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第14讲 勾股定理的应用
一、勾股定理的计算
经典例题
例题1
1 如图，在 中， ， ， ，则 边上的高 = ， 边上的
高 = ， = ．
答案 1．
2．
3．
解析 ∵ ， ，
∴
∴
∵
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴ ．
标注 三角形 > 勾股定理 > 勾股定理应用 > 题型：勾股定理的综合应用
2 如图，已知在 中， ， ， 是 上的一点，且 ，求 的长．
答案 ．
解析 过点 作 于 ，设
则有 ，
同理 ，
则有 ，解得
∴ ．
标注 三角形 > 勾股定理 > 勾股定理基础 > 题型：方程思想在勾股定理的应用
例题2
如图，在 中， ， 是 上异于 ， 的一点，求 的值．
答案
解析 过点 作 ，垂足为 ．
∵ ，
∴ ， ，
∴
．
又∵ ，
∴ ．
标注 三角形 > 勾股定理 > 勾股定理应用 > 题型：勾股定理的综合应用
二、勾股定理的应用
知识导航
找到对应边，对应角，在直角三角形中找到适当的量设为 ，
折叠问题：
再利用勾股定理，列出含有 的方程
蚂蚁爬行问题： 将几何体展开，再利用勾股定理求解即可.
求最小值问题： 将问题转化为几何中的最短距离求解．
经典例题
例题3
1 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 ， ，现将直角边 沿直线 折
叠，使它落在斜边 上，且与 重合，则 等于（ ）．
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由勾股定理得： ，由题意得： ≌ ，
∴ ，
（设为 ）， ，
∴ ， ．
由勾股定理得：
，解得 ．
故选 ．
标注 三角形 > 勾股定理 > 勾股定理基础 > 题型：方程思想在勾股定理的应用
2 直角三角形纸片的两直角边长分别为 ， ，现将 如图那样折叠，使点 与 重合，折痕为
，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 略
标注 三角形 > 相似三角形 > 相似三角形基础 > 题型：相似三角形的性质与判定综合
3 如图，矩形 沿着直线 折叠，使点 落在 处， 交 于 ， ， ，则
的长为 ．
答案
解析 方法一：∵矩形 沿着直线 折叠，使点 落在 处，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，而 ， ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，解得 ，
∴ 的长为 ．
方法二：设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理可得 ，
即 ，解得 ，
∴ ．
标注 几何变换 > 对称 > 对称问题 > 题型：翻折问题与勾股定理
例题4
1 如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 离点 的距离为 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的
表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是 ．
答案
解析 三种情况：
由于 ，故最短距离为 ．
标注 三角形 > 勾股定理 > 勾股定理应用 > 题型：展开图最短路径问题
2 如图，圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为 ，在杯内离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时
