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第4讲 倒角模型
一、“飞镖”与“8字模型”
知识总结
模型 图形 结论
飞镖模型 ∠BDC=∠A+∠B+∠C
模型 图形 结论
“8”字模型 ∠A+∠B=∠C+∠D
【注】1．证明思路：构造三角形，利用三角形内角和定理证明；
2．飞镖模型、“8”字模型在大题中不可直接使用，必须证明后再用．
典型例题
例题1
1 如图， （ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 与 交于 点，
由飞镖模型可得： ， ，
∴ ，
故选 ．
2 如图 ，求 .
答案
解析
例题2
如图 ，求 ．
答案 ．
解析 方法一：∵ ，①
，②
，③
①+②+③ ，
∵ ，
∴ ．
方法二：∵ ，①
，②
，③
而 ， ， ，
且 ，④
∴①+②+③-④得，
．
方法三：连接 ， ，
∴ ．
例题3
已知：如图， ， ， ， 分别平分 和 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析
根据三角形外角性质，可得：
， ，
， ，
∴ ，
，
∴ ．
又∵ 、 分别平分 、 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
故选 ．
二、角平分线模型
知识总结
模 型 图 形 结 论
双内角分线模型
模 型 图 形 结 论
双外角分线模型
模 型 图 形 结 论
一内一外角分线模型
注：角平分线模型在大题中不可直接使用，必须证明后再用．
典型例题
例题4
1 如图所示， ， 的内角平分线交于点 ， 的内角平分线与 的外角平分线交
于点 ， 与 的相邻外角平分线交于点 ，且 ，则 ，
， ．
答案 1．
2．
3．
解析 ；
；
．
2 如图，点 是 两个内角平分线的交点，点 是 两个外角平分线的交点，如果
，则 的度数为 ．
答案
解析 ．
，因为 ．
则 ．
解得 ．
3 如图，在 中， ， 的平分线与 的平分线交于点 ，得 ； 的平
分线与 的平分线相交于点 ，得 ；…， 的平分线与 的平分线相交
于点 ，得 ，则 ．
A1
答案
解析 ，
∵ 的角平分线与 角平分线交于点 ，
∴ ，
∴ ．
∴依此类推得： ， …，
∴ ．
故答案为： ．
4 如图，已知射线 ， 、 为 、 上两动点， 中 的平分线与 的外角
平分线所在的直线交于点 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 的度数不会随点 ， 的运动而发生变化，
∵ ，
∴ ，
∵ 中， 的平分线与 的外角平分线交于点 ，
∴ ，
，
∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选 ．
例题5
如图， ， 、 的三等分线交于点 、 ，若 ， ，
求 的度数；
答案
解析 略
例题6
如图：已知 中， 的 等分线与 的 等分线分别相交于 ， ， ， ， ，
试猜想： 与 的关系．（其中 是不小于 的整数）
首先得到：当 时，如图 ， ，
当 时，如图 ， ，
如图 ，猜想 ．
A
B C
图 图 图
答案 1．
2．
3．
解析 ∵当 时， ，
∴ ；
∵当 时， ，
∴ ．
由 ， 可知， ．
故答案为： ， ， ．
三、数学万花筒
帕斯卡12岁证明任意三角形内角和180度
帕斯卡12岁证明任意三角形内角和180度。
任意两个相同直角三角形一定能拼成长方形，每一个长方形的内角和是360（四个直角）恰好包含了直
角三角形的6个内角，所以一个直角三角形的内角和是360÷2=180。
任意两个相同的直角三角形一定能拼成长方形
在此基础上证明任意锐角三角形内角和是180°. 在三角形内作一条高，会分割出两个不同的直角三角
形。因为直角三角形的内角和是180°，所以除直角外的两个锐角和为180°-90°=90°.两个直角三角形中共
有4各锐角，恰好组成了原来大锐角三角形的三个内角，即可得出任意锐角三角形内角和为
90°+90°=180°.同理可证，任意钝角三角形内角和也是180°，因为只有一条高在其内部，所以作高是没
有选择余地了。
任意锐角三角形内作高
任意钝角三角形内作高
既然任意直角三角形、锐角三角形钝角三角形的内角和都是180°，小帕斯卡才会非常肯定地说：任意三
角形的内角和是都是180°。这里有个误区，有的教师以为学生在三种类型的三角形中各选择一个分别测
量，就是代表了全部的三角形，实际上具体的锐角三角形不能代表所有的锐角三角形，这与帕斯卡证明
方法中的任意三角形有本质的不同。
四、巩固加油站
巩固1
如图， ， ， ，则 ．
答案
解析 ．
巩固2
如下图， ， ， ，则 的度数为 度．
答案
解析 ∵ ，
∴ ．
巩固3
如图， 度．
答案
解析 ∵ ，
∴
．
巩固4
如图，点 和点 分别在 的边 和 的延长线上， ， 分别平分 和 ，若
， ，则 的大小是 ．
答案
解析 ∵ ， 分别平分 和 ，
∴ ， ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
巩固5
如图，点 是 两个内角平分线的交点，点 是 两个外角平分线的交点，如果
，则 的度数为（　　）
A. B. C. D.
答案 A
解析
，
，
，解得： ，故选A
巩固6
如图，在 中， ， 与 的角平分线交于 ， 与 的角平分线
交于点 ，依次类推， 与 的角平分线交于点 ，则 的度数是 度．
答案
解析 ∵ ，∴ ，
又 与 的角平分线交于 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
依次类推， ．
故答案为： ．
巩固7
如图⑴， 、 是任意 的 、 的角平分线．
(1) 探求 与 的数量关系.
