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第5讲 全等三角形的经典模型
一、双垂直模型
知识总结
①双垂直中的角度关系 ②双垂直中的全等关系
若 ，则 ≌
， ,
、 为等腰直角三角形
经典例题
例题1
如图，在 中， ， ， 平分 ， 交 的延长线于 ， 为
垂足，则结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其
中正确结论的个数是（ ）．
B
E D
F C A
A. B. C. D.
二、三垂直模型
知识总结
模型描述
是等腰直角三角形，
图①为一条直线经过直角顶点 ，过 的外侧，
图②、③为一条直线经过直角顶点 ，过 的内侧，
与 分 别垂直于过 点的直线．
核心结论： ≌
图①： ；
图②：
图③：
经典例题
例题2
如图， 中， ， ， 交 于 ， ， ， ，
，则 ．
例题3
如图，锐角 分别以 、 为直角顶点，向 外作等腰直角三角形 和等腰直角三角形
，再分别过点 、 作边 所在直线的垂线，垂足为 ， ．求证： ．
例题4
如图，直线 经过 的顶点 ， ． 、 分别是直线 上两点，且
．
图 图 图
(1) 若直线 经过 的内部，且 、 在射线 上，请解决下面问题：
1 如图①，若 ， ， ；（填“≌”或不一定全等
于） ．（填“ ”，“ ”或“ ”）
2 如图②，若 ，若使①中的结论仍然成立，则 与 应满足的
关系是 ．
(2) 如图③，若直线 经过 的外部， ，请探究 、与 、 三条线段的
数量关系，说明理由．
三、手拉手模型
知识总结
模型要点：两个等腰三角形共顶点
常考图形
等边三角形手拉手 等腰直角三角形（正方形）手拉手
核心结论： 核心结论：
① ≌ ① ≌
② ②
经典例题
例题5
如图，已知 和 均是等边三角形，点 、 、 在同一条直线上， 与 交于点 ，
与 交于点 ， 与 交于点 ，连结 、 ，则下列结论；① ；② ；
③ 为等边三角形；④ ．其中结论正确的是 ．（只填序号）
例题6
已知 和 ，其中 ， ， ．
(1) 如图 所示，连接 、 ，求证： 和 的关系？
图
(2) 如图 所示，连接 、 ，试说明 ．
图
例题7
小明和同学小颖在学习了全等三角形后，研究了以下问题：
(1) 猜想：如图 ， 和 均为等边三角形，点 、 、 在同一直线上，连接 ，则
的度数为 ，线段 与 之间的数量关系是 ．
(2) 探索：如图 ， 与 均是顶角为 的等腰三角形， 、 分别是底边，试说
明： ．
(3) 拓展：如图 ， 和 均为等腰直角三角形， ， ，
， ，点 、 、 在同一直线上， 为
中 边上的高，连接 ．试判断线段 、 、 之间的数量关系，并说明理由．
四、数学万花筒
塞凯赖什夫妇的爱情
1933 年，匈牙利数学家乔治·塞凯赖什（George Szekeres）还只有 22 岁。那时，他常常和朋友们在
匈牙利的首都布达佩斯讨论数学。这群人里面还有同样生于匈牙利的数学怪才——保罗·埃尔德什（Paul
Erd s）大神。不过当时，埃尔德什只有 20 岁。
在一次数学聚会上，一位叫做爱丝特·克莱恩（Esther Klein）的美女同学提出了这么一个结论：在平面
上随便画五个点（其中任意三点不共线），那么一定有四个点，它们构成一个凸四边形。塞凯赖什和埃
尔德什等人想了好一会儿，没想到该怎么证明。于是，美女同学得意地宣布了她的证明：这五个点的凸
包（覆盖整个点集的最小凸多边形）只可能是五边形、四边形和三角形。前两种情况都已经不用再讨论
了，而对于第三种情况，把三角形内的两个点连成一条直线，则三角形的三个顶点中一定有两个顶点在
这条直线的同一侧，这四个点便构成了一个凸四边形。
平面上五个点的位置有三种情况
众人大呼精彩。之后，埃尔德什和塞凯赖什仍然对这个问题念念不忘，于是尝试对其进行推广。最
终，他们于 1935 年发表论文，成功地证明了一个更强的结论：对于任意一个正整数 n ≥ 3，总存在一个
正整数 m，使得只要平面上的点有 m 个（并且任意三点不共线），那么一定能从中找到一个凸 n 边
形。埃尔德什把这个问题命名为了“幸福结局问题”（Happy Ending problem），因为这个问题让乔治·塞
凯赖什和美女同学爱丝特·克莱恩之间迸出了火花，两人越走越近，最终在 1937 年 6 月 13 日结了婚。
对于一个给定的 n ，不妨把最少需要的点数记作 f(n)。求出 f(n) 的准确值是一个不小的挑战。由于平面
上任意不共线三点都能确定一个三角形，因此 f(3) = 3 。爱丝特·克莱恩的结论则可以简单地表示为 f(4)
= 5 。利用一些稍显复杂的方法，我们可以证明 f(5) 等于 9 。2006 年，利用计算机的帮助，人们终于证
明了 f(6) = 17。对于更大的 n，f(n) 的值分别是多少？ f(n) 有没有一个准确的表达式呢？这是数学中悬
而未解的难题之一。几十年过去了，幸福结局问题依旧活跃在数学界中。
不管怎样，最后的结局真的很幸福。结婚后的近 70 年里，他们先后到过上海和阿德莱德，最终在悉
尼定居，期间从未分开过。 2005 年 8 月 28 日，乔治和爱丝特相继离开人世，相差不到一个小时。
五、巩固加油站
巩固1
如图： 中， 于 ， 于 ， ， 相交于 ，如果 ，求 的度
数．
巩固2
