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第12讲 全等三角形探究
一、全等三角形探究
知识导航
解决类比探究问题的一般方法：
（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问
（2）用解决第一问的方法类比解决下一问，照搬整体框架：类比字母，类比辅助线，类比思
路
经典例题
例题1
1 如图，在四边形 中， ， ， 是直线 上一点，连接 ，分别过点
， 作 ， ，垂足分别为点 ， ．
如图，当点 在边 上时，求证： ．
先在图上走通思路后再填写空格内容：
由 ， ，得 ，所以 ；又有 ，可以得
到 ，因此 ，理由是 ；又因为 ， ，因此根据
全等三角形的判定 ，可以得到 ≌ ，由全等的性质得 ，所以
．
请你仔细观察下列序号所代表的内容：
① ；② ；③同角或等角的余角相等；④同角或等角的补角相等；⑤
， ；⑥ ， ；⑦ ；⑧ ．
以上空缺处依次所填最恰当的是（ ）．
A. ①③⑧⑤ B. ②③⑦⑤ C. ②④⑧⑥ D. ①③⑦⑥
2 如图，当点 在 的延长线上时，求证： ．
由 ， ，得 ，所以 ；又有 ，可以得
到 ，因此 ，理由是 ；又因为 ， ，因此根据
全等三角形的判定 ，可以得到 ≌ ，由全等的性质得 ，所以
．
请你仔细观察下列序号所代表的内容：
① ；② ；③同角或等角的补角相等；④同角或等角的余角相等；⑤
， ；⑥ ， ；⑦ ；⑧ ．
以上空缺处依次所填最恰当的是（ ）．
A. ②④⑦⑥ B. ②③⑦⑤ C. ②④⑧⑤ D. ①③⑧⑤
3 如图， ，当点 在 的延长线上时， ， ， 这三条线段之间的数量关系和证明
思路分别是（ ）．
F P
D
E
C
B
A. ；思路是利用 证明 ≌
B. ；思路是利用 证明 ≌
C. ；思路是利用 证明 ≌
D. ；思路是利用 证明 ≌
例题2
如图 ，已知 中， ， ，把一块含 角的直角三角板 的直角顶
点 放在 的中点上（直角三角板的短直角边为 ，长直角边为 ），将直角三角板 绕
点按逆时针方向旋转．直线 交直线 于 ，直线 交直线 于 ．
图
(1) 在图 中，
1 如何证明 ？
先在图上走通思路后再填写空格内容，如图，连接 ．
由 ， ， 为 的中点，得 ．
． ，
． ，
． ，
． ，
再由 ，得 ．
因此根据三角形全等的判定 可以得到 ≌ ，由全等的性质得
＝ ．
图
2 在这一旋转过程中，直角三角板 与 的重叠部分为四边形 ，请说明
四边形 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生
变化，求出其面积．
(2) 继续旋转至如图 的位置， 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请
说明理由．
图
(3) 继续旋转至如图 的位置， 是否仍然成立？请写出结论，不用证明．
图
例题3
已知，在 中， 为锐角， 是射线 上一动点（ 与 不重合），以 为一边向右侧
作等边 （ 与 不重合），连接 ．
(1) 若 为等边三角形，当点 在线段 上时（如图所示），则直线 与直线 所夹锐
角为 ；先在图上走通思路后再填写空格内容，如图，由 ，得
；又因为 ， ，因此根据三角形全等的判定 ，可
得 ≌ 由全等的性质得 ．又因为
， ．
(2) 若 为等边三角形，当点 在线段 的延长线上时（如图所示），你在（ ）中得到
的结论是否仍然成立？请说明理由．
(3) 若 不是等边三角形，且 （如图所示）．试探究当点 在线段 上时，你
在（ ）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当
满足什么条件时，能使（ ）中的结论成立，并说明理由．
例题4
把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形 以 为顶点作 ，交边 、
于 、 ．
(1) 若 ， ，当 绕点 旋转时， ．
先在图上走通思路后再填写空格内容，
在 的延长线上截取 ，使得 ，
如图，由 ， ， ，因此
根据三角形全等的判定 ，可得 ≌ ．
由全等的性质得 ， ，
，又因为 ，所以
，那么 ，
又因为 ， ，因此根据三角形全等的判
定 ，所以 ≌ ．
(2) 当 时， 、 、 三条线段之间有何数量关系？证明你的结
论．
