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第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动　多过程问题
目标要求　1.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，知道竖直上抛运动的对称性.2.能灵活处理多过程问题．
考点一　自由落体运动
自由落体运动
(1)运动特点：初速度为0，加速度为g的匀加速直线运动．
(2)基本规律：
①速度与时间的关系式：v＝gt.
②位移与时间的关系式：x＝gt2.
③速度与位移的关系式：v2＝2gx.
(3)方法技巧：
①比例法等初速度为0的匀变速直线运动规律都适用．
②Δv＝gΔt.相同时间内，竖直方向速度变化量相同．
③位移差公式：Δh＝gT2.
1．重的物体总是比轻的物体下落得快．(　×　)
2．同一地点，轻重不同的物体的g值一样大．(　√　)
3．自由落体加速度的方向垂直地面向下．(　×　)
4．做自由落体运动的物体在1 s内速度增加约9.8 m/s.(　√　)
考向1　自由落体运动基本公式的应用
例1　如图所示木杆长5 m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下(不计空气阻力)，木杆通过悬点正下方20 m处的圆筒AB，圆筒AB长为5 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)木杆通过圆筒的上端A所用的时间t1；
(2)木杆通过圆筒AB所用的时间t2.
答案　(1)(2－) s　(2)(－) s
解析　(1)木杆由静止开始做自由落体运动，
设木杆的下端到达圆筒上端A所用的时间为t下A
h下A＝gt下A2
h下A＝20 m－5 m＝15 m
解得t下A＝ s
设木杆的上端到达圆筒上端A所用的时间为t上A
h上A＝gt上A2
解得t上A＝2 s
则木杆通过圆筒上端A所用的时间
t1＝t上A－t下A＝(2－) s
(2)设木杆的上端到达圆筒下端B所用的时间为t上B
h上B＝gt上B2
h上B＝20 m＋5 m＝25 m
解得t上B＝ s
则木杆通过圆筒所用的时间t2＝t上B－t下A＝(－) s.
考向2　自由落体运动中的“比例关系”问题
例2　一石块从楼房阳台边缘做自由落体运动，到达地面，若把它在空中运动的距离分为相等的三段，如果它在第一段距离内所用的时间是1 s，则它在第三段距离内所用的时间是(g取10 m/s2)(　　)
A．(－) s B. s
C. s D．(－1) s
答案　A
解析　根据由自由落体运动规律，石块下落连续相等距离所用时间之比为：1∶(－1)∶(－)，则它在第三段距离内所用的时间为(－) s，故选A.
考向3　自由落体运动中的“两物体先后下落”问题
例3　从高度为125 m的塔顶先后自由释放a、b两球，自由释放这两个球的时间差为1 s，g取10 m/s2，不计空气阻力，以下判断正确的是(　　)
A．b球下落高度为20 m时，a球的速度大小为20 m/s
B．a球接触地面瞬间，b球离地高度为45 m
C．在a球接触地面之前，两球保持相对静止
D．在a球接触地面之前，两球离地的高度差恒定
答案　B
解析　b球下落高度为20 m时t1＝＝ s＝2 s，则A下降了3 s，A的速度为v＝30 m/s，故A错误；A球下降的总时间为：t2＝ s＝5 s，此时B下降4 s，B的下降高度为：h′＝×10×42 m＝80 m，故B离地面的高度为hB＝(125－80) m＝45 m，故B正确；由自由落体的规律可得，在a球接触地面之前，两球的速度差恒定，两球离地的高度差变大，故C、D错误．
考点二　竖直上抛运动
竖直上抛运动
(1)运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速运动，下降阶段做自由落体运动．
(2)基本规律
①速度与时间的关系式：v＝v0－gt；
②位移与时间的关系式：x＝v0t－gt2.
1．物体做竖直上抛运动，速度为负值时，位移也一定为负值．(　×　)
2．做竖直上抛运动的物体，在上升过程中，速度变化量方向是竖直向下的．(　√　)
1.重要特性(如图)
(1)对称性
①时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理tAB＝tBA.
②速度对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等．
(2)多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性．
2．研究方法
分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动
全程法 初速度v0向上，加速度为－g的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向)
若v＞0，物体上升；若v＜0，物体下落
若h＞0，物体在抛出点上方；若h＜0，物体在抛出点下方
考向1　竖直上抛运动的对称性
例4　一个从地面上竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是5 s，两次经过一个较高点B的时间间隔是3 s，则A、B之间的距离是(不计空气阻力，g＝10 m/s2)(　　)
A．80 m B．40 m
C．20 m D．无法确定
答案　C
解析　物体做竖直上抛运动，根据运动时间的对称性得，物体从最高点自由下落到A点的时间为，从最高点自由下落到B点的时间为，A、B间距离为：hAB＝g[()2－()2]＝×10×(2.52－1.52) m＝20 m，故选C.
