真命题是(　　)
A． x∈(0，＋∞)，x＜x
B． x∈(0,1)，logx＞logx
C． x∈(0，＋∞)，x＞logx
D． x∈，x＜l logx
答案　BD
解析　当x＞0时，y＝的图象永远在y＝的图象上方，因此A错误；当0＜x＜1时，y＝logx的图象永远在y＝logx的图象上方，因此B正确；当x＝时， ＜1＝log，因此C错误；当0＜x＜时，logx＞1＞，因此D正确．故选BD.
考向二　含有量词的命题的否定
例2　(1)(2021·常州一模)设命题p：任意常数数列都是等比数列，则綈p是(　　)
A．所有常数数列都不是等比数列
B．有的常数数列不是等比数列
C．有的等比数列不是常数数列
D．不是常数数列的数列不是等比数列
答案　B
解析　全称量词命题的否定是存在量词命题．故綈p是有的常数数列不是等比数列．
(2)(2022·山东德州调研)命题“ x∈R,1A． x∈R,1B． x∈R,1C． x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
D． x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
答案　D
解析　存在量词命题的否定是全称量词命题，原命题的否定形式为“ x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”．故选D.
　写出全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤
(1)准确审题：明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论．
(2)改写量词：确定命题所含量词的类型，若命题中无量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(3)否定结论：对原命题的结论进行否定．
　3.(2022·衡水月考)设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　)
A． x∈Q，有x∈P
B． x Q，有x P
C． x Q，使得x∈P
D． x∈P，使得x Q
答案　B
解析　因为P∩Q＝P，所以P Q，所以 x Q，有x P.故选B.
4．(2022·商丘月考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
答案　B
解析　根据存在量词命题的否定为全称量词命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
考向三　由命题的真假求参数的取值范围
例3　(1)(2021·郑州第一次质量预测)若命题“ x∈R，使得3x2＋2ax＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是________.
答案　[－，]
解析　命题“ x∈R，使得3x2＋2ax＋1<0”是假命题，即“ x∈R,3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.
(2)(2021·济南质检)已知函数f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a>1，x≥2)．
①若 x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，则实数m的取值范围为________；
②若 x1∈[2，＋∞)， x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为________.
答案　①[3，＋∞)　②(1，]
解析　①因为f(x)＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立．所以若 x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，则实数m的取值范围为[3，＋∞)．
②因为当x≥2时，f(x)≥3，g(x)≥a2，若 x1∈[2，＋∞)， x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则a2≤3且a>1，解得a∈(1，]．
　　根据命题的真假求参数取值范围的策略
(1)全称量词命题可转化为恒成立问题，存在量词命题可转化为存在性问题．
(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决．
　5.已知命题p： x∈(0,1)，ex－a≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a>1 B．a≥e
C．a≥1 D．a>e
答案　B
解析　由已知，得綈p： x∈(0,1)，ex－a<0是真命题，所以a>ex对 x∈(0,1)恒成立，因为当x∈(0,1)时，ex∈(1，e)，所以a≥e.
6．(2022·广西钦州质检)已知命题p：“ x∈R,4x－2x＋1＋m＝0”．若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________.
答案　(－∞，1]
解析　因为命题綈p是假命题，所以p是真命题，即 x∈R,4x－2x＋1＋m＝0，所以m＝－4x＋2x＋1，x∈R有解即可．令y＝－4x＋2x＋1＝－(2x)2＋2×2x,2x>0，利用二次函数的性质可知y≤1，故m≤1.
一、单项选择题
1．(2021·枣庄二模)命题“ n∈N，n2－1∈Q”的否定为(　　)
A． n∈N，n2－1 Q B． n N，n2－1∈Q
C． n∈N，n2－1 Q D． n∈N，n2－1∈Q
答案　C
解析　“ n∈N，n2－1∈Q”的否定为“ n∈N，n2－1 Q”．
2．(2022·惠州摸底)已知命题p： m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则綈p为(　　)
A． m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
B． m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
C． m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
D． m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
答案　D
解析　由存在量词命题的否定可得綈p为“ m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．
3．(2021·辽宁沈阳模拟)费马大定理又被称为“费马最后的定理”，即当整数n>2时，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解．用n＝3来验证，命题“ x，y，z∈N*，x3＋y3≠z3”的否定为(　　)
A． x，y，z N*，x3＋y3＝z3
B． x，y，z∈N*，x3＋y3≠z3
C． x，y，z∈N*，x3＋y3＝z3
D． x，y，z∈N*，x3＋y3＝z3
答案　D
解析　全称量词命题的否定是存在量词命题，其否定的步骤是：第一步，改变量词；第二步，否定结论．故选D.