(3) 如图③，在 的条件下，若将 、 分改在 、 的延长上，完成图 ，其余条件不
变，则 、 、 之间有何数量关系．（直接写出结论，不必证明）
例题5
如图，已知 ， 平分 ，将等边三角形的一个顶点 放在射线 上，两边分
别与 、 （或其所在直线）交于点 、 ．
图 图
图
(1) 如图①，当三角形绕点 旋转到 时，证明： ．
图
(2) 如图②，当三角形绕点 旋转到 与 不垂直时，线段 和 相等吗？请说明理由．
图
(3) 如图③，当三角形绕点 旋转到 与 所在直线相交的位置时，线段 和 相等吗？
直接写出你的结论，不需证明．
图
二、数学万花筒
科学调查:数学不好是种病
莫尔克拉夫特是英国外交政策分析中心的主任。许多年来，他从未换过自己的电话号码与密码，因为
他担心自已可能永远记不住新的号码。在英国国防部工作时，他不得不将记住安全代码的任务全交给下
属。2003年他被女朋友甩掉，原因也是他弄错一个电话号码，而她坚信他当时正在外面跟别的美眉鬼
混。这次打击终于使他下定决心，弄清为何这些简单的数字总跟自己过不去。
在朋友的建议下，他联系了在伦敦大学学院研究数字认知的科学家布赖恩·巴特沃思（Brian
Butterworth）。进行了一些测试后，巴特沃思认为莫尔克拉夫特患有一种“简直一塌糊涂”的计算障碍
症。这是一种鲜为人知的学习障碍，有时被称为“数盲症”。研究人员估计，人群中高达7%的人都有计算
障碍，尽管其他方面的智力完全正常（甚至可能远高于常人，莫尔克拉夫特就是如此），他们在处理数
字时却会感到极其困难。
这种奇怪的病症引起了巴特沃思等神经科学家的注意，他们相信，对计算障碍的研究有助于揭示大脑
“数觉”功能（即认识和处理数量的能力）的运作机制。数觉与视觉、听觉一样，完全是天生的，但对于
它的认知和神经基础，科学家存在不同看法，对计算障碍的研究或许会有助于摆平这方面的争论。
20世纪80年代后期，英国人文社会科学院的院士巴特沃思曾研究过一位代号“CG”的中风病人。她的语
言智商测试达到一般水平，记忆力也相当不错，但要数数的话，她却只能数到4。
对CG的脑扫描显示，她的顶叶——位于耳部正上方的大脑区域——存在一处病变。巴特沃思也发现了
另一位病情正好与CG相反的患者：这位患者的神经退行性变已经使他丧失了讲话和语言能力，也忘掉了
很大一部分知识，但却没有影响他进行复杂计算的能力。于是巴特沃思越发肯定，人的识数能力由专门
的大脑神经网络控制，而不是如许多科学家当时所认为的，由实现一般智力功能的神经网络控制。
同几乎所有的人类认知功能一样，“数觉”的进化历程也非常古老。对黑猩猩、猴子、雏鸡、蝾螈乃至
蜜蜂所作的研究都表明，动物大脑存在着两种并行的数量系统。其中一种称为“近似数觉”，它只区分数
量的多少；而第二种数字系统，则负责快速、准确地识别出小于4的数。对灵长类动物的研究证明，在那
个名叫“顶内沟”的褶皱内，各个神经元似乎都有一个对应的数——比如，当一只猴子在完成一项与数字
有关的任务时，某个神经元的活动对应数字l，而另一个神经元的活动则对应数字2。
那些不善于识别大小相近的数字的人，数学往往很差。这意味着，近似数认知在数学能力系统中起着
关键作用。有些研究证明，计算障碍症患者很难识别较小的数，这提示识别较小数字的能力对于数字处
理具有根本的重要性。此外，对计算障碍症患者的脑扫描显示，与识数能力正常的儿童及成人相比，他
们的顶内沟在处理数字时活跃性较低，与大脑其余部分的联系也比较弱。
三、巩固加油站
巩固1
已知 中， ， ， 为 边的中点， ， 绕 点旋转，它
的两边分别交 、 （或它们的延长线）于 、 ．当 绕 点旋转到 于 时（如图
1），连接 ，易证 ≌ ，
则 四边形 ．
当 绕 点旋转到 和 不垂直时，在图 和图 这两种情况下，上述结论是否成立 若成
立，请给予证明；若不成立， ， ， 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不
需证明．
图 图 图
巩固2
解答下列各题：
(1) 如图 ，已知等边 ， 在 上， 在 上， 和 交于 ，且 ，求
的度数？
图
(2) 如图 ，已知正方形 ， 在 上， 在 上， 和 交于 ，且 ，则
．
图
(3) 如图 ，已知正 边形 ， 在 上， 在 上， 与 交于 ，且
，则 ．
图
巩固3
回答下列问题：
(1) 如图，在梯形 中， ， ，点 、 分别在 、 上，若
，试探究线段 、 、 有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予
