资源简介

第9讲 等腰三角形探究
一、等腰三角形的性质
知识导航
等腰三角形中，若顶角为 度，则底角为 度．将角度用代数式表示出来并建立方程求解，是等腰
三角形中倒角的一种常用方法
经典例题
例题1
1 如下图， 中， 为 上一点， 为 上一点，且 ， ，则
的度数为（ ）．
A. B. C. D.
2 如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， 交 的延长线于点 ．若
，则 的度数为（ ）．
A. B. C. D.
3 如图，在等腰 的两腰 、 上分别取点 和 ，使 ，此时恰有
，则 的度数是 度．
例题2
如图，在等腰 中， ，点 在 上，且 ．
(1) 若 ， ，求 的度数．
(2) 若 ( )， ，求 的度数．
(3) 猜想 与 的数量关系．（不必证明）
例题3
某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设 ，现把小棒依次摆放在两射线 、 之间，并使小棒两端分别落在两
射线上．
活动一
如图甲所示，从点 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直， 为第 根
小棒．
(1) 小棒能无限摆下去吗？答： ．（填“能”或“不能”）
(2) 设 ．
度．
(3) 活动二：
如图乙所示，从点 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中 为第 根小棒，且
．
已经向右摆放了 根小棒，则 ， ， ．（用含 的式子表
示）
(4) 若只能摆放 根小棒，求 的范围．
例题4
如图，在 中， ， ，求证： ．
例题5
如图， 中， ，点 、 、 分别在 、 、 上，且 ， ， 是
的中点，求证： .
二、等腰三角形的判定
知识总结
1.定义法
2.【简称：等角对等边】有两个角相等的三角形是等腰三角形
经典例题
例题6
1 如图所示，在 中， 、 分别是 、 上的点， 与 相交于点 ，给出四个条件：①
；② ；③ ；④ ．上述四个条件中，选择两个可
以判定 是等腰三角形的方法有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2 如图， 中， ， ， 平分 ， ，则图中等腰三角形的个数（
）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
例题7
如图，在 中，点 在 上，点 在 上， ， ， 与 相交于点
，求证： 是等腰三角形．
例题8
如图所示，等腰 的 边有点 （ 从点出发向点 运动），过 作 垂直 于 ， 边有
点 （ 从 点出发向 的延长线运动）， 、 速度相同，连接 ，与底边 交于 点，且
，在 、 运动过程中，线段 的长度是否发生变化？若不变，请证明它的长度与
有什么关系；若变化，确定其变化范围．
三、数学万花筒
三角定位
历史学家在英国南部发现一套建立于5000年前的原始“导航系统”，令人不得不叹服远古先民的智慧。
这套古代“导航系统”依靠的不是卫星和全球定位系统（ＧＰＳ）终端，而是许多建在山丘或高地上的定
位地标。
英国历史学家兼作家汤姆·布鲁克斯在其新作《史前英国几何学》中提到，英格兰南部和威尔士发现众
多这样的地标。他通过分析发现，从诺福克到北威尔士的1500个地标通常是巨石或山顶城堡等明显标志
物。每个地标都在相邻地标的视野范围内。这套定位系统工作原理类似于近代地质测量中常用的“三角测
量法”。
布鲁克斯发现，这些地标排列有序，组成一系列等腰三角形。每个三角形两条等边的公共顶点位置就
是一处古代村落。依靠这种“导航系统”，当地古代居民不用携带地图就可以随意出行而不必担心迷路。
布鲁克斯在ＧＰＳ坐标图中把这些定位点标出后发现，虽然有些三角形边长超过160公里，但所有地
标误差均不超过100米。以如此小的误差来构建这些三角形，要求当时的人们掌握高超的几何学知识。
“这决不可能只是巧合，”英国《每日邮报》14日援引布鲁克斯的话说，“这种几何测量十分先进和复
杂。我们曾经认为石器时代的先民原始而野蛮，但现在看来必须彻底重新审视这种观点。”“我们的祖先
是技艺精巧的工程师，具有极高想象力和创造力，”他说。他还进一步大胆假设，居住在这里的古代人也
许是第一套导航系统的发明者。
5000年前冰川期结束后，原来的低地和山谷变成沼泽，所以当时的人需要在高地重新建立村落，休养
生息。由于当时生存环境恶劣，先民还必须不断探索新定居点以增加人口。这套三角形导航系统为当时
各定居点之间的商业往来服务，同时一些帮助建设新定居点的工人也可以用它找到回家的路。
这套精密复杂系统的问世比古希腊人发明几何学还早2000多年。它至今仍是世界上最大的民用工程之
一。
四、巩固加油站
巩固1
如图，在 中， ， ，则 ．
巩固2
如图，在 中， ，点 在 上，点 在 上，且有 ， ，
则
巩固3
如图： ， 分别是 的边 、 上的点，若 ， ，则（ ）．
A. 当 为定值时， 为定值
B. 当 为定值时， 为定值
C. 当 为定值时， 为定值
D. 当 为定值时， 为定值
巩固4
如图， 是一个钢架，且 ，为了使钢架更加牢固，需要在内部添加一些钢管