考向2　竖直上抛运动的多解性
例5　从高为20 m的位置以20 m/s的初速度竖直上抛一物体，g取10 m/s2，当物体到抛出点距离为15 m时，所经历的时间不可能是(　　)
A．1 s B．2 s
C．3 s D．(2＋) s
答案　B
解析　取竖直向上方向为正方向，当物体运动到抛出点上方离抛出点15 m时，位移为x＝15 m，由竖直上抛运动的位移公式得x＝v0t－gt2，解得t1＝1 s，t2＝3 s；当物体运动到抛出点下方离抛出点15 m时,位移为x′＝－15 m，由x′＝v0t－gt2，解得t＝(2＋) s或t＝(2－) s (负值舍去)，选项A、C、D可能，B不可能．
考向3　竖直上抛和自由落体运动相遇问题
例6　如图所示，乙球静止于地面上，甲球位于乙球正上方h处，现从地面上竖直上抛乙球，初速度v0＝10 m/s，同时让甲球自由下落，不计空气阻力．(取g＝10 m/s2，甲、乙两球可看作质点)下列说法错误的是(　　)
A．无论h为何值，甲、乙两球一定能在空中相遇
B．当h＝10 m时，乙球恰好在最高点与甲球相遇
C．当h＝15 m时，乙球能在下落过程中与甲球相遇
D．当h<10 m时，乙球能在上升过程中与甲球相遇
答案　A
解析　设两球在空中相遇，所需时间为t，根据运动学公式可得gt2＋v0t－gt2＝h，可得t＝，而乙球的落地时间t1＝，两球在空中相遇的条件是t考点三　多过程问题
1．一般的解题步骤
(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动的全过程．
(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量．
(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程．
2．解题关键
多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对连接点速度的求解往往是解题的关键．
例7　在一次低空跳伞演练中，当直升机悬停在离地面224 m高处时，伞兵离开飞机做自由落体运动．运动一段时间后，打开降落伞，展伞后伞兵以12.5 m/s2的加速度匀减速下降．为了伞兵的安全，要求伞兵落地速度最大不得超过5 m/s.(g取10 m/s2)求：
(1)伞兵展伞时，离地面的高度至少为多少；
(2)以5 m/s着地时相当于从多高处自由落下；
(3)伞兵在空中的最短时间为多少．
答案　(1)99 m　(2)1.25 m　(3)8.6 s
解析　(1)设伞兵展伞时，离地面的高度至少为h，此时速度为v0，
则有v2－v02＝－2ah
v02＝2g(H－h)
联立解得h＝99 m，v0＝50 m/s
(2)以5 m/s的速度落地相当于从h1高处自由落下
h1＝＝1.25 m
(3)落地时速度刚好为5 m/s时在空中的时间最短．
设加速时间为t1，减速时间为t2，
t1＝＝5 s
t2＝＝3.6 s
总时间为t＝t1＋t2＝8.6 s.
例8　(2022·黑龙江牡丹江一中月考)一物体(可视为质点)以4 m/s的速度滑上光滑固定斜面，做加速度大小为2 m/s2的匀减速直线运动，经过一段时间后上滑到最高点C点速度恰好减为零，途经A、B两点，然后又以相同大小的加速度下滑到斜面底端D点，已知BC＝25 cm，求：
(1)物体第一次经过B点的速度；
(2)物体由底端D点滑到B点所需要的时间．
答案　(1)1 m/s，方向沿斜面向上　(2)第一次滑到B点用时1.5 s，第二次滑到B点用时2.5 s
解析　(1)从B到C是匀减速直线运动，末速度为零，逆向思维，从C到B是初速度为零的匀加速直线运动,以沿斜面向下为正方向，加速度a1＝2 m/s2，位移大小为xBC＝25 cm＝0.25 m
根据位移—时间关系式，有xBC＝a1t12
解得t1＝0.5 s
再根据速度－时间关系式，有v1＝a1t1
解得v1＝1 m/s
故第一次经过B点时速度大小为1 m/s，方向沿斜面向上
(2)以沿斜面向上为正方向，对从D到B过程，由v1＝v0＋at
可得从D上滑第一次到达B点所用时间为：t＝＝ s＝1.5 s
由对称性可知：tBC＝tCB＝t1＝0.5 s
则t′＝t＋2tBC＝1.5 s＋0.5×2 s＝2.5 s．
课时精练
1．伽利略为了研究自由落体的规律，将落体实验转化为著名的“斜面实验”，从而创造了一种科学研究的方法．利用斜面实验主要是考虑到实验时便于测量小球运动的(　　)
A．速度 B．时间
C．路程 D．加速度
答案　B
2．(2022·江苏扬州市高三期中)身高1.75 m的小明在篮板正下方原地竖直向上跳起，手指恰好能摸到篮板下沿，已知篮板下沿距离地面高度2.90 m，小明双脚离地时速度约为(　　)
A．3 m/s B．4 m/s
C．5 m/s D．6 m/s
答案　B
解析　小明做竖直上抛运动，手指恰好能摸到篮板下沿，考虑手臂的长度，上升的高度为h≈(2.90－2.00) m＝0.9 m，
由速度位移关系有v02＝2gh
解得v0＝＝ m/s＝4.20 m/s，故选B.
