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第11讲 “将军饮马”问题探究
一、线段和最小值问题
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线段和差最值问题的理论依据 ①两点之间线段最短 ②垂线段最短
最小（点-点）
最小（点-线）
做法秘籍：
①作定点关于动点所在直线的对称点，构造轴对称图形
②等腰三角形、角分线模型是天然的轴对称模型
③对称轴是对称点的连线的中垂线
④点-点：两点之间，线段最短；点-线：垂线段最短
经典例题
例题1
1 三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
如图，在等边三角形 中，点 是 的中点， 是高，在 上找一点 ，使 的值最
小．
答案 画图见解析．
解析 作点 关于 的对称点，恰好与点 重合，连接 交 于一点，则这点就是所求的点 ．
标注 几何变换 >对称 >对称问题 >题型：将军饮马
2 如图，正方形 的边长为 ， 为 的中点，在 上找一点 ，使用 的值最小．
B
E
A C
D
答案 证明见解析．
解析 连接 ，由正方形对称性可知， 与 关于直线 对称．连接 交 于 ，则 即为所求．
B
E
A C
P
D
标注 几何变换 >对称 >对称问题 >题型：其它翻折问题
例题2
在 的两边 、 上分别找两点 、 ，使得 最小．（保留画图痕迹，不要
求写作法）
答案 见解析
解析
标注 几何图形初步 >直线、射线、线段 >直线、射线、线段问题 >题型：动点与线段-无数轴
例题3
1 三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法：
如图，在锐角三角形 中， 平分 ， 、 分别是线段 、 上的动点，试确定点
、 的位置使得 最小．
答案
解析 过点 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于 ，即为所求．
标注 几何变换 >对称 >对称问题 >题型：将军饮马
2 如图，在 中， ， ，若在 ， 上各取一点 ， ．使 的值
最小，画出点 ， 的位置．
答案
如下图所示：
＇
解析 如下图所示：
＇
标注 几何变换 >对称 >对称问题 >题型：将军饮马
例题4
1 如图，正方形 的边长为 ， 为对角线， 是以 为边的等边三角形，在 上找一
点 ，使 最短，则 的最小值为 ．
答案
解析 略
标注 几何变换 >对称 >对称问题 >题型：将军饮马
2 如图，在 中， ， ， ， ， 是 的平分线，若 ，
分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．
答案
备选答案1 :
备选答案2 :
解析 过 作 于 ，
∵ 是 的平分线，
且 ，
∴ ， ，
∴ ，
当 、 、 共线且 时，
最小，
过 作 于 ，
则 ，
，
∴ ，
∴ ．
标注 三角形 >全等三角形 >角平分线 >题型：角分线性质应用
二、三角形、四边形周长最小
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经典例题
例题5
1 三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法：
如图，在 中，点 、 分别是 、 边上的两定点，请你在 边上确定一点 ，使得
的周长最小．
答案 画图见解析．
解析
标注 几何图形初步 >直线、射线、线段 >直线、射线、线段问题 >题型：动点与线段-无数轴
2 如图， ，点 位于 内， ，点 、 分别是射线 、 上的动点，求
的最小周长．
答案 ．
解析 方法一：分别作点 关于 、 的对称点 、 ，
连接 ，分别交 、 于点 、 ，
连接 、 、 、 、 ．
∵点 关于 的对称点为 ，关于 的对称点为 ，
∴ ， ， ；
∵点 关于 的对称点为 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
∴ 的周长的最小值= ．
方法二：分别作点 关于 、 的对称点 、 ，连接 、 、 ，
显然 的周长 ，
由两点间线段最短， ，
故 的最小周长等于 的长，
∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，即 的最小周长为 ．
标注 几何变换 >对称 >对称问题 >题型：将军饮马
3 如图，直线 ， 、 是两个定点，且 ，点 ， 分别是直线 ， 上的动点，当
四边形 的周长最短时．试在图中画出点 ， 的位置．
答案 画图见解析．
解析
标注 几何变换 >对称 >对称问题 >题型：将军饮马
例题6
已知 ， 为 内一点， 为 上的点， 为 上的点，问当 的周长取最
小值时， 等于多少度？如果 ， 又等于多少？
答案 当 的周长取最小值时， .