、 、 、 ，且有 ，则 度．
巩固5
如图，在 中， ， ，在 上取一点 ，延长 到 ，使得
；在 上取一点 ，延长 到 ，使得 ；……，按此做法进行下
去， 的度数为 ．
巩固6
如图， ， ， ，点 是 的中点．求证： ．
巩固7
如图，在 中， ， ， 、 分别是 、 的平分线，则图中的
等腰三角形有 个．
A
D
E
B C
巩固8
如图，在 中，点 ， 分别在边 ， 上， 与 交于点 ，给出下列四个条件：①
；② ；③ ；④ ．从上述四个条件中，选取两个条件，
不能判定 是等腰三角形的是（ ）．
A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②③
巩固9
如图，在 中， ，点 、 、 分别在 、 、 边上，且 ，
．
(1) 求证： 是等腰三角形．
(2) 当 时，求 的度数．
(3) 直接写出当 为多少度时， 是等边三角形．
巩固10
已知：如图， 中， ，点 在 上，过 点的直线分别交 于点 ，交 的延长
线于点 ，且 ．求证： ．第9讲 等腰三角形探究
一、等腰三角形的性质
知识导航
等腰三角形中，若顶角为 度，则底角为 度．将角度用代数式表示出来并建立方程求解，是等腰
三角形中倒角的一种常用方法
经典例题
例题1
1 如下图， 中， 为 上一点， 为 上一点，且 ， ，则
的度数为（ ）．
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵ ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选 ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的角 >题型：三角形内角的应用
2 如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， 交 的延长线于点 ．若
，则 的度数为（ ）．
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选 ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的角 >题型：三角形-内外角角分线
3 如图，在等腰 的两腰 、 上分别取点 和 ，使 ，此时恰有
，则 的度数是 度．
答案
解析 设 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 中，∵ ，
∴ ，
∴ ．
即 的度数是 ．
故答案为： ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的角 >题型：三角形内角的应用
例题2
如图，在等腰 中， ，点 在 上，且 ．
(1) 若 ， ，求 的度数．
(2) 若 ( )， ，求 的度数．
(3) 猜想 与 的数量关系．（不必证明）
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
解析 (1) ∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
(2) 与（ ）类似： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
，
(3) 与 的数量关系是 ．
标注 三角形 >等腰三角形 >等腰三角形基础 >题型：已知一角求其余两角
例题3
某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设 ，现把小棒依次摆放在两射线 、 之间，并使小棒两端分别落在两
射线上．
活动一
如图甲所示，从点 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直， 为第 根
小棒．
(1) 小棒能无限摆下去吗？答： ．（填“能”或“不能”）
(2) 设 ．
度．
(3) 活动二：
如图乙所示，从点 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中 为第 根小棒，且
．
已经向右摆放了 根小棒，则 ， ， ．（用含 的式子表
示）
(4) 若只能摆放 根小棒，求 的范围．
答案 (1) 能
(2)
(3) 1．
2．
3．
(4) ．
解析 (1) 因为角的两条边为两条射线，没有长度，所以小棒可以无限摆放下去．
故答案为：能．
(2) ．
(3) ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ； ； ．
(4) 由题意得 ，
∴ ．
标注 三角形 >等腰三角形 >等腰等边综合 >题型：等腰三角形的性质
例题4
如图，在 中， ， ，求证： ．
答案 证明见解析．
解析 如图，过点 作 ，垂足为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
即 ．
标注 三角形 >等腰三角形 >等腰三角形基础 >题型：三线合一应用
例题5
如图， 中， ，点 、 、 分别在 、 、 上，且 ， ， 是
的中点，求证： .