一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
．
蚂蚁
蜂蜜
答案
解析 要学会展开成平面图去思考，沿过 的圆柱的高剪开，得到矩形 ，
过 作 于 ，作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，
则 即 ，即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离．
由已知可得 ， ．
从而可根据勾股定理求得 ，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ．
标注 三角形 > 勾股定理 > 勾股定理应用 > 题型：展开图最短路径问题
例题5
1 如图，已知 、 两村分别距公路的距离 ， ，且 ．在公路 上建
一中转站 使 的最小，则 的最小值为（ ） ．
A. B. C. D.
答案 A
解析 略
标注 综合类问题 > 最短路径问题 > 题型：将军饮马问题
2 如图，已知 ，点 、 在 边上， ， ，点 是 边上一动点，
的周长最小值是 ．
答案
解析 略
标注 三角形 > 三角形及多边形 > 与三角形有关的线段 > 题型：三角形的周长
3 如图，已知长方形 中 ， ，点 在 边上且 ，点 ， 分别是边 ，
的动点（均不与顶点重合），四边形 的周长最小值是 ．
答案
解析 如图所示，
作 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，连接 ，四边形 的周长最小，
∵ ， ，
∴ ， ．
∴ ．
∴四边形 的周长最小值是 ．
标注 综合类问题 > 最短路径问题 > 题型：将军饮马问题
例题6
1 如图所示的一块地，已知 ， ， ， ， ，求这块地的面
积．
答案 ．
解析 连接 ．∵ ， ，
∴ ∴ 为直角三角形
∴ ，
∴这块地的面积 ．
标注 三角形 > 勾股定理 > 勾股定理基础 > 题型：直接用勾股求边长
2 如图，在四边形 中， ， ， ，且 ，试求 的度数．
答案 ．
解析 连结 ，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
标注 三角形 > 勾股定理 > 勾股定理基础 > 题型：勾股逆定理的应用
三、数学万花筒
边长为1的直角三角形斜边
是个无理数，没有尽头，为什么直角边长为 1 的等腰直角三角形可以被画出来？
这里面隐含着这样一个问题：一个在数值上具有无穷特征的量，怎么能在现实中作为具体的存在。
这似乎很与我们的直觉相悖。
这个问题可以追溯到古希腊的哲学学派——毕达哥拉斯学派，他们认为宇宙的基础单元是数，任何
事物都可以用数或数的比值来表示，这也就意味着，任何存在都可以用某个“单位1”的叠加来表示，比如
10是1的10次叠加，7/8这样的小数只要把单位1看成是1/8，经过7次叠加。任何事物都可以细分成最小的
粒子，并且这个“单位1”一定是具体的、思维可以把握的，这样任何事物都可以用数的概念来量化，以达
到概念与存在的统一，这似乎很符合人们的直觉。
而边长为1的直角三角形的斜边长度的数值，却动摇了数本原的理论根基。
这就意味着，存在某些长度是不能用数值或数值的比值来表示的，也就意味着它无法通过某个具体的“单
位1”叠加而成。让我们想象一段长度，这段长度却不是由某一段细微的长度叠加而成，这太违反直觉
了。
造成这种悖论的原因，是我们的思维有一种倾向，就是静态的把握事物，我们只能在推理中把握无
限、无穷这样的概念，却无法在思维中形成具体的模型，我们可以想象一段长度10，却无法想象出一段
长度是3.1415......因为那需要无限长的时间，我们要想象3，再加上0.1再加上0.04...康德认为，时间是人的
先天直观能力的一种，人们对数字的把握来源于对时间的感知，在这个问题上，这种说法是有说服力
的。
所以说，我们的直觉难以相信有着无穷数位的无理数可以在现实中真正存在，而通过推理，我们可
以得出等腰直角三角形斜边的数值是一个无理数。感性的直观带来的困惑与理性的推理带来的真理，它
们往往叠加在一起。正是理性对感性直观的超越，不断地带给我们惊奇——这段线段的长度是一个无穷
数位的数值啊！
类似的悖论还有芝诺提出的阿基里斯追不上乌龟（不明可百度），将超过乌龟的过程细分成无穷个
子过程，既然过程是无穷的，所以阿基里斯永远走不完这无穷的过程，也就永远无法完成追上乌龟的行
动。而这与实际情况明显是相悖的，这个悖论的问题同样是把逻辑上的无穷等同于现实过程中的无穷
了，思维把握这个无穷过程的确需要无穷的时间，但现实中他只管一直往前跑，无穷过程中的每一个过
程所用时间之和则是有限的，这用微积分的思想是容易明白的，这种悖论同样是一种思维的错觉。
四、巩固加油站
巩固1
如图，在 中， ， ，点 为 的中点， 于点 ，则 等于（
）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 连接 ，
∵ ，点 为 中点，
∴ （三线合一）， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，
， ，
∴根据勾股定理得：
，
又 ，
∴ ．
标注 三角形 > 等腰三角形 > 等腰等边综合 > 题型：等腰三角形的性质
巩固2
如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 ， ，现将直角边 沿直线 折
叠，使它落在斜边 上，且与 重合，那么 的长为多少？
答案 ．
解析 方法一：可设 ，那么 ， ， ，
所以 ，
所以 ．
方法二：由于 ,由勾股定理可得： ，则 ．设 ，可
得： ， ．在直角 中，由勾股定理可得 ，解得
，所以 ．
标注 三角形 > 勾股定理 > 勾股定理基础 > 题型：方程思想在勾股定理的应用
巩固3
如图，长方形纸片 的边长 ， ．将长方形纸片沿 折叠，使点 与点 重合，
则 的面积为 ．
答案
