资源简介

第6讲 倍长中线与截长补短
一、倍长（类）中线
知识总结
倍长(类)中线
方法 延长过中点的线，使得延长后的线段与原有线段相等
目的 构造一对对顶的全等三角形与一组平行线
如图，其中 ，延长
如图，其中 ，延长 至
至 ，使得 ，
，使得 ，
则
则
≌ ，
≌ ， ．
示例
价值 ⑴转移边．⑵构造平行，转移角
经典例题
例题1
在 中， 是 边上的中线．
(1) 求证： ．
(2) 若 ， ，求 的取值范围．
例题2
如图，在 中， 交 点 ．点 是 的中点， 交 的延长线于点 ．交 与于
点 ．若 ，求证： 为 的角平分线．
例题3
分别以 的边 ， 为边，向三角形的外侧作正方形 和正方形 ， 为 中
点，求证： ．
二、截长补短
知识总结
截长法 补短法
在一条较长的线段上截取一段 将较短的线段延长，补一段线段，
做法
线段，使之与特定线段相等 使之与特定线段相等
如图，要证明 如图，要证明 ．
截长：即在一条较长的线段上 补短：即在较短的线段上补一段线
截取一段较短的线段．如图， 段使其和另外两条线段的其中一条
即在 上截取 ．再证 线段相等．
明 ． ⑴在 延长线上，截取 ，使得
．在证明
⑵在 延长线上，截取 ，使得
，在证明 ．
示例
若题目条件或求证结论中有 的条件，需要添加辅助线时多
用法
考虑“截长补短”．
经典例题
例题4
如图，在 中， ， 的平分线 交 于点 ．求证： ．
例题5
如图， ， 为 上一点，且 、 分别平分 和 .
求证： ．
A D
E
B C
例题6
在四边形 中， ， ， ， 、 分别是 、 上的
点，且 ，试探究图 中线段 、 、 之间的数量关系．
小亮同学认为：延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ≌ ，再证明
≌ ，则可得到 、 、 之间的数量关系为 ．
(1) 在四边形 中，如图 ， ， ， 、 分别是 、 上的点，
，上述结论是否任然成立？说明理由．
(2) 应用以上结论解决问题：
如图 ，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（ 处）北偏西 的 处，舰艇乙在指挥
中心南偏东 的 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正
东方向以 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 的方向以 海里/小时的速度前进
小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 ， 处，且两舰艇之间的夹角（
）为 ，试求此时两舰艇之间的距离．
三、数学万花筒
一只神奇的快递猎狗
　　祖冲之老师除了有科学专著之外，还有一本文学专著，它的名字就叫《述异记》。祖冲之不是标题
党，这本短篇小说集，讲的真是一些奇异的传说，其画风跟祖老师一向严谨科学的作风似乎不太搭调。
然而，这确确实实是祖老师写的。这也不难理解，对科学有热情的人，同时也会对文学有着执着的一
面，严肃细致不等于不可以浪漫热情。
　　不知道祖老师养不养宠物，但他似乎对小动物很有爱心。在他的《述异记》里写到了一只可爱的猎
狗，狗的主人是谁呢？是晋朝大名鼎鼎的文学家陆机。陆机老师喜欢打猎，在江苏的时候，有人送给他
一只狗，叫做“黄耳”。
　　黄耳一点也不简单。首先，它能识人意，主人要它做什么，不用太多的提示；第二，它定位能力超
级强，有一次离家三百里，居然不用任何导航，自个儿回来了，“又尝借人三百里外，犬识路自还，一日
至家”，而且只用了一天时间，可见奔跑能力非同一般，真是一只神奇的狗狗。
　　终于到了考验黄耳的时候了。陆机是东吴人，他的祖上就是东吴有名的大将陆逊、陆抗，而陆机住
在京师洛阳。有一回陆老师想家了，想给家里人捎个信，然后又叫家里人也回信，这个艰巨的任务就交
给了黄耳。陆机对黄耳说了自己的意思，黄耳听懂了，“摇尾作声应之”。陆机就把信写好，放在一只竹
筒里，竹筒就系在黄耳的脖子上。黄耳就这么出发了，它能顺利完成主人交给的任务吗？
　　这只小狗很聪明，能够利用人类的文明成果和爱心。它白天沿着驿站走，这样就等于是拿驿站给自
己定位，饿了当然不好上饭店，于是跑到草丛里抓小动物吃。在陆地上还好说，如果碰上大江大河咋
办？黄耳这时候就扮可爱，一边耷拉着耳朵，一边对着船主人摇尾巴。船主人觉得它很可爱，于是就招
呼它上船，“其人怜爱，因呼上船”。可见，早在晋朝，社会上就广有对动物怀有爱心的人士。而黄耳也
很会搞公关，能够充分利用这些人士的爱心。
　　黄耳跋山涉水，终于到了主人的老家。它嘴巴里叼着竹筒，对着陆机的家里发出汪汪声，“口衔竹