答案 证明见解析．
解析 连接 、 ，
∵ ，
∴ ．
在 和 中：
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等辅助线 >题型：辅助线综合运用
二、等腰三角形的判定
知识总结
1.定义法
2.【简称：等角对等边】有两个角相等的三角形是等腰三角形
经典例题
例题6
1 如图所示，在 中， 、 分别是 、 上的点， 与 相交于点 ，给出四个条件：①
；② ；③ ；④ ．上述四个条件中，选择两个可
以判定 是等腰三角形的方法有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
答案 C
解析 由①②知 ，进而可推知 ，∴ 是等腰三角形；
由①③可证 ≌ ，得出 ，进而可推知 ，∴ 是
等腰三角形；
由②④证 ≌ ，推出 ，求出 ，∴ 是等腰三角形；
由③④证 ≌ ，得出 ， ，求出 ，推出
，∴ 是等腰三角形．
标注 三角形 >等腰三角形 >等腰等边综合 >题型：等腰三角形的判定
2 如图， 中， ， ， 平分 ， ，则图中等腰三角形的个数（
）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
答案 D
解析 ∵ ， ，
∴ 是等腰三角形，
，
平分 ，∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴在 中， ， ， 为等腰三角形，
在 中， ， ， 是等腰三角形，
在 中， ， ， 是等腰三角形，
在 中， ， ， 是等腰三角形，
所以共有 个等腰三角形．
故选 ．
标注 三角形 >等腰三角形 >等腰等边综合 >题型：等腰三角形的判定
例题7
如图，在 中，点 在 上，点 在 上， ， ， 与 相交于点
，求证： 是等腰三角形．
答案 证明见解析．
解析 ∵在 和 中， ，
∴ ≌ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
标注 三角形 >等腰三角形 >等腰等边综合 >题型：等腰三角形的判定
例题8
如图所示，等腰 的 边有点 （ 从点出发向点 运动），过 作 垂直 于 ， 边有
点 （ 从 点出发向 的延长线运动）， 、 速度相同，连接 ，与底边 交于 点，且
，在 、 运动过程中，线段 的长度是否发生变化？若不变，请证明它的长度与
有什么关系；若变化，确定其变化范围．
答案 的长度不会发生变化， ．理由见解析．
解析 过 点作 交 于 点，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等形判定 >题型：AAS
三、数学万花筒
三角定位
历史学家在英国南部发现一套建立于5000年前的原始“导航系统”，令人不得不叹服远古先民的智慧。
这套古代“导航系统”依靠的不是卫星和全球定位系统（ＧＰＳ）终端，而是许多建在山丘或高地上的定
位地标。
英国历史学家兼作家汤姆·布鲁克斯在其新作《史前英国几何学》中提到，英格兰南部和威尔士发现众
多这样的地标。他通过分析发现，从诺福克到北威尔士的1500个地标通常是巨石或山顶城堡等明显标志
物。每个地标都在相邻地标的视野范围内。这套定位系统工作原理类似于近代地质测量中常用的“三角测
量法”。
布鲁克斯发现，这些地标排列有序，组成一系列等腰三角形。每个三角形两条等边的公共顶点位置就
是一处古代村落。依靠这种“导航系统”，当地古代居民不用携带地图就可以随意出行而不必担心迷路。
布鲁克斯在ＧＰＳ坐标图中把这些定位点标出后发现，虽然有些三角形边长超过160公里，但所有地
标误差均不超过100米。以如此小的误差来构建这些三角形，要求当时的人们掌握高超的几何学知识。
“这决不可能只是巧合，”英国《每日邮报》14日援引布鲁克斯的话说，“这种几何测量十分先进和复
杂。我们曾经认为石器时代的先民原始而野蛮，但现在看来必须彻底重新审视这种观点。”“我们的祖先
是技艺精巧的工程师，具有极高想象力和创造力，”他说。他还进一步大胆假设，居住在这里的古代人也
许是第一套导航系统的发明者。
5000年前冰川期结束后，原来的低地和山谷变成沼泽，所以当时的人需要在高地重新建立村落，休养
生息。由于当时生存环境恶劣，先民还必须不断探索新定居点以增加人口。这套三角形导航系统为当时
各定居点之间的商业往来服务，同时一些帮助建设新定居点的工人也可以用它找到回家的路。
这套精密复杂系统的问世比古希腊人发明几何学还早2000多年。它至今仍是世界上最大的民用工程之
一。
四、巩固加油站
巩固1
如图，在 中， ， ，则 ．
答案
解析 ∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的角 >题型：三角形内角的应用
巩固2
如图，在 中， ，点 在 上，点 在 上，且有 ， ，
则
答案
解析 设 ，
则 ，
∴ ，
，
∴ ， ，
∴ ，
即： ，
解得， ．
标注 三角形 >等腰三角形 >等腰等边综合 >题型：等腰三角形的性质