解析 ∵四边形 由四边形 反折而成，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在 中，
∵ ，即 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
标注 几何变换 > 对称 > 对称问题 > 题型：翻折问题与勾股定理
巩固4
四边形 为矩形纸片，将纸片 折叠，使点 落在 边上的点 处，且 ，
折痕为 ，若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
由折叠的性质可得： ， ，
在 中， ， ，
设 ，则 ， ，
∵在 中， ，
即 ，
解得： ，
∴ ， ．
故选 ．
标注 几何变换 > 对称 > 对称问题 > 题型：翻折问题与勾股定理
巩固5
如图，已知圆柱底面的周长为 ，圆柱高为 ，在圆柱的侧面上，过点 和点 嵌有一圈金属
丝，则这圈金属丝的长度最小为 ．
答案
解析 如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为 的长度．
∵圆柱底面的周长为为 ，圆柱高为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∴这圈金属丝的周长最小为 ．
标注 三角形 > 勾股定理 > 勾股定理应用 > 题型：展开图最短路径问题
巩固6
如图，长方体的底面边长分别为 和 ，高为 ，如果用一根细线从点 开始经过 个侧面缠
绕一圈到达点 ，那么所用细线最短需要 ．
答案
解析 将长方体展开，连接 、 ，
∵ （ ），
，
由勾股定理，得 ， ．
标注 三角形 > 勾股定理 > 勾股定理应用 > 题型：展开图最短路径问题
巩固7
如图：长方体盒子的长、宽、高分别是 ， ， ，在 中点 处有一滴蜜糖， 一只小虫从 处爬
到 处去吃，有无数种走法，其中最短的路程是 ．
答案
解析 分为三种情况：①如图展开，连接 ，则 的长就是从 处爬到 处的最短路程
在 中， ，
由勾股定理得： ， ．
②如图，根据勾股定理可求
如图，
根据勾股定理同法可求
即从 处爬到 处的最短路程是 ．
标注 三角形 > 勾股定理 > 勾股定理应用 > 题型：展开图最短路径问题
巩固8
如图，牧童在 处放牛，其家在 处， 、 到河岸的距离分别为 和 ，且 ，
为 米，则牧童从 处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ）．
河
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
答案 B
解析 作 关于河的对称点 ，
连接 、 、
则 ， 河
根据勾股定理可得：
∴ 米．
故选 ．
标注 综合类问题 > 最短路径问题 > 题型：将军饮马问题
巩固9
如图，在锐角 中， ， ， 的平分线交 于点 、 、 分别是
和 上的动点，则 的最小值是 ．
答案
解析
如图，在 上截取 ，连接 ．
∵ 的平分线交 于点 ，∴
，
在 与 中，
，
∴ ≌ （ ），∴ ．
∴ ．
∵ 有最小值．
当 是点 到直线 的距离时， ，
又 ， ，
此时， 为等腰直角三角形，
∴ ，即 取最小值为 ，∴ 的最小值是 ．
故答案为： ．
标注 三角形 > 三角形及多边形 > 与三角形有关的线段 > 题型：与三边关系有关的证明
巩固10
如图所示的一块四边形地 ，已知 ， ， ， ，
，求这块地的面积．
A
D
C B
答案 ．
解析 连结 ，根据勾股定理 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 四边形 ．
A
D
C B
标注 三角形 > 勾股定理 > 勾股定理基础 > 题型：勾股逆定理的应用
巩固11
已知，如图，四边形 中， ， ， ， ，且 ，
求四边形 的面积．
A D
B
C
答案 ．
解析 连接 ，由勾股定理可知 ，∴ ，∴
，
∴ 四边形 ．
A D
B
C
标注 三角形 > 勾股定理 > 勾股定理基础 > 题型：勾股逆定理的应用第14讲 勾股定理的应用
一、勾股定理的计算
经典例题
例题1
1 如图，在 中， ， ， ，则 边上的高 = ， 边上的
高 = ， = ．
2 如图，已知在 中， ， ， 是 上的一点，且 ，求 的长．
例题2
如图，在 中， ， 是 上异于 ， 的一点，求 的值．
二、勾股定理的应用
知识导航
找到对应边，对应角，在直角三角形中找到适当的量设为 ，
折叠问题：
再利用勾股定理，列出含有 的方程
蚂蚁爬行问题： 将几何体展开，再利用勾股定理求解即可.
求最小值问题： 将问题转化为几何中的最短距离求解．
经典例题
例题3
1 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 ， ，现将直角边 沿直线 折
叠，使它落在斜边 上，且与 重合，则 等于（ ）．
A. B.
C. D.
2 直角三角形纸片的两直角边长分别为 ， ，现将 如图那样折叠，使点 与 重合，折痕为
，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
3 如图，矩形 沿着直线 折叠，使点 落在 处， 交 于 ， ， ，则
的长为 ．
例题4
1 如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 离点 的距离为 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的
表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是 ．
2 如图，圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为 ，在杯内离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时
