资源简介

第10讲 角平分线
一、角平分线的定义及性质
知识导航
定义 示例剖析
1.角平分线的定义：
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个
角分成两个相等的角，这条射线叫做这个
角的平分线 如图，射线 是 的角平分线．这时
，
（或 ）
2.角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
如图，射线 是 的角平分线．这时
，
（或 ）
3.角分线+平行线，等腰三角形必呈现:
当题设有角平分线及平行线时，可利用角
平分线的定义及平行线的性质得到一等腰
三角形
已知： ， 交 于 ，则 为等
腰三角形（即 ）
经典例题
例题1
1 如图，在 中， 平分 ， 交 于点 ， 交 于点 ，若 ，
， ，则 长为 ．
2 如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ， 于点 ，若
的周长为 ，则斜边 的长为 ．
3 如图， 中， 与 的平分线交于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点
，那么下列结论：
① 和 都是等腰三角形；② ；③ 的周长等于 与 的和；④
，其中正确的有（　　）
D
A. ①②③ B. ①②③④ C. ①② D. ①
二、角平分线中的构造
知识导航
角分线+垂两边，对称全等要记全
当题设有角平分线及角一边的垂线时，可向
角的另一边引垂线，构造全等三角形．
已知： ， ，作 于
，则 ≌
角分线+对折，截长补短出全等
当题设有角平分线及角平分线一侧的三角形
时，可截长补短，利用角平分线，构造轴对
称的全等三角形
如图1所示， 平分 ， 为 上一
点， 为 上一点．连接 ，在射线 上
截取 ，连接 （如图2），易证
≌
角分线上有垂线，三线合一出等腰．
当题设有角平分线及与角平分线垂直的线
段，可延长这条线段与角的另一边相交，构
成等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一
性质
经典例题
例题2
1 如图，已知 的周长是 ， ， 分别平分 和 ， 于 ，且 ，则
的面积是 ．
2 如图，点 是 的中点， ， ， 平分 ，下列结论：
① ．
② ．
③ 梯形 ．
④ ．四个结论中成立的是 ．
例题3
已知： ， 是 的平分线，将三角板的直角顶点 在射线 上滑动，两直角边
分别与 、 交于 、 ， 和 有怎样的数量关系，请说明理由．
例题4
解答：
(1) 如图 ， 是 的平分线，请你在图 中画出一对以 所在直线为对称轴的全等三角
形．
图
(2) 如图 ，在 中， 是直角， ， 、 分别是 和 的平分
线， 、 相交于点 ，请判断写出 与 之间的数量关系．
图
(3) 如图 ， 中，如果 不是直角，而（ ）中的其他条件不变， ， ，
求 的长度．
图
例题5
如图，在 中， 是角平分线， ，垂足为 ．
求证： ．
三、角平分线的判定
知识导航
角平分线的判定定理：
在一个角的内部，到角的
两边距离相等的点在这个
角的平分线上 如图，点 为 的内部， 于点 ， 于点 ，若
，则射线 是 的角平分线
经典例题
例题6
已知，如图 ， 是 的中点， 平分 ．求证： 平分 ．
四、数学万花筒
关于角平分线定理
在《圆的一个有趣性质》一文里，用到了角分线定理，并且还用到了角平分线定理的一个推广。在
这里有必要介绍这个著名的角平分线定理，并且将对其推广做一个介绍。
注意我们角平分线定理中加红的两个字——“内分”，也就是说D点在BC内部，现在的情况你将看
到：
在三角形中，一角的外角平分线将对边所分成的两部分也和两邻边成比例
如图，AE为三角形BAC角A的外角平分线，交BC得延长线与点E ，则下面的式子成立
至于这个定理的证明方法，给大家一个提示，就是过C点做AE的平行线交AB于F，利用平行关系得出
比例关系，然后利用ACF是一个等腰三角形，进行等量替换即可。
运用相同的办法可以证明其逆定理也成立：
若从三角形顶点发出的一直线，将对边所外分成的两部分和两邻边成比例，则此线是顶角的外角平
分线。
这就是推广后的角平分线定理，也将我们的实现扩大到了外分线段，而不仅仅局限于内分。这个定
理非常有用的，不管是计算还是证明，比如我们在就利用他证明出了圆的一个有趣性质：《圆的一个类
似于圆锥曲线的性质》。
五、巩固加油站
巩固1
如图， 是 的平分线，点 是 上一点， 于 ，若 ，则点 到 的距离
是 ．
巩固2
如图，在 中， 与 的角平分线相交于点 ，过 作 ，交 于 ，交 于
，若 ，则线段 的长为 ．
A
D F E
B C
巩固3
如图， ， 和 分别平分 和 ， 过点 ，且与 垂直．若 ，则点
到 的距离是（ ）．
A. B. C. D.
巩固4
如图，四边形 中， ，点 为 的中点，且 平分 ．
(1) 求证： 平分 ．
(2) 求证： ．
(3) 求证： ．
巩固5
如图所示，在 中， ， ， 是 的平分线，延长 至 ，使
．求证： ．
A
D E
B C
巩固6
如图， 是 平分线上一点，点 、 分别在射线 、 上且 ．求证：
．
巩固7
已知等腰直角三角形 ， 是斜边， 的角平分线交 于 ，过点 作 于 垂直且交
延长线于 ，已知 ，则 的长为（ ）．
A. B. C. D.
巩固8
如图：已知 ， ， ，求证：点 在 的平分线上．第10讲 角平分线