时， ．
解析 如下图所示：连 、 ．
∵点 与点 关于直线 对称，点 与点 关于
对称，
∴ ， ， ， ．
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由三角形的内角和定理可知：
．
∴ ，
∴ ，
如果 ，则 ．
在 中，由三角形的内角和定理可知： ．
∴ ，
∴ ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的角 >题型：三角形内角的应用
三、数学万花筒
将军饮马
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着
一个有趣的数学问题。
如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的 点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样
走才能使总的路程最短？
这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一
天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最
短？
从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解
决了它．如图所示，从 出发向河岸引垂线，垂足为 ，在 的延长线上取 关于河岸的对称点 ，连
结 ，与河岸线相交于 ，则 点就是饮马的地方，将军只要从 出发，沿直线走到 ，饮马之后，再由
沿直线走到 ，所走的路程就是最短的。
如果将军在河边的另外任一点 饮马，所走的路程就是 ，但是，
＝ ＞ ＝ ＝ ．
可见，在 点外任何一点C'饮马，所走的路程都要远一些。
这有几点需要说明的：
（1）由作法可知，河流l相当于线段 的中垂线，所以 。
（2）由上一条知：将军走的路程就是 ，就等于 ，而两点确定一线，所以 点为最
优。
四、巩固加油站
习题1
探索1：如图，在上找一点 ，使 最小．
答案 作图见解析．
解析 直线 与的交点即为所求点 ， 最小值为 ．
＇
标注 综合类问题 >最短路径问题 >题型：将军饮马问题
习题2
探索2：如图，在上找一点 ，使 最小．
答案 作图见解析．
解析 作点 关于直线 的对称点 ，直线 与的交点即为所求点 ， 最小值为 ．
＇
标注 综合类问题 >最短路径问题 >题型：将军饮马问题
习题3
如图，点 在锐角 的内部，在 边上求作一点 ，在 边上求作一点 ，使 的周
长最小．
答案
解析 做点 关于直线 、 的对称点 、 ， 与直线 、 的交点为所求点 、 ．
的周长最小值为 的长度．
标注 综合类问题 >最短路径问题 >题型：将军饮马问题
习题4
如图，点 、 在锐角 的内部，在 边上求作一点 ，在 边上求作一点 ，使四边形
周长最小．
答案
解析 如图所示，作 、 两点分别关于直线 、 的对称点 、 ，连接 、 分别交 、
于 、 ，点 、 即为所求．
标注 综合类问题 >最短路径问题 >题型：将军饮马问题
习题5
如图，点 在锐角 的内部，在 边上求作一点 ，在 边上求作一点 ，使 最
小．
答案
解析 做点 关于直线 的对称点 、过 向直线 作垂线、与 的交点为所求点 ，垂足即为点
， 的最小值为 的长度．
标注 几何变换 >对称 >对称问题 >题型：将军饮马
习题6
如图， 、 为 的边 、 上的两个定点，在 上求一点 ，使 的周长最短．
答案 画图见解析．
解析 如下图所示：
标注 几何变换 >对称 >对称问题 >题型：将军饮马
习题7
如图，在 中，若在 ， 上各取一点 ， ，使 的值最小，试在图中画出
， 的位置．
答案 画图见解析．
解析 如下图所示：
标注 几何变换 >对称 >对称问题 >题型：将军饮马
习题8
如图，等腰三角形底边 的长为 ，面积是 ，腰 的垂直平分线 交 于点 ， 为 边上
的中点， 为线段 上一动点，则 的周长最短为 ．
答案
解析 连接 ．
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ， 为 中点，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
标注 三角形 >等腰三角形 >等腰等边综合 >题型：等腰三角形的性质
习题9
如图，四边形 中， ， ，在 、 上分别找一点 、 ，使
周长最小，求此时 的度数以及 的度数．
答案 ， ．
解析 如图，分别作 关于 、 的轴对称点 、 ，
连接 与 、 交于 、 ，此时 周长最小．
，
，
，
在 中易知 ，
∴ ，
∴ ．
标注 几何变换 >对称 >对称问题 >题型：将军饮马第11讲 “将军饮马”问题探究
一、线段和最小值问题