证明．
(2) 如图，在四边形 中， ， ，点 、 分别在 、
的延长线上，若 ，试探究线段 、 、 又有怎样的数量关系？请
直接写出猜想，不需证明．第12讲 全等三角形探究
一、全等三角形探究
知识导航
解决类比探究问题的一般方法：
（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问
（2）用解决第一问的方法类比解决下一问，照搬整体框架：类比字母，类比辅助线，类比思
路
经典例题
例题1
1 如图，在四边形 中， ， ， 是直线 上一点，连接 ，分别过点
， 作 ， ，垂足分别为点 ， ．
如图，当点 在边 上时，求证： ．
先在图上走通思路后再填写空格内容：
由 ， ，得 ，所以 ；又有 ，可以得
到 ，因此 ，理由是 ；又因为 ， ，因此根据
全等三角形的判定 ，可以得到 ≌ ，由全等的性质得 ，所以
．
请你仔细观察下列序号所代表的内容：
① ；② ；③同角或等角的余角相等；④同角或等角的补角相等；⑤
， ；⑥ ， ；⑦ ；⑧ ．
以上空缺处依次所填最恰当的是（ ）．
A. ①③⑧⑤ B. ②③⑦⑤ C. ②④⑧⑥ D. ①③⑦⑥
答案 B
解析 由 ， ，得 ，所以 ，又有 ，可以得到
，因此 ，理由是同角或等角的余角相等，又因为 ，
，因此根据全等三角形的判定： ，可以得到 ≌ ，由全等的性
质得 ， ．
故选 ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等形判定 >题型：多解或多种判定混合
2 如图，当点 在 的延长线上时，求证： ．
由 ， ，得 ，所以 ；又有 ，可以得
到 ，因此 ，理由是 ；又因为 ， ，因此根据
全等三角形的判定 ，可以得到 ≌ ，由全等的性质得 ，所以
．
请你仔细观察下列序号所代表的内容：
① ；② ；③同角或等角的补角相等；④同角或等角的余角相等；⑤
， ；⑥ ， ；⑦ ；⑧ ．
以上空缺处依次所填最恰当的是（ ）．
A. ②④⑦⑥ B. ②③⑦⑤ C. ②④⑧⑤ D. ①③⑧⑤
答案 A
解析 由 ， ，得 ，所以 ，又有 ，可以得到
，因此 ，理由是同角或等角的余角相等，又因为 ，
，因此根据全等三角形的判定： ，可以得到 ≌ ，由全等的性
质得 ， ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等形判定 >题型：多解或多种判定混合
3 如图， ，当点 在 的延长线上时， ， ， 这三条线段之间的数量关系和证明
思路分别是（ ）．
F P
D
E
C
B
A. ；思路是利用 证明 ≌
B. ；思路是利用 证明 ≌
C. ；思路是利用 证明 ≌
D. ；思路是利用 证明 ≌
答案 C
解析 ∵ ，
，
∴ ，
∴在 和 中
，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
∴ ，
故选 ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等形判定 >题型：AAS
例题2
如图 ，已知 中， ， ，把一块含 角的直角三角板 的直角顶
点 放在 的中点上（直角三角板的短直角边为 ，长直角边为 ），将直角三角板 绕
点按逆时针方向旋转．直线 交直线 于 ，直线 交直线 于 ．
图
(1) 在图 中，
1 如何证明 ？
先在图上走通思路后再填写空格内容，如图，连接 ．
由 ， ， 为 的中点，得 ．
． ，
． ，
． ，
． ，
再由 ，得 ．
因此根据三角形全等的判定 可以得到 ≌ ，由全等的性质得
＝ ．
图
2 在这一旋转过程中，直角三角板 与 的重叠部分为四边形 ，请说明
四边形 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生
变化，求出其面积．
(2) 继续旋转至如图 的位置， 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请
说明理由．
图
(3) 继续旋转至如图 的位置， 是否仍然成立？请写出结论，不用证明．
图
答案
(1) 1 1．
2．
3．
4．
5．
备选答案 :
6．
备选答案 :
2 不发生变化， ．
(2) 仍然成立，理由见解析．
(3) ．
解析 (1) 1 略
2 四边形 的面积不发生变化；
