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第3讲 三角形的边与角
一、三角形三边关系定理及推论
三角形的三边关系 示例剖析
三角形的任意两边之和大于第
三边
三角形的任意两边之差小于第
三边 其中a+c＞b；a+b＞c；b+c＞a
|a﹣c|＞b；|a﹣b|
注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另
两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角
形．
|a﹣b|
整数边三角形
若三角形三边的长为a，b，c且a≤b≤c，则
三角形的最小的边a满足： ，当且仅当a=b=c时，等号成立；
三角形的最大的边c满足： ，当且仅当a=b=c时，等号成立．
1.基本概念回顾
例题1
1 两根木棒的长分别是 和 ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长是
，则 的取值范围是 ，三角形的周长的取值范围是 ．
答案 1．
2．
解析 略
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的线段 >题型：求三角形第三边的取值范围
2 加油站 和商店 在马路 的同一侧（如图所示）， 到 的距离大于 到 的距离，
，一个行人 在马路 上行走，问：当 到 的距离与 到 的距离之差最大时，这个差
等于 ．
答案
解析 当 、 、 三点共线时， 到 的距离与 到 的距离之差最大，最大值为 的长，即差等于
．
标注 综合类问题 >最短路径问题 >题型：两点之间线段最短
3 已知 ， ， 为 的三边长，化简： ．
答案 ．
解析 略
标注 数 >有理数 >绝对值 >题型：已知范围化简绝对值
2.整数边三角形
例题2
1 三角形三边长 、 、 都是整数，且 ，若 ，则有多少个满足题意的三角形？
答案
解析 上面都是已知三角形的周长，从三角形的最大的边出发用枚举法．而本题提供了另一思路：
知道了， 的范围就确定了，对 采用枚举法就可以把问题算出来，现在对 从 到 枚举满足不
等式 的整数 的个数为 ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的线段 >题型：求三角形第三边的取值范围
2 周长为 ，各边长互不相等且都是整数的三角形共有（ ） 个．
A. B. C. D.
答案 C
解析 设三边为 ，且满足 ，则有
，故 所有可能取值为 , , ,
依次讨论枚举可知共有 个
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的线段 >题型：判断能否构成三角形
3 用长度相等的 根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的 倍，求满足此
条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．
答案 满足条件的三角形有两组，三边所用火柴杆数目分别为 ， ， 或 ， ， ．
解析 根据题意，设最短边有 根火柴杆，则最长边有 根火柴杆，另一边有 根火柴杆，
∴ ，
∴ ，
解得 且为正整数，
∴ 或 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
∴满足条件的三角形有两组，三边所用火柴杆数目分别为 ， ， 或 ， ， ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的线段 >题型：与三边关系有关的证明
3.边的大小证明
例题3
1 如图， 、 是四边形 的对角线，且 、 相交于点 ，求证：
(1) ．
(2) ．
答案 (1) 证明见解析．
(2) 证明见解析．
解析 (1) 在 中， ，
在 中， ，两不等式相加得
∴ ，
即 ．
(2) 应用上题的结论： ， ，
∴ ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的线段 >题型：与三边关系有关的证明
2 如图，在 中， ， 为三角形内任意一点，连结 ，并延长交 于点 ．求
证：
(1)
(2)
答案 (1) 证明见解析
(2) 证明见解析
解析 (1) ∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
(2) 过点 作 ∥ ，交 、 于 、 ，
则 ，
由(1)知
∵ ，
∴
即
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的线段 >题型：与三边关系有关的证明
二、三角形中的角
1.角的概念
例题4
1 已知 中， 、 、 三个角的比例如下，能说明 是直角三角形的是（ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 三角形的内角和为 ，
设三个角为 、 、 ，
， ，
则各角为 、 、 ．
标注 三角形 >锐角三角函数及解直角三角形 >锐角三角函数 >题型：解直角三角形的综合应用
2 一个多边形少一个内角的度数和为 ．
(1) 求它的边数．
(2) 求少的那个内角的度数．
答案 (1)
(2)
解析 (1) 设该多边形为 边形，根据 边形的内角和等于 ，有：
，解得 ，故 ．
(2) 由上题知为十五边形，故内角和为 ，
