资源简介

第二讲 平行线的综合应用
一、平行线的构造
知识总结
模型 结论
“猪蹄”模型
若 ，则
“铅笔”模型
若 ，
模型 结论
若 ，则
若 ，则
经典例题
例题1
1 将两张长方形纸片如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片
的一条边上，求 = ．
答案 ．
解析 如图所示，过点 作 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
标注 几何图形初步 >相交线与平行线 >平行线 >题型：平行线的性质
2 如图，已知直线 ， ， ，则 的度数是（ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵ ，
∴ （两直线平行，同位角相等）．
由外角得： ．
标注 几何图形初步 >相交线与平行线 >平行线 >题型：平行线的性质
3 如图，两直线 、 平行，则 （ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 如图，过 、 、 、 分别作 ， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
故选 ．
标注 几何图形初步 >角 >角度的运算 >题型：角的和差的计算与证明-有图
4 如图， ， 、 、 、 、 、 、 之间的关系是 ．
答案
解析 如图，过 点作 ，过 点作 ；
由猪蹄模型得：
①；
②；
③；
① ② ③ ．
标注 几何图形初步 >相交线与平行线 >平行线 >题型：平行线判定
例题2
5 探究：
(1) 如图所示：若 ，点 为两平行线内部一点，则 ．
(2) 若将点 移至如图所示位置，此时 、 、 之间的关系为 ．
(3) 若将点 移至如图所示位置，此时 、 、 之间的关系为 ．
答案 (1)
(2)
(3)
解析 (1) 过 作
∴
∵
∴
∴
∴ ，
即 ．
(2) 过 作
∴
∵
∴
∴
∴ ，
即 ．
(3) ，
过点 作
∴
∵
∴
∴
∴
即 ．
标注 几何图形初步 >相交线与平行线 >平行线 >题型：平行线的性质
例题3
6 已知 ， 与 两个角的角平分线相交于点 ．
(1) 如图 ，若 ，求 的度数．
(2) 如图 中， ， ，写出 与 之间的数量关系并证明
你的结论．
(3) 若 ， ，设 ，直接用含有 ， 的代数式表示
出 ．
答案 (1) ．
(2) ．
(3)
解析
(1) 作 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ 和 的角平分线相交于 ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
(2) ∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 与 两个角的角平分线相交于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
(3) 由（ ）结论可得，
， ，
解得： ．
故答案为： ．
标注 几何图形初步 >角 >角度的运算 >题型：角的和差的计算与证明-有图
例题4
7 已知：如图：直线 ，点 是 ， 之间（不在直线 ， 上）的一个动点．
图
(1) 应用：若小明把一块三角板（ ， ）如图 放置，点 ， ， 是三角板的
边与平行线的交点，若 ，求 的度数．
图
(2) 探究：将图 中的三角板 进行适当转动，如图 ，直角顶点 始终在两条平行线之间，点
在线段 上，连结 ，且有 平分 ，现给出①、②两个式子：① ；②
,请探究以上两个式子的值是否变化，如果不变，求出其结果；如果变
化，请说明理由．
图
答案 (1) ．
(2) ①不变 ②变．
解析 (1) ∵ ．
∴ ．
由（ ）可得， ．
∴ ， ．
∴ ．
(2) ① 的值不变．
设 ，则 ．
由（ ）得 ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
即 的值不变，值为 ．
② 的值变化，理由如下．
同（ ）得 ， ．
∴ ．
．
即 的值会变化．
标注 几何图形初步 >相交线与平行线 >平行线构造 >题型：拐点模型
二、等积变形
知识总结
模型一：共边模型
条件：在△ABD和△ADC中，AD为公共边，
并且B、D、C在同一条直线上．
结论1： ；
结论2： ；
结论3： ．
模型二：等积变换
条件：AB∥CD或四边形ABDC为梯形．
结论1： ；
结论2： ；
结论3： ．
注：条件和结论互换也成立．
例题5
8 如下图，已知点 在线段 上， ， ，则 与 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D. 不确定
答案 A
解析 如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ．
故选 ．
标注 几何图形初步 >相交线与平行线 >平行线 >题型：平行线的性质
知识总结
1.过三角形边上的一点平分三角形的面积
如图 ，过线段 上的点 作直线，使平分 的面积．
作法：
①取线段 的中点 ，
②连接 ，
③过点 作 ，
④过点 和 画直线 ，
则直线 平分 的面积．
2.过四边形的一个顶点平分四边形的面积
如图四边形 ，过点 作直线，使平分四边形 的面积．
作法：
①连接 ，
②过点 作 交 的延长线于点 ，
③取线段 的中点 ，
④过点 和 画直线 ，
则直线 平分四边形 的面积．
例题6
9 如图 ，五边形 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变为
图 ，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图中的折线 ）还保留着，张大爷想过点 修一条直
路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积和承包时的一样多，请你用有关几何知识，按张大
爷的要求设计出修路方案．
图 图
答案 答案见解析．
解析 如图3，
图
（ ）连接 ，
（ ）过点 做 与 交于点 .