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线段和差最值问题的理论依据 ①两点之间线段最短 ②垂线段最短
最小（点-点）
最小（点-线）
做法秘籍：
①作定点关于动点所在直线的对称点，构造轴对称图形
②等腰三角形、角分线模型是天然的轴对称模型
③对称轴是对称点的连线的中垂线
④点-点：两点之间，线段最短；点-线：垂线段最短
经典例题
例题1
1 三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
如图，在等边三角形 中，点 是 的中点， 是高，在 上找一点 ，使 的值最
小．
2 如图，正方形 的边长为 ， 为 的中点，在 上找一点 ，使用 的值最小．
B
E
A C
D
例题2
在 的两边 、 上分别找两点 、 ，使得 最小．（保留画图痕迹，不要
求写作法）
例题3
1 三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法：
如图，在锐角三角形 中， 平分 ， 、 分别是线段 、 上的动点，试确定点
、 的位置使得 最小．
2 如图，在 中， ， ，若在 ， 上各取一点 ， ．使 的值
最小，画出点 ， 的位置．
例题4
1 如图，正方形 的边长为 ， 为对角线， 是以 为边的等边三角形，在 上找一
点 ，使 最短，则 的最小值为 ．
2 如图，在 中， ， ， ， ， 是 的平分线，若 ，
分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．
二、三角形、四边形周长最小
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经典例题
例题5
1 三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法：
如图，在 中，点 、 分别是 、 边上的两定点，请你在 边上确定一点 ，使得
的周长最小．
2 如图， ，点 位于 内， ，点 、 分别是射线 、 上的动点，求
的最小周长．
3 如图，直线 ， 、 是两个定点，且 ，点 ， 分别是直线 ， 上的动点，当
四边形 的周长最短时．试在图中画出点 ， 的位置．
例题6
已知 ， 为 内一点， 为 上的点， 为 上的点，问当 的周长取最
小值时， 等于多少度？如果 ， 又等于多少？
三、数学万花筒
将军饮马
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着
一个有趣的数学问题。
如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的 点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样
走才能使总的路程最短？
这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一
天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最
短？
从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解
决了它．如图所示，从 出发向河岸引垂线，垂足为 ，在 的延长线上取 关于河岸的对称点 ，连
结 ，与河岸线相交于 ，则 点就是饮马的地方，将军只要从 出发，沿直线走到 ，饮马之后，再由
沿直线走到 ，所走的路程就是最短的。
如果将军在河边的另外任一点 饮马，所走的路程就是 ，但是，
＝ ＞ ＝ ＝ ．
可见，在 点外任何一点C'饮马，所走的路程都要远一些。
这有几点需要说明的：
（1）由作法可知，河流l相当于线段 的中垂线，所以 。
（2）由上一条知：将军走的路程就是 ，就等于 ，而两点确定一线，所以 点为最
优。
四、巩固加油站
习题1
探索1：如图，在上找一点 ，使 最小．
习题2
探索2：如图，在上找一点 ，使 最小．
习题3
如图，点 在锐角 的内部，在 边上求作一点 ，在 边上求作一点 ，使 的周
长最小．
习题4
如图，点 、 在锐角 的内部，在 边上求作一点 ，在 边上求作一点 ，使四边形
周长最小．
习题5
如图，点 在锐角 的内部，在 边上求作一点 ，在 边上求作一点 ，使 最
小．
习题6
如图， 、 为 的边 、 上的两个定点，在 上求一点 ，使 的周长最短．
习题7
如图，在 中，若在 ， 上各取一点 ， ，使 的值最小，试在图中画出
， 的位置．
习题8
如图，等腰三角形底边 的长为 ，面积是 ，腰 的垂直平分线 交 于点 ， 为 边上
的中点， 为线段 上一动点，则 的周长最短为 ．
习题9
如图，四边形 中， ， ，在 、 上分别找一点 、 ，使
周长最小，求此时 的度数以及 的度数．

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