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专题强化二　追及相遇问题
目标要求　1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧.2.会在图像中分析追及相遇问题.3.熟练运用运动学公式结合运动图像解决追及相遇的综合问题．
1．追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．
2．追及相遇问题的基本物理模型：以甲车追乙车为例．
(1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲(2)若v甲＝v乙，甲、乙的距离保持不变．
(3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲、乙的距离不断减小．
3．分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系．通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口．
4．常用分析方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图．
能否追上的判断方法(临界条件法)
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB(2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx＝0时，表示两者相遇．
①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇．
当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．
(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．位移－时间图像的交点表示相遇，分析速度－时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系．
5．常见追及情景
(1)速度小者追速度大者
情景 图像 说明
匀加速追匀速 ①t＝t0以前，后面物体与前面物体间距离增大 ②t＝t0时，两物体相距最远，为x0＋Δx(x0为两物体初始距离) ③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小 ④能追上且只能相遇一次
匀速追匀减速
匀加速追匀减速
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动.
(2)速度大者追速度小者
情景 图像 说明
匀减速追匀速 开始追赶时，两物体间距离为x0，之后两物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻： ①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件 ②若Δxx0，则相遇两次，设t1时刻Δx＝x0，两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇(t2－t0＝t0－t1)
匀速追匀加速
匀减速追匀加速
题型一　追及相遇问题
考向1　速度小者追速度大者
例1　一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
答案　2 s　6 m
解析　解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v＝at
所以t＝＝2 s
Δx＝vt－at2＝6 m.
解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－at2
代入已知数据得Δx＝6t－t2
由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δx有最大值6 m
所以t＝2 s时两车相距最远，为Δx＝6 m.
解法三(图像法)：自行车和汽车的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，
v1＝6 m/s
所以有t1＝＝ s＝2 s，
Δx＝＝ m＝6 m.
例2　汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2.从刚刹车开始计时．求：
(1)A追上B前，A、B间的最远距离；
(2)经过多长时间A恰好追上B.
答案　(1)16 m　(2)8 s
解析　汽车A和B的运动过程如图所示．
(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，
即v＝vB－at＝vA，
触得t＝3 s
此时汽车A的位移xA＝vAt＝12 m
汽车B的位移xB＝vBt－at2＝21 m
故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m.
(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间
t1＝＝5 s
运动的位移xB′＝＝25 m
汽车A在t1时间内运动的位移
xA′＝vAt1＝20 m
此时相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12 m
汽车A需再运动的时间t2＝＝3 s
故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s.
[拓展延伸]　(1)若某同学应用关系式vBt－at2＋x0＝vAt，解得经过t＝7 s(另解舍去)时A恰好追上B.这个结果合理吗？为什么？
(2)若汽车A以vA＝4 m/s的速度向左匀速运动，其后方相距x0＝7 m处，以vB＝10 m/s的速度同方向运动的汽车B开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为a＝2 m/s2，则经过多长时间两车恰好相遇？
答案　见解析
解析　(1)这个结果不合理，因为汽车B运动的时间最长为t＝＝5 s<7 s，说明汽车A追上B时汽车B已停止运动．
(2)由位移时间关系公式有：vBt－at2＝x0＋vAt，解得t1＝(3－) s，t2＝(3＋) s.
考向2　速度大者追速度小者
例3　(2022·山东德州市夏津一中模拟)一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶．经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则：
(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
(2)若汽车刹车时的加速度大小只有4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
答案　(1)5 m/s2　(2)1 m/s2
解析　(1)设汽车的加速度大小为a，初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s，
初始距离d＝14 m
在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车相距d′＝d－(v汽－v自)t0＝10 m
从汽车刹车开始计时，
自行车的位移为：x自＝v自t
汽车的位移为：x汽＝v汽t－at2
假设汽车能追上自行车，此时有：
x汽＝x自＋d′
代入数据整理得：at2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，
则：Δ＝102－20a≤0，
解得：a≥5 m/s2.
汽车的加速度大小至少为5 m/s2.
(2)设自行车加速度为a′，同理可得：
x汽′＝x自′＋d′
x自′＝v自t＋t2
整理得：(a′＋2)t2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，
则：Δ′＝102－20a′－80≤0
解得：a′≥1 m/s2.
自行车的加速度大小至少为1 m/s2.
考向3　体育赛事中的追及问题
例4　如图所示，在一次接力训练中，已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10 m/s的速度跑完全程．设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速运动，加速度大小为3 m/s2.乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒．在这次练习中，甲以v＝10 m/s的速度跑到接力区前端s0＝14.0 m处向乙发出起跑口令．已知接力区的长度为L＝20 m.