（ ）连接 ， 为可求
标注 几何图形初步 >几何图形
三、数学万花筒
欧式几何
欧氏几何源于公元前3世纪．古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理(公设)，
在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几
何．按所讨论的图形在平面上或空间中，又分别称为“平面几何”与“立体几何”．
欧几里得在其《几何原本》中给出了5条公理和5条公设．
五条公理是：
1、等于同量的量彼此相等．
2、等量加等量，其和仍相等．
3、等量减等量，其差仍相等．
4、彼此能够重合的物体是全等的．
5、整体大于部分．
五条公设是：
1、任意两个点可以通过一条直线连接．
2、任意线段能无限延长成一条直线．
3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆．
4、所有直角都全等．
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边
必定相交．
第五条公理称为平行公理（平行公设），可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点，有且仅有一条
不与该直线相交的直线．
平行公理并不像其他公理那么显然．许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功．19
世纪，有人通过构造非欧几里得几何，说明平行公理是不可证的．
四、巩固加油站
巩固1
10 探究：
(1) 如图 ，若 ，则 、 、 的关系为： ．
图
(2) 在（ ）条件下，将点 移至图 所示位置，则 、 、 的关系为 ．
图
(3) 若将点 移至如图 所示位置，则 、 、 的关系为 ．
图
(4) 若将点 移至如图 所示位置，则 、 、 的关系为 ．
图
答案 (1)
(2)
(3)
(4)
解析 (1) 略．
(2) 略．
(3) 如图，过点 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ = ，即 ．
故答案为： ．
(4) 如图，过点 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
标注 几何图形初步 >相交线与平行线 >平行线构造 >题型：其他拐点问题
巩固2
11 已知：如图所示， ， ， ，则 ．
答案
解析 如图所示，过点 作 的平行线 ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
标注 几何图形初步 >相交线与平行线 >平行线 >题型：平行线的性质
巩固3
12 如图所示，若 ，求 ， ， 的关系？
答案 ．
解析 过点 作
∴ （两直线平行，同旁内角互补）
∵ （已知）
∴
∴ （两直线平行，内错角相等）
∵
∴ ．
标注 几何图形初步 >相交线与平行线 >平行线构造 >题型：拐点模型
巩固4
13 如图， ， ， ， 平分 ， ，求 的度数
度．
答案
解析 ∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
标注 几何图形初步 >角 >角度的运算 >题型：角的和差的计算与证明-有图
巩固5
14 如下图，已知 ， ， ，求证： ．
A B
E F
C D
答案 证明见解析．
解析 如右图所示，分别过点 ， 做 和 的平行线，
易得： A B
F
， E
C D
，
即有： ．
标注 几何图形初步 >相交线与平行线 >平行线构造 >题型：拐点模型
巩固6
15 如图，直线 ，连接 ，直线 、 及线段 把平面分成①、②、③、④四个部分，
规定：线上各点不属于任何部分，当动点 落在某个部分时，连接 ， ，构成 ，
， 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是 角）
(1) 当动点 落在第①部分时，求证： ．
(2) 当动点 落在第②部分时， 是否成立？（直接回答成立或不成
立）
(3) 当动点 落在第③部分时，全面探究 ， ， 之间的关系，并写出动点 的
具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以说明．
答案 (1) 证明见解析．
(2) 不成立．
(3) ①当动点 在射线 的右侧时，结论是 ，
②当动点 在射线 上时，结论是： （或