由①知: ≌ ，
∴ ．
∴ 四边形
．
(2) 仍然成立，
连接 ．
图
在 中，∵ ， ，
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ≌ ．
∴ ．
(3) ．
图
标注 三角形 >全等三角形 >全等模型 >题型：旋转型全等
例题3
已知，在 中， 为锐角， 是射线 上一动点（ 与 不重合），以 为一边向右侧
作等边 （ 与 不重合），连接 ．
(1) 若 为等边三角形，当点 在线段 上时（如图所示），则直线 与直线 所夹锐
角为 ；先在图上走通思路后再填写空格内容，如图，由 ，得
；又因为 ， ，因此根据三角形全等的判定 ，可
得 ≌ 由全等的性质得 ．又因为
， ．
(2) 若 为等边三角形，当点 在线段 的延长线上时（如图所示），你在（ ）中得到
的结论是否仍然成立？请说明理由．
(3) 若 不是等边三角形，且 （如图所示）．试探究当点 在线段 上时，你
在（ ）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当
满足什么条件时，能使（ ）中的结论成立，并说明理由．
答案 (1) 1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．
9．
10．
(2) 成立，证明见解析．
(3) 原结论不成立．当 时，能使（ ）中的结论成立．
解析 (1) 由全等三角形判定条件可知．
(2) 成立．∵ 是等边三角形，∴ ， ，
∵ 是等边三角形，∴ ， ，
∴ ，∴ ≌ ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
即直线 与直线 所央锐角为 ．
(3) 原结论不成立．当 时，才能使（ ）中的结论成立．当 时，在
上取一点 ，使得 ，
则 是等边三角形，∴ ， ，
∵ 是等边三角形，∴ ， ，
∴ ，∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ．
∴当 时，能使（ ）中的结论成立．
标注 三角形 >全等三角形 >全等辅助线 >题型：截长补短
例题4
把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形 以 为顶点作 ，交边 、
于 、 ．
(1) 若 ， ，当 绕点 旋转时， ．
先在图上走通思路后再填写空格内容，
在 的延长线上截取 ，使得 ，
如图，由 ， ， ，因此
根据三角形全等的判定 ，可得 ≌ ．
由全等的性质得 ， ，
，又因为 ，所以
，那么 ，
又因为 ， ，因此根据三角形全等的判
定 ，所以 ≌ ．
(2) 当 时， 、 、 三条线段之间有何数量关系？证明你的结
论．
(3) 如图③，在 的条件下，若将 、 分改在 、 的延长上，完成图 ，其余条件不
变，则 、 、 之间有何数量关系．（直接写出结论，不必证明）
答案 (1) 1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
(2) ．
(3) ．
解析 (1) 略
(2) 证明：延长 到 ，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
在 和 中
，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，↓
∴ ，
∵
∴ ，
在 和 中
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∵
∴ ．
(3) 证明：在 截取 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中+
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等辅助线 >题型：截长补短
例题5
如图，已知 ， 平分 ，将等边三角形的一个顶点 放在射线 上，两边分
别与 、 （或其所在直线）交于点 、 ．
图 图
图
(1) 如图①，当三角形绕点 旋转到 时，证明： ．
图
(2) 如图②，当三角形绕点 旋转到 与 不垂直时，线段 和 相等吗？请说明理由．
图
(3) 如图③，当三角形绕点 旋转到 与 所在直线相交的位置时，线段 和 相等吗？
直接写出你的结论，不需证明．
图
答案 (1) 证明见解析.