巩固3
如图： ， 分别是 的边 、 上的点，若 ， ，则（ ）．
A. 当 为定值时， 为定值
B. 当 为定值时， 为定值
C. 当 为定值时， 为定值
D. 当 为定值时， 为定值
答案 B
解析 由 得 ，
由 得 ，
根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和可知，
， ，
即 ， ，代换得 ．
故选 ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的角 >题型：三角形内角的应用
巩固4
如图， 是一个钢架，且 ，为了使钢架更加牢固，需要在内部添加一些钢管
、 、 、 ，且有 ，则 度．
答案
解析 ∵添加的钢管长度都与 相等， ，
∴ ， 从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的
底角是 ，第二个是 ，第三个是 ，第四个是 ，第五个是 ．
标注 三角形 >等腰三角形 >等腰等边综合 >题型：等腰三角形的性质
巩固5
如图，在 中， ， ，在 上取一点 ，延长 到 ，使得
；在 上取一点 ，延长 到 ，使得 ；……，按此做法进行下
去， 的度数为 ．
答案
解析 ①∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ ， 是 的外角，
∴ ；
同理可得，
，
∴第 个三角形的以 为顶点的内角的度数 ．
故答案为 ．
标注 综合类问题 >规律探究和定义新运算 >规律探究 >题型：图形找规律
巩固6
如图， ， ， ，点 是 的中点．求证： ．
答案 证明见解析．
解析 方法 ：连结 、 ．
∵ ， ，
∴ ≌ ( )，
∴
又∵ 为 的中点，
∴ ．
方法 ：
连结 、 ．
∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴
又∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ≌ ( )
∴ ，即 ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等形判定 >题型：多解或多种判定混合
巩固7
如图，在 中， ， ， 、 分别是 、 的平分线，则图中的
等腰三角形有 个．
A
D
E
B C
答案
解析 ∵ ， ，
∴ ，
∵ 、 分别是 、 的平分线，
∴ ， ，
∴ ， ,
∴图中的等腰三角形分别为 ， ， ， ， ，共 个．
标注 三角形 >等腰三角形 >等腰等边综合 >题型：等腰三角形的判定
巩固8
如图，在 中，点 ， 分别在边 ， 上， 与 交于点 ，给出下列四个条件：①
；② ；③ ；④ ．从上述四个条件中，选取两个条件，
不能判定 是等腰三角形的是（ ）．
A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②③
答案 D
解析 选①②可根据 证 和 全等，
推出 ，再得出 ，
两角相加得出 ，正确；
①③根据 ， ，
两角相加得出 ，正确；
③④根据 证 和 全等，
推出 根据 ， ，
两角相加得出 ，正确；
②③不能证明出 和 全等，错误．
故选 ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等形判定 >题型：多解或多种判定混合
巩固9
如图，在 中， ，点 、 、 分别在 、 、 边上，且 ，
．
(1) 求证： 是等腰三角形．
(2) 当 时，求 的度数．
(3) 直接写出当 为多少度时， 是等边三角形．
答案 (1) 证明见解析．
(2) ．
(3) 当 为 度时， 是等边三角形．
解析 (1) ∵ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
(2) ∵ ≌ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ．
(3) 当 为 度时， 是等边三角形，
理由：由（ ）知， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等三角形性质 >题型：对应边与角
巩固10
已知：如图， 中， ，点 在 上，过 点的直线分别交 于点 ，交 的延长
线于点 ，且 ．求证： ．
答案 证明见解析．
解析 如图，过点 作 ，交 于点 ．
则 （两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等）．
∵ （已知），
∴ （等边对等角）．
∴ ．
∴ （等角对等边）．
∵ （已知），
∴ ．
在 和 中，
（已证），
（对顶角相等），
（已证）．
∴ ≌ ．
∴ （全等三角形的对应边相等）．
标注 三角形 >全等三角形 >全等形判定 >题型：多解或多种判定混合

展开更多......

收起↑