一、角平分线的定义及性质
知识导航
定义 示例剖析
1.角平分线的定义：
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个
角分成两个相等的角，这条射线叫做这个
角的平分线 如图，射线 是 的角平分线．这时
，
（或 ）
2.角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
如图，射线 是 的角平分线．这时
，
（或 ）
3.角分线+平行线，等腰三角形必呈现:
当题设有角平分线及平行线时，可利用角
平分线的定义及平行线的性质得到一等腰
三角形
已知： ， 交 于 ，则 为等
腰三角形（即 ）
经典例题
例题1
1 如图，在 中， 平分 ， 交 于点 ， 交 于点 ，若 ，
， ，则 长为 ．
答案
解析 略
标注 三角形 > 全等三角形 > 角平分线 > 题型：角分线性质应用
2 如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ， 于点 ，若
的周长为 ，则斜边 的长为 ．
答案
解析 ．
标注 三角形 > 全等三角形 > 角平分线 > 题型：角分线性质应用
3 如图， 中， 与 的平分线交于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点
，那么下列结论：
① 和 都是等腰三角形；② ；③ 的周长等于 与 的和；④
，其中正确的有（　　）
D
A. ①②③ B. ①②③④ C. ①② D. ①
答案 A
解析 ∵ 与 的平分线交于点 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 和 都是等腰三角形，故①正确，
∵ ，
∴ ，故②正确，
∴ 的周长 ，故③正确，
故答案为 ．
标注 三角形 > 等腰三角形 > 等腰等边综合 > 题型：等腰三角形的判定
二、角平分线中的构造
知识导航
角分线+垂两边，对称全等要记全
当题设有角平分线及角一边的垂线时，可向
角的另一边引垂线，构造全等三角形．
已知： ， ，作 于
，则 ≌
角分线+对折，截长补短出全等
当题设有角平分线及角平分线一侧的三角形
时，可截长补短，利用角平分线，构造轴对
称的全等三角形
如图1所示， 平分 ， 为 上一
点， 为 上一点．连接 ，在射线 上
截取 ，连接 （如图2），易证
≌
角分线上有垂线，三线合一出等腰．
当题设有角平分线及与角平分线垂直的线
段，可延长这条线段与角的另一边相交，构
成等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一
性质
经典例题
例题2
1 如图，已知 的周长是 ， ， 分别平分 和 ， 于 ，且 ，则
的面积是 ．
答案
解析 如图，连接 ，
∵ ， 分别平分 和 ，
∴点 到 、 、 的距离都相等，
∵ 的周长是 ，
于 ，且 ，
∴ ．
标注 三角形 > 全等三角形 > 全等三角形性质 > 题型：周长与面积
2 如图，点 是 的中点， ， ， 平分 ，下列结论：
① ．
② ．
③ 梯形 ．
④ ．四个结论中成立的是 ．
答案 ①②③
解析 略
标注 三角形 > 全等三角形 > 角平分线 > 题型：角分线性质应用
例题3
已知： ， 是 的平分线，将三角板的直角顶点 在射线 上滑动，两直角边
分别与 、 交于 、 ， 和 有怎样的数量关系，请说明理由．
答案 ．
解析 过 分别作 于 ， 于 ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ．
标注 三角形 > 全等三角形 > 角平分线 > 题型：角分线有关的辅助线
例题4
解答：
(1) 如图 ， 是 的平分线，请你在图 中画出一对以 所在直线为对称轴的全等三角
形．
图
(2) 如图 ，在 中， 是直角， ， 、 分别是 和 的平分
线， 、 相交于点 ，请判断写出 与 之间的数量关系．
图
(3) 如图 ， 中，如果 不是直角，而（ ）中的其他条件不变， ， ，
求 的长度．
图
答案 (1) 作图见解析．
(2)
(3)
解析 (1) 如图 所示， ≌ ．
(2) 与 之间的数量关系为： ．
证明：如图 ，在 上截取 ，
∵ 是 的平分
线，
图
∴ ，
在 和 中，
图
，
∴ ≌ ，
∴ ．
∵ ， 、 分别是 、 的平分线，
∴ ， ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ．
(3) 如图 ，在 上截取 ，
同（ ）可得， ≌ ，
∴ ．
又由题可知， ， ，
∴
，
图
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同（ ）可得， ≌ ，
∴ ，
∴ ．
标注 三角形 > 全等三角形 > 全等三角形性质 > 题型：对应边与角
例题5
如图，在 中， 是角平分线， ，垂足为 ．
求证： ．
答案 证明见解析．
解析 如图，延长 交 于点 ，
∵ 是角平分线， ，
∴ 是等腰三角形，且 ，
又∵ ，
∴ ．
标注 三角形 > 等腰三角形 > 等腰等边综合 > 题型：等腰三角形的性质
三、角平分线的判定
知识导航
角平分线的判定定理：
在一个角的内部，到角的
两边距离相等的点在这个
角的平分线上
如图，点 为 的内部， 于点 ， 于点 ，若
，则射线 是 的角平分线