3．一名宇航员在某星球上做自由落体运动实验，让一个质量为2 kg的小球从一定的高度自由下落，测得在第4 s内的位移是42 m，球仍在空中运动，则(　　)
A．小球在2 s末的速度大小是16 m/s
B．该星球上的重力加速度为12 m/s2
C．小球在第4 s末的速度大小是42 m/s
D．小球在0～4 s内的位移是80 m
答案　B
解析　设该星球的重力加速度为g，第4 s内的位移是42 m，有gt42－gt32＝42 m，t4＝4 s，t3＝3 s，解得g＝12 m/s2，所以小球在2 s末的速度大小为v2＝gt2＝24 m/s，故A错误，B正确；小球在第4 s末的速度大小是v4＝gt4＝48 m/s，故C错误；小球在0～4 s内的位移是x4＝gt42＝96 m，故D错误．
4．物体以初速度v0竖直上抛，经3 s到达最高点，空气阻力不计，g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)
A．物体的初速度v0为60 m/s
B．物体上升的最大高度为45 m
C．物体在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为9∶4∶1
D．物体在前1 s内、前2 s内、前3 s内的平均速度之比为9∶4∶1
答案　B
解析　物体做竖直上抛运动，有h＝v0t－gt2①
v＝v0－gt②
联立①②可得v0＝30 m/s，h＝45 m，故A错误，B正确；物体在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移分别为25 m、15 m、5 m，已知＝，故在相等时间内的平均速度之比为1∶
2∶3＝x1∶x2∶x3＝5∶3∶1，物体在前1 s内、前2 s内、前3 s内的平均速度之比为1′∶2′∶3′＝∶∶＝5∶4∶3，故C、D错误．
5．(2019·全国卷Ⅰ·18)如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H.上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t2.不计空气阻力，则满足(　　)
A．1<<2 B．2<<3
C．3<<4 D．4<<5
答案　C
解析　由逆向思维和初速度为零的匀加速直线运动比例式可知＝＝2＋，即3<<4，选项C正确．
6．两物体从不同高度自由下落，同时落地，第一个物体下落时间为t，第二个物体下落时间为，当第二个物体开始下落时，两物体相距(重力加速度为g)(　　)
A．gt2 B.gt2
C.gt2 D.gt2
答案　D
解析　根据h＝gt2，知第一个物体和第二个物体下落的总高度分别为gt2和，两物体未下落时相距，第二个物体在第一个物体下落后开始下落，此时第一个物体下落的高度h1＝g()2＝，所以当第二个物体开始下落时，两物体相距Δh＝gt2－gt2＝gt2，故D正确，A、B、C错误．
7．(2022·辽宁省模拟)航天飞机在平直的跑道上降落，其减速过程可以简化为两个匀减速直线运动．航天飞机以水平速度v0＝100 m/s着陆后，立即打开减速阻力伞，以大小为a1＝4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，一段时间后阻力伞脱离，航天飞机以大小为a2＝2.5 m/s2的加速度做匀减速直线运动直至停下．已知两个匀减速直线运动滑行的总位移x＝1 370 m．求：
(1)第二个减速阶段航天飞机运动的初速度大小；
(2)航天飞机降落后滑行的总时间．
答案　(1)40 m/s　(2)31 s
解析　(1)设第二个减速阶段航天飞机运动的初速度大小为v1，根据运动学公式有v02－v12＝2a1x1，
v12＝2a2x2，
x1＋x2＝x，
联立以上各式并代入数据解得v1＝40 m/s.
(2)由速度与时间的关系可得
v0＝v1＋a1t1，v1＝a2t2，t＝t1＋t2，
联立以上各式并代入数据解得t＝31 s.