如图， 、 分别是正方形 的 、 边上的点，且 ，其中 ， ，求正
方形的边长．
巩固3
如图，已知 中 ， ， 是 的中点， ，垂足为 ．
，交 的延长线于点 ．求证： ．
巩固4
在 中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ， 于 ．
(1) 当直线 绕点 旋转到图中的位置时，求证．
1 ≌ ．
2 ．
(2) 当直线 绕点 旋转到图中的位置时，求证： ．
(3) 当直线 绕点 旋转到图中的位置时，试问 、 、 具有怎样的等量关系？请写
出这个等量关系，并加以证明．
巩固5
如图 ，已知：在 中， ， ，直线 经过点 ， 直线 ， 直线
，垂足分别为点 、 ．
(1) 证明： ．
(2) 如图⑵，将⑴中的条件改为：在 中， ， 、 、 三点都在直线 上，并且
有 ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论 是否
还成立？如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
(3) 如图⑶， 、 是直线 上的两动点（ 、 、 三点互不重合），点 为 平分线上的
一点，且 和 均为等边三角形，连接 、 ，若 ，
试判断 的形状．
巩固6
如图，已知 和 都是等边三角形， 于点 ， 于点 ，请问： 和
有何数量关系？请说明理由．
巩固7
如图 ，线段 上有一点 ，以 ， 为边分别在 的同侧作等边三角形 ， ，连接
， ，分别交 ， 于 ， ．
(1) 找出图中的所有全等三角形；找出一组相等的线段，并说明理由．
(2) 如图 ，取 的中点 、 的中点 ，连接 ，试判断三角形 的形状，并说明理
由．第5讲 全等三角形的经典模型
一、双垂直模型
知识总结
①双垂直中的角度关系 ②双垂直中的全等关系
若 ，则 ≌
， ,
、 为等腰直角三角形
经典例题
例题1
如图，在 中， ， ， 平分 ， 交 的延长线于 ， 为
垂足，则结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其
中正确结论的个数是（ ）．
B
E D
F C A
A. B. C. D.
答案 D
解析
①∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵在 与 中，
，
，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ≌ ，
∴ ；
故①正确．
②∵①中 ≌ ，
∴ ，
故②正确．
③∵①中 ≌ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴在 中，
，
∵ ，
∴
，
∴ ，即 ，
故③正确．
④由③可知， 是等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∵在 中，若 ，
则 ，
与②中 相矛盾，
故 ，
故④错误．
⑤由③可知， 是等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
故⑤正确．
所以①②③⑤四项正确．
故选 ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等形判定 >题型：AAS
二、三垂直模型
知识总结
模型描述
是等腰直角三角形，
图①为一条直线经过直角顶点 ，过 的外侧，
图②、③为一条直线经过直角顶点 ，过 的内侧，
与 分 别垂直于过 点的直线．
核心结论： ≌
图①： ；
图②：
图③：
经典例题
例题2
如图， 中， ， ， 交 于 ， ， ， ，
，则 ．
答案
解析 ∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
∴ （等角的余角相等）；
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等三角形性质 >题型：对应边与角
例题3
如图，锐角 分别以 、 为直角顶点，向 外作等腰直角三角形 和等腰直角三角形
，再分别过点 、 作边 所在直线的垂线，垂足为 ， ．求证： ．
答案 证明见解析．
解析 如图，过 作 ，
∴ ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等模型 >题型：三垂直模型
例题4
如图，直线 经过 的顶点 ， ． 、 分别是直线 上两点，且
．
图 图 图
(1) 若直线 经过 的内部，且 、 在射线 上，请解决下面问题：
1 如图①，若 ， ， ；（填“≌”或不一定全等
于） ．（填“ ”，“ ”或“ ”）
2 如图②，若 ，若使①中的结论仍然成立，则 与 应满足的
关系是 ．
(2) 如图③，若直线 经过 的外部， ，请探究 、与 、 三条线段的
数量关系，说明理由．
答案 (1) 1 1．≌
2．
2
(2) ．
解析 (1) 1 ≌； ．
2 ．
(2) ∵ ， ，
又∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
∴ ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等模型 >题型：一线三等角模型
三、手拉手模型
