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第一讲 乘法公式的综合应用
一、乘法公式的应用
知识总结
1.平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
即 ．
2.完全平方公式
完全平方公式
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 倍，即
，
典型例题
例题1
1 已知 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
答案 A
解析 令 ，
则 ，
，
，
∴原式
．
故选 ．
2 若 ，则 .
答案
解析
所以， ， ．
3 当 时，求 的值．
答案 ．
解析 ， ，
则 ， ．
．
4 已知 ，求：
(1) ．
(2) ．
(3) 的值．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
解析 (1) 因为 ，所以 ，
则等式两边都除以 ，
得 ，
即 ．
(2) ，
所以 ．
(3) 由（ ）的方法可知 ．
二、配方法
知识总结
配方步骤 示例
①【化成一般式】： 当二次项系数为1时：
首先按某个字母降幂排列；
②【二次项系数化为1】： 当二次项系数不为1时：
把二次项系数化为1；
③【加上一次项系数一半的平方】：加上一
次项系数一半的平方，再减去所加的数．
注意：二次项系数化为1时，注意区分二次项与一次项
典型例题
1.完全平方
例题2
5 若 是完全平方式，则 ．
答案
解析 ，
∴ ，
∴ ．
6 若 成为一个完全平方式，则 ．
答案
解析 略．
7 若 是完全平方式，则 的值为 ．
答案 或
解析 略
2.解方程
例题3
8 填空：
(1) 已知 ，则 的值为 ．
(2) 已知 ，则 的值为 ．
答案 (1)
(2)
解析 (1) 原式可化为 ，∴ ， ，∴ ．
故答案为： ．
(2) 原式可化为 ，∴ ， ，∴ ．
故答案为： ．
9 已知 ， ， 满足 ， ， ，则 的值为 .
答案
解析 , ,
3.求最值
例题4
10 请回答下列各题：
(1) 当 为何值时， 有最小值，最小值为多少？
(2) 当 为何值时， 有最大值，最大值为多少？
答案 (1) ．
(2) ．
解析 (1) ∵ ，
∴当 时，有最小值 ．
(2) ∵ ，
∴当 时，有最大值 ．
11
当 ， 为何值时，多项式 有最小值？求出这个最小值．
答案 ， ，最小值为 ．
解析
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
即 ， 时，有最小值为 ．
4.一个重要的公式
例题5
12 若 ， ， ，则 ．
答案
解析
．
13 如果 ， ， 是 三边的长，且 ，那么 是（ ）
A. 等边三角形． B. 直角三角形． C. 钝角三角形． D. 形状不确定．
答案 A
解析 由题意得 ，
∴ ，
即 ．
∴ ，原三角形为等边三角形．
三、数学万花筒
142857 这个数为什么这么神秘呢？还有其他的吗？
142857，又称 “走马灯数”，是世界上最著名的几个数之一，也许很多人很小的时候，就会在趣味数学里
看到这个数．而这个神秘的数，最早发现于埃及的金字塔内．
为什么说这个数是走马灯数呢？这是因为，它2~6倍，都恰好是这六个数字的重新排列：
285714,428571,571428,714285,857142……并且是 按次序 排列的哦，如下图所示，是不是很像 “走马
灯” 呢？
这样的“走马灯” 性质实在是让人啧啧称奇．于是我们开始好奇，142857 为什么会具有这样神奇的性质？
是否还会有其他数具有这样的性质呢？
先回答第一个问题．
数学系的人也许会高冷地回答你：因为 10 是模 7 的一个原根．
但这个回答，一定是令 99 % 的人懵逼的．
大部分普通人恐怕会问：“原根” 是什么？
当然，也许还有些连初中数学都还给老师的人，会问：“模” 是什么，哈
这个问题，其实正是让数学小白们叩开 初等数论 大门的伟大机会啊！
我相信，要完整地理解这个问题的来龙去脉，对于初中数学水平的人，大概也就需要半个小时而已~
当然，需要 3 个很简单的前提条件：
你知道 质数（素数）的概念：只能被 1 和自身整除的数；也知道 互质 的含义（最大公约数为1）；
你会 竖式计算；
你已经知道：142857*7=999999；
那么，下面我们开始吧~
一、竖式计算的奥秘
既然你已经知道了 142857*7=999999，那么你一定很容易联想到 1/7 会有 142857 的循环节．毕竟