筒，作声示人”。陆机家里人打开竹筒，拿到了陆机的信。看完，黄耳又对着人发声，陆机家里人明白，
又写了回信，托黄耳带回去。黄耳把回信带回到洛阳时，已经过了半个月。而人类在那个时代往返洛阳
和东吴之间，要五十天时间，“计人行五旬，而犬往还裁半月”。
　　黄耳死后，陆机还舍不得，就把它葬在老家的村南，离陆机的家两百步，还特意“聚土为坟”，村里
人都叫这座坟冢为“黄耳冢”。
四、巩固加油站
巩固1
如图所示，已知 中， 平分 ， 、 分别在 、 上． ， ．求
证： ．
巩固2
已知 中， ， 是 边上的中线，延长 到 ，使 ．连接 ．求证：
．
巩固3
如图， ， 、 是 的角平分线，求证： ．
巩固4
如图， 是正三角形， 是顶角 的等腰三角形，以 为顶点作一个 角，
角的两边分别交 于 ，交 于 ，连接 ，求证： ．
巩固5
1 五边形 中， ， ， ，求证： 平分
．
2 如图，点 、 分别是正方形 边 、 上的点， ，若正方形的边长为 ，
面积为 ，则 的长为 ．第6讲 倍长中线与截长补短
一、倍长（类）中线
知识总结
倍长(类)中线
方法 延长过中点的线，使得延长后的线段与原有线段相等
目的 构造一对对顶的全等三角形与一组平行线
如图，其中 ，延长
如图，其中 ，延长 至
至 ，使得 ，
，使得 ，
则
则
≌ ，
≌ ， ．
示例
价值 ⑴转移边．⑵构造平行，转移角
经典例题
例题1
在 中， 是 边上的中线．
(1) 求证： ．
(2) 若 ， ，求 的取值范围．
答案 (1) 证明见解析．
(2) ．
解析 (1) 延长 到点 ，使得 ，连接 ，
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （ ），
∴ ，
在 中， ，即
．
(2) 由⑴得， ，
即 ，
得 ，
故答案为： ．
例题2
如图，在 中， 交 点 ．点 是 的中点， 交 的延长线于点 ．交 与于
点 ．若 ，求证： 为 的角平分线．
答案 证明见解析．
解析 延长 ，截取 ，连接 ，
∵ 是 中点，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 平分 ．
例题3
分别以 的边 ， 为边，向三角形的外侧作正方形 和正方形 ， 为 中
点，求证： ．
答案 证明见解析
解析 方法一：延长 到 ，使 ，延长 交 于点 ，连接
∵
∴ ≌
∴
∵ ，
∴
∴ ≌ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ．
方法二：延长 至 ，使得 ，延长 交 于点 ，
≌ （ ），
则 ，
又因为 ，
则 ，
又 ，
则 ，
则 ≌ （ ），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ．
二、截长补短
知识总结
截长法 补短法
在一条较长的线段上截取一段 将较短的线段延长，补一段线段，
做法
线段，使之与特定线段相等 使之与特定线段相等
如图，要证明 如图，要证明 ．
截长：即在一条较长的线段上 补短：即在较短的线段上补一段线
截取一段较短的线段．如图， 段使其和另外两条线段的其中一条
即在 上截取 ．再证 线段相等．
示例
明 ． ⑴在 延长线上，截取 ，使得
．在证明
⑵在 延长线上，截取 ，使得
，在证明 ．
若题目条件或求证结论中有 的条件，需要添加辅助线时多
用法
考虑“截长补短”．
经典例题
例题4
如图，在 中， ， 的平分线 交 于点 ．求证： ．
答案 证明见解析．
解析 方法一：（截长）在 上截取 ，连接 ．
在 和 中，
， ， ，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
方法二：（补短）延长 到点 使得 ，连接 ．
在 和 中， ， ， ，
∴ ≌ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
方法三：（补短）延长 到点 使得 ，连接 ，
则有 ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
方法四：如图，作 平分 交 、 于 、 点，
延长 到 ，使 ，连结 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴
∵ ，又 ，
即 ．∴ ，
∴ ．∴ ，
∵ ，
且 ，
∵ ，∴ ．∴ ，
同理 ，
∵ ， ，∴ ．
∴ ．
例题5
如图， ， 为 上一点，且 、 分别平分 和 .
求证： ．
A D
E
B C
答案 答案见解析．
解析 在 上取点 ，使 ,连结 .