一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
．
蚂蚁
蜂蜜
例题5
1 如图，已知 、 两村分别距公路的距离 ， ，且 ．在公路 上建
一中转站 使 的最小，则 的最小值为（ ） ．
A. B. C. D.
2 如图，已知 ，点 、 在 边上， ， ，点 是 边上一动点，
的周长最小值是 ．
3 如图，已知长方形 中 ， ，点 在 边上且 ，点 ， 分别是边 ，
的动点（均不与顶点重合），四边形 的周长最小值是 ．
例题6
1 如图所示的一块地，已知 ， ， ， ， ，求这块地的面
积．
2 如图，在四边形 中， ， ， ，且 ，试求 的度数．
三、数学万花筒
边长为1的直角三角形斜边
是个无理数，没有尽头，为什么直角边长为 1 的等腰直角三角形可以被画出来？
这里面隐含着这样一个问题：一个在数值上具有无穷特征的量，怎么能在现实中作为具体的存在。
这似乎很与我们的直觉相悖。
这个问题可以追溯到古希腊的哲学学派——毕达哥拉斯学派，他们认为宇宙的基础单元是数，任何
事物都可以用数或数的比值来表示，这也就意味着，任何存在都可以用某个“单位1”的叠加来表示，比如
10是1的10次叠加，7/8这样的小数只要把单位1看成是1/8，经过7次叠加。任何事物都可以细分成最小的
粒子，并且这个“单位1”一定是具体的、思维可以把握的，这样任何事物都可以用数的概念来量化，以达
到概念与存在的统一，这似乎很符合人们的直觉。
而边长为1的直角三角形的斜边长度的数值，却动摇了数本原的理论根基。
这就意味着，存在某些长度是不能用数值或数值的比值来表示的，也就意味着它无法通过某个具体的“单
位1”叠加而成。让我们想象一段长度，这段长度却不是由某一段细微的长度叠加而成，这太违反直觉
了。
造成这种悖论的原因，是我们的思维有一种倾向，就是静态的把握事物，我们只能在推理中把握无
限、无穷这样的概念，却无法在思维中形成具体的模型，我们可以想象一段长度10，却无法想象出一段
长度是3.1415......因为那需要无限长的时间，我们要想象3，再加上0.1再加上0.04...康德认为，时间是人的
先天直观能力的一种，人们对数字的把握来源于对时间的感知，在这个问题上，这种说法是有说服力
的。
所以说，我们的直觉难以相信有着无穷数位的无理数可以在现实中真正存在，而通过推理，我们可
以得出等腰直角三角形斜边的数值是一个无理数。感性的直观带来的困惑与理性的推理带来的真理，它
们往往叠加在一起。正是理性对感性直观的超越，不断地带给我们惊奇——这段线段的长度是一个无穷
数位的数值啊！
类似的悖论还有芝诺提出的阿基里斯追不上乌龟（不明可百度），将超过乌龟的过程细分成无穷个
子过程，既然过程是无穷的，所以阿基里斯永远走不完这无穷的过程，也就永远无法完成追上乌龟的行
动。而这与实际情况明显是相悖的，这个悖论的问题同样是把逻辑上的无穷等同于现实过程中的无穷
了，思维把握这个无穷过程的确需要无穷的时间，但现实中他只管一直往前跑，无穷过程中的每一个过
程所用时间之和则是有限的，这用微积分的思想是容易明白的，这种悖论同样是一种思维的错觉。
四、巩固加油站
巩固1
如图，在 中， ， ，点 为 的中点， 于点 ，则 等于（
）．
A. B. C. D.
巩固2
如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 ， ，现将直角边 沿直线 折
叠，使它落在斜边 上，且与 重合，那么 的长为多少？
巩固3
如图，长方形纸片 的边长 ， ．将长方形纸片沿 折叠，使点 与点 重合，
则 的面积为 ．
巩固4
四边形 为矩形纸片，将纸片 折叠，使点 落在 边上的点 处，且 ，
折痕为 ，若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
巩固5
如图，已知圆柱底面的周长为 ，圆柱高为 ，在圆柱的侧面上，过点 和点 嵌有一圈金属
丝，则这圈金属丝的长度最小为 ．
巩固6
如图，长方体的底面边长分别为 和 ，高为 ，如果用一根细线从点 开始经过 个侧面缠
绕一圈到达点 ，那么所用细线最短需要 ．
巩固7
如图：长方体盒子的长、宽、高分别是 ， ， ，在 中点 处有一滴蜜糖， 一只小虫从 处爬
到 处去吃，有无数种走法，其中最短的路程是 ．
巩固8
如图，牧童在 处放牛，其家在 处， 、 到河岸的距离分别为 和 ，且 ，
为 米，则牧童从 处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ）．
河
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
巩固9
如图，在锐角 中， ， ， 的平分线交 于点 、 、 分别是
和 上的动点，则 的最小值是 ．
巩固10
如图所示的一块四边形地 ，已知 ， ， ， ，
，求这块地的面积．
A
D
C B
巩固11
已知，如图，四边形 中， ， ， ， ，且 ，
求四边形 的面积．
A D
B
C

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