(1)求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离；
(2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令？
(3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？
答案　(1)6 m　(2)16.7 m　(3)2 s
解析　(1)设乙加速到交接棒处时运动时间为t，
则在甲追及乙过程中有：s0＋at2＝vt
代入数据得：t1＝2 s，t2≈4.67 s(大于乙加速最长时间tm＝＝ s，故舍去)
此次练习中交接棒处离接力区前端的距离为：x＝at12＝6 m
(2)乙加速时间为：t乙＝＝ s
设甲在距离接力区前端为s时对乙发出起跑口令
则在甲追及乙过程中有：s＋vt乙＝vt乙
代入数据得：s≈16.7 m
(3)棒在(2)情形下以v＝10 m/s的速度运动，
所以有：t′＝＝2 s．
题型二　图像法在追及相遇问题中的应用
1．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题：
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算．
(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷．
3．若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析．
考向1　x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题
例5　甲、乙两辆玩具车在同一平直路面上行驶，二者运动的位移－时间图像如图所示，其中乙车的位移－时间图线是关于x轴对称的抛物线的一部分，则下列说法正确的是(　　)
A．甲车先做匀减速直线运动后做匀速直线运动
B．乙车一定做初速度为零的匀加速直线运动
C．甲车在0～10 s内的平均速度为－1.5 m/s
D．在0～10 s内甲、乙两车相遇两次，且相遇时速度可能相等
答案　B
解析　甲车先做匀速运动后静止不动，选项A错误；乙车的x－t图像为关于x轴对称的抛物线的一部分，由此得位移方程x＝－at2，可知乙车做初速度为零的匀加速直线运动，选项B正确；甲车在10 s内的平均速度 v＝＝－0.6 m/s，选项C错误；从图像中可知图线相交两次，则两车相遇两次，图线的斜率表示速度，可知两次相遇时甲、乙速度都不同，选项D错误．
例6　在平直公路上有甲、乙两辆汽车从同一位置沿着同一方向运动，它们的速度—时间图像如图所示，则(　　)
A．甲、乙两车同时从静止开始出发
B．在t＝2 s时乙车追上甲车
C．在t＝4 s时乙车追上甲车
D．甲、乙两车在公路上可能相遇两次
答案　C
解析　由图像可知，乙车比甲车迟出发1 s，故A错误；根据速度—时间图线与时间轴围成的面积表示位移知，t＝2 s时，甲车的位移比乙车的位移大，乙车还没有追上甲车，故B错误；在0～4 s内，甲车的位移x甲＝×8×4 m＝16 m，乙车的位移x乙＝×(1＋3)×8 m＝16 m，所以x甲＝x乙，两者又是从同一位置沿着同一方向运动的，则在t＝4 s时乙车追上甲车，故C正确；在t＝4 s时乙车追上甲车，由于t＝4 s以后，甲车的速度比乙车的大，两车不可能再相遇，所以两车只相遇一次，故D错误．
考向2　利用v－t图像分析追及相遇问题
例7　假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶．甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s.甲、乙相距x0＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化分别如图甲、乙所示．取运动方向为正方向．下列说法正确的是(　　)
A．t＝3 s时两车相距最近
B．t＝6 s时两车速度不相等
C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m
D．两车在0～9 s内会相撞
答案　C
解析　由题给图像画出两车的v－t图像如图所示，由图像可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积为0～6 s内两车位移之差，即Δx＝x乙－x甲＝[×30×3＋×30×(6－3)] m＝90 m课时精练　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移－时间(x－t)图线，由图可知(　　)
A．在时刻t1，a车追上b车
B．在时刻t2，a、b两车运动方向相同
C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增大
D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车大
答案　C
解析　t1时刻，a、b两车的位置相同，此前a车在前b车在后，此后b车在前a车在后，因此，是b车追上a车．由于x－t图像的斜率表示速度的大小及方向，因此，a车速度不变，做匀速直线运动，b车先做减速运动，速度减至零后又开始反方向做加速运动．t2时刻两图像的斜率一正一负，两车速度方向相反．选项A、B、D错误，C正确．