∵ 平分 ， 平分 A D
∴ ， ．
F
在 和 中， E
B C
∴ ≌ （ ）
∴
∵
∴
又∵ ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ≌ （ ）
∴
∴ ．
例题6
在四边形 中， ， ， ， 、 分别是 、 上的
点，且 ，试探究图 中线段 、 、 之间的数量关系．
小亮同学认为：延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ≌ ，再证明
≌ ，则可得到 、 、 之间的数量关系为 ．
(1) 在四边形 中，如图 ， ， ， 、 分别是 、 上的点，
，上述结论是否任然成立？说明理由．
(2) 应用以上结论解决问题：
如图 ，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（ 处）北偏西 的 处，舰艇乙在指挥
中心南偏东 的 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正
东方向以 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 的方向以 海里/小时的速度前进
小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 ， 处，且两舰艇之间的夹角（
）为 ，试求此时两舰艇之间的距离．
答案 (1) 见解析．
(2) 见解析．
解析 (1) 结论仍然成立，
证明：延长 到 ，使 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ；
(2) 如图 ，连接 ，延长 、 交于点 ，
∵ ， y
， A N E C
∴ ， F
O x
∵ ，
B
， 图3
∴符合探索延伸中的条件
∴结论 成立，
即 海里，
答：此时两舰艇之间的距离是 海里．
三、数学万花筒
一只神奇的快递猎狗
　　祖冲之老师除了有科学专著之外，还有一本文学专著，它的名字就叫《述异记》。祖冲之不是标题
党，这本短篇小说集，讲的真是一些奇异的传说，其画风跟祖老师一向严谨科学的作风似乎不太搭调。
然而，这确确实实是祖老师写的。这也不难理解，对科学有热情的人，同时也会对文学有着执着的一
面，严肃细致不等于不可以浪漫热情。
　　不知道祖老师养不养宠物，但他似乎对小动物很有爱心。在他的《述异记》里写到了一只可爱的猎
狗，狗的主人是谁呢？是晋朝大名鼎鼎的文学家陆机。陆机老师喜欢打猎，在江苏的时候，有人送给他
一只狗，叫做“黄耳”。
　　黄耳一点也不简单。首先，它能识人意，主人要它做什么，不用太多的提示；第二，它定位能力超
级强，有一次离家三百里，居然不用任何导航，自个儿回来了，“又尝借人三百里外，犬识路自还，一日
至家”，而且只用了一天时间，可见奔跑能力非同一般，真是一只神奇的狗狗。
　　终于到了考验黄耳的时候了。陆机是东吴人，他的祖上就是东吴有名的大将陆逊、陆抗，而陆机住
在京师洛阳。有一回陆老师想家了，想给家里人捎个信，然后又叫家里人也回信，这个艰巨的任务就交
给了黄耳。陆机对黄耳说了自己的意思，黄耳听懂了，“摇尾作声应之”。陆机就把信写好，放在一只竹
筒里，竹筒就系在黄耳的脖子上。黄耳就这么出发了，它能顺利完成主人交给的任务吗？
　　这只小狗很聪明，能够利用人类的文明成果和爱心。它白天沿着驿站走，这样就等于是拿驿站给自
己定位，饿了当然不好上饭店，于是跑到草丛里抓小动物吃。在陆地上还好说，如果碰上大江大河咋
办？黄耳这时候就扮可爱，一边耷拉着耳朵，一边对着船主人摇尾巴。船主人觉得它很可爱，于是就招
呼它上船，“其人怜爱，因呼上船”。可见，早在晋朝，社会上就广有对动物怀有爱心的人士。而黄耳也
很会搞公关，能够充分利用这些人士的爱心。
　　黄耳跋山涉水，终于到了主人的老家。它嘴巴里叼着竹筒，对着陆机的家里发出汪汪声，“口衔竹
筒，作声示人”。陆机家里人打开竹筒，拿到了陆机的信。看完，黄耳又对着人发声，陆机家里人明白，
又写了回信，托黄耳带回去。黄耳把回信带回到洛阳时，已经过了半个月。而人类在那个时代往返洛阳
和东吴之间，要五十天时间，“计人行五旬，而犬往还裁半月”。
　　黄耳死后，陆机还舍不得，就把它葬在老家的村南，离陆机的家两百步，还特意“聚土为坟”，村里
人都叫这座坟冢为“黄耳冢”。
四、巩固加油站
巩固1
如图所示，已知 中， 平分 ， 、 分别在 、 上． ， ．求
证： ．
答案 证明见解析．
解析 延长 到 ，使 ，连结 ，利用 证明 ≌ ，
∴ ， ，又 ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，∴ ，∴ ．
巩固2
已知 中， ， 是 边上的中线，延长 到 ，使 ．连接 ．求证：
．
答案 证明见解析．
解析 延长 到 ，使 ，连接 ．
∵ 是 边的中线，∴ ．
在 和 中
∴ ≌
∴ ，
∴
在 和 中
∴ ≌
∴ ．
巩固3
如图， ， 、 是 的角平分线，求证： ．
答案 证明见解析．
解析 在 上找到 使得 ，
∵ ， 、 是 的角平分线，
∴
，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
巩固4
如图， 是正三角形， 是顶角 的等腰三角形，以 为顶点作一个 角，
角的两边分别交 于 ，交 于 ，连接 ，求证： ．
答案 证明见解析．
解析 延长 到 点，使 ，连接 ，
由题意可知 ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （ ）．
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （ ）．
∴ ．
巩固5
1 五边形 中， ， ， ，求证： 平分
．
答案 证明见解析．
解析 延长 至 ，使得 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴
即 平分 ．
2 如图，点 、 分别是正方形 边 、 上的点， ，若正方形的边长为 ，
面积为 ，则 的长为 ．
答案
解析 角含半角模型，
∵ ，
∴ ，
旋转 至 处，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．

展开更多......

收起↑