4．(2022·江西师大附中月考)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是(　　)
A． x∈R，f(－x)≠f(x)
B． x∈R，f(－x)≠－f(x)
C． x∈R，f(－x)≠f(x)
D． x∈R，f(－x)≠－f(x)
答案　C
解析　设命题p： x∈R，f(－x)＝f(x)，∵f(x)不是偶函数，∴p是假命题，则綈p是真命题，又綈p： x∈R，f(－x)≠f(x)，故选C.
5．(2022·广东湛江月考)已知f(x)＝sinx－tanx，命题p： x∈，f(x)<0，则(　　)
A．p是假命题，綈p： x∈，f(x)≥0
B．p是假命题，綈p： x∈，f(x)≥0
C．p是真命题，綈p： x∈，f(x)≥0
D．p是真命题，綈p： x∈，f(x)≥0
答案　C
解析　当x∈时，sinx<1，tanx>1.此时sinx－tanx<0，故命题p为真命题．由于命题p为存在量词命题，所以命题p的否定为全称量词命题，则綈p为 x∈，f(x)≥0.
6．(2022·云南玉溪二调)已知函数f(x)＝x，则(　　)
A． x∈R，f(x)<0
B． x∈(0，＋∞)，f(x)≥0
C． x1，x2∈[0，＋∞)，<0
D． x1∈[0，＋∞)， x2∈[0，＋∞)，f(x1)>f(x2)
答案　B
解析　幂函数f(x)＝x的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A，C错误，B正确；D中当x1＝0时，结论不成立．
7．(2022·河南信阳调研)已知命题p1：存在a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数；
p2： x∈R，sin2＋cos2＝；
p3：对任意x∈R，x4p4：任意x∈R，x2－x＋1>0.
其中真命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　p1是真命题．因为当a＝1时，y＝2x＋2－x在R上为偶函数；p2是假命题．因为 x∈R，sin2＋cos2＝1；p3是假命题．因为x＝时，4>5，x40对任意x∈R都成立．综上，真命题的个数为2.
8．(2022·济南质检)已知命题“ x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0) B．[0,4]
C．[4，＋∞) D．(0,4)
答案　D
解析　因为命题“ x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以“ x∈R,4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题．则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得09．(2022·正定摸底)已知命题p：a∈D，命题q： x∈R，x2－ax－a≤－3，若p是q成立的必要不充分条件，则区间D可以为(　　)
A．(－∞，－6]∪[2，＋∞)
B．(－∞，－4)∪(0，＋∞)
C．(－6,2)
D．[－4,0]
答案　B
解析　命题q： x∈R，x2－ax－a≤－3，则x2－ax－a＋3≤0，所以Δ＝a2－4(－a＋3)≥0，解得a≤－6或a≥2，又p是q成立的必要不充分条件，所以(－∞，－6]∪[2，＋∞)?D，所以区间D可以为(－∞，－4)∪(0，＋∞)，故选B.