经典例题
例题6
已知，如图 ， 是 的中点， 平分 ．求证： 平分 ．
答案 证明见解析．
解析 过点 作 于 ，
由角平分线性质可知 ，由中点得 ，
，又 ，
平分 ．
标注 三角形 > 全等三角形 > 角平分线 > 题型：角分线性质应用
四、数学万花筒
关于角平分线定理
在《圆的一个有趣性质》一文里，用到了角分线定理，并且还用到了角平分线定理的一个推广。在
这里有必要介绍这个著名的角平分线定理，并且将对其推广做一个介绍。
注意我们角平分线定理中加红的两个字——“内分”，也就是说D点在BC内部，现在的情况你将看
到：
在三角形中，一角的外角平分线将对边所分成的两部分也和两邻边成比例
如图，AE为三角形BAC角A的外角平分线，交BC得延长线与点E ，则下面的式子成立
至于这个定理的证明方法，给大家一个提示，就是过C点做AE的平行线交AB于F，利用平行关系得出
比例关系，然后利用ACF是一个等腰三角形，进行等量替换即可。
运用相同的办法可以证明其逆定理也成立：
若从三角形顶点发出的一直线，将对边所外分成的两部分和两邻边成比例，则此线是顶角的外角平
分线。
这就是推广后的角平分线定理，也将我们的实现扩大到了外分线段，而不仅仅局限于内分。这个定
理非常有用的，不管是计算还是证明，比如我们在就利用他证明出了圆的一个有趣性质：《圆的一个类
似于圆锥曲线的性质》。
五、巩固加油站
巩固1
如图， 是 的平分线，点 是 上一点， 于 ，若 ，则点 到 的距离
是 ．
答案
解析 根据角平分线的基本性质，可得距离为 ．
标注 三角形 > 全等三角形 > 角平分线 > 题型：角分线性质应用
巩固2
如图，在 中， 与 的角平分线相交于点 ，过 作 ，交 于 ，交 于
，若 ，则线段 的长为 ．
A
D F E
B C
答案
解析 ∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
标注 三角形 > 全等三角形 > 角平分线 > 题型：角分线性质应用
巩固3
如图， ， 和 分别平分 和 ， 过点 ，且与 垂直．若 ，则点
到 的距离是（ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 过点 作 于 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 和 分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
标注 三角形 > 全等三角形 > 角平分线 > 题型：角分线性质应用
巩固4
如图，四边形 中， ，点 为 的中点，且 平分 ．
(1) 求证： 平分 ．
(2) 求证： ．
(3) 求证： ．
答案 (1) 证明见解析．
(2) 证明见解析．
(3) 证明见解析．
解析 (1) 过点 作 于 ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ．
(2) 在 和 中，
，
∴ ≌ （ ），
∴ ，
同理求出 ，
∴ ，
∴ ．
(3) ∵ ≌ ，
∴ ，
同理可得 ，
∵ ，
∴ ．
标注 三角形 > 全等三角形 > 全等三角形性质 > 题型：对应边与角
巩固5
如图所示，在 中， ， ， 是 的平分线，延长 至 ，使
．求证： ．
A
D E
B C
答案 证明见解析．
解析 方法一：在 上取一点 ，使得 ，
易证得 ≌ ， A
D E
∴ ，
又∵ ，
B F C
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ．
方法二：延长 到 ，使 ，连接 ， ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
标注 三角形 > 全等三角形 > 角平分线 > 题型：角分线有关的辅助线
巩固6
如图， 是 平分线上一点，点 、 分别在射线 、 上且 ．求证：
．
答案 证明见解析．
解析 过点 分别作 ， 的垂线，交 于 ，交 于 ，
则 ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
标注 三角形 > 全等三角形 > 角平分线 > 题型：角分线有关的辅助线
巩固7
已知等腰直角三角形 ， 是斜边， 的角平分线交 于 ，过点 作 于 垂直且交
延长线于 ，已知 ，则 的长为（ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 如图，分别延长 ， 交于一点 ．
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
在 和 中，
∴ ≌ （ ）．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
，
，
，
∴ ．
又∵ ，
，
∴ ．
在 和 中，
∴ ≌ （ ）．
∴ ，
∴ ．
故选 ．
标注 三角形 > 全等三角形 > 全等三角形性质 > 题型：对应边与角
巩固8
如图：已知 ， ， ，求证：点 在 的平分线上．
答案 证明见解析．
解析 ∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ 点 在 的平分线上．
标注 三角形 > 全等三角形 > 全等形判定 > 题型：AAS

展开更多......

收起↑