知识总结
模型要点：两个等腰三角形共顶点
常考图形
等边三角形手拉手 等腰直角三角形（正方形）手拉手
核心结论： 核心结论：
① ≌ ① ≌
② ②
经典例题
例题5
如图，已知 和 均是等边三角形，点 、 、 在同一条直线上， 与 交于点 ，
与 交于点 ， 与 交于点 ，连结 、 ，则下列结论；① ；② ；
③ 为等边三角形；④ ．其中结论正确的是 ．（只填序号）
答案
①②③④
解析 略
标注 三角形 >等腰三角形 >等腰等边综合 >题型：等边三角形与全等
例题6
已知 和 ，其中 ， ， ．
(1) 如图 所示，连接 、 ，求证： 和 的关系？
图
(2) 如图 所示，连接 、 ，试说明 ．
图
答案 (1) 且 ．
(2) 证明见解析．
解析 (1) 且 ．
(2) 过 作 ，过 作
由 ，只需证 则可证明
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ≌ ( )
标注 三角形 >等腰三角形 >等腰直角三角形 >题型：等腰直角三角形与全等
例题7
小明和同学小颖在学习了全等三角形后，研究了以下问题：
(1) 猜想：如图 ， 和 均为等边三角形，点 、 、 在同一直线上，连接 ，则
的度数为 ，线段 与 之间的数量关系是 ．
(2) 探索：如图 ， 与 均是顶角为 的等腰三角形， 、 分别是底边，试说
明： ．
(3) 拓展：如图 ， 和 均为等腰直角三角形， ， ，
， ，点 、 、 在同一直线上， 为
中 边上的高，连接 ．试判断线段 、 、 之间的数量关系，并说明理由．
答案 (1) 1．
2．
(2) 证明见解析．
(3) ，证明见解析．
解析 (1) ∵ 和 均为等边三角形，
∴ ， ， ．
又∵ ， ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ≌ ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ，
故 的度数为 ，线段 、 之间的数量关系为 ．
(2) 证明：∵ ，
∴ ，即 ．
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ．
(3) ∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，即 ．
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等辅助线 >题型：手拉手模型
四、数学万花筒
塞凯赖什夫妇的爱情
1933 年，匈牙利数学家乔治·塞凯赖什（George Szekeres）还只有 22 岁。那时，他常常和朋友们在
匈牙利的首都布达佩斯讨论数学。这群人里面还有同样生于匈牙利的数学怪才——保罗·埃尔德什（Paul
Erd s）大神。不过当时，埃尔德什只有 20 岁。
在一次数学聚会上，一位叫做爱丝特·克莱恩（Esther Klein）的美女同学提出了这么一个结论：在平面
上随便画五个点（其中任意三点不共线），那么一定有四个点，它们构成一个凸四边形。塞凯赖什和埃
尔德什等人想了好一会儿，没想到该怎么证明。于是，美女同学得意地宣布了她的证明：这五个点的凸
包（覆盖整个点集的最小凸多边形）只可能是五边形、四边形和三角形。前两种情况都已经不用再讨论
了，而对于第三种情况，把三角形内的两个点连成一条直线，则三角形的三个顶点中一定有两个顶点在
这条直线的同一侧，这四个点便构成了一个凸四边形。
平面上五个点的位置有三种情况
众人大呼精彩。之后，埃尔德什和塞凯赖什仍然对这个问题念念不忘，于是尝试对其进行推广。最
终，他们于 1935 年发表论文，成功地证明了一个更强的结论：对于任意一个正整数 n ≥ 3，总存在一个
正整数 m，使得只要平面上的点有 m 个（并且任意三点不共线），那么一定能从中找到一个凸 n 边
形。埃尔德什把这个问题命名为了“幸福结局问题”（Happy Ending problem），因为这个问题让乔治·塞
凯赖什和美女同学爱丝特·克莱恩之间迸出了火花，两人越走越近，最终在 1937 年 6 月 13 日结了婚。
对于一个给定的 n ，不妨把最少需要的点数记作 f(n)。求出 f(n) 的准确值是一个不小的挑战。由于平面
上任意不共线三点都能确定一个三角形，因此 f(3) = 3 。爱丝特·克莱恩的结论则可以简单地表示为 f(4)
= 5 。利用一些稍显复杂的方法，我们可以证明 f(5) 等于 9 。2006 年，利用计算机的帮助，人们终于证
明了 f(6) = 17。对于更大的 n，f(n) 的值分别是多少？ f(n) 有没有一个准确的表达式呢？这是数学中悬
而未解的难题之一。几十年过去了，幸福结局问题依旧活跃在数学界中。
不管怎样，最后的结局真的很幸福。结婚后的近 70 年里，他们先后到过上海和阿德莱德，最终在悉
尼定居，期间从未分开过。 2005 年 8 月 28 日，乔治和爱丝特相继离开人世，相差不到一个小时。
五、巩固加油站
巩固1
如图： 中， 于 ， 于 ， ， 相交于 ，如果 ，求 的度
数．
答案
证明见解析．
解析 ∵ ， ， ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ≌ ( )．