故少的内角度数为 ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >多边形 >题型：求正多边形的内角
3 在 中， ，高 、 所在直线交于点 ，且点 不与点 、 重合，则 的度数
为 ．
答案 或
解析 略
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的角 >题型：三角形内角的应用
2.三角形中的倒角
例题5
1 如图， 中， ，若沿图中虚线截去 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵ 、 是 的外角，
∴ ， ，
即 ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的角 >题型：三角形内角的应用
2 是 的角平分线， 于点 ，若 ， ，则 的度数是
．
答案
解析 ∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ 于点 ，
∴ ，
∴ ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的角 >题型：三角形内角的应用
3 已知如图，在 中， 、 分别是 、 上的任意两点(不与 、 、 重合)，现将 沿
折叠，折叠后压平，若 与 、 与 的夹角分别记为 和 ，试求 、 、 之间的
数量关系．
(1) 在图 中， 、 、 之间的数量关系是 ．
图
(2) 在图 中， 、 、 之间的数量关系是 ．
图
(3) 在图 中， 、 、 之间的数量关系是 ．
图
(4) 如图 ，如果把四边形 沿 折叠，使得点 、 落在四边形 的内部时，
与 、 之间存在的一种数量关系始终保持不变，此数量关系为 （写出
结论，并证明）．
图
答案 (1)
(2)
(3)
(4)
解析 (1) 略
(2) 略
(3) 略
(4) 由题意得： ， ，
∴ ， ，
在四边形 中： ，
∴ ，即 ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的角 >题型：三角形折叠
3.角的范围确定
知识总结
“飞镖”模型
“8”字模型
飞镖模型结论的常用证明方法
大角对大边，大边对大角
例题6
1 证明：一个三角形中最大角必不小于 ，最小角必不大于 ．
答案 证明见解析．
解析 在 中，
不妨设 ，
则 ，
即 ，可得 ．
同理由 ，
可得 ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的角 >题型：三角形内角的应用
2 已知三角形中两角之和为 ，最大角比最小角大 ，求 的取值范围．
答案 ．
解析 不妨设三角形的三个角分别是 、 、 ，且有 ，由题设 ．
（1）若 ，则 ．∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）若 ，则 ，于是 ， ，
∴ ．
（3）若 ，则 ，
则 ， ．
于是 ，∴ ．
综上所述， 的取值范围是 ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的角 >题型：三角形内角的应用
三、数学万花筒
埃舍尔的镶嵌
规则的平面分割叫做镶嵌，镶嵌图形是完全没有重叠并且没有空隙的封闭图形的排列．一般来说,
构成一个镶嵌图形的基本单元是多边形或类似的常规形状, 例如经常在地板上使用的方瓦．
然而, 埃舍尔（M.C.Escher摩里茨·科奈里斯·埃舍尔1898-1972，荷兰"图形艺术家"，他专门从事于
木版画和平版画）被每种镶嵌图形迷住了，不论是常规的还是不规则的; 并且对一种他称为
metamorphoses（变形）的形状特别感兴趣，这其中的图形相互变化影响，并且有时突破平面的自由．
他的兴趣是从1936年开始的，那年他旅行到了西班牙并且在Alhambra看到了当地使用的瓦的图案．他花
了好几天勾画这些瓦面，过后宣称这些 "是我所遇到的最丰富的灵感资源"，1957年他写了一篇关于镶嵌
图形的文章，其中评论道："在数学领域，规则的平面分割已从理论上研究过了. . . ，难道这意味着它只
是一个严格的数学的问题吗？按照我的意见, 它不是．数学家们打开了通向一个广阔领域的大门，但是他
们自己却从未进入该领域．从他们的天性来看他们更感兴趣的是打开这扇门的方式，而不是门后面的花
园．"
　　无论这对数学家是否公平, 有一点是真实的--他们指出了在所有的常规的多边形中，仅仅三角形，正
方形，和正六边形能被用于镶嵌．但许多其他不规则多边形平铺后也能形成镶嵌，例如有许多镶嵌就使
用了不规则的五角星形状．埃舍尔在他的镶嵌图形中利用了这些基本的图案，他用几何学中的反射、平
滑反射、变换和旋转来获得更多的变化图案．他也精心地使这些基本图案扭曲变形为动物、鸟和其他的
形状．这些改变不得不通过三次、四次甚至六次的对称以便得到镶嵌图形．这样做的效果既是惊人的，
又是美丽的．
四、巩固加油站
巩固1
下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是（ ）．
A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ，
答案 C
解析 A选项： ，能构成三角形．
B选项： ，能构成三角形．
C选项： ，不能构成三角形．
D选项： ，能构成三角形．
故选C.