或 ），
③当动点 在射线 的左侧时，结论是： ．
解析 (1) 如图 所示，
过点 作 ，
∴ （两直线平行，内错角相等）．
∵ （已知），
∴ （平行于同一条直线的两直线平行）．
∴ （两直线平行，内错角相等）．
∴ ．
(2) 过 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 不成立．
(3) ①当动点 在射线 的右侧时，如图，结论是 ，
理由是：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
②当动点 在射线 上时，如图 ，结论是： （或
或 ），
理由是：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 或 ．
③当动点 在射线 的左侧时，如图，结论是： ，
理由是：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
标注 几何图形初步 >相交线与平行线 >平行线 >题型：平行线的性质
巩固7
16 已知 ，点 在点 的右侧， ， 平分 ， 平分 ， ， 所
在的直线交于点 ，点 在 与 两条平行线之间．
1 如图 ，点 在点 的左侧，若 ，则 的度数为 ．
2 如图 ，点 在点 的右侧，且 ， ．若 ，则 的度数为
．（用含 的代数式表示）．
图
答案 1
2
解析 1 ∵ 、 分别为 和 角平分线，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
2 过点 作直线 ，
∵ ，∴ ，
又∵ 、 分别为 和 角平分线，
，
，
∴ ．
图
标注 几何图形初步 >相交线与平行线 >平行线构造 >题型：拐点模型
巩固8
17 如图，欲将一块四边形 耕地中间的一条折线段小路 改为过点 的直路 ，但不能改
变原来折线小路两边的耕地面积的大小，应如何作图？（简述作法，保留作图痕迹）
答案 作图见解析．
解析 连接 ，过 作 交 于 ， 于 ，连接 ， 即为所求．
理由如下：∵ ，
∴ ，
∴四边形 的面积 四边形 的面积．
标注 几何图形初步 >相交线与平行线 >平行线 >题型：等积变换与“平行线”有关第二讲 平行线的综合应用
一、平行线的构造
知识总结
模型 结论
“猪蹄”模型
若 ，则
“铅笔”模型
若 ，
模型 结论
若 ，则
若 ，则
经典例题
例题1
1 将两张长方形纸片如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片
的一条边上，求 = ．
2 如图，已知直线 ， ， ，则 的度数是（ ）．
A. B. C. D.
3 如图，两直线 、 平行，则 （ ）．
A. B. C. D.
4 如图， ， 、 、 、 、 、 、 之间的关系是 ．
例题2
5 探究：
(1) 如图所示：若 ，点 为两平行线内部一点，则 ．
(2) 若将点 移至如图所示位置，此时 、 、 之间的关系为 ．
(3) 若将点 移至如图所示位置，此时 、 、 之间的关系为 ．
例题3
6 已知 ， 与 两个角的角平分线相交于点 ．
(1) 如图 ，若 ，求 的度数．
(2) 如图 中， ， ，写出 与 之间的数量关系并证明
你的结论．
(3) 若 ， ，设 ，直接用含有 ， 的代数式表示
出 ．
例题4
7 已知：如图：直线 ，点 是 ， 之间（不在直线 ， 上）的一个动点．
图
(1) 应用：若小明把一块三角板（ ， ）如图 放置，点 ， ， 是三角板的
边与平行线的交点，若 ，求 的度数．
图
(2) 探究：将图 中的三角板 进行适当转动，如图 ，直角顶点 始终在两条平行线之间，点
在线段 上，连结 ，且有 平分 ，现给出①、②两个式子：① ；②
,请探究以上两个式子的值是否变化，如果不变，求出其结果；如果变
化，请说明理由．
图
二、等积变形
知识总结
模型一：共边模型
条件：在△ABD和△ADC中，AD为公共边，
并且B、D、C在同一条直线上．
结论1： ；
结论2： ；
结论3： ．
模型二：等积变换
条件：AB∥CD或四边形ABDC为梯形．
结论1： ；
结论2： ；
结论3： ．
注：条件和结论互换也成立．
例题5
8 如下图，已知点 在线段 上， ， ，则 与 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D. 不确定
知识总结
1.过三角形边上的一点平分三角形的面积