10．(2022·大庆月考)下列命题中的真命题是(　　)
A． x∈R，sinx<2x
B． x∈(0，＋∞)，ex>x＋1
C． x∈(－∞，0)，2x<3x
D． x∈(0，π)，sinx>cosx
答案　B
解析　由知，A是假命题；设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，∵当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(0)＝0，∴ x∈(0，＋∞)，f(x)>0，即ex>x＋1，故B是真命题；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C是假命题；∵当x∈时，sinx二、多项选择题
11．(2021·济南调研)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有(　　)
A． x∈R，x2－x＋<0
B．所有的正方形都是矩形
C． x∈R，x2＋2x＋2＝0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
答案　AC
解析　对于A， x∈R，x2－x＋<0的否定是 x∈R，x2－x＋≥0，是全称量词命题，由x2－x＋＝2≥0知，此命题是真命题；对于B，所有的正方形都是矩形的否定是存在一个正方形，它不是矩形，是存在量词命题；对于C， x∈R，x2＋2x＋2＝0的否定是 x∈R，x2＋2x＋2≠0，是全称量词命题．由Δ＝22－4×1×2<0知，x2＋2x＋2＝0无实根，此命题是真命题；对于D，至少有一个实数x，使x3＋1＝0的否定是 x∈R，x3＋1≠0，是全称量词命题，此命题是假命题．
12．(2021·烟台适应性练习)若非空集合G和G上的二元运算“”满足：
① a，b∈G，ab∈G；
② I∈G， a∈G，aI＝I a＝a；
③ I∈G，使 a∈G， b∈G，有ab＝I＝ba；
④ a，b，c∈G，(ab) c＝a (bc)，
则称(G，)构成一个群．
下列选项对应的(G，)构成一个群的是(　　)
A．集合G为自然数集，“”为整数的加法运算
B．集合G为正有理数集，“”为有理数的乘法运算
C．集合G＝{－1,1，－i，i}(i为虚数单位)，“”为复数的乘法运算
D．集合G＝{0,1,2,3,4,5,6}，“”为求两整数之和被7除的余数
答案　BCD
解析　由题意可知，条件①表述了“”的封闭性，条件②表述了“ ”对于G有单位元I，条件③表述了“”对于G有逆元，条件④表述了“ ”的结合律，对于A，自然数据中的加法是封闭的，有单位元0，但无逆元，不满足条件③，故A错误；对于B，正有理数集中的乘法是封闭的，有单位元1，逆元1，满足结合律，故B正确；对于C，集合G＝{－1,1，－i，i}中乘法是封闭的，有单位元1，逆元－1，满足结合律，故C正确；对于D，集合G＝{0,1,2,3,4,5,6}中对于“求两整数之和被7除的余数”是封闭的，有单位元0，任一元素都为逆元，满足结合律，故D正确．故选BCD.
三、填空题
13．(2021·河南八市联考)若“ x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.
答案　1
解析　∵函数y＝tanx在上是增函数，∴ymax＝tan＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1.∴实数m的最小值为1.
14．(2022·陕西安康月考)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“ x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________.
答案　0
解析　“ x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”的否定是 x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0，依题意，命题“ x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”为真命题，故函数y＝f(x)，x∈(a，b)为奇函数，∴a＋b＝0，∴f(a＋b)＝f(0)＝0.
15．(2022·甘肃兰州一诊)若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)， x1∈[－1,2]， x2∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x2)，则实数a的取值范围是________.
答案　
解析　设f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)在[－1,2]上的值域分别为A，B，则A＝[－1，3]，B＝[－a＋2,2a＋2]，由题意可知∴a≤，又a>0，∴016．(2022·北京海淀摸底)已知命题p： x∈R，log2(x2＋x＋a)>0恒成立，命题q： x∈[－2，2]，2a≤2x，若命题p和q都成立，则实数a的取值范围为________.
答案　
解析　当命题p成立时，x2＋x＋a>1恒成立，即x2＋x＋a－1>0恒成立，所以Δ＝1－4(a－1)<0，解得a>；当命题q成立时，2a≤(2x)max，又x∈[－2,2]，所以a≤2.故四、解答题
17．已知命题“ x∈，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，求实数λ的取值范围．
解　因为命题“ x∈，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，
即命题“ x∈，使得λ>2x＋成立”是假命题，
则命题“ x∈，使得λ≤2x＋成立”是真命题，
因为x∈，所以当x＝时，
2x＋取最小值2，
故实数λ的取值范围为(－∞，2]．
18．(2022·苏州月考)已知m∈R，命题p：对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立．
(1)若p为真命题，求m的取值范围；
(2)当a＝1时，若命题p和q中只有一个为真，求m的取值范围．
解　(1)∵对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，
∴(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m≤－2.
解得1≤m≤2.
∴若p为真命题，则m的取值范围是[1,2]．
(2)∵a＝1，且存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立，
∴m≤x，命题q为真时，m≤1.
∵p，q中一个是真命题，一个是假命题．
当p真q假时，则
解得1当p假q真时，即m<1.
综上所述，m的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．

展开更多......

收起↑