(2) ．
(3) ．
解析 (1) 方法一：∵ 平分 ， 于 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ 于 ，
∴ ．（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
方法二：∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ．
(2) 过 点作 于 ， 于 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
图
∴ ≌ ．（ASA）
∴ ．
(3) 若需证明，只要证 ≌ 即可，理由仍然是
，此时 的推导为：
∵ ，
∴
图
∴ ．
标注 三角形 >全等三角形 >角平分线 >题型：角分线有关的辅助线
二、数学万花筒
科学调查:数学不好是种病
莫尔克拉夫特是英国外交政策分析中心的主任。许多年来，他从未换过自己的电话号码与密码，因为
他担心自已可能永远记不住新的号码。在英国国防部工作时，他不得不将记住安全代码的任务全交给下
属。2003年他被女朋友甩掉，原因也是他弄错一个电话号码，而她坚信他当时正在外面跟别的美眉鬼
混。这次打击终于使他下定决心，弄清为何这些简单的数字总跟自己过不去。
在朋友的建议下，他联系了在伦敦大学学院研究数字认知的科学家布赖恩·巴特沃思（Brian
Butterworth）。进行了一些测试后，巴特沃思认为莫尔克拉夫特患有一种“简直一塌糊涂”的计算障碍
症。这是一种鲜为人知的学习障碍，有时被称为“数盲症”。研究人员估计，人群中高达7%的人都有计算
障碍，尽管其他方面的智力完全正常（甚至可能远高于常人，莫尔克拉夫特就是如此），他们在处理数
字时却会感到极其困难。
这种奇怪的病症引起了巴特沃思等神经科学家的注意，他们相信，对计算障碍的研究有助于揭示大脑
“数觉”功能（即认识和处理数量的能力）的运作机制。数觉与视觉、听觉一样，完全是天生的，但对于
它的认知和神经基础，科学家存在不同看法，对计算障碍的研究或许会有助于摆平这方面的争论。
20世纪80年代后期，英国人文社会科学院的院士巴特沃思曾研究过一位代号“CG”的中风病人。她的语
言智商测试达到一般水平，记忆力也相当不错，但要数数的话，她却只能数到4。
对CG的脑扫描显示，她的顶叶——位于耳部正上方的大脑区域——存在一处病变。巴特沃思也发现了
另一位病情正好与CG相反的患者：这位患者的神经退行性变已经使他丧失了讲话和语言能力，也忘掉了
很大一部分知识，但却没有影响他进行复杂计算的能力。于是巴特沃思越发肯定，人的识数能力由专门
的大脑神经网络控制，而不是如许多科学家当时所认为的，由实现一般智力功能的神经网络控制。
同几乎所有的人类认知功能一样，“数觉”的进化历程也非常古老。对黑猩猩、猴子、雏鸡、蝾螈乃至
蜜蜂所作的研究都表明，动物大脑存在着两种并行的数量系统。其中一种称为“近似数觉”，它只区分数
量的多少；而第二种数字系统，则负责快速、准确地识别出小于4的数。对灵长类动物的研究证明，在那
个名叫“顶内沟”的褶皱内，各个神经元似乎都有一个对应的数——比如，当一只猴子在完成一项与数字
有关的任务时，某个神经元的活动对应数字l，而另一个神经元的活动则对应数字2。
那些不善于识别大小相近的数字的人，数学往往很差。这意味着，近似数认知在数学能力系统中起着
关键作用。有些研究证明，计算障碍症患者很难识别较小的数，这提示识别较小数字的能力对于数字处
理具有根本的重要性。此外，对计算障碍症患者的脑扫描显示，与识数能力正常的儿童及成人相比，他
们的顶内沟在处理数字时活跃性较低，与大脑其余部分的联系也比较弱。
三、巩固加油站
巩固1
已知 中， ， ， 为 边的中点， ， 绕 点旋转，它
的两边分别交 、 （或它们的延长线）于 、 ．当 绕 点旋转到 于 时（如图
1），连接 ，易证 ≌ ，
则 四边形 ．
当 绕 点旋转到 和 不垂直时，在图 和图 这两种情况下，上述结论是否成立 若成
立，请给予证明；若不成立， ， ， 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不
需证明．
图 图 图
答案 图 成立， ．
图 不成立， ．
解析 图 成立；图 不成立．
证明图2：过点 作 ，
则
再证 ，
有 ≌
∴
∴ 四边形 四边形
由信息可知 四边形
∴
图 不成立，
、 、 的关系是： ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等模型 >题型：旋转型全等
巩固2
解答下列各题：
(1) 如图 ，已知等边 ， 在 上， 在 上， 和 交于 ，且 ，求
的度数？
图
(2) 如图 ，已知正方形 ， 在 上， 在 上， 和 交于 ，且 ，则
．
图
(3) 如图 ，已知正 边形 ， 在 上， 在 上， 与 交于 ，且
，则 ．
图
答案 (1) ．
(2)
(3)
解析 (1) ．
(2) ．
(3) ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >多边形 >题型：求多边形的内角和
巩固3
回答下列问题：
(1) 如图，在梯形 中， ， ，点 、 分别在 、 上，若
，试探究线段 、 、 有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予
证明．
(2) 如图，在四边形 中， ， ，点 、 分别在 、
的延长线上，若 ，试探究线段 、 、 又有怎样的数量关系？请
直接写出猜想，不需证明．
答案 (1) ．
(2) ．
解析 (1) 理由如下：
如图，∵ ， ，
∴梯形 是等腰梯形，
∴ ，
把 绕点 顺时针旋转 到 ，则
≌ ，
∴ ， ， ，
，
∴ ，
∴点 、 、 三点共线，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ≌ （ ），
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
(2) ．
理由如下：如图，作 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （ ），
∴ ， ，
∵ ，
∴
，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ≌ （ ），
∴ ，
∵ ，
∴ ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等辅助线 >题型：截长补短

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