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等形判定 >题型：AAS
巩固2
如图， 、 分别是正方形 的 、 边上的点，且 ，其中 ， ，求正
方形的边长．
答案 ．
解析 在 和 中
∴ ≌
∴
∵
∴
∴正方形的边长是 ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等形判定 >题型：AAS
巩固3
如图，已知 中 ， ， 是 的中点， ，垂足为 ．
，交 的延长线于点 ．求证： ．
答案 证明见解析．
解析 方法一：∵ ， ，
∴ ，
．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ≌ ．
∴ ．
∵ 是 的中点，
∴ ，
即 ．
方法二：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ．
标注 三角形 >等腰三角形 >等腰直角三角形 >题型：等腰直角三角形与全等
巩固4
在 中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ， 于 ．
(1) 当直线 绕点 旋转到图中的位置时，求证．
1 ≌ ．
2 ．
(2) 当直线 绕点 旋转到图中的位置时，求证： ．
(3) 当直线 绕点 旋转到图中的位置时，试问 、 、 具有怎样的等量关系？请写
出这个等量关系，并加以证明．
答案 (1) 1 证明见解析．
2 证明见解析．
(2) 证明见解析．
(3) ．
解析 (1) 1 ∵ ，
∴ ， ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ≌ ．
2 ∵ ≌ ，
∴ ， ．
∴ ．
(2) ∵ ，
∴ ，
，
∴ ．
又∵ ，
∴ ≌ ．
∴ ， ．
∴ ．
(3) 当 旋转到图 的位置时， 、 、 所满足的等量关系是 （或
， 等）．
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
又∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
∴ ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等三角形的判定 > AAS
巩固5
如图 ，已知：在 中， ， ，直线 经过点 ， 直线 ， 直线
，垂足分别为点 、 ．
(1) 证明： ．
(2) 如图⑵，将⑴中的条件改为：在 中， ， 、 、 三点都在直线 上，并且
有 ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论 是否
还成立？如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
(3) 如图⑶， 、 是直线 上的两动点（ 、 、 三点互不重合），点 为 平分线上的
一点，且 和 均为等边三角形，连接 、 ，若 ，
试判断 的形状．
答案 (1) 证明见解析．
(2) 证明见解析．
(3) 和 均为等边三角形．
解析 (1) ∵ 直线 ， 直线 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ≌ （ ），
∴ ， ，
∴ ．
(2) ∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ≌ （ ），
∴ ， ，
∴ ．
(3) ∵ 和 均为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ≌ （ ），
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ 是等边三角形．
标注 三角形 >全等三角形 >全等形判定 >题型：AAS
巩固6
如图，已知 和 都是等边三角形， 于点 ， 于点 ，请问： 和
有何数量关系？请说明理由．
答案 证明见解析．
解析 和 都是等边三角形，
， ， ，
， ≌ ，
，
， ，
，
≌ ，
．
标注 三角形 >全等三角形 >全等形判定 >题型：SAS
巩固7
如图 ，线段 上有一点 ，以 ， 为边分别在 的同侧作等边三角形 ， ，连接
， ，分别交 ， 于 ， ．
(1) 找出图中的所有全等三角形；找出一组相等的线段，并说明理由．
(2) 如图 ，取 的中点 、 的中点 ，连接 ，试判断三角形 的形状，并说明理
由．
答案 (1) ≌ ； ≌ ； ≌ ； ，证明见解析．
(2) 等边三角形，证明见解析．
解析 (1) ≌ ； ≌ ； ≌ ；
理由：等边三角形 、 中，∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ≌ （ ），
∴ ．
(2) 等边三角形．
理由：由 ≌ ，
∴ ， ．
∵ 是 的中点、 是 的中点，
∴ ，又 ．
在 和 中，
∴ ≌ （ ），
∴ ， ， ．
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ 为等边三角形．
标注 三角形 >全等三角形 >全等形判定 >题型：SAS

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