1000000 除以 7 余 1 嘛！竖式计算告诉我们，产生循环几乎是显然的：
仔细观察一下竖式计算，你会发现一个很有趣的现象：
前 6 次相减，余数分别 3、2、6、4、5、1，恰好遍历了比 7 小的 1~6，这就意味着，下一个余数无论
是几，都必然会和前面的重复，从而必须产生循环．
这个现象揭示了一个简单的定理：
定理 1.1：1/n 的小数展开，其循环节长度不超过 n-1．
如果循环节恰好为 n-1 ，在竖式计算的每一步中，余数一定遍历了 1，2，…，n-1，那么显然，1/n, 2/
n,…， (n-1)/n 的竖式计算，一定能和 1/n 的竖式计算中的某一步衔接起来，循环节会形成 “走马灯” 的效
果．
反之，对于任意一个“走马灯数”，我们可以把它当做循环小数的循环节，而循环小数必然可以表示成分
数 k/n，若循环节小于 n-1，那么余数必然不能遍历 1，2，…，n-1，那么 “走马灯” 的效果则不会出现．
于是我们得到了另一个定理：
定理 1.2：对每一个 “走马灯数” ，都存在自然数 n，走马灯数为 1/n 的小数展开后的循环节，且这个循
环节恰好有 n-1 位．
接下来，我们需要寻找满足条件的 n，初等数论 的大门将缓缓打开．
四、巩固加油站
巩固
14 已知 ，则 ．
答案
解析 令 ，则 ，
原式 ．
15 已知 可能被 至 之间的两个整数整除，求这两个整数是 和 (答案从大到小
排列）
答案 1．
2．
解析
故所求两个整数为 、 ．
16 已知实数 、 满足 ， ，求 的值．
答案 ．
解析 ，
，
．
17 已知 ，求 ．
答案
解析 ∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
18 当 是一个整式的平方时，则 的值（ ）．
A. B. C. 或 D. 8或
答案 D
解析 ，
，
故 的值为 或
19 已知 ，则 ， ．
答案 1．
2．
解析 ∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为； ； ．
20 关于多项式 的说法正确的是（ ）．
A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值
答案 A
解析 ，
∵ ，
∴ ，即多项式 的最大值为 ，没有最小值．
21 当 ， 时，多项式 有最小值，此时的最小值是 ．
答案 1．
2．
3．
解析 ，
当且仅当 ， 时取等号，
则当 ， 时，
多项式取得最小值，最小值为 ．
22 已知 ， ， ，则代数式 的值为
．
答案
解析 由 ， ， ，可知， ， ， ．
故 ．
故答案为： ．
23 阅读材料：把形如 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配
方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 ．请根据阅读材料解决下列问
题：
(1) 填空： ．
(2) 若 ，求 的值．
(3) 若 、 、 分别是 的三边，且 ，试判断 的
形状，并说明理由．
答案 (1)
(2) ．
(3) 为等边三角形．
解析 (1) ．
(2) ，
，
，
解得： ， ，
所以： ．
(3) ，
，
，
解得： ，
∴ 为等边三角形．第一讲 乘法公式的综合应用
一、乘法公式的应用
知识总结
1.平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
即 ．
2.完全平方公式
完全平方公式
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 倍，即
，
典型例题
例题1
1 已知 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
2 若 ，则 .
3 当 时，求 的值．
4 已知 ，求：
(1) ．
(2) ．
(3) 的值．
二、配方法
知识总结
配方步骤 示例
①【化成一般式】： 当二次项系数为1时：
首先按某个字母降幂排列；
②【二次项系数化为1】： 当二次项系数不为1时：
把二次项系数化为1；
③【加上一次项系数一半的平方】：加上一
次项系数一半的平方，再减去所加的数．
注意：二次项系数化为1时，注意区分二次项与一次项
典型例题
1.完全平方
例题2
5 若 是完全平方式，则 ．
6 若 成为一个完全平方式，则 ．
7 若 是完全平方式，则 的值为 ．
2.解方程
例题3
8 填空：
(1) 已知 ，则 的值为 ．
(2) 已知 ，则 的值为 ．
9 已知 ， ， 满足 ， ， ，则 的值为 .