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的线段 >题型：判断能否构成三角形
巩固2
两根木棒的长度分别是 和 ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒
的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
答案 B
解析 根据三角形的三边关系，得
第三根木棒的长大于 而小于 ．
又第三根木棒的长是偶数，则应为 ， ， ， ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的线段 >题型：求三角形第三边的取值范围
巩固3
已知 、 、 是三角形的三边长：
化简： ．
答案
解析 ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的线段 >题型：与三边关系有关的证明
巩固4
设 、 、 均为自然数，且 ， ，试问以 、 、 为边长的三角形共有多少
个？（ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵三角形三边关系定理，知 ，即 ，
∴ ． ∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ 为自然数，
∴ 可取 、 、 ．
当 时， ， ； ， ； ， ； ， ；
当 时， ， ； ， ；
当 时， ， .
综上所述,以 、 、 为三边长的三角形共有 个．
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的线段 >题型：与三边关系有关的证明
巩固5
适合条件 的 是（ ）．
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等边三角形
答案 A
解析 ∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为锐角三角形．
标注 三角形 >三角形及多边形 >三角形的基础 >题型：三角形的分类
巩固6
已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则这个等腰三角形的顶角度数为
．
答案 或
解析 由于未指明高的具体位置，所以此问题应分高在等腰三角形内部和外部两种情形．
① 当高 在 内部，且 时，顶角 的度数为 ；
② 当高 在 外部，且 时，顶角 ．
故答案为： 或 ．
标注 三角形 >等腰三角形 >等腰三角形基础 >题型：腰上的高与腰的夹角问题
巩固7
在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为 ，则这个多边形的边数为（ ）．
A. B. 或 C. D. 或
答案 D
解析 设这个多边形为 边形（ 为正整数），由 ，
得 ， 或 ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >多边形 >题型：求多边形的内角和
巩固8
如图所示，把一个三角形纸片 顶角向内折叠 次之后， 个顶点不重合，那么图中
的度数和是 ．
答案
解析 由题意知，
，
∵ ， ， ，
∴ ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的角 >题型：三角形内角的应用
巩固9
如图，将六边形 沿直线 折叠，使点 、 落在六边形 内部，则下列结论正
确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 如图，设 的延长线与 的延长线交于点 ， 的延长线与 的延长线交于点 ，连接
，
由对称性知， ，
∴ ，
又∵ ，∴ ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >多边形 >题型：不规则图形的多角求和第3讲 三角形的边与角
一、三角形三边关系定理及推论
三角形的三边关系 示例剖析
三角形的任意两边之和大于第
三边
三角形的任意两边之差小于第
三边 其中a+c＞b；a+b＞c；b+c＞a
|a﹣c|＞b；|a﹣b|
注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另
两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角
形．
|a﹣b|
整数边三角形
若三角形三边的长为a，b，c且a≤b≤c，则
三角形的最小的边a满足： ，当且仅当a=b=c时，等号成立；
三角形的最大的边c满足： ，当且仅当a=b=c时，等号成立．
1.基本概念回顾
例题1
1 两根木棒的长分别是 和 ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长是
，则 的取值范围是 ，三角形的周长的取值范围是 ．
2 加油站 和商店 在马路 的同一侧（如图所示）， 到 的距离大于 到 的距离，
，一个行人 在马路 上行走，问：当 到 的距离与 到 的距离之差最大时，这个差
等于 ．
3 已知 ， ， 为 的三边长，化简： ．
2.整数边三角形
例题2
1 三角形三边长 、 、 都是整数，且 ，若 ，则有多少个满足题意的三角形？
2 周长为 ，各边长互不相等且都是整数的三角形共有（ ） 个．
A. B. C. D.
3 用长度相等的 根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的 倍，求满足此
条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．
3.边的大小证明
例题3
1 如图， 、 是四边形 的对角线，且 、 相交于点 ，求证：
(1) ．
(2) ．
2 如图，在 中， ， 为三角形内任意一点，连结 ，并延长交 于点 ．求
证：
(1)
(2)