8．实验者从某砖墙的高处使一个石子自由落下，并且拍摄石子在空中的照片．由于石子的运动，它在照片上留下了一条模糊的径迹．已知每块砖的平均厚度为6 cm，使用的相机曝光时间为0.02 s，重力加速度g取10 m/s2.则可以估算出石子落到A点的速度大约为(　　)
A．5.0 m/s B．6.0 m/s C．7.0 m/s D．8.0 m/s
答案　B
解析　石子的运动的位移x＝12 cm＝0.12 m，根据x＝vAt＋gt2，解得vA≈6 m/s，故选B.
9．屋檐离地面的高度为45 m，每隔相等时间滴下一滴水，当第7滴水刚滴下时，第一滴水恰好落到地面上，则第3滴水与第5滴水的高度差为(　　)
A．5 m B．10 m C．15 m D．20 m
答案　C
解析　根据题意画出雨滴下落过程的示意图如图所示，根据自由落体运动的规律可知，在连续相等的时间内位移之比为1∶3∶5…，所以第3滴水与第5滴水的高度差h＝H＝H＝15 m，故C正确，A、B、D错误．
10．矿井中的升降机以5 m/s的速度竖直向上匀速运行，某时刻一螺钉从升降机底板松脱，经过3 s升降机底板上升至井口，此时松脱的螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．螺钉松脱后做自由落体运动
B．矿井的深度为30 m
C．螺钉落到井底时的速度大小为25 m/s
D．螺钉随升降机从井底出发到落回井底共用时6 s
答案　C
解析　螺钉松脱时具有与升降机相同的向上的初速度，故螺钉脱落后做竖直上抛运动，选项A错误；取竖直向下为正方向，由运动学公式可得，螺钉自脱落至井底的位移h1＝－v0t＋gt2＝30 m，升降机这段时间的位移h2＝v0t＝15 m，故矿井的深度为h＝h1＋h2＝45 m，选项B错误；螺钉落到井底时速度大小为v＝－v0＋gt＝25 m/s，选项C正确；螺钉松脱前运动的位移为h1＝v0t′，解得t′＝6 s，所以螺钉运动的总时间为t＋t′＝9 s，选项D错误．
11.在某星球表面，t＝0时刻小球以初速度v0开始做竖直上抛运动，取抛出位置位移x＝0，以v0方向为正方向，则小球位移x随速度的平方v2变化的x－v2图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．小球的初速度为100 m/s
B．小球位移x＝5 m时对应的运动时间为2 s
C．小球加速度与初速度方向相反
D．图中m点坐标值为－7.2
答案　C
解析　t＝0时x＝0，由题图知v02＝100 (m/s)2，所以小球的初速度v0＝10 m/s，选项A错误；由v2－v02＝2ax得x＝－，图线斜率k＝＝－，解得a＝－10 m/s2，小球位移x＝5 m时v＝0，所以对应运动时间t＝＝1 s，选项B错误，C正确；由题图可知＝，解得m＝－2.2，选项D错误．
12.某人从同一点P以相同的速度先后竖直向上抛出两小球A、B，两球的v－t图像分别如图中A、B所示，不计空气阻力，不考虑两球相撞，g取10 m/s2.下列说法正确的是(　　)
A．B球上升0.15 m时和A球相遇
B．若抛出两球的时间差合适，A球可以在上升过程中和B相遇
C．t＝0.2 s和t＝0.3 s时，两球的间距相等
D．t＝0到t＝0.3 s，A球运动的平均速度大小为 m/s
答案　C
解析　由题图可知，小球初速度为v0＝2 m/s，上升时间为t0＝0.2 s，上升最大高度为H＝＝0.2 m，B球比A球晚Δt＝0.1 s抛出．B球上升0.15 m时，有hB＝v0tB－gtB2，代入数据解得tB＝0.1 s或tB＝0.3 s(舍去)，则可知A球抛出时间为tA＝tB＋Δt＝0.2 s，则可知此时A球上升到最大高度0.2 m处，故两球没有相遇，故A错误；因两球初速度相同，故A球不可能在上升过程中和B球相遇，故B错误；当t＝0.2 s时，两球间距为Δh1＝(×2×0.2－0.15) m＝0.05 m，当t＝0.3 s时，B球上升到最大高度，A球从最大高度下降h′＝×10×0.12 m＝0.05 m，则两球间距为Δh2＝0.05 m，故C正确；t＝0到t＝0.3 s，A球的位移为h＝v0t－gt2＝0.15 m，则A球运动的平均速度大小为＝＝0.5 m/s，故D错误．

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