如图 ，过线段 上的点 作直线，使平分 的面积．
作法：
①取线段 的中点 ，
②连接 ，
③过点 作 ，
④过点 和 画直线 ，
则直线 平分 的面积．
2.过四边形的一个顶点平分四边形的面积
如图四边形 ，过点 作直线，使平分四边形 的面积．
作法：
①连接 ，
②过点 作 交 的延长线于点 ，
③取线段 的中点 ，
④过点 和 画直线 ，
则直线 平分四边形 的面积．
例题6
9 如图 ，五边形 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变为
图 ，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图中的折线 ）还保留着，张大爷想过点 修一条直
路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积和承包时的一样多，请你用有关几何知识，按张大
爷的要求设计出修路方案．
图 图
三、数学万花筒
欧式几何
欧氏几何源于公元前3世纪．古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理(公设)，
在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几
何．按所讨论的图形在平面上或空间中，又分别称为“平面几何”与“立体几何”．
欧几里得在其《几何原本》中给出了5条公理和5条公设．
五条公理是：
1、等于同量的量彼此相等．
2、等量加等量，其和仍相等．
3、等量减等量，其差仍相等．
4、彼此能够重合的物体是全等的．
5、整体大于部分．
五条公设是：
1、任意两个点可以通过一条直线连接．
2、任意线段能无限延长成一条直线．
3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆．
4、所有直角都全等．
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边
必定相交．
第五条公理称为平行公理（平行公设），可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点，有且仅有一条
不与该直线相交的直线．
平行公理并不像其他公理那么显然．许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功．19
世纪，有人通过构造非欧几里得几何，说明平行公理是不可证的．
四、巩固加油站
巩固1
10 探究：
(1) 如图 ，若 ，则 、 、 的关系为： ．
图
(2) 在（ ）条件下，将点 移至图 所示位置，则 、 、 的关系为 ．
图
(3) 若将点 移至如图 所示位置，则 、 、 的关系为 ．
图
(4) 若将点 移至如图 所示位置，则 、 、 的关系为 ．
图
巩固2
11 已知：如图所示， ， ， ，则 ．
巩固3
12 如图所示，若 ，求 ， ， 的关系？
巩固4
13 如图， ， ， ， 平分 ， ，求 的度数
度．
巩固5
14 如下图，已知 ， ， ，求证： ．
A B
E F
C D
巩固6
15 如图，直线 ，连接 ，直线 、 及线段 把平面分成①、②、③、④四个部分，
规定：线上各点不属于任何部分，当动点 落在某个部分时，连接 ， ，构成 ，
， 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是 角）
(1) 当动点 落在第①部分时，求证： ．
(2) 当动点 落在第②部分时， 是否成立？（直接回答成立或不成
立）
(3) 当动点 落在第③部分时，全面探究 ， ， 之间的关系，并写出动点 的
具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以说明．
巩固7
16
已知 ，点 在点 的右侧， ， 平分 ， 平分 ， ， 所
在的直线交于点 ，点 在 与 两条平行线之间．
1 如图 ，点 在点 的左侧，若 ，则 的度数为 ．
2 如图 ，点 在点 的右侧，且 ， ．若 ，则 的度数为
．（用含 的代数式表示）．
图
巩固8
17 如图，欲将一块四边形 耕地中间的一条折线段小路 改为过点 的直路 ，但不能改
变原来折线小路两边的耕地面积的大小，应如何作图？（简述作法，保留作图痕迹）

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