2.(2022·江苏常州市高三模拟)甲、乙两车并排停在斑马线处礼让行人，在行人经过斑马线后，甲、乙两车同时启动并沿平直公路同向行驶，其速度—时间图像分别为图中直线a和曲线b，由图可知(　　)
A．t0时刻两车并排行驶
B．t0时刻乙车的运动方向发生改变
C．在0～t0时间内，乙车的加速度越来越小
D．在0～t0时间内，乙车的平均速度为
答案　C
解析　根据v－t图像与时间轴所围成的面积表示位移，可知在0～t0时间内，乙车的位移比甲车的大，则t0时刻乙车在甲车的前方，故A错误．乙车的速度一直为正，运动方向没有改变，故B错误．在0～t0时间内，乙车的v－t图像切线斜率越来越小，则乙车的加速度越来越小，故C正确；在0～t0时间内，甲车做匀加速直线运动，平均速度为，乙车的位移比甲车的大，则乙车的平均速度大于甲车的平均速度，即大于，故D错误．
3．一辆轿车在平直公路的一条车道上以72 km/h的速度匀速行驶，突然发现其正前方120 m处有一辆货车同向匀速前进，于是轿车紧急刹车做匀减速运动，若轿车刹车过程的加速度大小为a＝1 m/s2，两车相距最近时，距离为22 m，忽略司机的反应时间，则货车的速度大小为(　　)
A．21.6 km/h B．18 km/h
C．16 km/h D．12 km/h
答案　A
解析　轿车速度为v轿＝72 km/h＝20 m/s，设货车速度为v货，当二者速度相等时，距离最近，有t＝；t＋22 m＝v货t＋120 m，解得：v货＝6 m/s＝21.6 km/h，故A正确，B、C、D错误．
4．某司机驾驶一辆空出租车正以10 m/s的速度匀速向前行驶，某时刻在车后方10 m处的乘客招手示意司机停车并立即以5 m/s的速度匀速追赶，司机看到乘客招手后经1.5 s的反应时间后开始刹车，加速度大小为2 m/s2.下列说法正确的是(　　)
A．从司机看到乘客招手到出租车速度减到零所用时间为5 s
B．从司机看到乘客招手到出租车速度减到零出租车的总位移为25 m
C．出租车停止时，乘客还没有追上
D．司机看到乘客招手经4.5 s乘客与出租车相距最远
答案　C
解析　从司机看到乘客招手到出租车速度减到零所用时间为t，反应时间为t1，刹车到速度减为零的时间为t2，
t2＝，t＝t1＋t2＝1.5 s＋5 s＝6.5 s
A错误；
在司机反应过程的位移x＝vt1＝10×1.5 m＝15 m
减速过程可视为反向的匀加速直线运动，位移
x′＝at22＝×2×25 m＝25 m
故出租车的总位移为x1＝x＋x′＝15 m＋25 m＝40 m
B错误；
乘客在6.5 s内的位移
x2＝v2(t1＋t2)＝5×(1.5＋5) m＝32.5 m<40 m＋10 m＝50 m
故说明出租车停止时，乘客还没有追上，C正确；
司机看到乘客招手后经1.5 s的反应时间后开始刹车，设经t3出租车的速度与乘客的速度相等，此时二者相距最远，则有
v－at3＝v客
解得t3＝2.5 s
乘客与出租车相距最远的时间t4＝t1＋t3＝1.5 s＋2.5 s＝4 s
所以司机看到乘客招手经4 s乘客与出租车速度相等，相距最远，D错误．
5．(2022·山东日照市高三月考)ETC是高速公路上不停车电子收费系统的简称，甲车减速至5 m/s通过ETC通道，ETC自动拍杆，过收费站中心线后开始加速，乙车通过人工通道过收费站，停车缴费后从收费站中心线开始加速．过中心线后的最初一段时间两辆车在平直公路上沿同一方向做直线运动，它们的v－t图像如图所示．下列说法正确的是(　　)
A．乙车启动10 s后正好追上甲车
B．乙车启动时，甲车在其前方50 m处
C．乙车超过甲车后，两车还会再次相遇
D．运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为100 m
答案　D
解析　由v－t图像面积表示位移可知，乙车启动时，甲车在其前方
x0＝×10 m＝75 m
故B错误；
由v－t图像面积表示位移可知，乙车启动10 s后的位移
x乙＝×10 m＝100 m
此时甲车距中心线的距离为x甲＝75 m＋10×10 m＝175 m>x乙
故此时乙车没有追上甲，故A错误；
由题图可知，乙车超过甲车后，乙车速度一直大于甲车速度，可知两车不会再次相遇，故C错误；
当甲乙两车的速度相等时，两车相距最远，此时甲车位移
x甲′＝75 m＋10×5 m＝125 m
乙车的位移x乙′＝×5 m＝25 m
则两车的最大距离Δxmax＝x甲′－x乙′＝100 m
故D正确．
6．在恶劣天气中，能见度很低，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，甲在前、乙在后同向行驶．某时刻两车司机听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，两车刹车后的v－t图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．甲车的加速度大于乙车的加速度
B．若t＝24 s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最远
C．为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48 m
D．若两车发生碰撞，则可能是在开始刹车24 s以后的某时刻发生的
答案　C
解析　甲车的加速度大小
a1＝＝ m/s2＝ m/s2
乙车的加速度大小a2＝＝ m/s2＝ m/s2
