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第7讲全等三角形综合
HL全等
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1、要证明边角相等，可以先证明边角所在的两个三角形全等，从而通过全等三角形的对应边相
等、对应角相等来证明结论
2、要证两个三角形全等，直接证明不出来，那么可能会先利用已知条件证明第一次全等，从而
得到一些我们想要的结论，再证明第二次全等
3、有时候我们需要添加简单的辅助线来构造全等三角形去证明结论
パ经典例题
例题1
如图，∠A=∠D=90°，AB=DE,BF=EC.求证：Rt△ABC≌Rt△DEF.
例题2
如图，已知AB=CD,AELBD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BF=DE,求证：AB/CD
D
例题3
已知五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，AB=AE,AC=AD,∠BCD=140°
(1)求证：∠ACB=∠ADE.
(2)求LBA的度数
二、二次全等
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有时候我们要证两个三角形全等，直接证明不出来，那么可能会先利用已知条件证明第一次全
等，从而得到一些我们想要的结论，再证明第二次全等.
经典例题
例题4
如图所示，已知AB=AD,BC=DO,E是AC上一点.求证：BE=DE.
E
例题5
已知：如图，AC与BD交于O点，AB/DO,AB=DC,若过O点作直线！，分别交AB、DC于E
、F两点，求证：OE=OF,
例题6
(1)如图(1)，若AB=CD,A、E、F、C在一条直线上，AE=CF,过E、F分别作DE⊥AC,
BF⊥AC.求证：BD平分EF
(2)若将△DEC的边EC沿AC方向移动到图(2)的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立？只回
答结论，不用说明理由
E
FG
C
G
D
D
(1)
(2)
三、简单辅助线构造
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有时候我们需要添加简单的辅助线来构造全等三角形去证明结论
经典例题
例题7
已知：AC=BD,ADLAC,BCLBD.
求证：AD=BC.
例题8
如图，AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD的中点.求证：AF⊥CD
例题9
如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F,连接CD,EB
求证：CF=EF,
op
B
F
四、数学万花筒
塞凯赖什夫妇的爱情
1933年，匈牙利数学家乔治·塞凯赖什（George Szekeres)还只有22岁。那时，他常常和朋
友们在匈牙利的首都布达佩斯讨论数学。这群人里面还有同样生于匈牙利的数学怪才一保罗·埃
尔德什（Paul Erde6s)大神。不过当时，埃尔德什只有20岁。
在一次数学聚会上，一位叫做爱丝特·克莱恩(Esther Klein)的美女同学提出了这么一个结
论：在平面上随便画五个点（其中任意三点不共线），那么一定有四个点，它们构成一个凸四边第7讲全等三角形综合
HL全等
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1、要证明边角相等，可以先证明边角所在的两个三角形全等，从而通过全等三角形的对应边相
等、对应角相等来证明结论
2、要证两个三角形全等，直接证明不出来，那么可能会先利用已知条件证明第一次全等，从而
得到一些我们想要的结论，再证明第二次全等
3、有时候我们需要添加简单的辅助线来构造全等三角形去证明结论
经典例题
例题1
如图，∠A=∠D=90°，AB=DE,BF=EC.求证：Rt△ABC≌Rt△DEF.
答案
证明见解析
解析
BF=EC
·BF+FC=FC+EC,即BC=EF,
.∠A=∠D=90°，
,'.△ABC和△DEF都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
AB=DE
BC=EC
·Rt△ABC≌Rt△DEF(EΠ)，
标注
【题型】三角形>全等三角形>全等形判定>题型：HL
例题2
如图，已知AB=CD,AELBD,CFLBD,垂足分别为E,F,BF=DE,求证：AB/CD
答案
证明见解析.
解析
AE⊥BD,CF⊥BD,
,∴，∠AEB=∠CFD=90°，
.BF=DE,
.BF+EF=DE+EF,
即BE=DF,
在Rt△AEB和Rt△CFD中，
{886
'Rt△AEB≌Rt△CFD(),
'LB=∠D,
.AB//CD
标注
【题型】三角形>全等三角形>全等三角形性质>题型：对应边与角
例题3
己知五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，AB=AE,AC=AD,∠BCD=140°.
(1)求证：∠ACB=∠ADE.
(2)求LBA的度数.
答案
（1)证明见解析.
(2)80°.
解析
(1）在Rt△ACB和Rt△ADE中，
AC=AD
AB=AE‘
Rt△ACB≌Rt△ADE(HL),
∠ACB=∠ADE(全等三角形的对应角相等).
（2)AC=AD,
'∠ACD=∠ADC,
∠ACB=∠ADE,
.∠BCD=∠CDE=140°，
.'∠B=∠E=90°，
∠BAE=(5-2)×180°-90°-90°-140°-140°=80°.
标注
【题型】三角形>全等三角形>全等形判定>题型：HL
二、
二次全等
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有时候我们要证两个三角形全等，直接证明不出来，那么可能会先利用已知条件证明第一次全
等，从而得到一些我们想要的结论，再证明第二次全等·
经典例题
例题4
如图所示，已知AB=AD,BC=DC,E是AC上一点.求证：BE=DE
答案
证明见解析
解析
方法一：根据SSS易得△ABC≌△ADC,进而得∠BAE=∠DAE
根据SAS易得△ABE≌△ADE,进而得BE=DE.
方法二：在△ACD和△ACB中
AB=AD
BC=DC
AC=AC
∴.△ACD≌△ACB(SSs),
AB=AD
,∠DAE=∠BAE,在△AED和△AEB中
∠DAE=∠BAE
AE-AE
'.△AED≌△AEB(SAS)，∴BE=DE
标注
【题型】三角形>全等三角形>全等形判定>题型：SAS
例题5
已知：如图，AC与BD交于O点，AB/DC,AB=DC,若过O点作直线！，分别交AB、DC于E
、F两点，求证：OE=OF.
答案
证明见解析

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