(2) 能等于 吗？说明理由.
(3) 当 为多少度时， ？
(4) 把图⑴中的 变成图⑵中的四边形 ， 、 仍然是 ， 的平分线，猜想
与 、 有何数量关系？（只写出猜想结果，不写过程）
答案 (1)
(2) 不能
(3)
(4)
解析 (1) 如图，设 ，
则 ，
∴
①
∴ ②
② ①，得
∴ ．
(2) 不能，若 ，则 ，所以不能．
(3) 若 ．
∴ ．
∴ ．
(4) ．第4讲 倒角模型
一、“飞镖”与“8字模型”
知识总结
模型 图形 结论
飞镖模型 ∠BDC=∠A+∠B+∠C
模型 图形 结论
“8”字模型 ∠A+∠B=∠C+∠D
【注】1．证明思路：构造三角形，利用三角形内角和定理证明；
2．飞镖模型、“8”字模型在大题中不可直接使用，必须证明后再用．
典型例题
例题1
1 如图， （ ）．
A. B. C. D.
2 如图 ，求 .
例题2
如图 ，求 ．
例题3
已知：如图， ， ， ， 分别平分 和 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
二、角平分线模型
知识总结
模 型 图 形 结 论
双内角分线模型
模 型 图 形 结 论
双外角分线模型
模 型 图 形 结 论
一内一外角分线模型
注：角平分线模型在大题中不可直接使用，必须证明后再用．
典型例题
例题4
1 如图所示， ， 的内角平分线交于点 ， 的内角平分线与 的外角平分线交
于点 ， 与 的相邻外角平分线交于点 ，且 ，则 ，
， ．
2 如图，点 是 两个内角平分线的交点，点 是 两个外角平分线的交点，如果
，则 的度数为 ．
3 如图，在 中， ， 的平分线与 的平分线交于点 ，得 ； 的平
分线与 的平分线相交于点 ，得 ；…， 的平分线与 的平分线相交
于点 ，得 ，则 ．
A1
4 如图，已知射线 ， 、 为 、 上两动点， 中 的平分线与 的外角
平分线所在的直线交于点 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
例题5
如图， ， 、 的三等分线交于点 、 ，若 ， ，
求 的度数；
例题6
如图：已知 中， 的 等分线与 的 等分线分别相交于 ， ， ， ， ，
试猜想： 与 的关系．（其中 是不小于 的整数）
首先得到：当 时，如图 ， ，
当 时，如图 ， ，
如图 ，猜想 ．
A
B C
图 图 图
三、数学万花筒
帕斯卡12岁证明任意三角形内角和180度
帕斯卡12岁证明任意三角形内角和180度。
任意两个相同直角三角形一定能拼成长方形，每一个长方形的内角和是360（四个直角）恰好包含了直
角三角形的6个内角，所以一个直角三角形的内角和是360÷2=180。
任意两个相同的直角三角形一定能拼成长方形
在此基础上证明任意锐角三角形内角和是180°. 在三角形内作一条高，会分割出两个不同的直角三角
形。因为直角三角形的内角和是180°，所以除直角外的两个锐角和为180°-90°=90°.两个直角三角形中共
有4各锐角，恰好组成了原来大锐角三角形的三个内角，即可得出任意锐角三角形内角和为
90°+90°=180°.同理可证，任意钝角三角形内角和也是180°，因为只有一条高在其内部，所以作高是没
有选择余地了。
任意锐角三角形内作高
任意钝角三角形内作高
既然任意直角三角形、锐角三角形钝角三角形的内角和都是180°，小帕斯卡才会非常肯定地说：任意三
角形的内角和是都是180°。这里有个误区，有的教师以为学生在三种类型的三角形中各选择一个分别测
量，就是代表了全部的三角形，实际上具体的锐角三角形不能代表所有的锐角三角形，这与帕斯卡证明
方法中的任意三角形有本质的不同。
四、巩固加油站
巩固1
如图， ， ， ，则 ．
巩固2
如下图， ， ， ，则 的度数为 度．
巩固3
如图， 度．
巩固4
如图，点 和点 分别在 的边 和 的延长线上， ， 分别平分 和 ，若
， ，则 的大小是 ．
巩固5
如图，点 是 两个内角平分线的交点，点 是 两个外角平分线的交点，如果
，则 的度数为（　　）
A. B. C. D.
巩固6
如图，在 中， ， 与 的角平分线交于 ， 与 的角平分线
交于点 ，依次类推， 与 的角平分线交于点 ，则 的度数是 度．
巩固7
如图⑴， 、 是任意 的 、 的角平分线．
(1) 探求 与 的数量关系.
(2) 能等于 吗？说明理由.
(3) 当 为多少度时， ？
(4) 把图⑴中的 变成图⑵中的四边形 ， 、 仍然是 ， 的平分线，猜想
与 、 有何数量关系？（只写出猜想结果，不写过程）

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