二、三角形中的角
1.角的概念
例题4
1 已知 中， 、 、 三个角的比例如下，能说明 是直角三角形的是（ ）．
A. B. C. D.
2 一个多边形少一个内角的度数和为 ．
(1) 求它的边数．
(2) 求少的那个内角的度数．
3 在 中， ，高 、 所在直线交于点 ，且点 不与点 、 重合，则 的度数
为 ．
2.三角形中的倒角
例题5
1 如图， 中， ，若沿图中虚线截去 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
2 是 的角平分线， 于点 ，若 ， ，则 的度数是
．
3 已知如图，在 中， 、 分别是 、 上的任意两点(不与 、 、 重合)，现将 沿
折叠，折叠后压平，若 与 、 与 的夹角分别记为 和 ，试求 、 、 之间的
数量关系．
(1) 在图 中， 、 、 之间的数量关系是 ．
图
(2) 在图 中， 、 、 之间的数量关系是 ．
图
(3) 在图 中， 、 、 之间的数量关系是 ．
图
(4) 如图 ，如果把四边形 沿 折叠，使得点 、 落在四边形 的内部时，
与 、 之间存在的一种数量关系始终保持不变，此数量关系为 （写出
结论，并证明）．
图
3.角的范围确定
知识总结
“飞镖”模型
“8”字模型
飞镖模型结论的常用证明方法
大角对大边，大边对大角
例题6
1 证明：一个三角形中最大角必不小于 ，最小角必不大于 ．
2 已知三角形中两角之和为 ，最大角比最小角大 ，求 的取值范围．
三、数学万花筒
埃舍尔的镶嵌
规则的平面分割叫做镶嵌，镶嵌图形是完全没有重叠并且没有空隙的封闭图形的排列．一般来说,
构成一个镶嵌图形的基本单元是多边形或类似的常规形状, 例如经常在地板上使用的方瓦．
然而, 埃舍尔（M.C.Escher摩里茨·科奈里斯·埃舍尔1898-1972，荷兰"图形艺术家"，他专门从事于
木版画和平版画）被每种镶嵌图形迷住了，不论是常规的还是不规则的; 并且对一种他称为
metamorphoses（变形）的形状特别感兴趣，这其中的图形相互变化影响，并且有时突破平面的自由．
他的兴趣是从1936年开始的，那年他旅行到了西班牙并且在Alhambra看到了当地使用的瓦的图案．他花
了好几天勾画这些瓦面，过后宣称这些 "是我所遇到的最丰富的灵感资源"，1957年他写了一篇关于镶嵌
图形的文章，其中评论道："在数学领域，规则的平面分割已从理论上研究过了. . . ，难道这意味着它只
是一个严格的数学的问题吗？按照我的意见, 它不是．数学家们打开了通向一个广阔领域的大门，但是他
们自己却从未进入该领域．从他们的天性来看他们更感兴趣的是打开这扇门的方式，而不是门后面的花
园．"
　　无论这对数学家是否公平, 有一点是真实的--他们指出了在所有的常规的多边形中，仅仅三角形，正
方形，和正六边形能被用于镶嵌．但许多其他不规则多边形平铺后也能形成镶嵌，例如有许多镶嵌就使
用了不规则的五角星形状．埃舍尔在他的镶嵌图形中利用了这些基本的图案，他用几何学中的反射、平
滑反射、变换和旋转来获得更多的变化图案．他也精心地使这些基本图案扭曲变形为动物、鸟和其他的
形状．这些改变不得不通过三次、四次甚至六次的对称以便得到镶嵌图形．这样做的效果既是惊人的，
又是美丽的．
四、巩固加油站
巩固1
下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是（ ）．
A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ，
巩固2
两根木棒的长度分别是 和 ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒
的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
巩固3
已知 、 、 是三角形的三边长：
化简： ．
巩固4
设 、 、 均为自然数，且 ， ，试问以 、 、 为边长的三角形共有多少
个？（ ）．
A. B. C. D.
巩固5
适合条件 的 是（ ）．
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等边三角形
巩固6
已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则这个等腰三角形的顶角度数为
．
巩固7
在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为 ，则这个多边形的边数为（ ）．
A. B. 或 C. D. 或
巩固8
如图所示，把一个三角形纸片 顶角向内折叠 次之后， 个顶点不重合，那么图中
的度数和是 ．
巩固9
如图，将六边形 沿直线 折叠，使点 、 落在六边形 内部，则下列结论正
确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.

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