3.求最值
例题4
10 请回答下列各题：
(1) 当 为何值时， 有最小值，最小值为多少？
(2) 当 为何值时， 有最大值，最大值为多少？
11 当 ， 为何值时，多项式 有最小值？求出这个最小值．
4.一个重要的公式
例题5
12 若 ， ， ，则 ．
13 如果 ， ， 是 三边的长，且 ，那么 是（ ）
A. 等边三角形． B. 直角三角形． C. 钝角三角形． D. 形状不确定．
三、数学万花筒
142857 这个数为什么这么神秘呢？还有其他的吗？
142857，又称 “走马灯数”，是世界上最著名的几个数之一，也许很多人很小的时候，就会在趣味数学里
看到这个数．而这个神秘的数，最早发现于埃及的金字塔内．
为什么说这个数是走马灯数呢？这是因为，它2~6倍，都恰好是这六个数字的重新排列：
285714,428571,571428,714285,857142……并且是 按次序 排列的哦，如下图所示，是不是很像 “走马
灯” 呢？
这样的“走马灯” 性质实在是让人啧啧称奇．于是我们开始好奇，142857 为什么会具有这样神奇的性质？
是否还会有其他数具有这样的性质呢？
先回答第一个问题．
数学系的人也许会高冷地回答你：因为 10 是模 7 的一个原根．
但这个回答，一定是令 99 % 的人懵逼的．
大部分普通人恐怕会问：“原根” 是什么？
当然，也许还有些连初中数学都还给老师的人，会问：“模” 是什么，哈
这个问题，其实正是让数学小白们叩开 初等数论 大门的伟大机会啊！
我相信，要完整地理解这个问题的来龙去脉，对于初中数学水平的人，大概也就需要半个小时而已~
当然，需要 3 个很简单的前提条件：
你知道 质数（素数）的概念：只能被 1 和自身整除的数；也知道 互质 的含义（最大公约数为1）；
你会 竖式计算；
你已经知道：142857*7=999999；
那么，下面我们开始吧~
一、竖式计算的奥秘
既然你已经知道了 142857*7=999999，那么你一定很容易联想到 1/7 会有 142857 的循环节．毕竟
1000000 除以 7 余 1 嘛！竖式计算告诉我们，产生循环几乎是显然的：
仔细观察一下竖式计算，你会发现一个很有趣的现象：
前 6 次相减，余数分别 3、2、6、4、5、1，恰好遍历了比 7 小的 1~6，这就意味着，下一个余数无论
是几，都必然会和前面的重复，从而必须产生循环．
这个现象揭示了一个简单的定理：
定理 1.1：1/n 的小数展开，其循环节长度不超过 n-1．
如果循环节恰好为 n-1 ，在竖式计算的每一步中，余数一定遍历了 1，2，…，n-1，那么显然，1/n, 2/
n,…， (n-1)/n 的竖式计算，一定能和 1/n 的竖式计算中的某一步衔接起来，循环节会形成 “走马灯” 的效
果．
反之，对于任意一个“走马灯数”，我们可以把它当做循环小数的循环节，而循环小数必然可以表示成分
数 k/n，若循环节小于 n-1，那么余数必然不能遍历 1，2，…，n-1，那么 “走马灯” 的效果则不会出现．
于是我们得到了另一个定理：
定理 1.2：对每一个 “走马灯数” ，都存在自然数 n，走马灯数为 1/n 的小数展开后的循环节，且这个循
环节恰好有 n-1 位．
接下来，我们需要寻找满足条件的 n，初等数论 的大门将缓缓打开．
四、巩固加油站
巩固
14 已知 ，则 ．
15 已知 可能被 至 之间的两个整数整除，求这两个整数是 和 (答案从大到小
排列）
16 已知实数 、 满足 ， ，求 的值．
17 已知 ，求 ．
18 当 是一个整式的平方时，则 的值（ ）．
A. B. C. 或 D. 8或
19 已知 ，则 ， ．
20 关于多项式 的说法正确的是（ ）．
A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值
21 当 ， 时，多项式 有最小值，此时的最小值是 ．
22 已知 ， ， ，则代数式 的值为
．
23 阅读材料：把形如 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配
方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 ．请根据阅读材料解决下列问
题：
(1) 填空： ．
(2) 若 ，求 的值．
(3) 若 、 、 分别是 的三边，且 ，试判断 的
形状，并说明理由．

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