所以甲车的加速度小于乙车的加速度，故A错误；
t＝24 s时，两车速度相等，开始时，甲在前、乙在后同向行驶，所以若t＝24 s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最近，故B错误；
0～24 s内，甲车的位移x1＝×24 m＝288 m
乙车的位移x2＝×24 m＝336 m
两者位移之差Δx＝x2－x1＝48 m
所以为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48 m，故C正确；
t＝24 s时，两车速度相等，若两车速度相等时没有相撞，则速度相等后，甲车的速度比乙车的大，两车不可能相撞，故D错误．
7．台风“烟花”的出现引起多地暴雨，致使高速公路上的司机难以看清前方道路，严重影响道路交通安全．某高速公路同一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车，其速度大小分别为v1＝40 m/s、v2＝25 m/s，轿车在与货车距离x0＝22 m时才发现前方有货车，此时轿车立即刹车，若无其他影响，轿车要经过x＝160 m才能停下来．两车均可视为质点．若轿车刹车时货车仍以速度v2匀速行驶，忽略反应时间，通过计算分析两车是否会相撞．
答案　见解析
解析　法1：临界法　对轿车刹车过程有v12＝2a1x
解得轿车刹车过程的加速度大小a1＝5 m/s2
设从轿车开始刹车经过时间t0两车速度相等，
有v1－a1t0＝v2，
解得t0＝3 s
此段时间内轿车行驶的距离为x1＝v1t0－a1t02
解得x1＝97.5 m
货车行驶的距离为x2＝v2t0，
解得x2＝75 m
因为x1－x2＝22.5 m>x0＝22 m，
故两车会相撞．
法2：函数法　假设两车在t时刻相撞，由解法1知，两车相撞时，x1′＝x2′＋x0
即v1t－a1t2＝v2t＋x0
整理得t2－15t＋22＝0
这是一个关于时间t的一元二次方程，
Δ＝(－15)2－4××22＝5>0，
说明该方程有实数解，即两车会相撞．
法3：图像法　作出两车运动的v－t图像，图中阴影面积Δx表示两车速度相等时的位移差，由图可知Δx＝×3×15 m＝22.5 m>22 m，说明两车会相撞．
8．一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内．求：
(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离；
(2)警车发动后要多长时间才能追上货车．
答案　(1)75 m　(2)12 s
解析　(1)当两车速度相等时，它们的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等．
则：t1＝＝ s＝4 s
x货＝v1＝10×(5.5＋4) m＝95 m
x警＝at12＝×2.5×42 m＝20 m
所以两车间的最大距离
Δx＝x货－x警＝75 m
(2)警车达到最大速度v＝90 km/h＝25 m/s所用的时间：
t2＝＝10 s
此时两车的位移分别为
x警′＝＝ m＝125 m
x货′＝v1＝10×(5.5＋10) m＝155 m
两车距离
Δx′＝x货′－x警′＝30 m
警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追上货车，
则：Δt＝＝2 s
所以警车发动后要经过t＝t2＋Δt＝12 s，才能追上货车．
9．(2022·广东汕头市质检)某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶．
(1)求赛车出发3 s末的瞬时速度大小；
(2)求赛车何时追上安全车及追上之前与安全车的最远距离；
(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)
答案　(1)6 m/s　(2)20 s　225 m　(3)20 s
解析　(1)赛车3 s末的速度
v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s.
(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得
v0t2＋200 m＝a1t22
解得t2＝20 s
此时赛车的速度
v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s
当两车速度相等时，两车相距最远
由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间t3＝＝ s＝5 s
两车最远相距Δs＝v0t3＋200 m－a1t32
＝(10×5＋200－×2×52) m＝225 m.
(3)假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)
由位移关系得vt4－a2t42＝v0t4
解得t4＝15 s
赛车停下来的时间t′＝＝ s＝10 s
所以t4＝15 s不合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动．
设再经时间t5两车第二次相遇，应满足＝v0t5
解得t5＝20 s.

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